CC BY
29
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 318-319
УДК 539.3:534.1
О ДВИЖЕНИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ОБЪЕКТОВ ВДОЛЬ ОДНОМЕРНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ
© 2011 г М.Л. Смирнова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в редакцию 16.05.2011
В приближении второго порядка рассмотрена согласованная задача о малых продольно-поперечных колебаниях струны и движении скользящей вдоль нее бусины. Обсуждается вопрос об импульсе возбуждаемых в струне волн и их взаимодействии с бусиной. Данная задача служит иллюстрацией общей вариационной постановки задачи динамики одномерных распределенных упругих систем с движущимися ограничителями и нагрузками.
Ключевые слова: упругая система, движущаяся нагрузка, волна, импульс, нелинейность.
В [1, 2] на простых примерах показано, что для вычисления импульса волн и сил, возникающих при взаимодействии волн с отражающими препятствиями, необходимо рассматривать задачу о волновом движении в среде в нелинейной постановке. При исследовании поперечных движений одномерных упругих систем для вычисления сил, возникающих на границе системы, необходим учет нелинейной связи поперечных и продольных движений, как в уравнениях движения, так и в краевых условиях. Исходя из вариационного принципа Г амильтона - Остроградского, в работе получены уравнения движения одномерных упругих систем и соответствующие естественные краевые условия, причем предполагаются как неподвижные, так и движущиеся закрепления и нагрузки. На основе данных соотношений рассмотрена задача о малых продольнопоперечных колебаниях бесконечной струны с нанизанной на нее бусиной массы т.
Считаем, что поперечное смещение бусины ограничено жесткими направляющими. Пусть возбуждается локализованная поперечная волна, бегущая влево (в сторону бусины, рис. 1).
m
0
Рис. 1
/ = 0 Ах0) = /(х0 + а) = 0. Пусть при / = 0 бусинка находится в точке х = 0, волна находится полностью справа от бусины (х0 > 0).
Уравнения колебаний струны (с точностью до величин второго порядка малости) имеют
вид:
= s
2 2
utt - c0 Y uxx =
( ) c2 s
(uxut )t + ututx + U tU tx + 1-------------UxUxx
1 -s
Utt - c0 Uxx = s
(uxUt )t + ~T~ (ux U x ) x
1-s
В линейном приближении волна описывается непрерывной функцией и1(х,/)=/(х+с0/), отличной от нуля только на интервале х0 — с0/ < < х < х0 — с0/ + а. В начальный момент времени
где u(x, t) и u(x, t) - соответственно продольные и поперечные смещения точек струны, с0 = = ku0x /р0, k - коэффициент упругости струны, u0(x) = u0xx (u0x = const) - продольное смещение точек струны, обусловленное начальным растяжением, р 0 - погонная плотность недеформи-рованной струны, 8 = 1/(1 + u0x) = (y2 - 1)/y2, y2 =
= (1 + uox)/u0x.
Решение уравнений представим в виде суммы величин первого и второго порядка малости: u = u1 + u2 , и = u1 + и2 .
Закон движения бусины l = l(t), при t = 0
l(0) = 0. Координата xl элемента струны, взаимодействующего с бусиной, и l(t) связаны соотношением (1 + u0x)xl (t) + ul (t) - l(t) = 0, (ul (t) = = u(xl(t), t), которое учитывается в вариационной постановке задачи введением неопределенного множителя Лагранжа а.
Условия согласованного движения бусины и струны записываются следующим образом (и, (t) = v(x, (t), t):
mul = k -0 + p0s4t
x=xi +0 .
l (t),
x=xl-0
Л
— a =
Po s 2u2 + ks2 Ulx-+ku
\
2 x
x=xi+0
+
x=x,—0
ix=xi+0 &, v
+ P 0su2t|x=x —0l (t)’
S 2 ; /і \ 2 \ x=xl +0
a=TT (P0SU1t + k(1 —s)u1x ) 0
2 x=x,—0
+
,3
+ P0s U1tU1x
x=x, +0 .
= l - l (t),
x=x,—0
2
4
fx (x+C0Yt)—
c0(Y —1) r2
4
fx (x — c0 yO-
(x, t)=-
c0
Y(1 + u0 x )
J X
- + c0t
+
+fx
+ c0t
, Y
t >
x0 + a
Это волны второго приближения (наряду с и2(х, (). Они обладают импульсом в горизонтальном направлении, равным
х0 + а
2p0c0e2 jfx2(x)dx
т1 = -а.
Поперечное волновое возмущение струны "О] (х, ^ = /(х + с00, не обладающее импульсом, до появления контакта с бусиной (^ < х0 /с0 ) из-за нелинейности системы порождает группу продольных волн, бегущих в том же направлении, и продольную волну, бегущую вправо:
(х,^ = --С°/х2(х +С0О + С°(У + 1) /2
Суммарный импульс этих волн равен нулю. Группа волн, бегущих в сторону бусины, обладает импульсом, но эти продольные возмущения проходят сквозь бусину, не оказывая на нее влияние. Во время контакта бусины со струной х0 /с0 < t < (х0 + а)/с0 в струне возникают более интенсивные продольные волны, которые назовем вторичными и обозначим ивт(х, t):
х0
Такой же по величине импульс, но направленный в противоположную сторону, приобретает бусина и приходит в движение. Суммарный импульс системы струна—бусина остается равным нулю.
Таким образом, изменение импульса бусины в результате интегрального воздействия на нее волнового возмущения таково:
х0 + а
Ар = -2роСоВ2 |/х2(х)ёх.
х0
Под действием набегающего справа поперечного возмущения бусина смещается влево (см. рис. 1).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-01-00411).
Список литературы
1. Денисов Г. Г О волновом импульсе и усилиях, возникающих на границе одномерной упругой системы // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 42—51.
2. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Смирнова М.Л. К вопросу об импульсе упругих волн и их воздействии на препятствие // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. Вып. 70. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2008. С. 39—50.
c
0
2
2
u
ON THE MOTION OF CONCENTRATED OBJECTS ALONG ONE-DIMENSIONAL ELASTIC SYSTEMS
M.L. Smirnova
The consistent problem of small transverse-longitudinal vibrations of a string and the bead motion along the string is considered in the second-order approximation. The question of the momentum of waves excited in the string and its interaction with the bead is discussed. This task is an example of the general variational problem of the dynamics of a one-dimensional continuous system with moving limiters and loads.
Keywords: elastic system, moving load, wave, momentum, nonlinearity.
