Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

УДК 517.977

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №4. С. 13-40.

Б01: 10.7463/шаШш.0415.0812952

Представлена в редакцию: 29.08.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной

Л ^

Четвериков В. Н.1'

* [email protected] 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Обратимые дифференциальные операторы возникают при решении многих математических задач. Среди них задачи преобразования и классификации систем дифференциальных уравнений с использованием С-преобразований, т.е. обратимых преобразований, при которых переменные одной системы выражаются через переменные и производные зависимых переменных по независимым второй системы. Данная статья продолжает предыдущую работу, посвященную описанию обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной и их обобщений. В первой работе каждому обратимому оператору была поставлена в соответствие элементарно-геометрическая модель, названная ^-схемой квадратов. Эта модель определяет оператор неоднозначно, формируя классы операторов, имеющих одинаковую ^-схему. В данной статье получено полное описание всех обратимых линейных дифференциальных операторов с данной ^-схемой. Кроме того, этот результат и результаты первой статьи обобщены на обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием. К таким отображениям относятся, в частности, линеаризации С-преобразований систем с управлением и отображения, определенные унимодулярными матрицами.

Ключевые слова: обратимые линейные дифференциальные операторы; преобразования систем управления; спектральные последовательности цепных комплексов

Введение

Обратимые дифференциальные операторы возникают при решении многих математических задач [1, § 2.3], [2,3]. Среди них задачи преобразования и классификации систем дифференциальных уравнений (или, более общо, дифференциальных объектов) с использованием С-преобразований. А именно, С-преобразованиями называются обратимые преобразования, при которых переменные одной системы зависят от переменных и от производных зависимых переменных по независимым второй системы [4, гл. 6]. Отсутствие удобного описания С-преобразований сдерживает развитие теории их применения к классификации дифференциальных объектов. С-преобразования линейных систем представляют собой обратимые

линейные дифференциальные операторы. В случае нелинейных систем линеаризация С-преобразования интерпретируется как обратимый линейный дифференциальный оператор [5]. Поэтому исследования обратимых линейных дифференциальных операторов следует рассматривать как первый шаг к описанию С-преобразований как линейных, так и нелинейных систем.

Классификация обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной получена в [6]. Применяемый там подход аналогичен подходу, используемому ранее в [7], и основан на сопоставлении каждому обратимому линейному дифференциальному оператору таблицы чисел и описании этих таблиц на наглядном элементарно-геометрическом языке. Таким образом, обратимому оператору ставится в соответствие элементарно-геометрическая модель, которая называется ^-схемой квадратов. При этом одному классу принадлежат те, и только те обратимые операторы, которые имеют одинаковые таблицы.

Обратимый оператор определяется своей таблицей неоднозначно. В [6] приведены математические структуры, которые в совокупности с ^-схемой квадратов определяют некоторые обратимые операторы из соответствующего класса. Однако описания всех обратимых операторов с данной ^-схемой там не было получено.

В данной работе получено полное описание всех обратимых линейных дифференциальных операторов с данной ^-схемой. Кроме того, описаны обратимые операторы, на которые обобщаются результаты работы [6]. Из доказательства основного результата [6] следует, что к таким операторам относятся обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием (точное определение см. в п. 2 далее). Такие отображения называются обратимыми Д-операторами, и указанные выше результаты обобщаются на них.

Статья организована следующим образом. В разделе 1 определяются обратимые линейные дифференциальные операторы с одной независимой переменной. Во втором разделе формулируется обобщение таких операторов, а в третьем — их элементарно-геометрические модели. Основные результаты работы приводятся в разделе 4, а их доказательство — в разделе 5. Завершают статью заключительные замечания, где формулируются пути возможных обобщений достигнутых результатов на обратимые дифференциальные операторы в частных производных, на обратимые дифференциальные операторы с запаздыванием и на обратимые разностные операторы.

1. Линейные дифференциальные операторы

Пусть М — одномерное многообразие, А = С^(М) — алгебра гладких функций на М, а Р, <2 — модули гладких (бесконечно дифференцируемых) сечений двух векторных расслоений ( над М размерности т и т0 соответственно (о теории расслоений см. [8, гл. 2, 3]). Напомним, что если фиксировать координату Ь на М и координаты рь . .., рт в слоях расслоения £, то любое сечение этого расслоения удобно представлять себе как векторную

функцию р(Ь) = (р!(¿), ..., рт(Ь))Т. Аналогичное представление существует для сечений расслоения (, координаты в слоях которого будем обозначать через д!, .. ., дто.

Пусть к — некоторое неотрицательное целое число. Отображение А из Р в <2, заданное в координатах соотношениями вида

т к -Iр (*)

А(р(*)) = Ы*), ..., Ято(Ь))Т е 2, ®(Ь) = ЕЕ**(*), ** е А, (1)

.?=!1=0

называют линейным дифференциальным оператором из Р в 2 порядка < к.

Через огё А будем обозначать порядок дифференциального оператора А, т.е. к = огё А, если А — оператор порядка < к, но не < к — 1.

Линейный дифференциальный оператор из Р = А в <2 = А (т.е. в случае т = т0 = 1) называют скалярным.

Формулой (а+А)(р) = А(ар), р е Р, определим операцию умножения линейного дифференциального оператора А из Р в <2 на функцию а е А. Множество всех линейных дифференциальных операторов порядка < к, действующих из Р в <2, представляет собой А-модуль относительно этого умножения. Обозначим его через +(Р, <2). Из определений следует, что +(Р, <2) С ++!(Р, <2) при к > 0. Объединение +(Р, <2) для всех к > 0 представляет собой А-модуль бесконечной размерности. Обозначим его через

М +(Р, 2).

Так как линейные дифференциальные операторы представляют собой отображения, то определена операция композиции соответствующих операторов. Дифференциальный оператор А: Р ^ 2 называют (двусторонне) обратимым, если существует такой дифференциальный оператор А-!: <2 ^ Р, что композиция А-! о А есть тождественное отображение модуля Р, а композиция А о А-1 — тождественное отображение модуля <2. В этом случае оператор А-! называют обратным к А.

Элементы Р, <2 удобно представлять в виде столбцов функций, а линейный оператор А: Р ^ 2 — в виде матрицы скалярных операторов. Нетрудно доказать, что обратимый линейный дифференциальный оператор задается квадратной матрицей.

2. Обобщения линейных дифференциальных операторов

Любой линейный дифференциальный оператор А: Р ^ 2 определяет гомоморфизм из модуля +(А, Р) в модуль +(А, <2). А именно, оператор в е +(А, Р) отображается в оператор а = А о в из А в <2. Так как порядок композиции А о в не может быть больше суммы порядков А и в, то а е ~++ь(А, <2), где Ь = огё А. Модульная структура в +(А, Р) и +(А, <2) выбрана так, что данное отображение есть гомоморфизм модулей. Используемый в [6] подход к классификации обратимых операторов основан на исследовании размерностей пересечений модулей А о +(А, Р) и +(А, <2). А именно, одному классу принадлежат те и только те обратимые операторы, которые имеют одинаковые наборы -к1, к,1 > 0.

Приведенные соображения и доказательство основного результата работы [6] мотивируют следующее обобщение понятия линейного дифференциального оператора с одной независимой переменной. Пусть M — гладкое (бесконечно дифференцируемое) многообразие, A = Cте(М), £0 С С ... С £p С £p+1 С ... — система вложенных конечномерных векторных расслоений над многообразием M, Gi — A-модуль гладких сечений векторного расслоения £ для l > 0. Тогда имеем систему вложенных подмодулей

те

G0 С G1 С ... С Gi С Gi+1 С ... Обозначим G = U Gi. Кроме того, пусть суще-

p=о

ствует такое отображение D: G — G, что D(Gl) С Gl+1 при l > 0, а соответствующие факторотображения

D: GGL - GG1 ' l > 0, (2)

Gi-i Gi

где G-1 = 0, есть изоморфизмы A-модулей. Таким образом, для любого l фактормодуль Gi+1/Gi изоморфен G0/G-1 ~ G0. При выполнении всех этих условий отображение D будем называть порождающим оператором, а модуль G — фильтрованным модулем, порожденным оператором D (или, более кратко, D-порожденным модулем). При этом, если элемент g G G лежит в Gi \ Gi-1, то число l называют фильтрацией этого элемента.

Модуль Diff +(A,P) является D-порожденным модулем с порождающим оператором

D, который элемент в G Diff +(A, P) отображает в его композицию с производной по t:

d

De = в ° ^ (доказательство см. в [6]).

Гомоморфизм А одного D-порожденного модуля F в другой D-порожденный модуль G назовем D-оператором порядка < l, если он коммутирует с порождающими операторами, т.е. А ° DF = DG ° А, и увеличивает фильтрацию элементов не более, чем на l, т.е. A(Fk) С Gk+i для любого k > 0, где DF,DG — порождающие операторы, а {Fk}, {Gi} — системы вложенных подмодулей модулей F и G соответственно.

