ОПЕРАТИВНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА ФЛУКТУАЦИЙ ДОПЛЕРОВСКОГО СДВИГА ЧАСТОТЫ СИГНАЛА В ГОРИЗОНТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОМ КАНАЛЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

у

Ageeva E. T.

Senior Lecturer at the Department of Physics Bratsk State University, Russia.

Afanasiev N. T. Doctor of Sciences, Full Professor,

Professor at the Department of Radio Physics Irkutsk State University, Russia Kim D.Ch.

Candidate of Physical-Mathematical Sciences Head of the Department of Physics, Bratsk State University, Russia.

Агеева Елена Тимофеевна

старший преподаватель кафедры физики,

Братский государственный университет, Афанасьев Николай Тихонович доктор физико-математических наук, профессор профессор кафедры радиофизики, Иркутский государственный университет,

Ким Де Чан,

кандидат физико-математических наук заведующий кафедры физики, Братский государственный университет

ОПЕРАТИВНАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА ФЛУКТУАЦИЙ ДОПЛЕРОВСКОГО СДВИГА ЧАСТОТЫ СИГНАЛА В ГОРИЗОНТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОМ

КАНАЛЕ

FAST TECHNIQUE FOR CALCULATING FLUCTUATIONS OF THE DOPPLER SIGNAL FREQUENCY SHIFT IN A HORIZONTALLY NON-UNIFORM

CHANNEL

We have proposed the technique for fast calculations of fluctuations of the Doppler signal frequency shift in a horizontally non-uniform channel with random inhomogeneities. We have applied the approximation of geometrical optics and the perturbation method. The technique is based on the numerical integration of differential equations for the rays and for the dispersion of the Doppler frequency shift. The chaotic motion of inhomogenei-ties is taken into account according to the Taylor frozen turbulence hypothesis. We have shown an operation example of the technique for the fast prediction of the standard deviation of the Doppler signal frequency shift in a non-stationary channel.

Keywords: signal propagation, technique, horizontally non-uniform channel, random media, Doppler frequency shift.

Предложена методика оперативного расчета флуктуаций доплеровского смещения частоты сигнала в горизонтально-неоднородном канале со случайными неоднородностями. Используется приближение геометрической оптики и метод возмущений. Основу методики составляет численное интегрирование дифференциальных уравнений для лучей и дисперсии доплеровского сдвига частоты. Хаотическое движение неоднородностей учтено в рамках гипотезы о переносе замороженной турбулентности. Приведен пример работы методики для оперативного предсказания среднеквадратического значения доплеровско-го смещения частоты сигнала в нестационарном канале.

Ключевые слова: распространение сигналов, методика, горизонтально-неоднородный канал, случайные среды, доплеровское смещение частоты.

Введение

Для предсказания характеристик сигнала в информационном канале, подверженном случайным воздействиям, часто используют численные алгоритмы, основанные на методе Монте-Карло [1]. Однако метод статистических испытаний не только требует значительных временных затрат, но и оставляет открытым вопрос о глубоких ана-

литических связях флуктуаций характеристик сигнала и параметров случайных воздействий.

В последние годы в вероятностных исследованиях структуры сигнала в информационных каналах различной природы получены значительные результаты благодаря использованию теории случайных полей [2,3]. Рассматривая канал как динамическую систему, подверженную случайным воздействиям, можно получить приближенные

аналитические соотношения между характеристиками передаваемого сигнала и параметрами канала и оперативно рассчитать статистические моменты сигнала. Одним из мощных методов теории случайных полей является приближение геометрической оптики [2-4]. Для расчета флуктуирующих лучей, характеризующих структуру передаваемых сигналов используется нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная путем решения стохастического нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, принадлежащего к классу уравнений Гамильтона-Якоби. Последнее, в свою очередь, является результатом решения стохастического волнового уравнения [2].

Для оценки статистических характеристик сигнала в информационном канале, подверженном не только пространственным, но и временным случайным воздействиям требуются дополнительные расчеты флуктуаций рабочей частоты сигнала, связанных с эффектом Доплера. Оперативный расчет ожидаемых статистических доплеровских характеристик сигнала имеет большое значение для прогнозирования надежности связи между корреспондентами, для точностных измерительных задач, а также задач диагностики параметров канала.

