CC BY
2
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 4.
УДК 517.98 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-4-48-62
Оператор сплетения для обобщенного преобразования Данкля
^ 1
на прямой
В. И. Иванов
Иванов Валерий Иванович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула); Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики (г. Москва). e-mail: ivaleryi@mail.ru
Аннотация
В гармоническом анализе на прямой со степенным весом сначала появилось унитарное преобразование Данкля, зависящее от одного параметра к > 0, а затем двупараметриче-ское (к, а)-обобгценное преобразование Фурье, частным случаем которого является преобразование Данкля (а = 2). Наличие параметра а > ^и а = 2 приводит к появлению деформационных свойств, например, для функций из пространства Шварца обобщенное преобразование Фурье может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. В случае последовательности а = 2/(2г + 1), г G Z+, деформационные свойства обобщенного преобразования Фурье весьма слабые и после некоторой замены переменных они исчезают. Получаемое унитарное преобразование при г = 0 дает обычное преобразование Данкля и обладает многими его свойствами. Оно названо обобщенным преобразованием Данкля. В работе определен оператор сплетения, устанавливающий связь дифференциально-разностного оператора второго порядка, для которого ядро обобщенного преобразования Данкля является собственной функцией, с одномерным оператором Лапласа и позволяющий записать ядро в удобном для его оценок виде. В отличие от оператора сплетения для преобразования Данкля он имеет ненулевое ядро. В работе также на основе свойств обобщенного преобразования Данкля устанавливаются свойства (к, а)-обобщенного преобразования Фурье при а = 2/(2г + 1).
Ключевые слова: (к, а)-обобщенное преобразование Фурье, обобщенное преобразование Данкля, оператор обобщенного сдвига, свертка, обобщенные средние.
Библиография: 13 названий. Для цитирования:
В. И. Иванов. Оператор сплетения для обобщенного преобразования Данкля на прямой // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 4, с. 48-62.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-71-30001) в МГУ им. М.В. Ломоносова.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 4.
UDC 517.98
DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-4-48-62
The intertwining operator for the generalized Dunkl transform on
the line2
Ivanov Valerii Ivanovich — doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Tula State University (Tula); Lomonosov Moscow State University Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics (Moscow). e-mail: ivaleryi@mail.ru
In harmonic analysis on a line with power weight, the unitary Dunkl transform first appeared. It depends on only one parameter к > 0. Then the two-parameter (k, a)-generalized Fourier transform appeared, a special case of which is the Dunkl transform (a = 2). The presence of the parameter a > 0 at a = 2 leads to the appearance of deformation properties. For example, for functions in Schwarz space, the generalized Fourier transform may not be infinitely difiterentiable or decay rapidly at infinity. In the case of the sequence a = 2/(2r + 1), r e Z+, the deformation properties of the generalized Fourier transform are very weak and after some change of variables they disappear. The resulting unitary transform for r = 0 gives the usual Dunkl transform and has many of its properties. It is called the generalized Dunkl transform. We define the intertwining operator that establishes a connection between the second-order differential-difference operator, for which the kernel of the generalized Dunkl transform is an eigenfunction, and the one-dimensional Laplace operator and allows us to write the kernel in a form convenient for its estimates. Unlike the intertwining operator for the Dunkl transform, it has a nonzero kernel. In the paper, also on the basis of the properties of the generalized Dunkl transform, the properties of the (k, a)-generalized Fourier transform for a = 2/(2r + 1) are established.
Keywords: (k, a)-generalized Fourier transform, generalized Dunkl transform, generalized translation operator, convolution, generalized means.
Bibliography: 13 titles. For citation:
Ivanov V. I., 2023, "The intertwining operator for the generalized Dunkl transform on the line" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 4, pp. 48-62.
1. Введение
Пусть S (R) — пространство Шварца бесконечно дифференцируемых на R и быстро убывающих на бесконечности функций, Ja(%) — функция Бесселя первого род а порядка а ^ -1/2, ja(x) = 2аГ(а + 1)x-aJa(x) — нормированная функция Бесселя, П — множество алгебраических многочленов, {Pna\t)}^= 0 — многочлены Гегенбауэра, ортогональные на отрезке [-1,1] с весом (1 — t2)a, а > — 1, и нормированные условием Р,1а)(1) = 1,
2The research was supported by a grant from the Russian Science Foundation (project No. 23-71-30001) at Lomonosov Moscow State University.
V. I. Ivanov
Abstract
— символ Похгаммера.
Пусть г € Л > —1/2, (т^х(х) = сх|х|2х+1(х — нормированная мера на прямой М со степенным весом, с-1 = 2х+1Г( Л + 1) (1тх(Ъ) = с\(1 — ¿2)л_1/2^ — вероятностная мера на отрезке [—1,(сх)-1 = ^тгГ(Л + 1/2)/Г(Л + 1).