D-оператор A: F — G назовем обратимым, если существует D-оператор A-1: G — F, для которого композиция А-1 ° А есть тождественное отображение D-порожденного модуля F, а композиция А ° А-1 — тождественное отображение D-порожденного модуля G. В этом случае D-оператор А-1 назовем обратным к А.

Любой линейный дифференциальный оператор из P в Q порядка < l определяет D-оператор порядка < l из D-порожденного модуля Diff+(A, P) в D-порожденный модуль Diff +(A, Q). Линейный дифференциальный оператор обратим тогда и только тогда, когда обратим соответствующий ему D-оператор.

Следующие два типа объектов также интерпретируются как обратимые D-операторы. Рассмотрим полиномы от одной переменной. Квадратная полиномиальная матрица, определитель которой есть ненулевая постоянная, называется унимодулярной [9, § 60]. Модуль столбцов одного размера, состоящих из полиномов, образует D-порожденный модуль, если в качестве порождающего оператора взять умножение столбцов на полиномиальную переменную. Умножение унимодулярной матрицы на столбец есть обратимый D-оператор.

Обратимые С-дифференциальные операторы на бесконечном продолжении системы с управлением (подробности см. в [5]) также определяют обратимые Д-операторы. Соответствующий ^-порожденный модуль есть модуль С-дифференциальных операторов-столбцов, а порождающий оператор представляет собой композицию оператора-столбца с полной производной по В этом случае М есть бесконечное продолжение системы с управлением, а значит, является бесконечномерным многообразием [4, гл. 6], [5]. Отметим, что результаты данной статьи применимы и к этому бесконечномерному случаю.

оо

Из определения Д-порожденного модуля ^ = и ^ следует, что если /1,.. ., /т — базис

й=0

модуля , то Д-7/г, г = 1, т, ] = 0, к, — базис модуля ^. Из определения же Д-оператора А: ^ ^ С следует, что

/ т й \ т й

А ЕЕ ^ /Л = ЕЕ ^ А(/г), е А.

г=1,=0 ' г=1,=0

Поэтому любой Д-оператор А определяется набором элементов А(/г), г = 1, т. Если Ь = огё А, то указанные элементы лежат в СЬ. А если е1, . .., ето — базис модуля С0, то

то Ь

А(/г) = Е Е а, е,, г = 1, т, а, е А. ,=1*=0

ь *

Выражение вида I] а*, а* е А,аЬ = 0, определяет Д-оператор из С в С, который

*=0

увеливает фильтрацию элементов С ровно на Ь. Такой оператор будем называть скалярным Д-оператором порядка Ь. Так как любой Д-оператор является гомоморфизмом модулей и коммутирует с порождающими операторами, то он коммутирует и с любым скалярным Д-оператором.

Таким образом, любой Д-оператор А определяется матрицей скалярных Д-операторов

Ь

А, = Е а,*;, г = 1, т, = 1, т0. *=0

3. Схемы квадратов

Пусть А — обратимый Д-оператор из Д-порожденного модуля ^ = в Д-поро-

жденный модуль С = иг°=0Сг. Для различных к, I > 0 рассмотрим пересечения А(^) П Сг. Модули Сг, ) являются модулями гладких сечений векторных расслоений над М. Обозначим соответствующие расслоения через и . По определению слои этих расслоений над точкой £ е М имеют постоянную размерность, не зависящую от Пересечение модулей А(^) П Сг является модулем гладких сечений пересечения векторных расслоений и . Слои пересечения векторных расслоений могут иметь разную размерность, зависящую от точки £ е М. Такой объект называют векторным расслоением с особенностями. Под размерностью модуля К гладких сечений векторного расслоения с особенностями над

многообразием M мы понимаем целочисленную функцию, которая точке t G M ставит в соответствие размерность слоя этого расслоения над t. Обозначим ее через dim R.

Пусть L = ord А, а K = ord А-1. Точку t G M будем называть d-регулярной точкой обратимого D-оператора А, если в некоторой окрестности этой точки пересечение слоев £i и имеет постоянную размерность для любых l = 0, L и k = 0, K. Таким образом, в окрестности d-регулярной точки функция dim(A(Fk) П Gi) постоянна для указанных k и l. Далее будем рассматривать обратимые D-операторы только в окрестности d-регулярных точек.

Каждый D-оператор А порождает последовательность целых неотрицательных чисел dk,i = dim(A(Fk) П Gi) для l, k > 0. Эта последовательность однозначно определяет последовательность чисел

Pk,i = Kfc,i - xfc-i,i-i, k, l > 0, (3)

где Kk,i = dk,i - dk-i,i - dk,i-i + dk-i,i-i (полагаем, что dk,i = = 0, если k < 0 или l < 0).

Нетрудно доказать, что последовательность {dk,i} восстанавливается однозначно по последовательности {pk,i}. При этом последовательность {dk,i} — возрастающая, а последовательность {pk,i} имеет только конечное число ненулевых значений (см. ниже).

Для описания последовательностей {pk,i}, соответствующих обратимым D-операторам, введем следующие понятия [6]. Рассмотрим конечный набор квадратов, расположенных в первой четверти координатной плоскости, у которых вершины имеют целочисленные координаты, а стороны параллельны осям координат. Верхнему правому (т.е. дальнему от начала координат) углу каждого квадрата припишем значение -1, а нижнему левому (т.е. ближнему от начала координат) углу — значение 1. Отметим, что квадраты могут пересекаться и даже совпадать. Если есть точки, являющиеся вершинами нескольких квадратов, значения, назначенные по каждому квадрату, в этих точках суммируем. Остальным точкам первой четверти с целочисленными координатами припишем нулевые значения. Получим последовательность чисел p5k,i, k > 0, l > 0. Предположим, что существует такая последовательность целых неотрицательных чисел ak,i, что последовательность чисел pk,i = p5k,i + ak,i удовлетворяет следующим условиям:

<х <х

Е Pk,i = 0, l> 0; Е Pk,i = 0, k > 0; (4)

k=0 i=0

<x <x

E Pk,0 = E Po,i = m, m G N; (5)

k=0 i=0

k-i i-i

E Pj,i > Zk,i^Pk,j > Zk,i, k > 0, l> 0. (6)

j=o j=o

Здесь zk,i — количество квадратов с верхним правым углом в точке (k, l).

Указанный набор квадратов будем называть d-схемой квадратов, а соответствующую этому набору последовательность {Pk i} — m-таблицей d-схемы квадратов.

Отметим, что ^-схема квадратов определяет последовательность {р*.,г} неоднозначно. Во-первых, можно добавить произвольное неотрицательное число а к значению в начале координат, что не нарушит условий (4) и (6). Но при этом сумма значений по осям координат увеличится на а (см. (5)). В результате из т-таблицы получаем (т+а)-таблицу. Во-вторых, существуют примеры ^-схем квадратов, которым соответствует несколько т-та-блиц. Это возможно, когда имеется несколько вариантов выбора последовательности {а*,г}, используемой для получения последовательности {р*,г}.

Пример 1. На рис. 1 представлены две 4-таблицы одной и той же ^-схемы квадратов. При этом последовательности р*,р изображены графически. А именно, каждой точке с координатами (к,р) приписано число р*,р, черные целочисленные точки отвечают ненулевым значениям последовательности, белые — нулевым. Квадраты ^-схемы выделены пунктирными линиями. Возможные значения ненулевых членов последовательности, как показано на рисунке, в данном случае равны 1 и — 1.

Рис. 1

б

а

4. Основные результаты

Теорема 1. Пусть ^ и С — Д-порожденые модули, причем ~ Ат ~ С0. Тогда:

а) для всякого обратимого Д-оператора из ^ в С последовательность {р*,г}, построенная согласно формулам (3), в окрестности ^-регулярной точки совпадает с т-таблицей некоторой ^-схемы квадратов;

б) если ^-схема квадратов имеет т-таблицу, то существует обратимый Д-оператор из ^ в С, последовательность {р*,г} которого совпадает с данной т-таблицей.

Отметим, что обратимый Д-оператор определяется ^-схемой квадратов неоднозначно. Покажем, как построить обратимый Д-оператор по заданной ^-схеме и какие структуры

для этого еще нужно задать. Пусть задана ^-схема квадратов, для нее построена последовательность чисел рк1, найдены такие целые неотрицательные числа ак1, что набор = рк,г + ак1} удовлетворяет условиям (4)-(6). Обозначим через Z множество верхних правых углов квадратов ^-схемы, а через В — множество элементов двух следующих типов. Элементы первого типа — это нижние левые углы квадратов. Для каждой пары (к, /) существует элементов второго типа с координатами (к, /). В В нет других элементов. Из равенств (4)-(5) следует, что сумма чисел равна т. Поэтому множество В имеет на т элементов больше, чем множество Z.

Обозначим через Zfc,1 подмножество элементов Z с координатами (к,/), а через Вк1 — аналогичное подмножество в В. Для элемента в множества В или Z обозначим через ^(в) его первую координату, а через с2(в) — его вторую координату. Обозначим через ф отображение из множества Z в множество В, которое ставит в соответствие верхнему правому углу квадрата его нижний левый угол. Поставим в соответствие каждой паре элементов £ € Z, в € В скалярный Д-оператор П^,в, удовлетворяющий следующим условиям.

