CC BY
36
Механика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского, 2010, № 5 (1), с. 134-137
УДК 539.3:534.1
ОБ ИМПУЛЬСЕ ВОЛН ПРИ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
© 2010 г. Г.Г. Денисов \ В.В. Новиков 2, М.Л. Смирнова 2
1 НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
novikov@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 20.04.2010
Рассматриваются малые продольные колебания одномерной упругой системы в квадратичном приближении. Определены значения импульса волн, возбуждаемых при колебаниях, при различных начальных условиях. Показано, что возможна генерация как группы волн, бегущих в разные стороны, но с нулевым суммарным импульсом, так и волн, бегущих в одном направлении, но с постоянным по величине импульсом. Обсуждается корректность формального применения понятия «волнового импульса» для решения данной задачи.
Ключевые слова: упругая среда, волна, импульс, нелинейность, начальные условия.
Существуют разноречивые мнения о том, несет ли волна импульс и каков механизм воздействия волн на границу среды. В литературе имеются утверждения как об обязательном наличии импульса у волн [1-3], так и о полном его отсутствии [4, 5]. В работах [6, 7] для исследования волновых движений в средах введена величина, названная «волновым импульсом». Авторы не придавали особого физического смысла «волновому импульсу», а лишь обозначили так в своих выкладках определенное выражение. Однако звучное название и необоснованные аналогии с электромагнитными волнами привели к недоразумению, выразившемуся в том, что в некоторых работах (например, [8-10]) «волновой импульс» отождествляется с реальным импульсом волны. И это несмотря на то, что данная величина квадратична по амплитуде деформаций, ее используют при решении задач о волновых движениях в средах и воздействии волн на границы среды в линейной постановке.
В [11] рассмотрены примеры, иллюстрирующие неправомерность использования величины «волнового импульса» для решения задачи об импульсе волн. В работе [12] для случая плоских движений идеального газа показано, что наличие или отсутствие импульса у волны в безграничной среде определяется начальными условиями. При этом для определения импульса недостаточно первого приближения при решении уравнений гидродинамики - необходимо рассматривать величины второго порядка мало-
сти по амплитуде распространяющихся в среде возмущений.
Цель данной работы - на простом примере одномерной упругой системы продемонстрировать, что для ответа на вопрос об импульсе волны и ее воздействии на преграду необходимо рассматривать задачу о волновом движении в среде в нелинейной постановке, а «волновой импульс» является лишь частью импульса волны и не имеет самостоятельного значения.
Рассмотрим продольные колебания стержня. Уравнения движения запишем, исходя из плот-
1 2 1 2
ности функции Лагранжа А = ри{ — ^ Е£их,
где и(х, г) - продольные смещения, р - возмущенное значение погонной плотности, Е - модуль Юнга, 5 - площадь поперечного сечения стержня. Для нашей цели достаточно ограничиться учетом нелинейности, связанной с изменением погонной плотности за счет деформирования стержня. Выражение для р получим из условия равенства массы элементарного участка вх до и после деформации: рс11 = р0<зХ, где Л = Си + йх, р0 - невозмущенное значение плотности. Отсюда, в силу малости деформаций Р = Ро (1 - их) •
Уравнение движения стержня с точностью до квадратичных членов имеет вид:
2 1 - П 2 - Е
иП - а ихх - 2мдА - ихиП - 0 , а =----.
