Плоские системы с управлением и преобразования C-спектральных последовательностей Виноградова Текст научной статьи по специальности «Математика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

_Эл № ФС77 - 30569. Государственная регистрация ^0421100025. ISSN 1994-0408_

Плоские системы с управлением и преобразования C-спектральных последовательностей Виноградова

77-30569/236916

# 10, октябрь 2011 В. Н. Четвериков

УДК 517.977.1

МГТУ им. Н.Э. Баумана mathmod@bmstu.ru

C-Спектральная последовательность систем дифференциальных уравнений была введена А. М. Виноградовым в работе [1] (более полное изложение можно найти в [2, 3]). Данная конструкция сохраняется при обратимых преобразованиях наиболее общего вида, когда зависимые переменные одной системы выражаются через зависимые переменные и их производные до некоторого порядка другой системы (C-преобразованиях). Поэтому C-спектральная последовательность может быть использована при исследовании понятий, инвариантных относительно C-преобразований, например, при проверке плоскостности систем с управлением.

Плоские системы образуют наиболее широкий класс систем, для которых разработаны [4] методы управления. Плоскими являются в точности те системы, которые C-преобразованиями приводятся к тривиальному виду, когда уравнения отсутствуют, а под решением понимается произвольный набор функций времени. Таким образом, чтобы проверить плоскостность заданной системы, достаточно показать, что C-спектральные последовательности данной и тривиальной систем устроены одинаково.

В работе [5] исследована структура C-спектральных последовательностей динамических систем с управлением. Полученное там описание зависит от выбора Б-базиса, т.е. набора 1-форм, порождающих все 1-формы, зависящие от переменных состояния, управления и их производных. Плоские системы и только они имеют Б-базис из точных 1-форм [6].

В данной статье исследуется как меняется С-спектральная последовательность системы с управлением при замене Б-базиса. Получено условие плоскостности, представляющее собой уравнение на обратимый дифференциальный оператор. Разрешимость этого уравнения означает плоскостность системы.

1. Плоские системы с управлением

Далее рассматриваются системы с управлением вида

Х = f (Ь,х,и), х е и е (1)

где Ь — независимая переменная, вектор х = (х1,..., хп) — состояние, вектор и = (и1,... , ит) — управление, f = (f1,..., fn) — гладкая векторная функция, а X = (х/(Ь. Под гладкостью здесь и далее понимается бесконечная дифференцируемо сть.

Систему (1) называют регулярной, если ранг матрицы (дfl/ди^) равен т в каждой точке области определения системы. Далее рассматриваются только регулярные системы.

Пусть I — некоторое неотрицательное целое. Считая переменные

t• х1 • . . . • хп, и1 • . . . • ит • и 1 • . . . • ит • и1 • . . . • ит (2)

независимыми, рассмотрим пространство с такими координатами. Через Ы(1) будем обозначать какую-либо область этого пространства.

Систему (1) называют плоской в области Ы(1), если на определены такие функции

у1 = Н1(Ь,х,и,га ,...,и(1^), ..., уг = кг (Ь,х,и,и ,...,и(1^), (3)

что переменные х и и выражаются через Ь, функции (3) и их производные в силу системы (1) до какого-то конечного порядка, а любой конечный набор функций (3), их производных в силу системы (1) и функции Ь функционально независим. При этом набор функций (3) называется плоским (или линеаризующим) выходом системы (1).

2. Диффеотопы систем с управлением

С системой (1) связывают бесконечномерное пространство с координатами

Ъ, хь ..., хп, ио), ..., и^, ..., и£, и[2), ..., (4)

(0) (1) где координаты и у соответствуют переменным и^, а координаты иу — производным < и, I > 0 (подробности см. в [3, 7]). Правая часть системы (1) может быть определена не на всем пространстве переменных г, х, и, а только в некоторой области этого пространства. Кроме того, на управления и их производные до некоторого фиксированного порядка могут налагаться некоторые ограничения. Обозначим через подмножество пространства с координатами (4), в котором определена система (1) и лежат допустимые управления. Координаты (4) называют каноническими координатами на .

Каждое гладкое решение в(Ъ) = (х*(Ъ),и*(Ъ)) системы (1) и точка Ъ0, в окрестности которой это решение определено, задают точку из с координатами

Ъ = Ъ Х = Х (Ъ ) и(1) = <и^ (г0) Ъ = tо, Хг = x*,¿(t0), и^ = --,

где г = \,...,и,] = 1,...,т,1 > 0. Эта точка называется бесконечным джетом решения й(Ъ) в точке Ъ0, а множество бесконечных джетов решения в(Ъ) во всех точках Ъ0, в окрестности которых это решение определено, — графиком в решения в(Ъ). Любая точка множества является бесконечным джетом некоторого решения.