Ранее в работах [5,6] нами было проведено математическое моделирование флуктуаций до-плеровского сдвига частоты сигнала при распространении в хаотическом нестационарном канале, в среднем горизонтально-однородном. Между тем имеется ряд прикладных задач, когда горизонтальная изменчивость регулярной составляющей среды канала имеет принципиальное значение при оценке флуктуаций доплеровских характеристик сигнала. В частности, существенное влияние на процессы распространения и рассеяния декамет-ровых радиосигналов в канале Земля-ионосфера оказывают горизонтальные градиенты электронной концентрации околоземной плазмы в периоды восхода и захода Солнца [7]. Важно уметь оперативно оценить воздействие горизонтальной измен-

чивости среды на флуктуации доплеровских характеристик сигналов при распространении в оптоволоконном, акустическом и гидроакустическом каналах [8-10].

Целью настоящей работы является создание оперативной методики расчета флуктуаций допле-ровского смещения частоты сигнала в горизонтально-неоднородном канале со случайными не-однородностями.

Основные теоретические соотношения Согласно определению [3], доплеровский сдвиг частоты сигнала, принятого в пункте назначения есть:

с дР

Ас =---,

с дт

(1)

где т - время, С - частота, Р - фазовый путь сигнала, С - скорость света в вакууме.

В приближении геометрической оптики имеем [3]:

Ас = -

с

д_ дт

\-\Jsiх, у, г,т) ■ dS,

где Б - функция диэлектрической проницаемости среды канала, а интегрирование проводится по дуге S , соединяющей корреспондентов. Представляя Б в виде суммы:

б( х, у, г,т) = Б0 (х, т) + Б1 (х, у, z, т) , (3)

где Бо (X, z, т) регулярная функция диэлектрической проницаемости, характеризующая горизонтальную неоднородность нестационарного канала; Б1 (X, у, z, т) - случайная функция, описывающая движущиеся хаотические неоднородности канала. Полагая Б << Бо и применяя для расчета фазового пути Р метод возмущений, в первом приближении имеем:

Р=Р+Р = =■ dx+1X ■ ^

* С1П Я Л С 1 -п

вШ Д 0 вШ Д , 2 0 лБО ■ ^П До

(4)

где Д - угол рефракции луча в канале; тегрирование в (4) проводится по регулярной тра-^ ектории в горизонтально-неоднородном канале,

Р0, Д0 - фазовый путь и угол рефракции луча в являющейся решением системы лучевых уравне-

регулярном канале; Р - флуктуации фазового пу- ний [11,12]: ти; х - дистанция между корреспондентами. Ин-

dzn 1—

'"\]Бо ■ До. (5)

= Сд

= с

Л dt

■ = с

dt dt

дл/Б0 а д4Бо . а

■ соб Д0 - с--Б1п Д0.

4ё~о ■ Б1п До.

дх„

дzn

(6)

(7)

с

0

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #14, 2016 где Z0 , -характеризуют невозмущенную групповог° ташздататя стг-гат

траекторию луча,

dt =

dS

элемент времени

Подставляя (4) в (1), для доплеровского сдвига частоты сигнала имеем:

СЛ е

А— = А—0 + А— = -— • — с дт

Г^ • dx + fe J sin Д J К

dx

е 2 •sin До

(8)

Здесь детерминированная (средняя) составляющая доплеровского смещения частоты:

А— = -

— д } л/ео , —

---I--dx =--

с дт J0 sin Д с

xt 1

деп dx

jo дт sin до

Переходя к переменной t, получаем:

. со f ds0 , Дюп =---I —0 • dt.

0 2 J

где tK - время группового запаздывания сигнала в пункте приема. Для флуктуации доплеровского смещения частоты имеем:

— д

А— =----

1 2c дт

Л,

jj-e

dx

Л

0V ео sin До

xt j

+

—

2c

— 2с

•ч

JJ

1

де

• sin До дт

1 • dx

1 деп

sin До 2Л е3 дт

• dx

(9)

(10)

+

(11)

Считая скорости движения хаотических неод-нородностей много больше скорости изменения

регулярной составляющей канала (

де де —0 «—1 ), дт дт

последнее выражение упрощается. Переходя в (11) к переменной t , окончательно получаем:

со к А—1 = -—j

де1

2 J0 дт

dt. (12)

Используя (12), нетрудно получить выражение для дисперсии доплеровского смещения частоты сигнала:

2 ч 2 — где, (т, ) , — г

а— =<(А—)2 >=<-•-j-^• dtj • -•j

о дт1

•де1( x2)

„ 2 tк tк

—2 И< де1(т1) де1(т2)

о

2 tк tк

дт

• dt2 >=

4

дт

дт

> dtxdt2 = j j

<

д2 N

дт • дт2

> dt^tj.