A. Если

С1(в) < С1(£), С2(в) < с*(£), С1(в) + С2(в) < С1(£) + с*(£), (7)

то есть скалярный Д-оператор порядка не больше, чем и с1(£) — с1(в), и с2(£) — с2(в). В остальных случаях, т.е. когда не выполняется одно из условий (7), полагаем П^в = 0.

Б. Порядок оператора П^в,в = Ф(£) (т.е. когда £ и в соответствуют углам одного квадрата) равен с1(£) — с1(в). Для остальных элементов в расположенных на одной диагонали с £ (т.е. с1(£) — с1 (в) = с2(£) — с2(в)) порядок оператора П?,в строго меньше с1(£) — с1 (в).

B. Для любого к > 0 в каждой точке рассматриваемой окрестности многообразия М невырождена квадратная матрица функций

(П?,в), £ € ZfcJ, ¿-> 0, в € Вм, г > 0.

То, что эта матрица квадратная, следует из определения Zfc J, В^ и из второго равенства в (4). То, что она состоит из функций, т.е. скалярных Д-операторов нулевого порядка, следует из условия А.

Г. Аналогично, для любого I > 0 невырождена матрица

(П?,в), £ € Zj■г, ,?> 0, в € Вг,г, г > 0. (8)

Заметим, что обе координаты любого элемента из Z положительны. Поэтому число рк,0 совпадает с количеством элементов в подмножестве Вк 0. Из первого равенства (5) следует, что множество В имеет т элементов с нулевой второй координатой. Обозначим их через в1, ..., вт. Аналогично доказывается, что множество В имеет т элементов с нулевой первой координатой. Обозначим эти элементы через вЬ .. ., в^. Каждому элементу в € В поставим в соответствие элемент У в € С, определенный условиями:

1) элементы Уд, ..., Увт образуют базис модуля С0;

2) для любого £ е выполняется условие

к г

ЕЕ Е |=Ь(Ув) = о. (9)

г=0 ,=0 вев^

Используя (9) и невырожденность матриц (8) при I > 0, любой элемент У в можно выразить через элементы Увх,с2(в1) < с2(в). Таким образом, элементы Ув е С, в е В, однозначно определяются базисом модуля С0 и набором скалярных Д-операторов П^в. В частности, имеем

т

Ув1 = Е Аг, (У в,), г = 1~т, (10)

г ,=1

где А, — некоторые скалярные Д-операторы.

Выберем какой-либо базис /1,.. . ,/т модуля и определим искомый обратимый Д-опе-ратор А условием

А(/г) = Ув1, г = ТТ^. (11)

Из (10) следует, что (Аг,) есть матрица скалярных Д-операторов, определяющая Д-опера-тор А. Аналогично

т

Ув, = ЕА-г1(Ув1), з = 1;т. (12)

г=1

1

Д-Оператор с матрицей (А-1) есть обратный к А.

Таким образом, обратимый Д-оператор А из Д-порожденного модуля ^ в Д-порожден-ный модуль С однозначно определяется своей ^-схемой квадратов, выбором скалярных Д-операторов П?,в, £ е Z, в е В, и выбором базисов модулей С0 и При этом Д-опе-раторы П^в определяются обратимым Д-оператором А неоднозначно. Действительно, умножим слева каждый скалярный Д-оператор П^в с фиксированным £ е Z и всевозможными в е В на одну и ту же ненулевую функцию. Получим другой набор Д-операторов ,£ е ^в е В. Однако решения Ув,в е В, новой и старой систем уравнений (9) будут совпадать. А значит, взаимно обратные Д-операторы А и А-1 не меняются. Аналогично, изменив нумерацию элементов базисов модулей С0 и /о, получим другие базисы, соответствующие той же паре обратимых Д-операторов А и А-1.

Пример 2. Используя изложенный алгоритм построим обратимые операторы, соответствующие первой 4-таблице, изображенной на рис. 1. В данном случае каждой точке со значением — 1 соответствует элемент множества Z, а каждой точке со значением 1 — элемент множества В. Пронумеруем элементы Z и В, как показано на рис. 2.

Упростим введенные ранее обозначения следующим образом:

□г, = ПЬ,, У, = Ув,, г = 1, 4, з = 0, 7.

Из условий А-Г и рис. 2 следует, что □11, П14, П22, П25, Пз5, Пзб, П43, П47 — ненулевые скалярные Д-операторы нулевого порядка (ненулевые функции); П10, П13, П24, П33, П40,

Рис.2

П44 — Д-операторы порядка < 1; П20, П30 — Д-операторы порядка < 2; П12, П46 — Д-операторы строго первого порядка; П23, П34 — Д-операторы строго второго порядка. Остальные Д-операторы П^ нулевые.

Полное описание всех обратимых Д-операторов, соответствующих данной 4-таблице, громоздко. Ограничимся случаем, когда

П11 = П22 = П35 = П43 = —1, П14 = П25 = П36 = П47 = 1,

П10 = П13 = П20 = П24 = П30 = П33 = П40 = П44 = 0.

Обозначим

а = П12, Ь = П23, с = П34, ^ = П46. Тогда система уравнений (9) принимает вид

—У1 + аУ2 + У 4 = 0,

— У2 + ЬУз + У 5 = 0,

— У5 + сУ4 + Уб = 0, —Уз + ^Уб + У 7 = 0.

По построению, (У0, У1, У2, У3) — базис модуля С0, (У0, У4, У6, У7) — базис модуля Д(^о). Выражая элементы У4, У6, У7 через элементы У1, У2, У3, получаем матрицу обратимого Д-оператора Д :

10

0

0

0 1 —а 0

0 —с са + 1 —Ь

^ 0 ^с —^са — d ^Ь + 1 У

Наоборот, выражая элементы Vi, V2, V3 через элементы V4, V6, V7, получаем матрицу обратного D-оператора А-1:

' \ 0 0 0 ^ 0 ac +1 abd + a ab 0 c bd +1 b ' v0 0 d 1 j

Пусть А: F ^ G — обратимый D-оператор, L = ord А, а K = ord А-1. Для k, l > 0 обозначим через G^ подмодуль

Gi П A(Ffc) + Gi-i Gi-i

модуля Gi/Gi-1. Так как D-оператор А коммутирует с порождающим оператором D, то факторотображение (2) отображает Gk,i в Gk+1,i+1. Обозначим

Hfc,i,s = {a G GM: Dsa G Gfc+S_1,i+S} , k, l > 0, s > 0.

d-регулярную точку t G M обратимого D-оператора А будем называть s-регулярной, если в некоторой окрестности этой точки модули Hfc,^ имеют постоянную размерность при 0 < k < K, 0 < l < L и 0 <s < min(k, l).

Теорема 2. Пусть F и G — D-порожденые модули, причем F0 ~ Am ~ Go. Тогда:

а) для заданных d-схемы квадратов и ее m-таблицы, а также скалярных D-операторов , £ G Z, в G B, удовлетворяющих условиям А-Г, и базисов модулей G0 и F0 существует

единственный обратимый D-оператор из F в G, определенный соотношениями (10)—(11);

б) для любого обратимого D-оператор А: F ^ G существуют такие скалярные D-опе-раторы □ç e, £ G Z, в G B, удовлетворяющие условиям А-Г, и базисы модулей G0 и F0, что в окрестности s-регулярной точки D-оператор А имеет вид (10)—(11).

Теорема 3. Множество d-регулярных точек и множество s-регулярных точек являются открытыми всюду плотными множествами в M.

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству леммы 4.4 в [10].

5. Доказательство теорем 1 и 2

Для упрощения формулировок назовем d-набором набор, состоящий из d-схемы квадратов с фиксированной m-таблицей, скалярных D-операторов □ç e, £ G Z, в G B, удовлетворяющих условиям А-Г, и базисов модулей G0 и F0.

Доказательство теорем 1 и 2 состоит из следующих шести частей.

1° Построение d-схемы квадратов по обратимому D-оператору. Доказательство утверждения а) теоремы 1.

2° Построение по обратимому D-оператору набора скалярных D-операторов □£,£, £ G Z, в G B, удовлетворяющих условиям А-Г, а также базисов модулей G0 и F0.

3° Построение по ^-схеме квадратов с фиксированной т-таблицей одного из возможных наборов скалярных Д-операторов П^,в, удовлетворяющих условиям А-Г. 4° Доказательство утверждения а) теоремы 2.

5° Доказательство того, что если по ^-набору построить обратимый Д-оператор А (см. (10)—(11)), а потом по А построить ^-схему квадратов и ее т-таблицу (см. 1°), то получится ^-схема и т-таблица из ^-набора.

6° Доказательство того, что если по обратимому Д-оператору А построить ^-набор (см. 1° и 2°), а потом по ^-набору построить обратимый Д-оператор (см. (10)-(11)), то он совпадет с оператором А.