Отметим, что только на конечное число координат из набора (4) в могут налагаться ограничения, остальные координаты произвольны. Через мы будем обозначать открытые подмножества обладающие тем же свойством. А именно, из множества переменных (4) выделяется конечное подмножество I, а в пространстве переменных I — открытое подмножество Ы. По определению точка $ Е принадлежит Ыж в том и только том случае, когда значения переменных из набора I в точке $ есть координаты точки из Ы, а значения остальных координат точки $ произвольны. Бесконечные объединения множеств вида Ыж также являются открытыми в по определению, хотя могут не быть вида Ыж. Как обычно, окрестностью точки $ Е называется произвольное открытое подмножество в содержащее эту точку.

Во всех рассуждениях этой статьи множество Еж может быть заменено на открытое множество вида Ыж. В тех случаях, когда такая замена будет применяться, в обозначениях мы будем заменять Е на Ы.

На множестве Еж вводятся обычные дифференциально-геометрические понятия: гладкие функции, векторные поля, дифференциальные формы и т. д. А именно, гладкой функцией на Еж называется бесконечно дифференцируемая функция, зависящая от конечного (но произвольного) набора переменных (4). Алгебра гладких функций на Еж обозначается через Т(Е). Любое дифференцирование этой алгебры представляет собой сумму (в общем случае бесконечную) вида

^^ (5)

1=1 1 ¿=1 о =0 диг

где Ь1, Ъ( ', I = 0,1,... ,п,г = 1,... ,т,] = 0,1, . . . , — некоторые гладкие функции на Еж. Любое такое дифференцирование называется векторным полем на Еж. Множество векторных полей на Еж является модулем над алгеброй Т(Е) и обозначается через Р(ЕТО).

По определению, любая г-форма на Еж зависит от конечного набора переменных (4). Через Аг(Ето) обозначим Т(Е)-модуль г-форм на Еж.

Алгебра Т(Е), модули Р(ЕТО) и Аг(Ето) связаны обычными операциями. В частности, производную Ли функции д (г-формы и) вдоль векторного поля X будем обозначать через Хд (соответственно через Хи), к-ую производную — через Xкg (соответственно через Xки), а подстановку векторного поля X в г-форму и — через Xи.

Векторное поле

О п ГЛ т <х ГЛ

д 'х.и)^- + VVи^1' д

Б = д + Е ^(Ь,х,и) ^ + ЕЕи(

дЬ ^ ^ ' ' 'дхг ^^ 1 дЛз у

1=1 1 ¿=1 о=0 дач

определенное в точках Еж, называют полной производной по Ь на Еж, а векторные поля вида (5), у которых отсутствует первое слагаемое, т.е. Ъ0 = 0 , называют вертикальными.

Производная Ли вдоль Б функции д е Т(Е) совпадает с производной функции д в силу системы (1). Векторное поле Б порождает распределение С на Еж, которое называют распределением Картана на Еж. Интегральные

кривые распределения Картана совпадают с графиками решений системы (1). Поэтому в качестве геометрической модели системы (1) рассматривают пару (8ТО, С), которую называют диффеотопом (или бесконечным продолжением) системы (1).

Далее будут рассматриваться также диффеотопы тривиальных систем, т.е. систем без уравнений (в (1) п = 0, х отсутствует). Под решением такой системы мы понимаем произвольную векторную функцию и*(Ъ). Диффеотоп тривиальной системы состоит из всех бесконечных джетов векторных функций и*(Ъ) одной размерности и называется пространством бесконечных джетов. Будем обозначать такой диффеотоп через JРазмерность векторных функций и* (Ъ), из бесконечных джетов которых состоит Jв данной статье всегда равна т, размерности управления системы (1).

Пусть (8ТО, С) и С) —два диффеотопа. Отображение

Г : —► (6)

называют гладким, если соответствующее индуцированное отображение Г * отображает любую гладкую функцию на в гладкую функцию на т.е. Г *(Т (5)) С Т(8), где по определению Г*(д) = д о Г. Отображение (6) называют диффеоморфизмом, если оно гладкое, взаимнооднозначное, и обратное отображение также является гладким. Диффеоморфизм (6), сохраняющий распределение Картана: Г*(С$) = Ср(^), $ Е называют С-диффеоморфизмом.

Теорема 1. [4] Система (1) плоская в окрестности точки $ Е тогда и только тогда, когда существует такой С-диффеоморфизм Г из окрестности этой точки в открытое подмножество пространства бесконечных джетов, что

Г *(Ъ) = Ъ.

3. Б-базисы систем с управлением

Дифференциальную форму и Е Аг(8то), называют картановской, если она обращается в нуль при ограничении на распределение Картана. Так как графики в решений системы представляют собой интегральные кривые распределения Картана, то ограничение картановских форм на графиках решений равны

нулю. Поэтому эти формы интерпретируются как формы на пространстве решений системы, и это одна из причин интереса к ним.