Р 0
Представив продольные смещения стержня и(х, ї) в виде суммы величин первого и второго порядка малости и = и + и2 , приходим к следующей системе уравнений:
(1)
2 п
u1 tt - a u1xx = 0 ,
u2tt - a u2xx - u1xu1tt - 2u11U1 xt = 0 • (2)
для
плотности
p — p (1) + p (2) + p (3)
u2tt
2
a u2 xx
При начальных условиях и2_ 0 = ф( х), м2г|г_0 = ф(х) его решение дается формулой
Даламбера для неоднородного волнового уравнения
импульса
Выражение
дХ
р =----- с учетом квадратичных членов запи-
ди(
шется в виде:
Р = р0 (1 - их )иг = р0и1г - р0и1хи1г + р0и2г • Интегрированием по занимаемой волной области получим выражение импульса Р = |рс1х •
Видно, что значение импульса складывается из трех компонент:
= — {( x - at) + ф( x + at)} +
2
i x+at 3 t x+a (t-t')
+— i v(^+3aidt' i [[-а%]
a x-at 0 x-a(t-t')
Выражение для скорости продольных смещений стержня и принимает следующий вид:
ut = Щt + u2t = -afx(x - at) +
+ 2 [x (x + at) -фx (x - at)] +
(3)
Здесь Р(1) = | р (1)Ях = | Роиц Ях - линейная
часть импульса волн первого приближения. При рассмотрении линейного случая данное выражение дает полное решение задачи об импульсе волн. Второе и третье слагаемые в (3) обусловлены учетом нелинейности. Выражение Р(2) = = |рР^йх = -1рои\хиИйх определяет вклад волн первого приближения в квадратичную часть импульса. Составляющая Р= | рз)яХ =
= |рцЫцСх зависит от решения уравнения (2)
для второго приближения.
Покажем, что в зависимости от начальных условий могут обращаться в нуль как отдельные составляющие импульса, так и импульс в целом.
Решение уравнения первого приближения (1) при произвольных начальных условиях имеет вид щ = /|(х - а1) + /2(х + а1), где /\ и /2 -функции, характеризующие волны, бегущие вправо и влево соответственно.
Рассмотрим такие начальные условия, что в первом приближении возбуждается только волна, бегущая вправо, т.е. щ = f (х - а1). Это будет при условии Пц (х,0) = -а/х (х). Предположим также, что в начальный момент времени волна с профилем /(х) занимает положение 0 < х < I.
Уравнение второго приближения (2) после подстановки в него п принимает вид
За [ (х - а)]*.
+ 2 [( x + at) + ф( x - at)\-
(4)
3a
fx2 ( x + at Ь fx2 (x - at) +
+ 2at
fx (x~at)
Вычислим импульс этой группы волн. Линейная часть Римпульса (3) определяется значением функции /, описывающей волну первого приближения, на концах интервала 0 < х - at < I: а/+/
р(1) = -Роа I/х(х - а^х = -Роа[/(/) - /(0)1
а/
Данная величина отлична от нуля лишь при разрывах продольных смещений на границе области возмущения. Такое условие является нефизичным, поэтому в дальнейшем полагаем f(о) = f (1) = 0. Таким образом, возмущение первого приближения с нулевыми начальными условиями на концах интервала импульса не имеет.
Второе слагаемое в (3) принимает значение м+1 I
Р=—роа |и\хиь^X = Роа |/х2(х)^х. Данная м 0
составляющая импульса постоянна, направлена в сторону движения волны. Это и есть часть импульса, называемая «волновым импульсом».
Определим вклад решения для волн второго приближения в выражение импульса в частном случае, предполагая нулевыми соответствующие им начальные условия: ф( х) = 0, ф( х) = 0. Из выражения (4) имеем
и
2
+
8
x
3 a
u21 =■
fX (x + at) - /2 (X~at) +
+ 2 at
fx (x~at)
P = P(2) = p0a Jf2 (x)dx. Подчеркнем, что P
(2)
3 a
условиях аф х (х) + х) + — /х (х) = 0 .
Второе приближение для скорости смещения приводится к виду
и21 = ¥(х - а) + ^0-1 [ (х - а)]* ,
а импульс волн второго приближения будет таким:
р(2) + р(3) = poa jyx2(xyjx + ро jx)dx
+
^1/(l) - f2(0)
(5)
Начальное линейное возмущение, движущееся в положительном направлении оси х (прямая волна), с течением времени распадается на обратную волну (первое слагаемое в этом выражении) и прямую волну (последние два члена). Первоначально области определения
I
этих волн перекрываются, а при а > каждая
из волн занимает свой интервал, вне которого возмущения отсутствуют. Волны становятся изолированными и могут рассматриваться раздельно. Профиль прямой волны изменяется, в силу чего при некотором достаточно большом времени происходит так называемое опрокидывание волны (термин, хорошо известный в динамике волн). Множитель I в третьем члене отражает начало процесса опрокидывания. Импульс данной группы волн имеет вид
Л \-Ш+1
р(3) = —р0-\ IЛ2(х + аМх -
I -ш
а1+1 г -|\
- |Л2 (х - а-)йх + 2-4л2 (1) - Л2 (0)] [•. ш 1
При дополнительном условии /х (о) = /х (/) = 0 эти волны, образовавшиеся за счет нелинейности системы, импульса не несут.