( , Л)
щепного унитарного преобразования Данкля на прямой
Т,х( Л(х) = ¡(х) ег,х (—ху)йих(х), (1)
ш
V которого ядро
(ху)2г+1
ег,х(хУ) = .] х(хУ) + К—1)Г 22г+1 (Л + ^ ■П+2г+1(хУ) (2)
является целой функцией экспоненциального типа 1 по каждой переменной. Оно имеет интегральное представление (см. [1, 2])
ег,х(ху) = 11 (1 + р£г+/2(1))с™* (тх(-Ь). (3)
Одномерное преобразование Данкля Тх(¡') получается из (1) при г = 0 (см., например, [3]).
В одномерном гармоническом анализе Данкля аналогами первой производной /'(х) и одномерного оператора Лапласа А /(х) = / (х) являются дифференциально-разностный оператор первого порядка
тх п.х) = т + (л+1)Пх) —х(—х)
и лапласиан Данкля
Ах
Дх) = ТЦ(х) = Г(х) + (2Л +1) ^М — (Л + 2) Пх) х1( х)
Ядро преобразования Данкля е х(ху) = &о,х(ху) является собственной функцией этих операторов. В статье [4] определен важный оператор гармонического анализа Данкля — оператор сплетения Ух- В одномерном случае он может быть записан в явном виде
Ух/(х) = ! ¡(хг)(1 + г) (тх(г), х € м.
(4)
Оператор Ух положительный, действует в пространстве С [—К, К], УК > 0 и устанавливает связь между дифференциально-разностными операторами Данкля и обычными дифференциальными операторами
Ух/'(х) = ТхУх!(х), УхА/(х) = АхУх/(х), € С(М).
Он также позволяет записать ядро преобразования Данкля
ех(ху) = Ух{ег()у)(х), х,у € М.
Ядро ег,х(ху) (2) обобщенного преобразования Данкля Тг,х (1) является собственной функцией дифференциально-разностного оператора (см. [1, 2])
Аг^(х) = Ах¡(х) — 2г(г + Л + 1) /(х — /(—х
х
= У(х) + (2 Л + 1) — (2 г(г + Л + 1) + Л + 1) Пх) х(—х)
Пусть
УгЛ(х) = I ^ /(х1)(1 + <1тх(г), х е М. (5)
Оператор Уг,\ действует в простр анстве С [—К, Щ, У Я > 0 и согласно (3)
ег,х(ху) = )(х).
д_1 /2
Если Л ^ 0, то оператор положительный. Так как Р1 ' = то Уо,л =
Наша цель — доказать, что Уг,\ является оператором сплетения для обобщенного преобразования Данкля. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Если г е N А > -1/2, /'' е С(М), то
УГ,ХА/(х) = Аг>хУг,х/(х), х е М. (6)
Замечание. Оператор сплетения У\ (4) является изоморфизмом на П. Оператор сплетения УГ;Л (5) при г ^ 1 имеет ненулевое ядро
г-1
КегУгЛ = {р е П: р(х) = ^ аах2а+1}.
в=о
Пусть а > 0 к ^ 0, 2к + а — 1 > 0 А = (2к-1)/а, Ук,а(х) = |ж|2й+а-2 - степенной вес, Л^к,а(х) = Скуа^к,а(х)йх - нормированная мера на прямой, с-1а = 2аЛГ(А + 1).
В статье [5] определено двупараметрическое (к, а)-обобщенное унитарное преобразование Фурье, которое в одномерном случае имеет вид
)(У) = /(х)Ьк,а(ху) й^к,а(х), (7) Jм
где ядро
= * (2 + ^ г (2 ^ ■ (8)
Оно является обобщением классического преобразования Фурье на случай степенного веса на прямой (а = 2,к = 0), а также обобщением преобразования Данкля (а = 2) (см. [3]). Но в отличие от преобразований Фурье и Данкля, для которых пространство Шварца является инвариантным, обобщенное преобразование Фурье при а = 2 обладает деформационными свойствами и пространство Шварца для него не является инвариантным (см. [1]). В частности, Тк,а($) быстро убывает на бесконечности для любой / е 5 (М), если толь ко а = 2/п, п е N.
Понятно, что деформационные свойства во многом связаны с аргументом | ху |а/2 в ядре (2). Преобразование (1) и ядро (2) получаются из (7) и (8) при а = 2/(2г + 1) г е М, к = (Ха + 1)/2, \ > —1/2, заменой переменных
(2г + 1)1/2х 2^+1 ^ х, (2г + 1)1/2у 2^гг ^ у.
Здесь х2г+1 — обратная функция для х2г+1 на М. При этом мера й^к,а(х) перейдет в меру й!У\(х). Преобразование ТГ)\ с ядром ег,\(ху) становится проще и удобнее для изучения. Установив его свойства, с помощью обратных замен переменных мы получим аналогичные свойства для преобразования Тк,а- Возможно и обратное. Следуя этой методологии в работе устанавливаются свойства (к, а)-обобщенного преобразования Фурье при а = 2/(2г + 1) на основе свойств обобщенного преобразования Данкля, полученных в статьях [1, 2]. В дальнейшем всегда а = 2/(2г + 1) г е Ъ+.