Утверждение б) теоремы 1 следует из частей 3° и 5°, а утверждение б) теоремы 2 — из частей 2° и 6°

Приведем доказательство частей 1° -6°.

оо

1° Пусть А — Д-оператор из Д-порожденного модуля Е = и ^к в Д-порожденный

к=0

оо

модуль С = и Сг. Для упрощения записи подмодуль А(^к) С С будем обозначать также через ^к.

Для описания модулей ^к П Сг используем теорию цепных комплексов и их спектральных последовательностей (см. [11, гл. 4, §1 и гл. 9, §1]). Связь с соответствующими понятиями и фактами этой теории далее указывается.

Из определений следует, что изоморфизмы (2) определяют точные комплексы

0 — -С- —^ С+1 — 0, I > 0. (13)

Сг-1 Сг

Предположим, что существует такое натуральное число К, что Сг С для I > 0. Модули Сг/Сг-1 имеют фильтрацию

Сг Сг П + Сг-1 Сг П ^к + Сг-1 Сг П ^о + Сг-1

Сг_1 Сг-1 Сг-1 Сг-1

Так как Д-оператор коммутирует с порождающими операторами, то ) С ^к+1, а изоморфизмы (2) сохраняют построенные фильтрации:

^ Сг П ^к + Сг -1 Сг+1 П ^к+1 + Сг , ^ „ ,л ,ч -^--► -^-, 1 > 0. (14)

А это значит, мы имеем фильтрацию комплексов (13) и их спектральные последовательности (см. [11, гл.9, § 1, теорема 2]). По определению элементы Е0 этих последовательностей состоят из модулей

0

Сг П ^к + Сг-1

к,г Сг П + Сг-1

Точнее, комплексу (13) с номером I соответствуют две строки Е°г и Е°г+1, комплексу (13) с номером I +1 соответствуют также две строки, но г+1 и г+2 и т.д. При этом вторая строка предыдущего комплекса совпадает с первой строкой последующего комплекса, поэтому эти строки обозначены одинаково.

Отметим, что мы используем отличную от обычной нумерацию элементов Е0, потому что для дальнейших рассуждений удобно иметь нумерацию, симметричную относительно /, к. Для доказательства симметричности Е0 г используем следующий известный факт.

Теорема 4 (Нетер об изоморфизме [11, Введение, §4]). Пусть X и У — некоторые подмодули А-модуля Z и X + У — подмодуль, порожденный множеством X и У. Тогда

X

вложение X С X + У переводит X П У в У и индуцирует изоморфизм А-модулей ——— и

X + У У .

Обозначим X = Сг П Ек и У = Сг П Е^ + С1-1. Так как Е^ С Ек, то X + У = Сг П Ек + Сг-1, X П У = Сг П Ек_1 + Сг_1 П Ек. Применяя теорему Нетер, получаем симметричную относительно к и I формулу

Е0г = ~-^ П ^-п , I, к > 0. (15)

к ' г Сг П Е^_1 + Сг_1 П >

Используя известные факты о размерностях пространств (модулей), получаем

а1ш Е0 ,г = ¿МСг П ^) — &ш(Сг П Ек_1 + Сг_1 П ^) =

= dfc)г — а1ш(Сг П Е^) — а1ш(Сг_1 П Ек) + &ш(Сг П Ек_1 П Сг_1 П Ек) =

= ^ ,г — ,г — ^¿к , г_ 1 + ,г_1 = . (16)

Отметим, что до сих пор мы никак не использовали обратимость Д. Предположим теперь, что Д — обратимый Е-оператор и Д_1: С ^ Е — обратный к нему Е-оператор. Пусть К — порядок Д_1, тогда Д_1(Сг) С Ег+К для I > 0. Подмодуль Д_1(Сг) отождествим с Сг. Тогда применимы рассуждения, приведенные выше. Более того, оператор Д можно заменить оператором Д _1 и повторить эти рассуждения. Получим те же элементы Ек г только с заменой I на к и к на I (этим и объясняется такой выбор нумерации элементов Е0). Согласно общей теории [11, гл. 9, § 1], определены комплексы

0 — Е0,г —и Е0+м+1 — 0, /, к > 0, (17)

которые представляют собой факторизацию комплексов (13). А именно, если фактор-элемент £ е Екг соответствует оператору а е Сг П Ек в представлении (15), то d0 (£) есть фактор-элемент, соответствующий оператору Да е Сг+1 П Ек+1. Заметим, что замена Д на Д_1 приводит к тем же комплексам (17).

Докажем, что последовательность рк г, вычисленная для обратимого оператора Д по формулам (3), удовлетворяет равенствам (4), (5). При к > I + К имеем Сг С Ег+К С Ек_ь поэтому Сг П Ек_1 = Сг. Из формул (15) получаем = 0 при к > I + К. Заменив Д на Д_1, получим Е°г = 0 при I > к + Е Учитывая (16) и (3), заключаем, что

рк,г = 0, к > I + К, I > к + Е (18)

Кроме того, при l > 0 имеем

i+K i+K

Е dim = Е (dim(Gi П Ffc + G^) - dim(Gi П Fk-i + G^i)) = k=0 k=0

= dim(Gi П Fi+k + Gi-i) - dim(Gi П F- + Gi-i) =

= dim Gi — dim Gi-i = dim(Gi/Gi-i) = m,

так как модуль Gi/Gi-i изморфен G0, a dim G0 = m. Отсюда и из (16) следует, что

i+K

Е Kfc,i = m. k=0

Комбинируя это равенство с (3) и (18), получаем формулы

оо оо

Ерм = 0 при l > 0 и J2 Pk,0 = m. (19)

k=0 k=0

Таким образом, доказаны первые равенства в (4) и (5). Вторые равенства доказываются аналогично после замены А на A-:L.

Неравенства (6) докажем после того, как определим d-схему квадратов для обратимого D-оператора А. Сейчас докажем неравенства

k i

Е Pj,i > 0, Е Pk,j > 0 при k > 0, l > 0. (20)

j=0 j=0

Гомоморфизм (14) есть ограничение изоморфизма (2) на подмодуль, а значит, есть мономорфизм. Поэтому

dim Gk,i < dim Gk+i,i+i, (21)

где использовано ранее введенное обозначение

_ Gi П Fk + Gi-i

Gk,i = -^-.

Gi-i

С другой стороны, Gk-i)i есть подмодуль модуля Gk)i, а фактормодуль Gk)i/Gk-i)i есть по определению E°i. Поэтому из формулы (16) следует равенство

dim Gk,i — dim Gk-i,i = dim = .

Так как F-i = 0, то E0 i = G0 , i. Из полученных равенств следует соотношение

s s

dim Gs,i = dim G0,i + E(dim Gk,i — dim Gk-i,i) = E xk,i. (22)

k=i k=0

Объединяя это равенство с (3) и (21), получаем

s s s

Е Pk,i = Е Kk,i — Е Kk-i,i-i = dim Gs,i — dim Gs-i,i-i > 0.

k=0 k=0 k=0

Итак, доказано первое неравенство в (20). Второе неравенство доказывается аналогично.

Докажем, что pk1 = 0 вне прямоугольника 0 < k < K, 0 < l < L. Пусть pk1 = 0 для некоторого l > L. Выберем минимальное k0, такое, что pko,io = 0 при l0 > L. Тогда

ko

I] pk,io = pko,io и из первого неравенства в (20) получаем pko,io > 0. Из соотношений (18)

k=0

следует, что k0 > l0 — L > 0. Поэтому (см. (4))

те

Е Pko,i = 0. (23)

i=0

io— 1 io

С другой стороны, из (20) следует, что £ pko,i > 0, а значит, £ > pko,io > 0. Учи-

1=0 1=0

те

тывая (23), получаем £ pko i < 0. Таким образом, существует такое натуральное l1, что

i=io + 1

ko ko —1

l1 > l0 и pko>il < 0. Еще раз используя (20), получаем £ pk1l > 0, а значит, £ pk1l > 0.

k=0 ' k=0 Следовательно, существуют такие k < k0 и l1 > l0 > L, что pk1l = 0. Это противоречит

минимальности k0. Поэтому pk1 = 0 для всех l > L. Для k > K это равенство доказывается

аналогично.

Построим d-схему квадратов для обратимого D-оператора А. Модули гомологий комплексов (17) с фиксированным l и всеми неотрицательными k в совокупности составляют член E1 [11, гл.9, § 1] комплекса (13). Однако в отличии от E0 элементы E1, соответствующие комплексам вида (13) с разными номерами l, не совпадают. Модуль гомологий комплекса (17) в члене E^ обозначим через Zk;i, а в члене E°+1 i+1 — через Bk+1,i+1, т.е. по определению

E0

Zk,i = ker Bk+u+1 = coim 4 = ,k/+i,'0+4. (24)

Из сравнения размерностей образа и прообраз гомоморфизма (17) следует

dim Ej° i — dim ker d0 = dim E°+1i+1 — dim coim d0. Учитывая (16) и (24), получаем равенство Kk i — dim Zk i = xk+1)i+1 — dim Bk+1;i+1, а значит,

Pk,i = dim Bk,i — dim Zk—i,i—1. (25)

Для сравнения заметим, что из определения m-таблицы d-схемы квадратов следует, что

Pk,i = bk,i — zk,i, k > 0, l > 0. (26)

где zk,i и bk,i — количество элементов в Zk i и Bk i соответственно.