(13)

где N - пространственно-временная функция корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости канала, знак < > - означает усреднение по ансамблю неоднородностей.

Для расчета интеграла (13) необходимо задать явный вид функции N . В общем случае эта функция неизвестна. Между тем, оценка флуктуаций доплеровского смещения частоты сигнала в информационном канале возможна на основе модели случайно-неоднородной среды канала с обобщенными (интегральными) свойствами. В данном направлении были получены важные результаты благодаря введению представлений о гауссовом корреляционном эллипсоиде, эффективно описывающим случайные неоднородности среды [2,3] и позволяющим существенно упростить аналитиче-

ские расчеты статистических моментов сигнала. Следует заметить, что реальные информационные каналы могут содержать хаотические неоднородности многих масштабов, которые описываются степенным спектром [4]. Тем не менее при расчетах низших моментов фазовых флуктуаций сигнала можно использовать гауссов спектр неоднород-ностей с эффективными параметрами. В частности исследования [13-15] показали, что при расчетах дисперсии фазы сигнала в многомасштабной случайно-неоднородной среде можно использовать гауссову модель корреляционного эллипсоида, если в качестве пространственного масштаба неод-нородностей считать внешний масштаб турбулентности, заданной степенным спектром. Связано это с тем, что высокочастотная часть спектра не-однородностей в большей степени оказывает вли-

x

x

о

о

о

0 0

0 0

Wschodnioeuropejskie Czasopismo Naukowe (East European Scientific Journal) #14, 2016 äül яние на амплитуду сигнала и в меньшей степени использовали корреляционную функцию, характе-на его фазу [2]. ризующую квазиоднородное поле случайных не-

Для описания пространственно-временной однородностей [3]: статистической изменчивости среды канала мы

+ x2 yx + y2 + z2 тх +Т2Л

N = N

v

2

2

2

2

• N0 (x1 - X2' У1 - У2' Z1 - Z2' Т1

Т2 )

(14)

где Т1, Х2 - последовательные моменты времени.

Движение неоднородностей учитывалось в рамках гипотезы о переносе замороженной турбу-

N0 = exp

лентности [2]. Однородная часть корреляционной функции (14) задавалась в различных видах. Прежде всего, рассматривалась зависимость:

(15)

f X1 x2 2 Z1 - Z2 - Vz (Т -Т2) 2 ^

a a

v

где V, - вертикальная скорость движения слу- изменяется во времени более медленно по сравне-

чайного поля неоднородностей, а - простран- нию с функцией Nо. Подставляя (14), (15) в

ственный радиус корреляции случайных неодно- формулу (13) и проводя интегрирование по сум-

N марно-разностным переменным [2], имеем:

родностей. Предполагалось, что составляющая

Ю

Oz =■

2Vz2 • N1 sin2 ß ~ " cJe,

2

a

dt.

(16)

В случае, когда случайное поле неоднородно- однородная часть корреляционной функции зада-

стей перемещается вдоль оси x со скоростью V N0 = exp

валась в виде:

f Z1 - Z 2 2 X1 - X2 - Vx (Т1 Т2 ) 2 ^

v a _ b _ J

(17)

Подставляя (17) в (13) и проводя суммарно разностное интегрирование, получаем:

2

_2

Ooxx =

Ю

Ж кVx ■ N1 cos2 ßo

2

a

dt.

cA e

(18)

Когда случайное поле неоднородностей движется со скоростью V вдоль оси у, однородная часть корреляционной функции (14) имеет вид:

N0 = exp

f Z1 - Z2 2 У1 - У2 - Vy (Т1 Т2 ) 2 ^

v a b J

(19)

В этом случае для дисперсии доплеровского смещения частоты интегрирование выражения (13) дает:

Ю •л/Ж

°ЮУ =

Vy2 • N

2

0 a • с^ eo

dt

. (20)

Дифференцируя интегралы (16), (18), (20) по верхнему пределу, считая его переменным, соответственно получаем:

do

Ю

• Ж V2 • N • sin2 ß0

dt

2a • c •■Je

(21)

0

йа

йг

о2 • 4л • гх2 • N •сов2 До

2а • с

Оу = •У^ Уу2 • N1 йг 2а • с •

йа

(22)

(23)

Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений для расчета дисперсии допле-ровского сдвига частоты сигнала в горизонтально -неоднородном канале со случайными неоднород-ностями.