Пусть 1 ^ р ^ ж, Г? (Ж, йр) — лебегово пространство ^-измеримых комплекснозначных функций с конечной нормой
=([ 1 < Н/1и | ¡(х)\, р = ж,
УJМ ' К
С^М) — множество непрерывных ограниченных функций, Со (Ж) — множество непрерывных бесконечно малых на бесконечности функций,
Мы будем писать А < В, если выполнено неравенство А ^ сВ с константой с> 0, зависящей только от несущественных параметров.
В секции 2 доказывается теорема 1. В секции 3 для преобразования определяются операторы обобщенного сдвига и устанавливаются их свойства. В секции 4 для преобразования определяются свертки и обобщенные средние. Для обобщенных средних исследуется Ьр-сходимость и сходимость почти всюду.
2. Доказательство теоремы 1
Равенство (6) достаточно доказать для системы степеней {xn}^=0. Если функция f(x) — четная, то
Ar,\ f(x) = Ax f(x), Vr>xf (x) = Vx f(x),
поэтому равенство (6) верно для мономов x2s. Отметим, что (см. [3, Chap. 16, 16.3(2)])
Vr \x2s = V\x2s = (l/2)s
( A + l)a-
Пусть n = 2s + 1, se Z+. Применяя [6, Гл.16, 16.3(2)], получим
Vrt\x2s+l = x2s+1cxJ1 t2s+1P^~+1/2(t)(1 - t2)X-1/2 dt
28+1 ) 0, S = 0, 1,...,r - 1 = x S (1/2)д+1(Я-г+1)г „ > r (9)
I (A+1)s+r+i , .
Так как Ах = 0 и в силу (9) УГ}\х = 0, то для монома х равенство (6) выполнено. Если 1 ^ в ^ г — 1, то согласно (9) Уг^\х2з+1 = 0 0 ^ в — 1 < г — 1, и вновь применяя (9), получим
УгЛАх2з+1 = 28(28 + 1)УГ,Х х2(з-1)+1 = 0.
Следовательно, равенство (6) для х2^1 при 1 ^ в ^ г — 1 выполнено. Для 8 ^ г
Ar,xx2s+1 = [2s(2s + 1) + (2A + 1)(2s + 1) - (4r(r + A + 1) + 2A + 1)]
2s-1
= 4(s - r)(s + r + A + 1)x2s-1. (10)
Если s = г, то в силу (10) Ar^\x2r+1 = 0 и применяя (9), получим
Ar>\Vr>\x2r+l = (l/2):+1 Г] Ar>\x2r+1 = 0.
(A + 1)2r+1
Опять применяя (9), получим
VrtXAx2r+1 = 2r(2r + 1)Vr>xx2(r-1)+1 = 0.
Следовательно, равенство (6) для х2г+1 выполнено.
Если ^ г + 1, то в — 1 ^ г ш применяя (9), (10), получим
Уг> хАх2 5+1 = 28(2в + 1)К}Хх2<-5-1)+1
= 2з(2з + 1)(1/2) 8(з — г)г х2— = 4(1/2) а+1 (в — г) + ^-1 (* + 1)
(А + 1)в+г
Аналогично, применяя (9), (10), получим
Ал^2-1 = М2)^*- Г + 1)г ¿г, Л ^
(Л + 1) з+г + 1
= 4(1/2)3+1(8 — Г + 1)г(5 — г)(8 + Г + А + 1) ^-1 = 4(1/2)3+1(8 — Г)г+1 х28-1 (Х + ^^^ (А + 1) 5+г
Равенство (6) для х2^1 при в ^ г + 1 также выполнено. Все случаи разобраны. Теорема 1 доказана.
3. Операторы обобщенного сдвига
Пусть Л = (2к — 1)/а = (2г + 1)(к — 1/2) > —1/2. Преобразование ^к,а (7) запишем в виде
)(У)= /(Х)ек,а(—Ху) й^к,а(х),
где ядро
ек,а(ху) = Зх ((2г + 1)(ху)2
1 ч
Г+1
+ +Х+ ^^ + ^)•
Делая замены (2
у = (2г + 1)-<г+1/2)у2г+1, I' (х) = I' ((2Г + 1)-<г+1/2)и2г+1) = к(ь)
и = (2г + 1)1/2х , х = (2г + 1)-<г+1/2)и2г+1, V = (2г + 1)1/2у ^,
(11)
получим
ек,а(ху) = er,x(uv), ^к,а(/)(у) = ТГ)х (h)(v), \\р,а»к1а = \\Цр,<ь,х. (12)
Пусть w = (2г + 1)1/2гг = (2г + 1)-<r+1/2)w2r+1,
/те
ек,а(уг)ек,а(хг)^к,а(!')(г) й^к>а(х), (13)
-те
Гте 1
(х)= М(2Г + 1)(Уг)ек,а(хг)ЪМ)(*) ¿»к,а(*)> (14)
■ '-те
/те
ег,х(уш)ег,х(и'ш)^г,х(Ь)('ш) йих^),
те
/те
те
— операторы обобщенного сдвига для преобразований ^к,а и ^г,х соответственно. Согласно формулам (11), (12)
ти (*) = <хЬ(и), ти (х) = Т?,хН(и). (15)
Пусть
Ао = А — 1/2, А = (и2 + V2 — 2иу г)1/2, Аг = (х + у— 2(ху) 1/2. (16) Для операторов обобщенного сдвига т^ известны представления (см. [2])
т1Ми) = 2 £ {НА) (1 — р^«+р^М^) + рЦ+1 (^))
+Ч—А) (1 — р^т — р) — р<+ (^))} dm.it), (17)
ПхЫи) = 2 11 {/¡(А)(1 +р£+\()) + Н—А)(1 ~р£+1())}Лпл«. (18)
В силу формул (11)
Н{ А) = ¡((2г + 1)-(г+1/2)А2г+1) = /(А2г+1),
поэтому, делая замены (11) в (17), (18) и применяя (15), придем к утверждению.