Пусть д е Т(Е). Обозначим через (Сд картановскую 1-форму (д — Б(д)(Ь, через Лд(Е) — Т(Е)-подмодуль модуля А1(ЕТО), порожденный 1-формой (Ь, через СЛг(Ето) — подмодуль картановских г-форм. Так как в рассматриваемом случае одной независимой переменной распределение Картана одномерно, то

Л1(ЕТО) = Л0(Е) ееЛ1(ЕТО), Лг(Ето) = СЛг(Ето) при г> 1. (7)

Пусть — диффеотоп системы (1). Обозначим через Н1 Т(Е)-подмодуль модуля СЛ1(ЕТО), порожденный 1-формами (сх1,..., (схп. Определим Нк для к > 1 индуктивно равенством

Нк+1 = {и е Нк|Би е Нк}.

Тогда Н5 есть Т(Е)-модуль для любого в и С На при ] > в.

Размерность пространства ковекторов {и^|и е Нк} конечна для любых к > 0 и $ е Под размерностью какого-либо Т(Е)-подмодуля Н С Л1(ЕТО) в точке $ е мы понимаем размерность пространства ковекторов {и^|и е Н}.

Точка $ е называется регулярной в смысле Бруновского (Б-регулярной), если в некоторой окрестности этой точки система (1) регулярна и для любого к > 1 модули Нк и Нк + Б(Нк) имеют постоянную размерность.

Над алгеброй функций модуль С Л1 (Ето) бесконечномерен, но в окрестности Б-регулярной точки его образующие получаются из конечного набора 1-форм дифференцированием в силу системы. Действительно, для всех в имеется вложение На+1 С На. Поэтому в каждой точке $ е размерность модуля На может только убывать с ростом в. В окрестности Б-регулярной точки модуль На имеет постоянную размерность. Поэтому для любой Б-регулярной точки существует такое положительное целое число в*, что На*+1 = На* в окрестности этой точки. Тогда На+1 = На* при в > в*. Из равенства На*+1 = На* также следует, что Б(На*) С На*, т.е. модуль На* инвариантен относительно производной Ли вдоль Б. По построению, На* есть максимальный Т(Е)-подмодуль модуля Н1, удовлетворяющий этому свойству. Обозначим = На*, а через р размерность этого модуля в окрестности рассматриваемой Б-регулярной точки.

Функцию д е Т(Е) называют первым интегралом системы (1), если производная этой функции в силу системы (1) тождественно равна нулю.

Из теоремы 1 в [7] и теоремы о выпрямлении векторного поля теории обыкновенных дифференциальных уравнений следует

Теорема 2. Пусть $ Е —Б-регулярная точка системы (1), а д1,..., др — такой набор функционально независимых первых интегралов системы (1) в окрестности точки $, что любой другой первый интеграл системы (1) в окрестности $ есть функция от д1,..., др. Тогда существует такая окрестность вида точки $ и 1-формы и1,..., ит из Н1, что:

1) = врап{<сдг | г = 1,..., р};

т (ы)

2) С А1(ЫТО) = врап{<с (и) | г = 1,... ,р,к = 1,... ,т,; > 0}.

Т (ы)

Доказательство теоремы дает следующий алгоритм нахождения функций д1,... , др и 1-форм и1,..., ит (см. [7]). Сначала, используя определение модулей , находим их образующие последовательно, начиная с Н1 и кончая Н5*. По теореме 2 в качестве образующих модуля = Н ч* можно взять 1-формы <сд1,..., <сдр. Так как На* С Н5*-1, то эти формы лежат в Н5*-1.

Дополним их 1-формами и1,... ,ит1 (т1 < т) до базиса модуля Н5*-1. По построению модуля Н5*-1 1-формы

<сд1, . . . ,<сдр, и1, . . . , ит1, . . . ,

Т (Ы)-линейно независимы и лежат в Н5*-2. Дополним их 1-формами ит1+1,... ,и (т1 < т2 < т) до базиса модуля Н5*-2. Повторяя эту процедуру последовательно для модулей Н5*-3,... , Н1, находим 1-формы {и1,... , ит}.

Следствие 1. Для существования первых интегралов системы с управлением в окрестности Б-регулярной точки необходимо и достаточно, чтобы = {0}. При этом количество функционально независимых первых интегралов равно размерности р модуля

Набор 1-форм {и1,..., ит} будем называть Б-базисом системы, если 1-формы ^ (ик) для к = 1,..., т и ^ > 0 образуют базис модуля СА1(ЫТО), т.е. если

1) любая 1-форма из СА1(ЫТО) представляется в виде конечной линейной комбинации 1-форм ^ (и) с коэффициентами в Т(Ы) и

2) любой конечный набор 1-форм ^ (и) Т(Ы)-линейно независим.

Из теоремы 2 следует, что в окрестности Б-регулярной точки система обладает Б-базисом тогда и только тогда, когда р = 0. Алгоритм, приведенный выше, позволяет находить Б-базис.