Сравнение формул (25) и (26) объясняет как строить искомую d-схему квадратов: каждый базисный элемент модуля Zk i при 0 < k < K, 0 < l < L определяет квадрат, верхний правый угол которого расположен в точке с координатами (k + 1, l + 1). Более точно, будем рассматривать диагонали вида .. ., E0—s i—s, .. ., E0—1i—1, E^ i, где Zk i = 0, 0 < k < K, 0 < l < L, и соответствующие гомоморфизмы вида (17). Пусть Ej°_s i_s — первый ненулевой

элемент на этой диагонали. Рассмотрим цепочку гомоморфизмов

п т-10 т-10 т-10 /п. -74

0 —> ^-М-з —> ... —> Ей-1,г-1 —> (2/)

Так как Е°-8-1г-8-1 = 0 по выбору 5, то = Рассмотрим композиции

гомоморфизмов (27):

Е0-..,-.. — Е01, ^ = 1,5,

и их образы в 2 , I:

2м 3 П ¿0(Е0_11) ^ П ,2) 3 ... П ^_г_в). (28)

Из определений следует, что

0 _ ~ _ , 1

7710 __О' _

Ек1 = т^-, =

Докажем равенство

С? ^

Соотношение а € Н^д П ^¿(С^,^) означает, что В (а) € Ск,4+Ь а = ^¿(в), где в € Ск-г,г-г. Значит, Ег+1(в) € См+Ь и поэтому в € ^-¿,¿-¿,¿+1, т.е. а € ^(^-¿,¿-¿,¿+1). Учитывая определение и доказанные равенства, получаем

Н^,г,1 П D¿(Gfc-¿,í-¿) D¿(Hfc-¿,í-¿,¿+l)

-З- ГЛ 7^0 \ НК,6,1 1 V ^к-¿,4-¿у ^ ¿,4-¿,¿+1^ • т--/оп\

П ^^-¿д^ =-р-=-р-, « = 1 5 (29)

Так как факторотображения (2) являются изоморфизмами, то при 1 < ] < г < 5 размерности модулей

DJ-1(Hfc-¿,г-¿,¿+l) и Е-7 (Hfc-¿,г-¿,¿+l)

в каждой точке М совпадают. Кроме того, из определений следует, что размерности модулей ¿, Ск-1,4, ^^,^¿,¿+1^ постоянны в окрестности ^-регулярной точки. Поэтому в некоторой окрестности такой точки модули (29) имеют постоянную размерность при 0 < к < К, 0 < I < Ь, 0 <5 < ш1п(к, /).

Модули (28) есть модули сечений расслоений над многообразием М. Ограничения в точке ¿1 € М элементов такого модуля образуют линейное пространство, которое совпадает со слоем этого расслоения. Рассмотрим ^-регулярную точку ¿1 € М и слои над ¿1 расслоений, соответствующих модулям (28). Так как модули (28) вложены друг в друга, то вложены соответствующие расслоения. Выберем базис слоя расслоения, соответствующего модулю П ^0(Е£-з 4-. Дополним его до базиса слоя расслоения, соответствующего модулю П ^0-1(Е°-5+1 г-8+1) и так до базиса слоя расслоения, соответствующего модулю 2.,,. Каждый элемент полученного базиса есть ограничение в точке ¿1 некоторого сечения из В виду непрерывности этих сечений они линейно независимы и в любой точке некоторой

окрестности U1 точки t1. Поскольку размерности модулей (28) постоянны в некоторой окрестности U2 s-регулярной точки t1, ограничение этих сечений в любой точке окрестности U1 П U2 образуют базис слоя расслоения, соответствующего модулю Zk i, а значит, образуют базис модуля Zk i.

Каждый базисный элемент £ из Zk i П d0(Ek—ii—¿) есть образ d0(n), где n £ Ek—ii—По построению, £ £ Zk,i П d0+1(E°—¿—1 ,i—¿—1), поэтому n £ ^Ej0—¿—1 ,i_1), а значит, n определяет некоторый ненулевой элемент Bk—i;i—j. Базисному элементу £ поставим в соответствие квадрат, противоположные углы которого расположены в точках с координатами (k — i, l — i) и (k + 1, l + 1). Рассмотрев все базисные элементы модулей Zk i при 0 < k < K, 0 < l < L, получим набор квадратов. Этот набор конечен, так как и количество рассматриваемых значений k, l, и размерности dim Zk i конечны. Каждому квадрату, нижний левый угол которого расположен в точке (k, l), соответствует ненулевой элемент n £ $k;i. По построению набор таких элементов (соответствующих разным квадратам, но лежащих в Bk i) линейно независим. Действительно, пусть n1, . .., nJ — набор таких элементов модуля Bk i. Тогда для

каждого nj найдется такой номер ij, что d0j (nj) есть базисный элемент модуля Zk+ij i+ij.

j

Пусть I — старший такой номер. Предположим, что £ a nj = 0 для некоторого набора

j=1

j

функций а1, ..., aJ £ A. Тогда £ ad^(nj) = 0, причем d0(nj) = 0 только, если j = I.

j=1 0 0

Так как d^(nj), ij = I, — базисные элементы модуля Zk+/,i+/, то они линейно независимы в каждой точке рассматриваемой окрестности d-регулярной точки (см. выше), а значит, а, ij = I, — нулевые функции. Последовательно рассматривая элементы nj, для которых ij = I — 1, I — 2, ..., доказываем, что все функции аь .. ., aJ нулевые, а значит элементы n1, .. ., nJ линейно независимы. Дополним набор этих элементов до базиса Bk i. И так поступим для каждой пары (k, l), k > 0, l > 0.

Таким образом, dim Bk;i не меньше, чем количество квадратов, нижний левый угол которых расположен в точке (k, l). Разница между dim Bk;i и количеством указанных квадратов есть то натуральное число ak i, которое добавляется при построении m-таблицы d-схемы квадратов. По построению d-схемы каждый выбранный базисный элемент модуля Zk i определяет квадрат, верхний правый угол которого расположен в точке с координатами (k +1, l + 1), а значит, определяет элемент множества Zk+1i+1. Аналогично, нижние левые углы квадратов, расположенные в точке (k, l), определяют некоторые базисные элементы модуля Bk i, и отождествляются с элементами первого типа множества Bk i. Остальные базисные элементы Bk;i выбираются произвольно, причем размерность модуля Bk;i равна количеству элементов в Bk i. Отождествим базисные элементы модулей Zk i и Bk;i с элементами множеств Zk+1i+1 и Bk i соответственно для всех k > 0, l > 0.

Докажем первое неравенство в (6). Пусть k > 0,l > 0,s = dimZki. Ограничение мономорфизма (14) на Hk)i;1 есть мономорфизм из Hk)i;1 в Gk i+1, а значит, dim Gk i+1 > > dimHk,i,1. Кроме того, Hk,i,1 Э Gk—1,i и Zk,i = Hk,i,1/Gk—1,i. Используя (3) и (22),

получаем

k

k

k

EPj',1+1 = E - E Kj-1,1 = dim Gk,i+i - dim Gk-y > dimHk,z,i - dim Gk-i,z = s.

Так как по построению ^-схемы квадратов в есть количество квадратов, верхний правый угол которых расположен в точке с координатами (к + 1,1 + 1), то доказано первое неравенство в (6). Второе неравенство в (6) доказывается аналогично.

Таким образом, с одной стороны, набор (25) есть набор чисел (3) оператора А, а с другой стороны, он совпадает с т-таблицей (26) построенной ^-схемы квадратов (соотношения (4)-(5) для нее мы доказали ранее). Утверждение а) теоремы 1 доказано в окрестности в-регулярной точки.

Рассмотрим теперь ^-регулярную точку ¿0 € М и ее окрестность Ц0, в которой размерности модулей П , /, к > 0, постоянны. Так как множество в-регулярных точек является всюду плотным множеством, то в Ц0 существует в-регулярная точка ¿ь Так как числа (3) не зависят от выбора точки из Ц0, а ¿1 € Ц0, то из утверждения а) для окрестности точки ¿1 следует утверждение а) для всей окрестности Ц.

2° Рассмотрим обратимый Е-оператор А и построим соответствующую ему ^-схему квадратов, как это сделано в п. 1° .Через г(£) обозначим длину стороны квадрата, соответствующего элементу £ € Z. Аналогично для элемента в € В через г (в) обозначим длину стороны соответствующего квадрата, если в есть нижний левый угол квадрата, и положим г (в) = го для остальных элементов В.