Теорема 2. Пусть А0 > 0 Аг определено в (16). Для операторов обобщенного сдвига т%а, Т? справедливы, представления
1 1 1 (х) = {/( А*+1) (1 — р^1(1) + рй>(х
1 1
V,' '''
у"+1 "")) + п—АГ1^—р^т
1 1 _1
2г+1 — х 2г+
х2'+ 1в^) — ) } 11тх«). (19)
11
Ти (^Щ + ^^ ))
1 1
+П~ А?+1){1 — рй,(х2Г+1А ))} Лтх[г). (20)
Следствие 1. На, подпространстве четных функций
1
гУк,а/(х) = 11 ¡(А2/+1)(1 — р£+1({)) йтх®.
Пусть \\ег,\(иу)\\ж = \\е-к,а(ху)\\ж = Мг,\, йПуа = тах \р^(¿)\. Справедливы оценки (см.
I-1,1]
[1. 2])
Мг,х < 1 + (кгм, —1/2 < А < 0; Мг,х = 1, А ^ 0. Из формулы (3) для ядра е г,\(ху) вытекает оценка
\(ег,х(ху))^\^МгЛ\у\п, уе М, п е Z+.
Пусть
= {1 + 3(12г+1М, —1/2 < А < 0, ^ \4, А > 0,
м т =\1 + ¿2г+1М, —1/2 <х< 0, Г,Л |1, Л ^ 0.
Учитывая оценки Ьр-норм операторов (см. [2]), равенства (15), получим утвер-
ждение.
Теорема 3. Для всех 1 ^ р ^ ж, у е М; линейные операторы (13) и (14) ограничены в пространствах РР(М, ё/1к,а) и для их норм справедливы, оценки
<М,Х, \\Ча\\Р^Р (21)
На подпространстве четных функций \\т|'а\\р^р ^ М^х. Для любой f е Ьр(М, йцк,а) и любо го х е М
1Т!,а1(х)1Р С1Цк,а(У))1/Р < (1 + ¿2Г+1М )\\/\Ц^а , —1/2 <*< 0
Г \1/р ,, ,
1Паf (х)1РЛ^,а(у)) < Ш^Г А > 0.
Неравенство (21) для оператора т^ при \ ^ 0 доказано в статье [7]. Выражение Аг для записи оператора применялось в статьях [8, 9].
Свойства операторов обобщенного сдвига вытекающие из стойств операторов т^Л,
Т^х в статье [2], собраны в следующем предложении.
Предложение 1. Для операторов обобщенного сдвига (13), (14) справедливы, следующие свойства:
1) если \ ^ 0, ¡(х) ^ 0, то (х) ^ 0; оо
2) /(х) = Т0,а/(х) = /(х);
3) т1а1 = ТУа1 = 1;
4) тк,аек,а(х*) = ек,а(уг)ек,а(хг), Т^аек,а(хг) = з\((2г + 1)(уг) 2-+1)ек,а(хг);
5) если /,д е Ь2(М, йцк,а), т>о
/ тка/(%)д(%)Л^к,а(х)= /(Х)Т-Уад(х) d^^k,a(X), .Ум ' .Ум
/ Тка1 (%)д(%)Л^к,а(Х)= ¡(Х)Т^ад(Х) (11Лк,а(х);
.Ум .Ум
6) если/ е ^(М, йцку0), то
/ Л а/(х)(! Цк,а(х) = /(х)(1 Цк,а(х), .У м .У м
/ Тк,а/(х)(^1Лк,а(X) = ¡(х)(11А,к,а(х); Jм Jм
, 1 1 \2г+1
8 > 0, вирр f С [—8, <5], 1у1 ^8 ш 81 = [1у1 2г+1 + 82^+1) + , то виррт^ а/, вирр С [—51, ]; если 1у1 >5и 52 = (|у| 2г+1 — 82г+1 )2г+1, то т1а Л зирр
зирртГЛ 8иррТ* / С [—51, — 82} и [82, ¿1].
Пусть
1 1
$к,а(М) = {/(х) = Рф2-+1 )+хР2(х2-+1): Р1,Р2 е 5(М), Р1,Р2 — четные},
^^(М) = {Ь(и) = Р1(и) + и2г+1Р2(и): Р1 ,Р2 е 5(М), РЪР2 — четные}.