Дифференциальный оператор вида

А = до + д1Б + д^Б2 + ... + дк Бк, до,дъ ...,дк е Т (Е),

называется С-дифференциальным оператором порядка к. Каждый С-диффе-ренциальный оператор отображает модуль СЛ1(ЕТО) в себя.

Сумма и композиция С-дифференциальных операторов есть С-дифферен-циальные операторы, а умножение на константу можно понимать как С-дифферен-циальный оператор нулевого порядка. Поэтому множество С-дифференциальных операторов на является некоммутативной К-алгеброй относительно указанных операций. Множество СЛ1(ЕТО) есть левый модуль над этой алгеброй. Из теоремы 2 следует, что формы (ед1,..., (едР, и11.. , ит являются образующими этого модуля, подмодуль — его кручением, а Б-базис — его базисом в случае р = 0.

Матрица, элементы которой являются С-дифференциальными операторами, определяет обычным образом оператор на множестве столбцов функций или дифференциальных форм. Такой оператор будем называть матричным С-дифференциальным оператором. Его порядок определяется как максимальный порядок его компонент.

Результаты данной статьи локальные, справедливые в некоторой окрестности вида точки $ из Поэтому далее будут рассматриваться только свободные конечно порожденные Т(Ы)-модули. Их элементы удобно представлять в виде конечных столбцов функций. Под С-дифференциальным оператором из одного такого модуля в другой мы будем понимать матричный С-диф-ференциальный оператор. Через СDiff(M, N) будем обозначать множество С-дифференциальных операторов из модуля М в модуль N. Формула

(/А)(П) = /А(П), / е Т(Ы), А е СВЩМ, N), П е М,

определяют модульную структуру над Т(Ы) на СБ1££(М, N).

Матричный дифференциальный оператор А называют обратимым, если существует дифференциальный оператор V такой, что А о V = id и V о

А = где id — тождественный оператор, т.е. оператор, заданный единичной матрицей.

Теорема 3. [6] Пусть $ — Б-регулярная точка системы (1). Система (1) плоская в окрестности $ в том и только том случае, когда р = 0 и в окрестности $ существуют такие т функций ,..., и обратимый матричный С-дифференциальный оператор А, что

I ¿с \ / и ^ =А

\ ¿с ^т /

(8)

V йт /

где {и1,..., ит} — Б-базис в окрестности $. При этом функции ..., образуют плоский выход системы (1).

4. Высшие симметрии систем с управлением

Полученное описания модуля С Л1 (8го) дает простой и эффективный метод вычисления высших симметрий систем с управлением.

Высшей (инфинитезималъной) симметрией системы (1) называется вертикальное поле X на 8го, удовлетворяющее условию [X, Д] = 0. Мотивировку этого определения можно найти в [3, 7].

Из теоремы 2 следует, что в случае р = 0 в окрестности Б-регулярной точки существует такой С-дифференциальный оператор Р, что ^Х = Рй, где

¿с х = (¿с Х1,...,^с Хп,^с и1 ,...,^с ит)г, а и = (еь ..., шт)Т

— столбец 1 -форм какого-либо Б-базиса.

Следующая теорема есть частный случай теоремы, доказанной в [7] (там рассмотрен случай произвольного р).

Теорема 4. Пусть $ Е 8го —Б-регулярная точка, р = 0, й = (и1,... ,ет)т — Б-базис в окрестности $, а Р — С-дифференциальный оператор, введенный выше. Тогда в некоторой окрестности вида точки $ любая высшая симметрия системы (1) имеет вид

п Л т го о

эф = Е ф ^ + ЕЕ ^ Ф^+П —¿у, (9)

¿=1 ¿=1 ¿=0

где ф = (ф1,..., фп+т)т = Рф, а ф = (ф^... , фт)т — столбец произвольных функций на При этом Эф]и, = ф,, г = 1,... ,т.

Векторную функцию ф = (ф1,..., фт) будем называть производящей функцией симметрии (9).

В окрестности Б-регулярной точки системы (1) рассмотрим внешнюю алгебру Л* = Л* (Ыто) дифференциальных форм и идеал С Л* = С Л*(ЫТО) картановских форм: С Л* = С Л1(ЫТО) Л Л*(ЫТО). Этот идеал и все его степени (СЛ*)Ла, в > 0, устойчивы относительно действия оператора (, т.е. (( (С Л*)Ла) С (СЛ*)Ла, так что мы получаем фильтрацию

зультате спектральная последовательность (Ер9, (р9) называется С-спектральной последовательностью системы (1) в окрестности (о теории спектральных последовательностей см., например, [8]). Как обычно, число р называется фильтрационной степенью, а р + д полной степенью.

Так как любой С-диффеоморфизм Е : —> сохраняет идеал картановских форм: Е *(С Л*(£то)) = С Л*(ЕТО), он порождает изоморфизм С -спектральных последовательностей на и Аналогично производная Ли вдоль любой высшей симметрии сохраняет идеал СЛ*(ЫТО), поэтому действия симметрий переносится на все члены {Ер9} С-спектральной последовательности.