Так как по определению

то каждый элемент представляет собой фактор-элемент некоторого элемента из П . Обозначим через Уд какой-либо элемент модуля П , фактор-элемент которого есть базисный элемент модуля , соответствующий элементу в € Вк,г. Аналогично каждый элемент Е°г также представляет собой фактор-элемент некоторого элемента из П . Фактор-элементы элементов Е^У^, в € Вк-5,г-5, в < г (в), образуют базис модуля по определению элементов Уд и модулей . Базис модуля П порождается базисами модулей Ео, г < к, ] < /, а значит, состоит из элементов

DsVe, в е Bitj, i < k, j < l, s = 0, ..., min {k - i, l - j, г(в) - 1}. (30) Базисом модуля G^ П Fk-1 + G1-1 П Fk является набор элементов

Bk,i

Gi П Fk

l, k > 0,

Gi П Fk-1 + Gi-1 П Fk + D(Gi-1 П Fk-1)'

DsVe, в е Bij, i < k, j < l, i + j < k + l, s = 0, q,

(31)

С другой стороны, по определению имеем С E0 г, а значит, каждый элемент также представляет собой фактор-элемент некоторого элемента из G П . По построению базисов модулей и (см. п. 1°) для любого £ £ фактор-элемент элемента Dr(i)-1(V^(g)) есть элемент г_ 1, соответствующий £. Так как этот фактор-элемент принадлежит ядру d0, то Dr(i) (V^(^)) £ G^ П Fk-1 + G1-1 П . Раскладывая элемент Dr(i) (V^)) по базису (31), получаем

Dr(i)(V^)) = ]Г£ DsVe, £ A, (32)

i=o j=o ßeßi^j s=o

где p = min {l, k + l — i — 1}, q = min jk — i, l — j, 1 (k + l — i — j — 1), г(в) — 1 j. Для выбранного элемента £ £ Zk1 и для тех элементов в £ B, которые присутствуют в сумме (32),

полагаем

q r(?)-1

= — £ при в = Ф(£) и D^^ = Dr(« — £ a^(?)Ds. (33)

s=0 s=0

Для тех же элементов в £ B, которые отсутствуют в сумме (32), полагаем D^ = 0. Перебирая все элементы £ £ Z, получаем набор скалярных D-операторов D^, удовлетворяющих условиям а), б) теоремы 1 и условию б) теоремы 2.

Условие а) теоремы 2 также выполняется, так как G0 = G0 П при k > K = ord А-1, и при l = 0, k > K набор (30) есть V^, в £ Д,0, i > 0, и является базисом модуля G0 П .

Для доказательства условия б) теоремы 1 рассмотрим объединение по всем k > 0 базисов (30). Получим базис

DsVe, в £ Bij, i > 0, j < l, s = 0, ..., min{l — j, г(в) — 1},

модуля G^. Будем обозначать через [а]г элемент фактормодуля G1/G1-1, соответствующий элементу а £ Gj. Сравнивая базисы модулей Gi и G1-1, получаем, что базисом фактормодуля G1/G1-1 при l > 0 является набор

D1-j[Ve]j, в £ В„-, i > 0, j < l, г(в) > l — j + 1. (34)

Так как отображение (2) является изоморфизмом модулей, то набор элементов

D1-j+1[Ve]j, в £ Bi,j, i > 0, j < l, г(в) > l — j + 1,

есть базис модуля G1+1/Gi. Заменяя в этом наборе l на l — 1, получаем второй базис

D1-j [Ve]j, в £ В„-, i > 0, j < l — 1, r(в) > l — j, (35)

модуля Gi /G1-1. Элементы

D1-j[Vej, в £ В„., i > 0, j < l — 1, г(в) > l — j + 1, (36)

принадлежат и тому, и другому базису. Элементы

[Ve]i, в е , i > 0, (37)

лежат только в наборе (34). А те элементы в (35), для который г(в) = l — j, лежат только в наборе (35). Если г(в) = l — j, то элемент в е B^ j есть нижний левый угол квадрата d-схемы, а значит, существует такой элемент £ е Z (верхний правый угол этого квадрата), что в = а значит, г(в) = r(£) и c2(£) = j + r(£) = l. Используя (32) с заменой в на въ представим соответствующий элемент набора (35) в виде

Ve]j = [Dr(i)(V^(?))]i = £ £ £ £(в)[DsV^i]i, (38)

¿1=0 ji=o ei eBil,j1 s=o

где p = min {l, k + l — ¿i — 1}, q = min jk — ¿i, l — ji, 1 (k + l — ¿i — j — 1), г(в0 — l|, as,e1 (в) — коэффициент разложения (32), соответствующий паре (£, вО и элементу = в. Удалим из суммы (38) нулевые слагаемые. А именно, если [DsVe1 ]г = 0, в1 е Bj1)j-1, то s = l — Поэтому все слагаемые в (38) с s < l — нулевые, и разложение (38) может быть записано как

k p

[Ve]j = ££ £ ai-j1 ,в1 (в )D1-j1 [Ve1 ]j1. (39)

¿1=0 j1=o ß1eßi1j1

С другой стороны, l — j = s < q < r(в1) — 1 и поэтому г(в0 > l — + 1. Таким образом, выражение (39) есть разложение соответствующего элемента из (35) по базису (34).

Разобьем базисы (35) и (34) на две части: первые — их общая часть — набор (36), а вторые — оставшиеся элементы этих базисов. Элементы вторык частей будем нумеровать соответствующими элементами в множества B: для элементов базиса (35) — это в е Bi;j, i > 0, j < l — 1, г(в) = l — j, для элементов базиса (34) — это в из (37). Тогда матрица перехода от базиса (34) к базису (35) имеет следующий блочный вид:

E 0 \

CA J • (40)

где E — единичная матрица; A = (аад); в — элемент множества B, определяющий элемент базиса (35) с г(в) = l — j; в1 — элемент B, определяющий элемент набора (37). Из (39) следует равенство аад = а0,в1 (в), а из (33) — равенство а0)/в1 (в) = — , где = в. Поэтому матрица (8) при соответствующей нумерации ее строк и столбцов совпадает с матрицей —A.

Так как матрица (40) невырождена как матрица перехода, то невырождена матрица A, а значит, условие В выполняется. Справедливость условия Г доказывается аналогично с заменой А на A-i.

Выбор элементов V^, в е B (см. п. 1°) определяет выбор базисов модулей G0 и F0. А именно, элементы V^, в е Bi0, i > 0, образуют базис модуля G0, а элементы A-i(V^), в е B0,j, j > 0, — базис модуля F0.

3° Покажем, что для любой ^-схемы квадратов существует набор скалярных Д-операто-ров , удовлетворяющих условиям А-Г. Для этого сначала построим операторы в случае с2(в) = с2(£). Условие А для ненулевых таких операторов означает, что их порядок нулевой и С1 (в) < С1 (£). Условия Б и В для них выполняются, поэтому следует учесть только условие Г.

Обозначим через К максимальное значение первой координаты элементов Z и В, а через Ь — максимальное значение второй координаты этих элементов. Из формулы (26) следует,

что рк,г = 0 вне прямоугольника 0 < к < К, 0 < I < Ь. Фиксируем I = 1, Ь. Из первого равенства в (4) и формулы (26) следует, что

к к к

0 = £ Р.,г = £ 7 - £ 7.

7=0 .=0 .=0

к к

Поэтому множества Вг = и В. г и Zг = и Zj1 имеют одинаковое количество элементов

. =0 . =1

(обозначим это количество через кг), а значит, матрица (8) квадратная. Пронумеруем элементы £ь ..., £кг множества Zг и элементы в1, . .., вк множества Вг так, чтобы

1 < г < 3 < кг ^ 01 (вг) < С1(в.), С^) < 01(^7).

Рассмотрим соответствующую нумерацию строк и столбцов матрицы (8). Покажем, что если в качестве матрицы (8) взять единичную матриц с таким выбором нумерации, то она будет удовлетворять условию А. Для этого достаточно показать, что

01 (вг) <С1(&), г =1, кг. (41)

Фиксируем г = 1, кг. Обозначим в = с1(вг), к = с1(£г). Из выбора нумерации следует, что

к—1 к 8—1 8

£ ^, г < г < £ ^ , г, £ , г < г < £ , г. 7=0 .=0 .=0 .=0

Из первого неравенства в (6) и формулы (26) следует, что

к—1 к

£ . > £ 7.

.=0 .=0

Если в > к, то

8—1 к—1 к

г > £ 7 > £ 7 > £ 7 > г. .=0 .=0 .=0

Это противоречие доказывает (41). Полагая

д = 1, =0, г, ] = 1, кг, ^ = г, I = 1, Ь,

получаем набор скалярных Д-операторов в случае с2(в) = с2(£). Аналогичным образом построим набор скалярных Д-операторов в случае с1(в) = с1(£) (для них из условия А следует неравенство с2(в) < с2(£)). Наконец, полагая

□сжо = = 0,

для остальных £ е в е В, ^(в) = с1(С), с2(в) = с2(£) получаем набор скалярных Д-операторов , удовлетворяющих условиям А-Г.