Известно, что (см. [1, 10])
Ъ,Х(8Г,Х(М)) = 8Г,Х(М), Гк,а(Як,а(М)) = $к,а(М). (22)
Так как для / е 8к,а(М) и х е М произведение
( х ) ( )
= (]х((2г + 1)(хг) 2-+1) + схг]х+2г+1((2г + 1)(хг) 2-+1 ))(Р1(г2-+1) + гР2(г 2-+1))
1 1 1 , . 0 1 1
= {(,]Х(2г+1)(хг) 2-+1)Р1 (г2-+1 )+сх(г2-+1 Г+2.]х+2т+1((2г + 1)(хг) 2-+1)) Р2(г2-+1)}
1 1 1 1 +г{]х((2г + 1)(хг) 2-+1 )Р2(г2-+1)+ сх,]х+2г+1((2г + 1)(хг) 2-+1 )Р1(х2-+1)}
принадлежит 8к,а(М) по переменной х, то в силу (22)
ТУк,а/(х) = Ъ,а(ек,а(х*)^к,а(Л(г))(—У) е 5М(М)
по переменной у. В силу симметрии /(х) по х и у, (х) е ¿к,а(М) по переменной х. Аналогично разбираются случаи операторов обобщенного сдвига (х), т^хЬ(и), Т^хЬ(и). Таким образом, справедливо утверждение.
Предложение 2. Если $ е 8к,а(М), Ь е ^^(М), то по всем переменным
т1а/(х) е ¿к,а(М), ти(х) е 8к,а(М), т",хЬ(и) е 8Г,Х(М), Т?>хЬ(и) е 8Г,Х(М). 4. Свертки и обобщенные средние
х и ( х) Ь( и) ( х) ( и) соотношениями
¡(х) = ¡((2г + 1)-(г+1/2»и2г+1) = Ь(и), д(х) = д((2г + 1)-(г+1/2»и2г+1) = 1(и). Определим четыре свертки
( { *тк,а 9)(х) = ¡(У)(У)dрk,a(У), (! *тк,а 9)(х) = Тка1 (х)g(y)d^^k,a(y), Jм Jм
(Ь *ТгХ 1)(и) = [ Ь(ь)(V) йих(у), (Ь *ТгХ 1)(и) = [ Т?хЬ(и)1(ь) й»х(у). Jм Jм
Функция д(у) в свертке, определяемой оператором Т^а, предполагается четной. Тогда функ-( )
Так как т-хад(у) = т-? I(у), Т%>а/(х) = Т?хЬ(и) (15), то
( / *Тк,а 9)(х) = (Ь *ТГ>Х l)(и), ( / *Тк,а 9)(х) = (Ь *ТГ,Х 1)(и).
Следовательно, свойства сверток, определяемых с помощью преобразования ^г,х, установленные в статье [2], будут справедливы и для сверток, определяемых с помощью преобразования
•к,а■
Теорема 4. Пусть 1 ^ р,д ^ ж 1/Р + 1/Я ^ 1 и1/в = 1/р + 1/д — 1. Если / е ЬР(М, ), д е Рд (М, (1рк,а), то
\\( f *Тк,а 9)\\з,й^к,а ^ МГ,Л1\\рАИк,а Ы\дАЦк,а ,
\\( f *Тк,а 9)\\s,dßk,a ^ Mr,\Wf\\p,dßkJ\g\\q,dßk,a.
Пусть
лк,а = {fe Cb(R): f, Fk,a(f) e L1(M, dßk,a)}. Предложение 3. Если f e Лк,а, g e L1{R,dßka) и g чет,пая, то для, всех х,у e М;
( f *тк,а 9)(х) = (f *Тк,а 9)(х) = Т%аf (х)9{У) dßk,aiy\
Jm
fk,a(f *тк,а g)(y) = Fk,a(f *тк,а g)(y) = Fk,a(f)(y)^k,a(g)(y). Если f e LP(M, dßk,a), 1 ^P < ж, mo (f *Tk a д)(х) = (f *тк>а д)(х) почти всюду.
Пусть £ > 0, ( = Fk,a((), ( e Ak,a, <f(0) = 1 (е(у) = Fk,a(((e())(y) ■ Тогда
(£(y) = e-(2k+a-1)((e-1y), ( e L1(R,dßk,a) ПС0(М), [ (£(y) dßkA(y) = 1.
JR
Под L^(M) далее будем понимать Со(М). Для f e Lp{R,dßka), 1 ^ р ^ ж, определим (к, а)-обобщенные средние
f (х) = (f *ъ,а ()(х) = i f(y)Т-Ха(£(у) dßk,a(у). (23)
jm
( ( ( х)
теореме 4 почти всюду
ФЦ(х)=фТf (х) = а *Тк,а(е)(х)= i TUWipMdßkAy).
Jm
При рассмотрении средних Ф^f (х) будем всегда предполагать, что генератор четный. В силу теоремы 4
\\Kf \\р4»к,а < МГ,А(Ре\\14^к>а \\1\\р4^к>а , \\Ф f \\р4^к>а < \\(Ре\\\4^к>а \\1\\рА^к,а .