Из определения спектральной последовательности следует, что

где СаЛк = (СЛ*)Ла П Лк. При этом дифференциал 9: Ео'9 ^ Е^1 индуцирован внешним дифференциалом (. Так как СаЛк = 0 при в > к и при в < 0,

5. Определение и член Ео С—спектральнои последовательности Виноградова

Л* э (СЛ*)Л1 э (СЛ*)Л2 э ... э (СЛ*)Лк э ... комплекса де Рама на его подкомплексами ((СЛ*)Лк,(). Возникающая в ре-

то Ер'9 = 0 и при д < 0, и при р < 0, а Ер'0 отождествляется с СрЛр при р > 0.

Из разложения (7) и одномерности модуля Л0 = Ад (и) следует разложение

Л* = С ¿А* ® (Л 0т(и) С ¿-1Л*-1) ,

из которого получаем Л* = С¿-1Л* и С= С¿-1 Л* при й < г — 1. А значит, Ер'9 = 0 при д > 1 и Ер'1 отождествляется с Л0 0 СрЛр. Таким образом, все ненулевые члены Ер'9 расположены в полосе 0 < д < 1, р > 0, а дифференциал ¿00'0 совпадает с композицией

СрЛр —и Ар+1 = Ср+1Ар+1 © (Л0 0 СрЛр) —и Л1 0 СрЛр, (10)

где I проекция на второе слагаемое.

Данная спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама Нокрестности поскольку исходная фильтрация конечна в каждой размерности:

Л* = С ¿-1Л* э С ¿Л* э С ¿+1А* = 0.

Столбец р = 0:

0 -и Е00'0 = Т(и) —и Е0'1 = Л0 -и 0

называют горизонталъным комплексом де Рама, а когомологии этого комплекса в члене Е°'° — законами сохранения системы (1) (см. [1, 2, 3]). Учитывая представление (10) дифференциала ¿д 0 и равенство = / + для

произвольной функции / Е Т(и), где / Е С1Л1, а Е Л0, получаем

¿0'0(/) = Таким образом, законами сохранения системы с управле-

нием являются константы и первые интегралы системы.

6. Член Е

Первый член Е1 спектральной последовательности это, по определению, когомология ее нулевого члена. Таким образом, нулевой столбец состоит из групп горизонтальных когомологий. В частности, Е00 = К для системы без первых интегралов. Чтобы описать члены Ер'9 прир > 0 мы должны вычислить когомологии комплексов

0 —► СрЛр -и Л0 0 СрЛр —► 0. (11)

Из представления (10) дифференциала (р'0 следует [5] равенство

(¡^(а) = (Ц 0 Д(а) = 0 а), а Е СрЛр.

Из этого равенства и теоремы 2 следует, что дифференциал (р'0 не имеет ядра при р = 0 и р > 0, а его коядро есть фактор

(12)

Ер1 = Л0 0 срлу 1 /£(Л10СрДр).

Обозначим через [а] класс элемента а Е Л1 0 СрЛр в факторе (12).

Теорема 5. [5] Пусть $ Е 8го — Б-регулярная точка, р = 0, а {й1,... ит} — Б-базис в окрестности точки $. Тогда в некоторой окрестности Ы точки $ имеем :

1) е0'0 = К, а Ер'0 = 0 при р > 0;

2) Е11 есть свободный Т(Ы)-модуль с базисом [(£ 0 и*], г = 1,..., т, т.е.

оо

Е1'1 =

0 Е : /* ЕТ(Ы)1;

*=1

3) Е21 есть свободный Т(Ы)-модуль с базисом

0 ( Д?и Л и* + (-1)*Вки* Л и

где к > 0, г,^ = 1,. т.е.

., т, г < ^, если к — четное, и г < ], если к — нечетное,

Е21 =

т *о

^ 0 Е Е и* Л и

/ \ НУ^

: а?,- Е Т(Ы), а?* = (-1)*+1а£

¿¿=1 ?=0

4) Ер'1, р > 2, есть свободный Т(Ы)-модуль, базис которого может быть выбран из элементов вида

а 0^2

Л и*

*=1

-1 Лр-1

где — некоторые формы из Ср 1 Лр

7. Операторное представление члена Е1

Член Е1 С-спектральной последовательности для системы с управлением без первых интегралов имеет такое же операторное представление, как для пространства джетов (см. [2, 3]). Отличие состоит только в том, что вместо модуля эволюционных дифференцирований к(п) следует рассматривать модуль производящих функций высших симметрий системы.

А именно, пусть § — Б-регулярная точка системы (1), а р = 0. По теореме 2 в некоторой окрестности точки § существует Б-базис и = (и1,... , ит)т системы (1). По теореме 4 выбор Б-базиса определяет следующую Т(Ы)-модульную структуру на множестве высших симметрий. Умножение на скалярную функцию / Е Т(Ы) симметрии Эр^ с производящей векторной функцией ф дает симметрию Эр/^ с производящей векторной функцией fф. Обозначим Т(Ы)-модуль высших симметрий системы (1) (точнее их производящих векторных функций) через 5 (Ы).