4° Для доказательства утверждения а) теоремы 2 фиксируем базис У^, ..., Увт модуля С0 и базис /ь . .., /т модуля ^0. Найдем элементы Уд е С, в е В, удовлетворяющие условиям (А) и (Б). Определим Д-оператор А: ^ ^ С формулой (11) и Д-оператор А-1: С ^ ^ — формулой

m

) = Е A"i1(/i), j = Т^, (42)

г=1

где А- — скалярные Д-операторы из соотношений (12). Из равенств (42), (11) и (12), а также того факта, что любой Д-оператор коммутирует с любым скалярным Д-оператором, следует, что

m % m m

(А о Д-1)(Ув. ) = Д Ед-Л/i) =ЕА-Ч / = ЕАД V<0 = Ve

i=1 i=1 i=1

для любого j = Т, m. Так как элементы V^, .. ., V^m образуют базис модуля G0, а любой D-оператор из G определяется своими значениями на базисных элементах G0, то

А о А-1 = idG, (43)

где через idG обозначено тождественное отображение модуля G.

Для доказательства тождества А-1 о А = idF используем идеи [10], где доказано, что любой обратимый слева C-дифференциальный оператор с квадратной матрицей является и двусторонне обратимым [10, лемма 4.3]. А именно, предположим, что D-оператор Q = А-1 о А — idF ненулевой. Обозначим через /q его порядок. Тогда Q(F0) — ненулевой подмодуль модуля f1q и Q(F0) С f1q -1, а значит, ненулевым является фактормодуль

Q(Fo) + FlQ-i л/г Q(Fo)+ FiQ-1

---Q—. Пусть в точке V G M размерность фактормодуля---Q— равна r > 0.

fIQ-1 fIQ-1

Как D-оператор, Q коммутирует с оператором D. Поэтому факторотображение, соответствующее D, отображает фактормодуль Q( +—lQ-1 в фактормодуль Q( ——. Поскольку

fIQ-1 fIQ

это факторотображение есть изоморфизм, то dim Q(F1)+ FlQ > r в точке V. Аналогично

FlQ

dim-+—lQ+i 1 > r в точке V для любого i > 0.

FlQ+i-1

Применяя теорему Нетер к X = Q(Fs) П FlQ+i и Y = FlQ +i-1, получаем

Q(Fs) П FlQ+i = Q(Fs) П FlQ+i + FlQ+i-1

Q(Fs) П FlQ+i-1 FlQ+i-1

Кроме того, Q(Fs) С FlQ+s и Q(Fs) П FlQ+^ D Q(F) при 0 < i < s. Используя указанные соотношения, получаем в точке V:

dimQ(Fs) = dimQ(F) П > ]T dim Q(Fs) П FlQ+ -

Q(Fs) П FlQ+i-1

i=0

Е dim Q(Fs) П FlQ+i + FlQ+i-1 > Е dim Q(Fi)+ FlQ+i-1 > r(s + Т).

i=0 FlQ+i-1 i=0 FlQ+i-1

Из определения D-порожденного модуля и условия dim F0 = m следует, что

s s

dim Fs = £ dim(Fi/Fi-1) £ dim F0 = m(s + 1).

А так как размерность ядра ограничения D-оператор Q на подмодуль Fs равна dim Fs — dimQ(Fs), то она не может быть больше (m — r)(s + 1).

С другой стороны, из доказанного равенства (43) следует, что

Q о Д-1 = Д-1 о Д о Д-1 — Д-1 = 0. (44)

Кроме того, Д-1(С,) С Fi+K, где K = ord Д-1. Из этих фактов следует, что модуль Д-1(С^) лежит в ядре ограничения D-оператор Q на подмодуль E+K. Поэтому dimД-1(Gi) < < (m — r)(i + K + 1) в точке Из равенства (43) следует, что D-оператор Д-1 не имеет ядра, азначит, dimД-1(Gi) = dim G^ = m(i + 1). Однако неравенствоm(i + 1) < (m — r)(i + K + 1) невозможно для больших i. Это противоречие доказывает равенство Q = 0, а значит, Д-1 есть обратный D-оператор к D-оператору Д.

5° Пусть задан d-набор. Используя (10)-(11) построим обратимый D-оператор Д. Докажем, что набор чисел (3) оператора Д есть заданная m-таблица d-схемы квадратов. Доказательство основано на последовательном построении по оператору Д базисов модулей G^/Gl-1, Gfc,i, E° г, , k, l > 0, азатем сравнении формулы (25) для чисел pk^ оператора Д с формулой (26) для чисел заданной m-таблицы d-схемы квадратов.

Базисы модулей Gl/Gl-1 при l > 0 были построены в п. 2° (см. (34)). Докажем, что при k > 0, l > 0, модуль Gk,i имеет базис

[V]j, в е , j < l, i < k — l + j, r(в) > l — j + 1. (45)

Из определения G^ и теоремы Нетер для X = G^ П Fk и Y = Gl-1 следует, что

Gi П Ffc + 1 Gi П Ffc

G

fcj

Сг-1 Сг-1 П

Пусть Ь = огё Д. Тогда Ед. С Gfc+L, а значит, Gfc+L П Ед. = Ед. и Gfc,1 = 0 при I > к + Е Используя эти факты и равенство G-1 = 0, получаем

k+L k+L ,

£ dimGk,i = £ dim(Gi П Fk) — dim(Gi_1 П Fk) =

/—П 1—n V /

= dim(Gk+L П Fk) — dim(G-1 П Fk) = dim Fk = m(k + 1).

Обозначим через Qk,i количество элементов в наборе (45). Этот набор есть часть набора (34), а следовательно, он линейно независим в каждой точке рассматриваемой окрестности многообразия M. С другой стороны, элементы (45) лежат в Gk^. Поэтому gk i <

< dim Gk,i и

k+L k+L

£ 9к,1 < £ dimGk,i = m(k + 1). (46)

l=0 l=0

Покажем, что первая сумма в соотношении (46) также равна m(k +1). Для этого заметим, что наборы (45) для разных l не пересекаются, а указанная сумма равна количеству элементов в наборах (45) для l = 0, k+L. Так как Gk^ = 0 при l > k + L, то в (45) l < k + L, а значит, j < k + L. Рассмотрим элементы

Ds[Vej, в e , i < k, s = 0, k—i, j = 0, k+L. (47)

Любой элемент набора (45) с l > 0 входит в набор (47) с s = l — j. Элемент Ds[Ve]j из набора (47) не входит в никакой набор (45) только, если s > г(в). В этом случае существует элемент £ из Zko,lo, для которого -0(£) = в, а значит, ko = i + г(в) < i + s < k. Таким образом, каждому элементу £ e Zko,lo, k0 < k, соответствуют k — k0 + 1 элементов набора (47), которые не входят в наборы (45): при в = ^(£), s = k0—i, k—i. Всего количество элементов в наборах (47) при l > 0 равно

k+L k ££(k — i + i)bi,j, j=0 i=0

количество элементов в (47), которые не входят в наборы (45), равно

k+l k

£ £ (k — k0 + 1)zko,lo. 1о=0 ko=0

Учитывая это и меняя во второй сумме индесы k0, l0 на i, j, получаем

k+L k+L k k+L k k+L k

£ gk,i = £ £(k — i + 1)bij — £ £(k — i + 1)zi,j = £ £(k — i + 1)(bi,j— ). ¿=0 j=0 i=0 j=0 i=0 j=0 i=0

Используя формулу (26) для элементов m-таблицы заданной d-схемы квадратов, а также равенства (4)-(5), получаем

k+L k+L k k k+L

£ 9k,i = £ £(k — i + 1)Pi,j = £(k — i +1) £ Pi,j = m(k +1). ¿=0 j=0 i=0 i=0 j=0

Следовательно, соотношение (46) возможно только в случае равенства. Так как gk l <

< dim Gk,i, то для всех k > 0 и l > 0 имеем gk l = dim Gk,l, а значит, модуль Gk,i имеет базис (45).

Сравнивая базис (45) модуля Gk l и аналогичный базис модуля Gk-i^, получаем, что элементы набора (45), для которых i < k — 1 — l + j, образуют базис его подмодуля Gk-1,l С С Gk,l. Остальные элементы в (45) определяют базис фактормодуля E}0l = Gk,l/Gk-1,l, т.е. базис модуля Ek l определяют элементы

Dl-j[Vej, в e , j < l, i = k — l + j, г(в) > l — j + 1. (48)

Из определения комплексов (17) и модулей Bk,l (см. (24)) следует, что базисный элемент модуля E}0l, соответствующий элементу Dl-j [Ve]j, лежит в образе гомоморфизма d0, если l > j, и определяет элемент Bk,l, если l = j. Для тех элементов набора (48), для которых

/ = j, имеем i = k. Эти элементы Bk l образуют набор [V^]l, в G Bkl, так как r(e) > Т для любого в G B. Поскольку этот набор линейно независим как часть линейно независимого набора (48), а остальные базисные элементы модуля l лежат в образе d0, то данный набор образует базис модуля Bk l, а значит, dim Bk l = bk l.