Пусть ф(и) = (((2r + 1)-(r+1/2)u2r+1) = ((х), $(v) = Fr,\(ip)(v), $£(v) = Fr,x(tf(eO)))(v). Для четной (функция ф тоже четная. Согласно (11), (12), (15)
ф(у) = ((у), ф,ф e L1(M, dих), ф(0) = 1, $£(v) = е-2(х+1)ф(е-1у),
ф e L1(M, dPx) П С (М), I ф£ (V) dux(v) = 1, T-Z$s(v) = T-Zve(v).
Jm
Если h(u) = (((2r + 1)-(r+1/2">u2r+1) = /(х), то для (г, А)-обобщенных средних
%h(u) = (f ф£)(и) = (f *тк,а (е)(х) = Ф1 !(х). (24)
Таким образом, для ( к, а)-обобщенных средних справедливы те же свойства, что и для ( , А) ния.
Теорема 5. Пусть ( e Ak,a, ((0) = 1. Если f e Lp(M, dßk,a) при 1 ^ p < ж или f e С(М) при р = ж, то
lim \\f- ФТе!\\р4»к,а =0. Обобщенные средние, для которых выполняется теорема 4 называются регулярными.
Следствие 2. Если в условиях теоремы 4 функция <р — четная, то
ш у- фТ f \\Ptd„ka =0.
При доказательстве теоремы 4 для обобщенного преобразования Данкля в статье [2] использовались модули непрерывности
ut(S, h)p,dvx = sup IITr"xh — h\\p,dvx, ШТ(5, h)Ptdvx = sup \\Tr\h — h\\p,dux.
Для деформированного обобщенного преобразования Данкля они будут иметь вид
UT(s, ЛР^а = suP \\tU — f\\p,d^a, ШТ{6, ЛР^а = suP \\TlJ — f\\p,dnk,a .
h
стая связь
Ur (s,f )p,d^a =шт ((2r + 1)1/2S ,h)p,d„x,
ut(S, f)p,d„k,a = ((2r + 1)1/26ir+i, h)p4ux,
то есть они стремятся к нулю при 5 ^ 0 одновременно.
В статье [2] для обобщенного преобразования Данкля исследованы обобщенные средние Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера-Рисса. Все они порождены четными генераторами. Рассмотрим их аналоги для деформированного обобщенного преобразования Данкля или (к, а)-обобщенного преобразования Фурье при а = 2/(2г + 1).
Напомним, что А = (2к — 1)/а. Генератором обобщенных средних Гаусса-Вейерштрасса будет функция ф(х) = е-ха/а E Sk,a(R)■ Известно f5, Theorem 5.1], что
ф = ф eSk,a(R). (25)
Следовательно, обобщенные средние Гаусса-Вейерштрасса регулярные.
Для обобщенных средних Пуассона ф(х) = е-2\х\а/2/а е Sk,a(R). Согласно [6, Гл.8, 8.6(4)]
ф(у) = cv (1 + lyla)-(x+3/2 < (1 + 1у1)-(2к-1+3а/2) и ф е L1(R,dfXk,a). (26)
Обобщенные средние Пуассона также являются регулярными. Для обобщенных средних Бохнера-Рисса
ф(х) = 1^ — ^^, 'Х'^1 ф(у) = cx,r,sjx+s+im1 /а), s > 0
10, |х' ^ 1,
(см. [6, Гл.8, 8.5(33)]). Генератор ф е L1(R,d^ka)• Из асимптотики функции Бесселя [11, Гл.7,
7-1]
№(у)1 < (1 + 'y\)-(2k+a-2+a(&-^-1/2)/2) и ф EL1 (R,d(ik>a), (27)
если только 5 > So = А + 1/2. Число So называют критическим показателем. Если S > So, то обобщенные средние Бохнера-Рисса являются регулярными.
Если ^-сходимость Ф^-средних мы получали на основе известной информации о Lp-сходимости Ф^-средних, то при исследовании сходимости почти всюду удобнее вначале рассмотреть Ф^-средние и изучить их мажоранту
Фг f(x) = sup ф f (x)|.
£>0
Для этого будем использовать функцию распределения
= йцк,а(х) (28)
J{xeМ: \
и пространство ЬР'^СЕ.^!^^) измеримых функций, для которых конечна квазинорма
1
= ( а)) р : а > 0} (29)
(см. [12, Sect. 1.4.1]).
Пространство LP'^(R, dik,a) называют слабым ^-пространством. Имеет место строгое вложение Lp(R,diik,a) С Lp,tx (R, diik,a) и ^ \\I\\p,d^k,a-
При исследовании сходимости почти всюду обобщенных средних Ф1 f (х) будем опираться на следующее утверждение типа теоремы Банаха-Штейнгауза (см., например, [12, Theorem 2.1.14]).'
Предложение 4. Пусть 1 ^ р < х, множество D С LP(R, dik,a) плотно в LP(R, dik,a)■ Если для любой f G Lp(R,dik,a) выполнено неравенство
Wf\\Р,~^к,а < \\f\\p,d»k,a (30)
и для любой f G D обобщенные средние ФЦ(х) сходятся к f(x) почти всюду, то они сходятся, к f(x) почти всюду для любой f G Lp(R,dik,a)-
Неравенство (30) называют слабым Lp-HepaBencTBOM. По теореме 5 в качестве множества D можно взять Со(R). В этом случае будет иметь место даже равномерная сходимость. Для доказательства неравенства (30) нам понадобится максимальная функция Харди-Литтлвуда.
