Об одном интегральном операторе с разрывным пределом интегрирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

|^(/(•) - /(хо),хо) - ЬП1(д,Хо)| =

Е

(/(хк,и) - / Ы)1йЫ

к:жй,„€[0,п]\0й (хо)

<

неравенства (4) и соответствующего выбора п получим

(/, хо) - / Ы| <

Е (/(®к,п) - /Ы)©Х0)

к:хк,п&06 (хо)

+

+

Е

(/(хк,п) - /(х0))1£ПЫ

к:хк,пе[0,п|\05 (хо)

+ е <

Е (/- /ы)Сы

к:хк,„еОг (хо)

+

2М , , 7

+2е <- (^Хо (х)ах + 4е < 5е.

п ]хо-5

Таким образом, теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения: М.. 1953, Т. 1, 2,

2, Трынин А.Ю. Сходимость интерполяционных процессов по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля: дис, ... канд. физ.-мат, наук, Саратов, 1992, 121 с.

3, Трынин А.Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа—Штурма—Лиувилля, Саратов, 1991, 32 с, Деп, в ВИНИТИ 26,04,91, № 1763-В91,

УДК 517.984

А.Е. Федосеев

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ С РАЗРЫВНЫМ ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

В данной статье получена теорема равносходимости разложений в тригонометрические ряды Фурье и в ряды по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, в котором верхний предел интегрирования является разрывной функцией.

Обозначим через А оператор, действующий в пространстве L[0,1]:

0(х)

Л/ = ! /(г) ¿г, х е [0,1], (1)

о

где 0(х) = х + 2 при х е [0, , 0(х) = 1 — х при х е , 1].

Оператор вида (1) в случае, когда функция 0(х) является инволюцией, то есть 0(0(х)) = х, был рассмотрен в работе [1]. В данном случае 0(х) инволюцией не является. Для доказательства теоремы равносходимости разложений в тригонометрические ряды Фурье и в ряды по собственным и присоединенным функциям оператора (1) используется метод, предложенный в [2].

Пусть у = Яд(Л)/ = (I — АЛ)- 1Л/ где I — единичный оператор, Л — спектральный параметр. Рассмотрим краевую задачу:

v'(x) = ЛDv(x) + Dm(x), x £

(2)

Po v(0) + Prv ( Л = 0, (3)

T

где v(x) = (vj(x)) D = (üij)4j=1, aj = 0, за исключением a41 = ai2 = -a-23 = -аз4 = 1 m(x) = (/(x), f + x) , f (2 - x) ,f (1 - x

'Qi ЯЛ P = f 0 0 '

0 0 ,P1 \Q2 Qi

т

P0 = ( n n ) , Pr = (/о ел ) , матрицы P0, P1 размерноети 4 x 4,

Qi = (0 , Q2 = (0 у , (T - знак транспонирования).

Теорема 1. Если v(x) является решением краевой задачи (2), (3), а соответствующая однородная краевая, задача имеет только нулевое решение, то Я\(А) сущестуует и R\(Ä)f = vr(x) при x £ [0, R\(Ä)f = v2 (x — 2>) npu x £ [1, 1].

Обозначим через = 1, w2 = —i,u3 = i, w4 = — 1 — собственные значения матрицы D. Тогда, если Л £ S0 = {Л £ C :0 < arg Л < |}, то

ReAwr > ИеЛы2 > 0 > ИеЛы3 > ИеЛы4.

Положим v = rh, где h(x) — вектор той же размерное ти что и v(x), Г = (7j)4,j=1, Yj = 1, 7j = (—1)i^j—1- Задача (2), (3) перейдет в задачу

h'(x) = ЛD1h(x) + m1(x), (4)

и (Л) = РоЩО) + РхГ^ 0 = 0, (5)

где Ш1(х) = Г-1Лш(х), Г-1ЛГ = ^ = diag(w1,

Рассмотрим дополнительную краевую задачу, в которой дифференциальное уравнение то же, что и в (4), а краевые условия являются периодическими:

и'(х) = ЛЛ1м(х) + т1(х), (6)

ио(и) = и(0) - п(^ =0. (7)

Обозначим

'ф,£)ел<^(x—t), ReA^j < 0,

gj (x^ A) =

j <

—e(t, x)e^'(x—t), ReA^j > 0,j = M,

g(x,t, A) = diag(gi(x,t, A),... ,g4(x,t, A)),

i 2

g^^x) = J g(x,t,A)m1(t) dt, 0

, .. J1, t < x

где dx, t) = <

v 7 [0, t>x.

Теорема 2. Если A таково, чmo A-1 (A) и A-1 (A) существуют, то для решения h(x) = h(x,A) задачи (4), (5) и решения u(x) = u(x,A) задачи (6), (7) имеет место формулы

h(x, A) = — Y(x,A)A (A) J Ux (g(x,t,A)) m1(t) dt + g^1 (x),

0

u(x, A) = —Y(x, A)A0 (A) у Uox (g(x,t,A)) m1(t) dt + gлml(x),

0

где Y (x, A) = &ag(e^ix,...,e^4x)7 A(A) = РоГ — P^Y (1Ao (A) = = E — Y (2, A)7 Ux w U0x означает, что U и U0 применяется к g(x,t,A) x

2

Обозначим через Л1,..., Лт,... нули функции А(Л) в рассматриваемом секторе. Выберем число Ö > 0 так, что |Лт — Лп| > Ö при m = n. Введем область

Л £ So : |Л — Лт| > Л — i- > = 1,4, k £ Z L

Лемма 1. Если x £ [г, 1 — £, £ £ (0, Л £ Ss то

||Y(x, Л)А—1(Л)||С[£-1 —£] = O (e—eReAw2 + eeReA"30 ,

||Y(x, Л)А—1(Л)|с[£-1 —] = O (e—eReAw2 + 0 .

Аналогичные оценки получаются при | < arg Л < 2п. Лемма 2. Имеют место оценки:

||gAmi(x)||TO = O(||f Ц1), ||gA x(x)|U = 0(Л—1),

где компоненты вектор-функции x(x) являются характеристически-

1

ми функциями отрезков из [0, ^ ||f || = f |f (t)| di7 || • ||TO — норма

6i»[0,1]. 0

Используя метод контурного интегрирования получаем теорему. Теорема 3 (равносходимости). Для любой функции f (x) £ L[0,1]

имеют место соотношения

4

lim

r—т^ОО

lim

r—7^00

Sr (f, x) —У2 1 ar (m1j, x) Л u j

j=1

Sr (f, x) — ^ tfr ^ m1j , x —

= 0,

C [£-1 —]

C [2 +e-1—e] 0

где £г(/, х) — частичная сум,м,а, ряда Фурье по с.п.ф. оператора Л

для тех характеристических чисел Л&7 для которых А| < г; 7^ —

компоненты матрицы Г Г-1= ^ = йгад(со1,..., (х>4); оу(/, х) —

частичная сумма ряда Фурье по системе |ег4п^х} на отрезке [0, при

г

таких к е что |к| < —; — компоненты т1 (х), £ е (0,1) .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кувардина Л.П., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора с инволюцией // Изв. вузов. Сер. Математика. 2008. № 5. С. 67-76.

2. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, вып. 11. С. 115-142.