Таким образом, в случае нулевых начальных условий для волн второго приближения суммарный импульс всей группы волн равен
вычисляется по первому приближению, но имеет второй порядок малости.
Рассмотрим теперь случай, когда во втором приближении образуются только волны, бегущие вправо, т.е. в том же направлении, что и начальное линейное возмущение. Это имеет место при
При fx2 (I) = /Х(0) импульс этих волн постоянен, определяется начальными условиями, заданными для 0 < x < l, и может быть как положительным или отрицательным, так и нулевым. Положительному импульсу соответствует избыток средней плотности в колеблющейся нелинейной среде, а отрицательному - недостаток средней плотности. Этим объясняется появление первых двух членов в (5). Составляющая же импульса, пропорциональная t, обусловлена наличием скорости смещения центра масс волны с изменяющимся профилем относительно интервала [0,1]. Аналогом отрицательного импульса, когда его направление противоположно направлению движения волны, в дискретной системе может служить отрицательная масса, а импульсу, вызванному скоростью смещения центра масс волны, аналога в дискретных системах нет.
В опрос об импульсе волн в упругой среде, вызвавший много дискуссий, разрешается очень просто в одномерной однородной системе. Наличие или отсутствие импульса волн в упругой среде определяется начальными условиями, причем вычисление импульса и силы, с которой волна действует на границу среды, требует рассмотрения нелинейной задачи. Так называемый «волновой импульс» является одной из составляющих импульса. В частном случае нулевых начальных условий для волн второго приближения «волновой импульс» совпадает с импульсом. Однако этот факт нельзя обобщать. Упрощенное рассмотрение волнового процесса в рамках линейной задачи с якобы присущим волнам «волновым импульсом» неправомерно.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-01-00411).
Список литературы
1. Рэлей. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. Т. 2. 475 с.
2. Кадомцев Б.Б., Рыдник В.И. Волны вокруг нас. М.: Знание, 1981. 150 с.
3. Миллер М.А., Островский Л.А. Волны. В кн.: Физическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1988. Т. 1. С. 315-328.
4. Brilloin L. Sur les tensions de radiation // Annale de Physique. 1925. V. 4. P. 528-586.
+
8
о
0
x
I
5. Мак-Интайр М. Миф о волновом импульсе. Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С. 454-476.
6. Лич Дж.У. Классическая механика. М.: ИЛ, 1961. 172 с.
7. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.
8. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
9. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. 400 с.
10. Potapov A.I., Maugin G.A., Trimarco C. Wave momentum and radiative stresses in elastic solids // Mathematics and Mechanics of Solids. 2005. V. 10, № 4. Р. 441-460.
11. Денисов Г.Г. О волновом импульсе и усилиях, возникающих на границе одномерной упругой системы // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 42-51.
12. Денисов Г.Г. К вопросу об импульсе волны, радиационном давлении и других величинах в случае плоских движений идеального газа // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 3. С. 390-402.
ON WAVE MOMENTUM IN THE CASE OF LONGITUDINAL VIBRATIONS
OF AN ELASTIC ROD
G.G. Denisov, V.V. Novikov, M.L. Smirnova
Small longitudinal vibrations of a one-dimensional elastic system are considered in the quadratic approximation. The momentum values of the waves excited by vibrations have been obtained under different initial conditions. A possibility has been shown to generate either a group waves traveling in opposite directions with zero total momentum or a group of waves traveling in the same direction with constant momentum. The correctness of the formal application of “wave momentum” to the problem solution is discussed.
Keywords: elastic medium, wave, momentum, nonlinearity, initial conditions.