Пусть хе(х) — характеристическая функция множества Е С R. Для функции f G G Lp(R,dik,a) 1 ^ Р ^ х и (к, а)-обобщенного деформированного преобразования Данкля максимальную функцию Mk,af определим с помощью свертки
Mk,a f (х) = sup
Ir f(y)Tk2X[s,s](y) d!k,a(y)
s>0 JrX[-M (y)d!k,a(y) Применяя предложение 4 и четность оператора Ту по у, получим
Mk,a f (х) = sup
Ir Tk,af (х)Х[-в,в] (y)d!k,a(y) Г TU(х)Х[0,з] (y)d!k,a(y)
Лемма 1. Если X ^ 0 1 > 0, четный генератор ф е ф(0) = 1, справедлива, оценка, \Ф(у)\ < (1 + \у\)-(2к+а-1+1) и / е Ьр(М, d|Лk,a)! 1 ^ Р < Ж, то для почти всех х е М
ФТ/(х) < Мк,а\/\(х).
Доказательство. Согласно
предложениям 1, 3, — положительный оператор и для почти всех х, (/ *т ф£)(х) = (/ *т ф£)(х)• Отсюда \Т^а/(х)\ ^ Т^а\/\(х) и
Фг¡(х) = Фт/(х) < 8Пр(\/\ *т Ш(х), Мк,а/(х) < Мк,а\П(х).
£>0
Следовательно, мы можем далее считать, что /(х),ф(у) ^ 0. Используя разложение
те
(Р£(У) = Е (Р£(У)Х[£2з ,e2i+1](У),
3=-<х
равенство (р£(у) = £ (2k+a 1)ip(e 1 у), эквивалентность условия Л = (2к-1)/а ^ 0 условию к ^ 1/2, получим
Tk,af (x)$e(y)dßk,a(y) = / TU(х)1Ре(У)Х[е2^,е2^+1](У) dßk,a(y)
^ . 23
~ £ ^^'r-'iT-2Ï
)-7l 2? \2k+a-^ T^af (х)Х[0,е2^+1](У) dßk,a(y) Л-2?) 10°Х[0,е2i+l](y) dßk,a(y)
< £ (2-^ + 2-(2k+a~)Mk>a f (х) < Мк,а f (х).
3=0
Предложение 5 доказано.
Для максимальной функции Харди-Литтлвуда M k,a f обобщенного преобразования Фурье при а = 2/(2г+1) справедливо слабое ^-неравенство и сильное ^-неравенство при 1 < р < ж [13]. Следовательно, в условиях предложения 5 для мажоранты обобщенных средних Фтf справедливо неравенство (30) и мы приходим к утверждению.
Теорема 6. Пусть X ^ 0 7 > 0 четный генератор p G Ak,a, ((0) = 1, и \((у)\ < (1 + \y\)-(2k+a-l+1^. Если f G Lp(R,dfxk,a), 1 ^ p < го, то почти всюду
? (х) = f(x).
£—S- 0
Учитывая свойства (25)-(27) обобщенных деформированных преобразований Данкля генераторов обобщенных средних Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона и Бохнера-Рисса при S > So, мы получаем их сходимость почти всюду для функций из LP(R, dßk,a), 1 ^ Р < го, если А ^ 0.
Аналогично функции распределения (28), квазинормы (29), пространства Lp,cx (R, dßka) мы можем определить функцию распределения dh,v(а), квазинорму ||h||P,TO,(^A, пространство LP,^(R,dv\). Применяя замены (11), получим
4af (x) = Кл f(u), dftß(a) = dh,v (а),
|/|p,(i/ifc,a = ||h||p,(i^A , 11 f llP,^,dßk,a = ||h||P,<^,(i^A ,
поэтому
Jr Tr,xh(u)X[-t,t](y)d^x(v)
Mr,xh(u) = sup-T---——-= Mk,a f (x)
t>0 hX[-t,t](v)dv\(v)
и
HMr,\hlh,^,dvx < llhh,dvx, IIMr,\hllp,dux < Hhllp,dux, 1 <Р< го. (31)
Аналогично лемме 1 для мажоранты Фтh(u) = sup£>o |Ф£h(u)l доказывается утверждение Лемма 2. Если А ^ 0 7 > 0, четный генератор ф € Аг>\, ф(0) = 1, справедлива, оценка, 1Ф(У)1 < (1 + М)-(2Л+2+7) м h € LP(R, dv\), 1 ^ р < го, т,о для почти всех u € R
Фтh(u) < Мг,лlhl(u).
Применяя для средних Ф£h аналог предложения 4, лемму 2, (31), получим утверждение. Теорема 7. Пусть А ^ 0, 7 > 0, четный генератор ф € Аглл, ф(0) = 1, и 1Ф(У)1 < (1 + 1у\)-(2л+2+1^ . Если f € LP(R,dиЛ), 1 ^ р < го, то почти всюду
lim Ф£h(u) = h(u). £—^0
Как и в предыдущем случае для обобщенных средних Гаусса-Вейерштрасса, Пуассона, > 0
ства LP{R,dv\) имеет место сходимость почти всюду.