Наконец, гомоморфизм (17) отображает базисный элемент модуля Ekl, соответствующий элементу Dl-j [Ve]j, в базисный элемент модуля Ej°+1 l+1, соответствующий элементу Dl-j+1[Ve]j, если r(e) > / — j + 2. В случае же r(e) = / — j + Т,в G B, ,j, элемент в соответствует нижнему левому углу некоторого квадрата d-схемы. Пусть £ — элемент Z, соответствующий верхнему правому углу этого квадрата. Тогда его координаты равны i + / — j + Т = k + Т и j + / — j + Т = / + Т, т.е. £ G Zk+1l+1. По построению базисов модулей Zk l и Bk l (см. п. Т°) элементу £ соответствует базисный элемент модуля Zk l, который есть фактор-элемент элемента Dl-j [Ve]j. Так как Zk l = ker d0, а гомоморфизм d0 отображает этот элемент в фактор-элемент элемента D^^1 [V^] j, то элемент D1-^^1 [V^] j соответствует нулевому элементу модуля E°+11+1.

Таким образом, гомоморфизм (17) отображает часть базиса (48) модуля Ek l в часть базиса модуля E°+11+1, а оставшуюся часть базиса (48) в нуль. Следовательно, размерность ядра этого гомоморфизма, т.е. dim Zk l, равна количеству элементов во второй части этого базиса. Между элементами этой части базиса (48) и элементами множества Zk+1l+1 установлено взаимно однозначное соответствие. Поэтому dim Zk l = zk+1l+1.

Из доказанных равенств следует, что правые части формул (25) и (26) совпадают, а значит, набор чисел (3) оператора А совпадает с соответствующими числами заданной m-таблицы d-схемы квадратов.

6° Рассмотрим обратимый D-оператор А и построим соответствующий ему d-набор, как это сделано в пп. Т° и 2°. Напомним, что базисные элементы модулей Zk l и Bk l отождествлялись с элементами множеств Zk+1l+1 и Bk l соответственно для всех k > 0,/ > 0. Через Ve обозначался элемент модуля Gl П Fk, фактор-элемент которого есть базисный элемент модуля Bk,l, соответствующий элементу в G Bk l. Операторы (П^в} определялись соотношениями (33). Элементы Ve4, i = Т, m, образуют базис модуля Go, а элементы /j = А-1^в!), j = Т, m, — базис модуля F0 (здесь через въ ..., вm обозначены элементы множеств Bk 0, k > 0, а через вЬ .. ., вm — элементы множеств B0 k, k > 0). Следовательно, формула (10) определяет D-оператор А, с которого мы начали построения в этом пункте.

Теоремы 1 и 2 полностью доказаны.

Заключение

В случае дифференциальных операторов с несколькими независимыми переменными (в частных производных) фильтрованный модуль операторов-столбцов порождается не одним, а несколькими операторами, а именно, частными производными первого порядка. Результаты этой работы нельзя напрямую применить к этому случаю. Однако данные результаты

можно обобщить, рассмотрев вместо изморфизмов (2) последовательности Спенсера для символов [4, п. 1.2.16]. Аналогичное обобщение существует для дифференциальных операторов с запаздыванием и разностный операторов с несколькими несоизмеримыми запаздываниями. Можно показать, что обратимые линейные разностные операторы с соизмеримыми запаздываниями и с периодическими коэффициентами описываются предложенным в данной работе методом.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ поддержки ведущих научнык школ НШ-53.2014.1 и грантов РФФИ 13-07-00736 и 14-01-00424.

Список литературы

1. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. М.: Мир, 1990. 536 с.

2. Aranda-Bricaire E., Moog C.H., Pomet J.-B. A Linear Algebraic Framework for Dynamic Feedback Linearization // IEEE Trans. Automatic Control. 1995. Vol. 40, no1. P. 127-132. DOI: 10.1109/9.362886

3. Levine J. Analysis and Control of Nonlinear Systems: A Flatness-based Approach. New-York: Springer-Verlag, 2009. DOI: 10.1007/978-3-642-00839-9

4. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин B.B. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.

5. Четвериков В.Н. Метод линеаризации для решения задач плоскостности и поиска оператора совместности // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С. 1518-1527.

6. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. №7. С. 105-127. DOI: 10.7463/0714.0718107

7. Четвериков В.Н. Управляемость плоских систем // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1518-1527.

8. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970. 442 с.

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. 1965. 431 с.

10. Chetverikov V. N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties // Forum Math. 2004. Vol. 16. P. 903-923. DOI: 10.1515/form.2004.16.6.903

11. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971. 680 с.

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 4, pp. 13-40.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

Received: 29.08.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

Classification and Construction of Generalized Invertible Linear Differential Operators with One Independent Variable

"1 "X

Chetverikov V. N.1

* [email protected] 1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: invertible linear differential operators, transformations of control systems, spectral sequences of chain complexes

The paper investigates invertible linear differential operators. Description of such operators is an important problem, because it is related to transformations of control systems. Namely, a C-transformation is an invertible transformation when the variables of one system are expressed in terms of variables and derivatives of dependent variables with respect to independent variables of second system. The lack of a useful description of C-transformations does not allow developing the theory of their application. C-Transformations of linear systems are represented as invertible linear differential operators. In the case of nonlinear systems, linearizations of C-transformations are interpreted as invertible linear differential operators. Therefore, the study of invertible linear differential operators should be considered as the first step to the description of C-transformations of both linear and nonlinear systems.

This paper is the second work devoted to the description of invertible linear differential operators with one independent variable and their generalizations. In the first work, a table of integers was associated to each invertible linear differential operator. These tables were described in terms of elementary geometry. Thus some elementary-geometrical model was assigned an invertible operator. This model was called a d-scheme. Invertible linear differential operators are classified by d-schemes.

An invertible operator is not uniquely determined by its d-scheme. It was shown in previous work how to construct some invertible differential operators for a given d-scheme and what mathematical structures still should be given for this construction. However, a description of all invertible operators with a given d-scheme was not there obtained.

In this work, a complete description of all invertible linear differential operators with a given d-scheme is obtained. In addition, this result and the results of the first article are generalized to invertible mappings of filtered modules generated by one differentiation. In particular, the

linearizations of C-transformations and mappings determined by unimodular matrices are such generalized invertible operators.

The results of this paper can be used to describe C-transformations of control systems and to classify such systems.

References

1. Gromov M. Partial Differential Relations. Springer Berlin Heidelberg, 1986. 363 p. (Ser. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 9) DOI: 10.1007/978-3-662-02267-2 (Russ. ed.: Gromov M.. Differentsial'nye sootnoshenija s chastnymiproizvodnymi. Moscow, Mirpubl., 1990, 536 p).

2. Aranda-Bricaire E., Moog C.H., Pomet J.-B. A Linear Algebraic Framework for Dynamic Feedback Linearization // IEEE Trans. Automatic Control. 1995. Vol. 40, no1. P. 127-132. DOI: 10.1109/9.362886

3. Levine J. Analysis and Control of Nonlinear Systems: A Flatness-based Approach. New-York: Springer-Verlag, 2009. DOI: 10.1007/978-3-642-00839-9

4. Vinogradov A.M., Krasil'shik I.S., Lychagin V.V. Vvedenie v geometriju nelinejnyh differ-entsial'nyh uravnenij [Introduction into geometry of nonlinear differential equations] Moscow, Nauka publ., 1986, 336 p. (in Russian)

5. Chetverikov V.N. Linearization method for the flatness problem and for finding the compatibility operator. Differentsial'nye uravnenija, 2006, vol.42, no. 10, pp. 1518-1527. (English version of journal: Differential Equations, 2006, vol.42, iss. 10, pp. 1479-1489. DOI: 10.1134/S0012266106100120)

6. Chetverikov V.N. Classification and Construction of Invertible Linear Differential Operators on a One-Dimensional Manifold. Nauka I obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the BaumanMSTU, 2014, no. 7, pp. 105-127. DOI: 10.7463/0714.0718107 (in Russian)

7. Chetverikov V.N. Controllability of flat systems. Differentsial'nye uravneniya, 2007, vol. 43, no. 11, pp. 1518-1527. (English version of journal: Differential Equations, 2007, vol.43, no. 11, pp. 1558-1568. DOI: 10.1134/S0012266107110110).

8. Husemoller D. Fibre Bundles. McGraw Hill, 1966. 376 p. (Russ. ed.: Husemoller D. Rass-loennyeprostranstva. Moscow, MirPubl., 1970. 442 p.).

9. Kurosh A.G. Kurs vysshej algebry [Course of Higher Algebra] Moscow, Nauka publ., 1965, 431 p. (in Russian)

10. Chetverikov V. N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties. Forum Math., 2004, Vol. 16, pp. 903-923. DOI: 10.1515/form.2004.16.6.903

11. Spanier E.H. Algebraic Topology. McGraw-Hill, 1966, 528 p. (Russ. ed.: Spanier E.H. Alge-braicheskaia topologiia. Moscow, MirPubl., 1971. 680 p.).