Записывая теперь полученные уравнения (21)-(23) совместно с системой регулярных лучевых

уравнений (5)-(7) и уравнением (10), продифференцированным по переменному верхнему пределу, получим полную систему дифференциальных уравнений для одновременного расчёта среднего и дисперсий доплеровского смещения частоты сигнала. Эта система имеет следующий вид:

йг

& о

йг

Д

йг

йг йа2

= Сд/^т До,

= До,

= с

СОв Д0 - С

д4ё о

дх0 &0

о2 •4л • 2 • Ы1 • вт2 Д0

■вт До

о

йг

2а•с•.

•4л • ух2 ■ N1 • сов2 До 2а • с • Л1£

йаоу _ о :

йг

л• Ух ■ N1

2а • с • д/^о

йДо0 о де0

йг

2 дт

(24)

Основным достоинством предложенной методики расчета средних и флуктуационных характеристик доплеровского сдвига частоты сигнала является то, что рассматриваемая схема позволяет значительно снизить затраты машинного времени по сравнению с методом статистических испытаний. С другой стороны, проводя измерения дисперсии доплеровского сдвига частоты принятого сигнала, полученную систему дифференциальных уравнений можно использовать для реконструкции случайных воздействий на информационный канал.

Пример реализации методики расчета доплеровского сдвига частоты сигнала в нестационарном канале.

Для демонстрации работы созданной методики был рассмотрен случайно-неоднородный ионосферный канал, параметры которого изменялись во времени, а в качестве передаваемого сигнала использовался радиосигнал декаметрового диапазона.

В качестве детерминированной модели диэлектрической проницаемости ионосферного канала с горизонтальной неоднородностью была выбрана зависимость:

6о (X, у, г, т) = £ф (г, т) + (X, г, т) (25)

где диэлектрическая проницаемость слоистой ионосферы представлена в виде:

6 = 1 -

К (т) 12

ехр

г г- -, 2 ^

г - г

— т

V _ У т _ )

/■2 J крЕ

ехр

Г Г- -, 2 ^

г - гтЕ

V _ утЕ _ )

(26)

а диэлектрическая проницаемость детерминированной горизонтальной неоднородности:

<

(х, г, т) = —к

К Т) /2

ехр

г г — г т 2 х хь 2 1

V _ У т _ _ Ь _ )

(27)

где гт, гтЕ, Ут, утЕ - высоты максимумов

ионизации и толщины слоев ¥ и Е; /р,, /крЕ, / - критические частоты этих слоев и рабочая частота, соответственно; Ь , хь , к соответственно горизонтальный размер, координата центра и интенсивность крупномасштабной горизонтальной неоднородности.

Для численного расчета среднего ^д/^ = А<3

среднеквадратичного

7 =

2л

отклонения

Л /

^ == 2л

Ащ

доплеровского

X ,2

ехр

сдвига частоты радиосигнала в горизонтально-неоднородном ионосферном канале использовалась система уравнений (24). Неоднородная часть функции корреляции задавалась в виде

^ =7^(1 — £о )2 Интенсивность у случайных неоднородностей характеризовалась зависимостью

(28)

Г г — г т 2 х ХЬ 2 1

V _ У т _ _ Ь _ )

где х - относительный параметр флуктуаций диэлектрической проницаемости.

В нестационарной ионосферном канале с течением времени его параметры могут существенно изменяться. В частности, уменьшение критической частоты ионосферного слоя ¥ приводит к тому, что размер зоны молчания при односкачковом распространении будет возрастать и может стать равным длине скачка между корреспондентами. В этих условиях важно рассмотреть временную зависимость доплеровского смещения частоты нижних и верхних (Педерсеновских) лучей. Нестационарность детерминированной ионосферы задавалась зависимостью от времени т в виде:

-Ьт2

3кр (т) ./га

(29)

' кр V / J кр0 где /Кр0 - критическая частота в начальный

момент времени т = 0, Ь - коэффициент пропорциональности.