Выбор Б-базиса определяет также изоморфизм Т(Ы)-модулей СЛ1(ЫТО) и СБ1££(Б(Ы), Т(Ы)), отображающий 1-форму а Е СЛ1(ЫТО) в С-дифференци-альный оператор

V« Е СБ££(5(Ы),Т(Ы)), У«(ф) = Эр^]а, ф Е 5(Ы).

В координатах этот изоморфизм ставит в соответствие форме и^к) оператор (0,..., 0, Бк, 0,..., 0), где Бк стоит на ]-ом месте.

Пусть М — Т(Ы)-модуль. Элемент V модуля

С Б££ (р) (5 (Ы); М) = С (Ы), С Б££ (Б (Ы),..., С Б££(5 (Ы), М)... ^,

где "СБ££(5(Ы)," повторяетсяр раз, называют кососимметрическим оператором, если для любых элементов Х1,... ,Хр Е 5(Ы) и г = 1,... ,р — 1 имеем

... (Х,)(Х,+1)... (Хр) = —V(X1)... (Х,+1)(Х,)... (Хр).

Обозначим через СБ1££5 (Ы); М) подмодуль кососимметрических операторов из модуля СБ1££(Р)(5 (Ы); М). Сопоставим каждой форме а Е СРЛР оператор V« Е СБ^(Ы); Т(Ы)), полагая

V« (х1)... (Хр) = Эрх1 ] (... (Эрхр ]а)...), Х1,...,Хр Е 5 (Ы). (13)

Так как ЭРх — вертикальное поле, то ЭРх] (£ = 0 и формула (13) сопоставляет также форме а Е Л1 0 СрЛр оператор V« Е С Вт$ (5 (Ы), Л1(Ы)).

Лемма 1. [5] В окрестности Ыго Б-регулярной точки формула (13) задает изоморфизм Т(Ы)-модулей СрЛр и СБ1££ар) (5(Ы); Т(Ы)), а также изоморфизм Т(Ы)-модулей Л 0 СрЛр и СВ1££^р) (5(Ы); Л0(Ы)).

Используя определение высшей симметрии и известную формулу дифференциальной геометрии, получаем

Ух Е 5(Ы) Уа Е СрЛр ЭРх] 0 а) =

= £((£ 0 Эрх]а) - [ЭРх, £]]((£ 0 а) = £((£ 0 ЭРх]а).

Следовательно, подстановка ЭРх] отображает Д (Л00СрЛр) в Д (Л10Ср-1Лр-1). Учитывая представление (12), получаем отображения

ЭРх]: Ер'1 и Ер-1'1, р> 1.

Кроме того, любой элемент 0 ^ /*и* Е Е11 (см. теорему 5) отождествляется с Т(Ы)-гомоморфизмов из 5(Ы) в Лд. Обозначим модуль Т(Ы)-гомоморфизмов из некоторого Т(Ы)-модуля М в Л0(Ы) через М. Таким образом, для р > 0 мы имеем отображение

Мр: Ер'1 и С Вт ар-1)(5 (Ы); 5^)).

Для оператора А Е СБ1££(М, N) через А* обозначим сопряженный к нему оператор (см. [2, 3]). Оператор А* действует из N в М и определяется условиями:

1) если А = Л^ — скалярный оператор, то А* = ^?=1(- 1У^ ◦ д;

2) если А = || А*/У — матричный оператор, то А* = ||А**||.

Теорема 6. [5] Пусть $ Е 8го — Б-регулярная точка, р = 0. Тогда в некоторой окрестности вида Ыго точки $ имеем :

1. Е0'9 = 0 для всех д > 0;

2. Ер'9 = 0 для р > 0, д = 1;

3. При р > 0 отображение рР изоморфно отображает группу Ер '1 в группу КР, где К1 = 5(Ы), а при й > 1

К = { V Е Сб£— 1)(5(Ы), 5(Ы)) | (V(pl)... (р—2))* =

= —V(pl) ... (ря—2)} .

Вычислим оператор для системы (1) в случае р = 0. Для этого будем использовать матричную форму записи элементов из Е1 1 и Е2 ' 1. Так, например, элемент & 0 ^ fiUi из Е1 1 будем записывать как [<И 0 f • и], имея в виду

умножение строки f = ... , fm) на столбец и = (и1,..., ит)т. Элемент

_^ 2 1

(И dfi Л ^ Е Е{ будем записывать как [<И 0 df Л и].

Используем также следующее свойство сопряженного оператора. Если О Е

С1Л1 , а А — С-дифференциальный оператор, то разность форм Д(О) — А* (1)О

лежит в Е(С 1Л1). Поэтому для элементов Е]1 ' 1 справедливо равенство [(г 0 f •

А(и)] = [(г 0 Д*(f) • и].

