О равномерной сходимости разложений по собственным функциям дифференциального оператора с инволюцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Эта последовательность индуцирует естественную по (X, т) точную длинную гомологическую последовательность:

H(D(t+1)[X)/D(t)(X)) -^ H(C(t)(X))

¿ \ h(C(t+1)(X)) ^^Р*

Нетрудно показать, что

H (D(t+1)(X )/D(t)(X )) = 0.

Поэтому точность длинной последовательности означает выполнение равенств

Ker р* = Im i* = 0, Im р* = Ker ô = H(C(t)(X)). В этом случае имеем естественный по (X, т) изоморфизм:

р* : H (C (t)(X )) = H (C (t+1)(X )).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Спеньер Э. Алгебраическая топология, М,: Мир, 1971,

2, Небалу ев С.И.,Кляева И. А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологии // Вестн, Самар, ун-та, Самара: Самарский университет, 2007, Вып. 7 (57). С. 134-151.

3, Zeeman E.S. The topologv of brain and visual perception. The Topologv of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed), 1962.

4. Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2006.

УДК 517.984

В.В. Корнев

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНВОЛЮЦИЕЙ

Пусть 0(x) — непрерывная па отрезке [0,1] функция, трижды непрерывно дифференцируемая на (0,1) 0'(x) < 0 #(0) = 1, 0(1) = 0 и 9(9(x)) = x. Предположим также, что в некоторой окрестности нуля 0'(x) = —xa, а > 0.

0(x) x = 1

0(x)

Ly = ¿У(0(x)),

область определения которого состоит из абсолютно непрерывных функций у (ж), удовлетворяющих условию у (1) = 0, и таких, что у' (9(х))9' (х) £ Ь[0,1].

Для разложений по собственным функциям оператора Ь справедлив следующий достаточный признак их равномерной сходимости, который можно рассматривать как аналог известного признака Жордана из теории тригонометрических рядов Фурье.

Теорема. Пусть функции /(х) и /(ж)(1 — х)-а (1+а) суммируемы на [0,1], а на отрезке [а,Ь] С (0,1) функция /(х) непрерывна и имеет ограниченную вариацию. Тогда, на любом отрезке [а1, Ь1] С (а, Ь) ряд Фурье функции /(х) по собственным функциям, оператора Ь равномерно сходится к

/ (ж).

Доказательство. Обозначим через 01(х) произвольную функцию со следующими свойствами: 01(х) £ С3[0,1], 9'(ж) < 0 9^0) = 1 9^1) = 0,

01(01(х)) = ж и 91(х) = 9(ж) при £ < ж < 1 — е, е = тт{а, 1 — Ь}.

1 _

Положим в = / \/—9\ (£) и введем в рассмотрение функцию : о

[0,в] — [0,1], которая удовлетворяет соотношению \/—9' (£) (И = ^ .

Нетрудно показать, что ) — непрерывно дифференцируемая функция и ) > 0.

Рассмотрим теперь па отрезке [0,в] функцию ) = /)). Из свойств функции ) следует, что ) суммируема на [0, в], непрерывна па [£а, <^Ь] = = 1(а), 1(Ь)] и имеет на этом отрезке ограниченную вариацию. Тогда по теореме Жордана [1, с. 121] на любом отрезке [а, Ь] С (£а,£&) справедливо соотношение

||аг(/ь£) — [й,ь] = 0,

г—1 ' J

где оу (/ь£) — частичная сумма ряда Фурье функции ) по системе {ехр2кв—то тем к, для которых |2кп| < вг- Из этого соотношения следует, что на любом отрезке [а1,Ь1] С (а,Ь) имеет место следующая сходимость:

Нт ^г(/ъО^-Чх) — /(ж) г = ° (1)

г—с [а1,Ь1]

Рассмотрим теперь оператор Ь-\ обратный к оператору Ь. Он действует в пространстве Ь[0,1] по формуле

0(ж)

Ь—1/ = | /(*) (2)

о

Для интегрального оператора (2) в работе [2] была получена теорема равносходимости, согласно которой

Нт 11Я(/,ж) — ^г(/ъ£)|е=^-1(х)|с[а1,Ь1] =0 , (3)

где Sr(/, х) — частичная сумма ряда Фурье функции ] по собственным функциям оператора (2), соответствующая характеристическим значениям из круга |А| < г. Так как собственные функции операторов Ь и Ь-1 совпадают, то из соотношений (1) и (3) следует утверждение теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1) и РФФИ (проект 06-01-00003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М,: Физматгиз, 1961. 936 с.

2. Корпев В.В., Хромов А.П. О сходимости разложений по собственным функциям интегрального оператора с инволюцией, имеющей особенность // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Сарат. зимней шк,, посвящ. памяти акад. П.Л. Ульянова. Саратов, 28 янв. - 4 февр. 2008. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. С. 94-95.

УДК 517.984

O.A. Королёва

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ С ЯДРОМ, РАЗРЫВНЫМ НА ЛОМАНЫХ ЛИНИЯХ

Равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) интегральных операторов с ядрами, разрывными на ломаных линиях, впервые ввел в рассмотрение А.П. Хромов [1]. В статье изучается один частный случай такого оператора.

1. Резольвента оператора

Рассмотрим интегральный оператор

1

y(x) = Af = J A (x,t) f (t)dt, (1)

о

ядро которого A (x,t) имеет вид

A(x,t) =

а1, 0 < t < 1/2 - x

a5, 1/2 - x < t < 1/2 + x

a2, 1/2 + x < t < 1

a3, 0 < t <-1/2 + x

äs, -1/2 + x < t < 3/2 - x

a4, 3/2 - x < t < 1

0 < x < 1/2,

(2)

1/2 < x < 1.