5. Заключение
В работе для обобщенного преобразования Данкля определен оператор сплетения, который устанавливает связь дифференциально-разностных операторов с обычными производными и позволяет записать ядро обобщенного преобразования Данкля в виде, удобном для его оценок, включая оценки производных. По-видимому, этот путь, как и в случае преобразования Данкля (см. [3, Chap. 2, 2.4]), можно реализовать в многомерном случае. Дополнительные трудности будут связаны с тем, что ядро оператора сплетения будет ненулевым.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gorbachev D., Ivanov V., Tikhonov S. On the kernel of the ( к, a)-Generalized Fourier transform // Forum of Mathematics, Sigma. 2023. Vol. 11: e72 1-25. Published online by Cambridge University Press: 14 August 2023. Doi: https://doi.org/10.1017/fms.2023.69.
2. Иванов В. И. Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой // Ма-тем. заметки. 2023. Т. 114, № 4. С. 509-524.
3. Rosier М. Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions // Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2002. Vol. 1817. P. 93-135.
4. Dunkl C. F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math. 1991. Vol. 43. P. 1213-1227.
5. Ben Said S., Kobavashi Т., Orsted B. Laguerre semigroup and Dunkl operators // Compos. Math. 2012. Vol. 148, no. 4. P. 1265-1336.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных представлений. Том 2. М.: Наука, 1970. 328 с.
7. Boubatra М.А., Negzaoui S., Sifi M. A new product formula involving Bessel functions // Integral Transforms Spec. Funct. 2022. Vol. 33, no. 3. P. 247-263.
8. Mejjaoli H. Deformed Stockwell transform and applications on the reproducing kernel theory // Int. J. Reprod. Kernels. 2022. Vol. 1, no. 1. P. 1-39.
9. Mejjaoli H., Trimeche K. Localization Operators and Scalogram Associated with the Deformed Hankel Wavelet Transform // Mediterr. J. Math. 2023. Vol. 20, no. 3. Article 186.
10. Иванов В. И. Одномерное ( к, а)-обобщенное преобразование Фурье // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 24, № 4. С. 92-108.
11. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 798 с.
12. Grafacos L. Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249. New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2008. 489 p.
13. Ben Said S., Negzaoui S. Norm inequalities for maximal operators // Journal of Inequalities and Applications. 2022. Article number: 134. https://doi.org/10.1186/sl3660-022-02874-l.
REFERENCES
1. Gorbachev D., Ivanov V., Tikhonov S., 2023, "On the kernel of the ( k, a)-Generalized Fourier transform" , Forum of Mathematics, Sigma, vol. 11: e72 1-25. Published online by Cambridge University Press: 14 August 2023. Doi: https://doi.org/10.1017/fms.2023.69.
2. Ivanov V. I., 2023, "Undeformed generalized Dunkl transform on the line", Math. Notes., vol. 114, no. 4, pp. 509-524.
3. Rosier M., 2002, "Dunkl operators. Theory and applications: in Orthogonal Polynomials and Special Functions" , Lecture Notes in Math. Springer- Verlag, vol. 1817, pp. 93-135.
4. Dunkl C. F., 1991, "Integral kernels with reflection group invariance" , Canad. J. Math., vol. 43, pp. 1213-1227.
5. Saïd S., Kobavashi T., Orsted B., 2012, "Laguerre semigroup and Dunkl operators" , Compos. Math., vol. 148, no. 4, pp. 1265-1336.
6. Bateman H., Erdfelvi A., 1954, "Tables of Integral Transforms, Vol. II" , New York: McGraw Hill Book Company, 451 p.
7. Boubatra M. A., Negzaoui S., Sifi M., 2022, "A new product formula involving Bessel functions" , Integral Transforms Spec. Funct., vol. 33, no. 3, pp. 247-263.
8. Mejjaoli H., 2022, "Deformed Stockwell transform and applications on the reproducing kernel theory" , Int. J. Reprod. Kernels, vol. 1, no. 1, pp. 1-39.
9. Mejjaoli H., Trimèche K., 2023, "Localization Operators and Scalogram Associated with the Deformed Hankel Wavelet Transform" , Mediterr. J. Math., vol. 20, no. 3, Article 186.
10. Ivanov V. I., 2023, "One-dimensional (k, a)-generalized Fourier transform", Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, vol. 24, no. 4, pp. 92-108. (In Russian)
11. Watson G.N., 1995, "A Treatise on the Theory of Bessel Functions", Cambridge: Cambridge University Press, 804 p.
12. Grafacos L., 2008, "Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249" , New York: Springer Science+Business Media, LLC, 489 p.
13. Ben Saïd S., Negzaoui S., 2022, "Norm inequalities for maximal operators" , Journal of Inequalities and Applications, Article number: 134. https://doi.org/10.1186/sl3660-022-02874-l.
Получено 13.09.2023 Принято в печать: 11.12.2023