Введем оператор линеаризации следующии образом. Пусть д Е Т(Е). Тогда формула £д (ф) = Эр^ (д) определяет С-дифференциальный оператор £д из 5(Ы) в Т(Ы), который называют оператором универсальной линеаризации функции д. Данное определение обобщается на случай векторной функции д, тогда £д отображает элемент ф Е 5 (Ы) в векторную функцию Эр^ (д). В частности, если f Е К1 = 5(Ы), то £/ есть С-дифференциальный оператор из 5(Ы) в 5(Ы). Заметим, что Т(Ы)-гомоморфизму f = ..., fm) Е 5(Ы) соответствует элемент [(Ь 0 f • и] Е Е11.

Отметим, что оператор 1 индуцирован дифференциалом де Рама (. Определим оператор (с: Лi ^ Лi+1 формулой (сО = (О — (Ь Л ЕО. Тогда на Л0 0 Сi—1Лi—1 С Лi операторы ( и (е совпадают. Поэтому

(1 1 [(г 0 f • и] = [(г 0 ((сf л и + f • (си)].

Изоморфизм р2 отображает этот элемент в такой оператор V, что при х Е 5 (Ы)

V(х) = [эрх] ((г 0 ((еf л и + f • (еи)) =

(г 0 (Эрх](е• и — (е• Эрх]и + f • Эрх](еи)

Из последнего утверждения теоремы 4 следует, что ЭРх]и = х. Покажем, что Эрх_|(сд = ^(х) и (сд = ^(и). Действительно, ЭРх — вертикальное поле, поэтому

ЭРх |(с д = ЭРх|(д = ЭРх(д) = ^ (х)

по определению ^.

Кроме того, по теореме 2 существует такой С-дифференциальный оператор □, что (сд = Пи. А так как Эрх коммутирует с Д, то

Ух Е 5(Ы) Эрх1 □и = □(Эрх]и) = П(х). Поэтому □ = ^.

Наконец, отметим, что Эрх|(си есть вектор элементов из С1Л1. А значит, по теореме 2 существует такой С-дифференциальный оператор Ах, что Эрх|(с и = Ах (и).

Используя выведенные формулы, получаем

V(х) = к 0 (/(х) • и - хТ • /(и) + / • Ах(и))

а 0 (/(х) - /(х) + АХ(/)) • и)

Учитывая отождествление Е1 1 с 5(Ы), получаем V(х) = /(х) -/(х)+А£(/)

или

V = / - / + Т/, где Т/(х) = АХ(/).

Отметим, что из определения Т/ и Ах следует, что Т/ — С-дифференциальный ератор. Таким образом, опе

/С5

оператор. Таким образом, оператор (11 отображает / из К1 в / - / + Т/ из

8. Преобразования С-спектральных последовательностей

Конструкции пунктов 6 и 7 зависят от выбора Б-базиса и. Покажем как меняется полученное представление (11 при переходе к другому Б-базису и'. При этом в обозначениях объектов, которые соответствуют Б-базису и (или и'), будем добавлять верхний индекс и (и'). Для р > 0 изоморфизм из Ер '1 в

Кр (см. теорему 6) будем обозначать через м^ (м^ ), а полученное в пункте 7 представление — через ((Т'). Имеем коммутативную диаграмму

К Е\,1(Ы) -и К

1

и поэтому

К2 Е2'1(и) --и К2

^ (14)

= м/ ◦ (д/)-1 о о д/ о (м/)-1. (15)

Из теоремы 2 следует, что существует такой С-дифференциальный оператор А, что С' = Ас. А так как С' тоже является Б-базисом, то А — обратимый оператор. Для произвольной т-векторной функции / навыразим оператор Т/ через операторы Т/, А и /.

Элемент ( 0 / • С'] = ( 0 / • Лее] = ( 0 А*(/) • с] отображение М/ отображает в А*(/) Е К1, а отображение м/' — в / Е К1. Поэтому

(м/ ◦ (м/)-1)(/) = А*(/).

С другой стороны, симметрия ЭРх в Б-базисе С имеет производящую функцию Эрх\й = X, а в Б-базисе СС' — производящую функцию

Эрх\СС' = Эрх]Ас = А(Эрх\СС) = Ах.

Поэтому отображение м/' ◦ (м/ )-1 оператор V Е К2 отображает в оператор (А*)-1 oVo А-1 еК2.