При выполнении расчетов были заданы следующие значения параметров: а = 10 км, 2т = 300

км, Хщв = 125 км, ут = 100 км, утЕ = 25 км, Ь =

500 км, /кр = 6 МГц, /крЕ = 3 МГц, у =100 м/с., Ух

=0 , Уу =0. Динамика траекторных характеристик

радиосигнала отслеживалась при изменении рабочей частоты в интервале: / = 10..25 МГц с шагом 5 МГц.

Для исследования девиации доплеровского смещения частоты радиосигнала на фиксированной трассе использовались дистанционно-угловые характеристики, с помощью которых были определены критические частоты ионосферы в начальный и конечный моменты времени. С помощью зависимости дальности распространения сигнала Хк от угла выхода вн определялся размер зоны молчания. Радиосигнал в ионосфере распространяется по двум траекториям с различными углами выхода; один из которых пологий (нижний), а другой более крутой (верхний - луч Педерсена). Критическая частота ионосферы, при которой длина трассы равна размеру зоны молчания, находится из условия слияния верхних и нижних лучей на дистанционно-угловой характеристике.

На рис 1 приведены результаты расчетов среднего и среднеквадратичного доплеровского смещения частоты радиосигнала в горизонтально-неоднородной ионосферном канале.

и

Рис. 1. Доплеровские характеристики радиосигнала в нестационарном ионосферном канале (длина

трассы Хк =1500 км, х = 0,1.)

Нетрудно заметить, что в случае полностью турбулизованной крупномасштабной неоднородности (к = 0) с течением времени (уменьшением критической частоты) среднее значение и среднеквадратичное отклонение доплеровского смещения частоты для верхних и нижних лучей изменяются нелинейно, причем девиации (А/) и с/ для

верхних лучей существенно больше, чем для нижних лучей. При увеличении интенсивности х случайных неоднородностей среднеквадратичное отклонение с/ увеличивается. Абсолютное значение с/ зависит от дальности распространения Хк радиосигнала. Анализ показал, среднее значение и среднеквадратичное отклонение доплеровского смещения частоты нижних и верхних лучей радиосигнала зависят от типа траектории лучей, критической частоты, дальности радиотрассы , ин-тенсивностей детерминированной и случайных х неоднородностей. При увеличении Хк , к и х растут

с/ и (А/) •

Таким образом, предложенная методика расчета позволяет проводить оперативные оценки влияния случайных воздействий на характеристики доплеровского сдвига частоты сигнала в горизонтально неоднородном информационном канале.

Список литературы

26. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.:Наука, 1971.

27. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Ч.2. Случайные поля / С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский. - М.: Наука, 1978.464 с.

28. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах / А. Исима-ру.- М.: Мир, 1981.- Ч.2. -320 с.

29. Яковлев О.И. Распространение радиоволн / О.И. Яковлев, В.П. Якубов, В.П. Урядов, А.Г. Павельев М.: Ленанд.-2009.- 496 с.

30. Агеева Е.Т. Математическое моделирование статистических характеристик доплеровского смещения частоты радиосигнала в нестационарном ионосферном канале / Е.Т. Агеева, Н.Т. Афанасьев, Д.Ким, Н.И. Михайлов // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники - 2014.-№ 1(31). - С.33-38.

31. Агеева Е.Т. Моделирование девиаций частоты декаметрогово радиосигнала на трассе наклонного зондирования ионосферы / Е.Т. Агеева, Н.Т. Афанасьев, Д.Б. Ким, Н.Т. Михайлов // Вестник Воронежского государственного технического университета.-2014.-Т.10, № 1.- С.71-74.

32. Благовещенский Д.В. Высокоширотные геофизические явления и прогнозирование коротковолновых радиоканалов / Д.В. Благовещенский, Г.А. Жеребцов. М.: Наука, 1987.- 272 с.

33. Макаров А.И. Передача информации в гидроакустическом канале/ А.И. Макаров, В.Д. Дворников, В.К. Конопелько // Доклады БГУИР, 2004.-№ 2.- С. 103-118.

