Оператор дифференцирования с разрывной весовой функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

слагаемого, стоящего в правой части выражения (7), будет иметь порядок rl-1e-r£ на отрезке [е, 1].

Из вышесказанного следует, что соотношения (5) выполняются для любой u(x) Е Cк[0,1]. Но множество функций, k раз непрерывно дифференцируемых, всюду плотно в пространстве C [0,1] по теореме Вейер-штрасса.

Далее, нормы операторов ^kr, рассматриваемых как операторы из C[0,1] в C[е, 1], ограничены константами, не зависягцими от г, поскольку

11^кгиУс [е,1] = ll^lr («k-1)uNc [е,1] = ||^1r ... (^1ru) || C[e,1] < | |uN C [0,1].

По теореме Банаха — Штейнгауза соотношение (5) справедливо для любой u Е C[0,1].

Аналогично доказывается сходимость (6).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов A.A. Решение интегральных уравнений е помощью резольвент простейших дифференциальных операторов // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2009, Т. 9, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 1, С, 52-58,

УДК 517.984

А.П. Хромов

ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С РАЗРЫВНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

Обозначим через £ оператор: Ьу = х Е [0,1], р(х) = а при

х Е [0,1 ], р(х) = & при х Е [ 1, 1], а > 0 & > 0, с краевым условием:

у(0) = у(1).

В настоящей статье получена теорема равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям оператора Ь и в обычный тригонометрический ряд Фурье и аналог теоремы Жордана - Дирихле.

В случае знакопеременной р(х) оператор Ь изучался в работе [1]. А для самосопряженного оператора Штурма - Лиувилля с разрывной весовой функцией В.А. Ильин [2] получил теорему равносходимости в точке разрыва, а Н.П. Купцов [3, с. 201-205] получил аналог теоремы Дирихле.

Пусть у = Яд/ = (Ь — АЕ)-1/, где А — спектральный параметр, Е — единичный оператор. Тогда

Р(х)У/(х) — АУ(х) = / (х^ (1)

y(0) = y(1).

Перейдем от (1), (2) к следующей системе:

ay[(x) - Ayi(x) = /i(x),

by2(х) - ХУ2(х) = f2(x) yi(0)= y 2 (1 / 2), yi(1/2) = У2(0),

(3)

(4)

(5)

где yi (x) = y(x) ^2(x) = y(2 + x), fi(x) = f (x), f2(x) = f (2 + x) x e 1 ]. Пусть R a F = ((R aF )i? (RaF )2)T (T — знак транспонирования) и F (x) = = (/i(x),/2(x))T.

Лемма 1. Если X таково, что eue тема (3) - (5) щи, fi(x) = 0 (i = = 1, 2) имеет только нулевое решение, то справедлива формула

i?лФ = длФ + V(x, X)A-i(X)U(длФ),

(6)

го>е Ф(х) = (Ф^х), Ф2(х))т = , ^

длФ =

T

/ i/2 i/2 - i eMl(x"^i(t) dt, - i eM2(x-t^2(t) dt

T

npw Re X > 0,

V

У

T

длф= | / е^^Ф^) ^(¿О (И I при Ие Л< 0,

,0 0 V(х,Л) = diag (еМ1Ж, еМ2Ж)7 д = Ла—1, д = ЛЬ-^Д(Л) = и(V(х,Л)) =

= Мо V (0, Л) + М^(± ,Л)7Мо = ^ 0)' М1 = (_1 "01)-

Обозначим д(Л) = det Д(Л) = 1 — е2Ясно, что нули д(Л) являются собственными значениями системы (3) - (5). Обозначим через область, получающуюся из Л-плоскости удалением всех нулей д(Л) вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса д. Тогда имеют место оценки:

|д(Л)| > С|е2(^2)|, ИеЛ > 0, (7)

|д(Л)| > С, Ие Л < 0, (8)

где С > 0 и те зависит от Л Л Е Ss. Лемма 2. Имеют место формулы:

A(X) =

1

e 2

M2

, A-i(X) =

e 2

Mi

xii xi2 x2i x22

x

1

где х11 = х22 = -Щ, х12 = щуе1 Х21 = щ е1

Лемма 3. Положим П(ж,Л; /) = ^2}т = V(ж,Л)А—1 (Л)и(#аФ)-Тогда в S§ справедливы оценки,:

Щж,Л; /) = 0(е-№( 1 —х)||/Ц1), если ИеЛ > 0,

^¿(ж, Л; /) = 0(е^х||/Ц0, если Ие Л < 0.

Здесь ||/1|1 = / |/(*)| о

Утверждение леммы следует из (7), (8) и леммы 2. Обозначим через ЯДЕ решение системы (3), (4) с краевыми условиями Уг(0) = у«(1/2) (г =1,2).

Тогда, используя леммы 1 и 3, получаем

Лемма 4. Если /(ж) е Ь[0,1], то

Нш

г—7>00

J [ЯдЕ - ЯДЕ] ¿Л

|Д|=г

= 0,

[е, 2-е]

где 0 < £ < 2; || • ||[е1 -е] _ норма С [г, 1 — г] в пространстве вектор-

2

Обозпачим через Sг (/, ж) частичную сумму ряда Фурье функции ](ж) по собственным и присоединенным функциям оператора Ь для собственных значений для которых Л| < т. Тогда

1

2пг У V" 2

|Д|=г

&(/, ж) = —— I (ЯдЕ),- ж — ^ — 1) ¿Л, (9)

ж е [2(; — 1), 2;] (; = 1,2). Из леммы 4 получаем

Теорема 1. Длл любой /(ж) е Ь[0,1] имеет место

> г \ I . .1 I р (ж) О^ т-1(х) (./", ж )

г

11ш (/,ж) — Р (ж)о^,гр-1(х)(/,ж)||С[Пе] = 0,

г<?е о^,г(/, ж) — частичная сумма ряда Фурье функции /(ж) по системе {е4^^}—^ рассматриваемой на от,резке [2(^ — 1), 2^'] (^ = 1, 2); для тех к, для кот,орых |4кп| < т; = [г, 1 — г] и [2 — £, 1 — £ > 0.

Приступаем к получению аналога теоремы Жордана — Дирихле. Используя леммы 1 и 2, получаем

Лемма 5. Если f (x) Е C[0,1] П V[0,1] w f (0) = f (1)7 то справедливы формулы:

1/2 1/2 (RRлF)i = - ifi(x) - i I ^l(x-t) dfi(t) + X^J ^l(x-t) dfi(t) +

x 0

1/2

+ J eMlxe-M2t df2 (t),

0

1/2 1/2 №F)2 = - if2(x) - Ц e^2(x-t) df2(t) + x^J eM2Xe-Mlt df1(t)+

x0

1/2

+ ^ J eM2 (x-t) df2 (t).

0

Теорема 2. £o/rn f (x) Е C[0,1] П V[0,1] w f (0) = f (1)7 то

lim ||f(x) - Sr(f,x)||c[0 1] = a

r^TO L ' J

Утверждение теоремы следует из представления (9), лемм 2, 5 и оценок (7), (8).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Гуревич А.П., Хромов А.П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Мат, заметки, 1994, Т. 56, JVS 4, С. 3-15.

2, Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Мат, заметки, 1977, Т. 22, 5, С. 679-698.

3, Купцов Н.П. Об аналоге теоремы Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, М,: Физматгиз, 1961.