Собирая вместе доказанные в п.7 и здесь формулы переписываем равенство (15) в виде

Г/ - )* + Т/ = (А*)-1 о - (^)* + ТА/) о А-1. (16)

Из соотношений (с) = (с(/) = (С') = ¿/(Ас) следует формула £/ = ^ о А-1 и поэтому равенство (16) переписывается в виде

А* о ^ - (^)* о А + А* о Т/ о А = ГА// - (^)* + Т/*/. (17)

Наконец, обозначая ^А*/ - А* о ^ через А* равенство (17) преобразуем в форму

А* о т/ о а = /,А* - (/,А*)* + та*/. (18)

Отметим, что если С-дифференциальный оператор А* имеет вид ^ А* Д*, то

/а*(х) = Эрх(А*/) - А*(Эрх(/)) = [Эрх, А*](/) =

= Е Эрх(Л)^(/) = е ^ (х)Д* (/),

так как Эрх коммутирует с Д. Таким образом, оператор / а* можно понимать как линеаризацию оператора А* на векторной функции /.

В заключении отметим, что равенство (18) (основной результат статьи) может использоваться при решении задачи плоскостности два способами. Первый заключается в поиске Б-базиса и', состоящего из точных 1-форм (см. теорему 3). Тогда Т/' = 0 и из (18) получаем уравнение на обратимый С -дифференциальный оператор А*, причем / — произвольная векторная функция. Второе применение состоит в последовательном поиске обратимых С-дифференциальных операторов А* (например, треугольного вида), которые понижают порядок Т/ ив конце концов приводят к случаю Т^' = 0.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 10-07-00617) и программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-4144.2010.1).

Список литературы

1. Виноградов А. М. Одна спектральная последовательность, связанная с нелинейным дифференциальным уравнением, и алгебро-геометрические основания лагранжевой теории поля со связями // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, №5. С. 1028-1031.

2. Vinogradov A. M. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws. I. The linear theory. II. The nonlinear theory // J. Math. Anal. Appl. 1984. V. 100. P. 1-129.

3. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. В. Бочаров, А. М. Вербовецкий, А. М. Виноградов и др. М.: Факториал, 1997. 464 с.

4. Fliess, M., Levine, J., Martin, Ph., Rouchon, P. A Lie-Backlund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. V. 44, №5. P. 922-937.

5. Четвериков В. Н. Структура С-спектральных последовательностей систем с управлением // Научный вестник МГТУ ГА. Математика. 2011. № 165. С. 70-79.

6. Aranda-Bricaire E., Moog C. H., Pomet J.-B. An infinitesimal Brunovsky form for nonlinear systems with applications to dynamic linearization // Geometry in Nonlinear Control and Differential Inclusions / B. Jakubczyk, W. Respondek, and T. Rzezuchowski, Eds. Warsaw: Banach Center Publications, 1995. P. 19-33.

7. Четвериков В. Н. Высшие симметрии и инфинитезимальная форма Брунов-ского систем с управлением // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 11. С. 1525-1532.

8. Маклейн С. Гомология: Пер. с англ. М.: Мир, 1966. 544 c.

electronic scientific and t echnical periodical

SCIENCE and EDUCATION

El № FS77 - 30569. №0421100025. ISSN 1994-0408

Flat control systems and transformations of C-spectral Vinogradov sequences

77-30569/236916

# 10, October 2011 V. N. Chetverikov

Bauman Moscow State Technical University

mathmod@bmstu.ru

Control systems that have a linearizing output are called flat. Solutions of such system are expressed through functions of this output and a finite set of their derivatives according to the system. Such output allows to synthesize control algorithm in the form of a dynamic feedback. In the article the problem of flatness checking is investigated by methods of infinite-dimensional differential geometry. Earlier this problem has been reformulated as the problem of search of an invertible differential operator which transforms a column of given 1-forms to a column of exact 1-forms. In the article an equation for such operator is deduced. The resolvability of this equation means flatness of system.

References

1. Vinogradov A.M. A spectral sequence associated with a nonlinear differential equation, and algebro-geometric foundation of Lagrangian field theory with constraints // Soviet Math.Dokl. 1978. V.19, N 1. P.144-148.

2. Vinogradov A. M. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws. I. The linear theory. II. The nonlinear theory // J. Math. Anal. Appl. 1984. V. 100. P. 1-129.

3. Symmetries and Conservation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics / Krasil'shchik I.S., Vinogradov A.M., Eds. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999. 335 pp.

4. Fliess M., Levine, J., Martin Ph., Rouchon, P. A Lie-Backlund approach to equivalence and flatness of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. V. 44, №5. P. 922-937.

5. Chetverikov V.N. Structure of C-spectral sequences of control systems // Nauchnyj vestnik MGTU GA. Matematika. 2011. N 165. P.70-79 (in Russian)

6. Aranda-Bricaire E., Moog C. H., Pomet J.-B. An infinitesimal Brunovsky form for nonlinear systems with applications to dynamic linearization // Geometry in Nonlinear Control and Differential Inclusions / B. Jakubczyk, W. Respondek, and T. Rzezuchowski, Eds. Warsaw: Banach Center Publications, 1995. P. 19-33.

7. Chetverikov V.N. Higher symmetries and infinitesimal Brunovsky form of control systems // Differential Equations. V. 38, N 11, p. 1619-1627

8. MacLane S. Homology. Berlin. FRG: Springer-Verlag. 1963