34. Куличков С.Н. Моделирование эффектов влияния тонкой неоднородной структуры атмосферы на дальнее распространение импульсных акустических сигналов / С.Н. Куличков, И.П. Чун-чузов, О.И. Попов // Известия Российской акаде-

у

мии наук. Физика атмосферы и океана. 2010. -Т. 46, № 1. -С. 69-77.

35. Векшин М.М. Расчёт прохождения импульсного сигнала по изогнутым оптическим вол-новодным структурам / М.М. Векшин, О.А. Кулиш, Ф.Г. Хисамов // Известия Южного федерального университета. Технические науки.- 2012.- Т. 132, № 7.- С. 220-226.

36. Лукин Д.С. Применение метода характеристик для решения на ЭВМ задач распространения электромагнитных волн в неоднородных анизотропных средах / Д.С. Лукин, Ю.Г. Спиридонов // Лучевое приближение и вопросы распространения радиоволн. - М.:Наука, 1971, с.265.

37. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.Г. Геометрическая оптика неоднородных сред. - М.: Наука, 1980.-304 с.

38. Алимов В.А. Модель взаимодействия ДКМВ-ДМВ радиоволн с сильно неоднородной среднеширотной ионосферой / В.А. Алимов, А.В. Рахлин, Ф.И. Выборнов // Изв.вузов Радиофизика. (Нижний Новгород).-1997.-Т. 40, № П.-С.1323-1341.

39. Афанасьев Н.Т. Флуктуации фазы радиоволны при полном внутреннем отражении от случайно-неоднородной ионосферы / Н.Т. Афанасьев, О.А Ларюнин., В.П. Марков // Изв. вузов. Радиофизика. (Нижний Новгород).- 2009.-Т.52, №10.-С.779-784.

40. Afanasiev N.T. Phase fluctuations of radio waves experiencing total reflection from a randomly inhomogeneous plasma layer / N.T Afanasiev, A.N. Afanasiev, O.A. Larunin, VP. Markov // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics.- 2010, Vol. 72, Issue 7-8, - P. 583-587.

Salimov R. B.

Sc.Doctor, Professor Kazan State Architecture and Bilding University

Gorskaya T. U. associate professor Kazan State Architecture and Bilding University

Горская Татьяна Юрьевна

кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики, Казанский государственный

архитектурно-строительный университет, г.

Салимов Расих Бахтигареевич доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Казанский государственный архитектурно-строительный университет,

TO THE SOLUTION OF THE TRICOMI PROBLEM FOR THE EQUATION

LAVRENT'EV-BITSADZE

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ С ИСКОМОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ НА ПОЛУКРУГЕ

Summary: The problem for mixed type equation in a region with a convex border, when the elliptic part of the region is the semi-circle, and the hyperbolic part is constructed on the diameter of the semicircle, the triangle, each of the other two sides of which is cut characteristics of the hyperbolic equation. Given the solution of the boundary value problem for the equations of mixed type in the region, in region, the bolder of which represents the semi-circle, set the boundary condition of the elliptic part of the region functions, and also set the values of the unknown function on side of the above triangle, which lies on the hyperbolic characteristics of the equation. To solve the boundary problem with the condition of Hilbert in the elliptic part of the transparent area is effective method.

Key words: Tricomi problem, Lavrent'ev-Bitsadze equation, boundary value problems.

Аннотация. Находится решение краевой задачи для уравнения смешанного типа в некоторой области, состоящей из эллиптической и гиперболической частей, с выпуклой границей. Даётся решение краевой задачи для названного уравнения смешанного типа в указанной области, на части граница которой, представляющей полуокружность, задано линейное краевое условие Гильберта, связывающее значения искомой функции и гармонически сопряженной с ней в эллиптической части области функции, и кроме того заданы значения искомой функции на одной из сторон вышеуказанного треугольника, лежащих на характеристиках гиперболического уравнения. Для решения задачи в эллиптической части используется прозрачный эффективный метод.

Ключевые слова. Задача Трикоми, уравнение Лаврентьева-Бицадзе, краевая задача Гильберта.

Постановка задачи. д2и д2и

Пусть и(х,у)- функция, удовлетворяющая дх2 + Б9пУ ^2 = 0 (1)

уравнению смешанного типа Бицадзе-Лаврентьева