ОЛИЙ ТАЪЛИМДА ИҚТИСОДИЙ ФАНЛАРДАГИ БАЪЗИ БИР МАСАЛАЛАРНИ ЕЧИШДА МАТЕМАТИКАДАГИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ҲИСОБНИНГ ҚЎЛЛАНИЛИШИ ТЎҒРИСИДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОЛИЙ ТАЪЛИМДА ЩТИСОДИЙ ФАНЛАРДАГИ БАЪЗИ БИР МАСАЛАЛАРНИ ЕЧИШДА МАТЕМАТИКАДАГИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ^ИСОБНИНГ ЦУЛЛАНИЛИШИ ТУГРИСИДА

Шадманов И.Э.

СамИСИ "Олий математика" кафедраси укитувчиси

Аннотация. Мазкур маколада бугунги кунда мамлакатимизда олий таълим сохасида иктисодий фанлардаги баъзи бир масалаларни ечишда математикадаги дифференциал хисобнинг кулланилиши тугрисида фикр мулохазалар келтирилган.

Калит сузлар: олий таълим, макро ва микро жараёнлар, Аргумент орттирмаси, даромад ва харажат функциялари.

Аннотация. В данной статье представлены мнения о применении дифференциального исчисления в математике при решении некоторых задач экономических наук в сфере высшего образования в нашей стране на сегодняшний день.

Ключевые слова: высшее образование, макро- и микропроцессы, прирост аргумента, функции доходов и затрат.

Республикамизда иктисодиётни таркибий узгартириш ва диверсификациялаш, ишлаб чикаришни модернизациялаш ва технологик жихатдан янгилаш, тугридан-тугри хорижий инвестицияларни жалб этиш сиёсати изчил амалга оширилмокда. Ушбу масалаларни оптимал равишда хал этишда "Эконометрика" фанининг роли ортиб бормокда.

Иктисодиётни модернизациялаш шароитида узгарувчан ракобат мухити ва бозор шароитини илгаб олиш, уларнинг ривожланиш конуниятларини чукур тахлил килишда иктисодий-математик усуллар ва моделлардан фойдаланиш ёрдамида такчил иктисодий ресурсларни оптимал таксимлаш, куп вариантли мукобил ечимларни ишлаб чикиш, таваккалчилик ва ноаниклик шароитида оптимал иктисодий карорлар кабул килиш, кейинчалик, бу карорлар бажарилишини компьютер технологиялари оркали мониторинг килиш масалаларининг назарий ва амалий томонларини урганишда "Эконометрика" фани мухим ахамият касб этади.

Олий таълим тизимида талабаларнинг замонавий бозор иктисодиётида оптимал карорлар кабул килиш механизмининг назарий асосларини, математик моделлаштириш тамойилларини, замонавий ахборот технологияларидан фойдалана олиш имкониятларини, иктисодий жараёнларнинг математик функцияларини компьютерда махсус дастурлар асосида хисоблашни, таваккалчилик ва ноаниклик шароитида математик моделлаштириш воситаларидан фойдаланиб, корхоналарнинг иктисодий курсаткичларини оптималлаштириш буйича сценарийлар тузишни, баркарор иктисодий усишни

тaъминлaшдa кУллaнилaдигaн мaкроиктисодий моделлaрдaн фойдaдaнишни, рaкобaт Ba тaвaккaлчилик шaроитидa оптимaд бошкaрyв Kapop ^бул килиш yсyллapини билишини тaкoзa этмокдд.

Дaвpнинг УЗИ бyлaжaк мyтaхaссислapдaн ТУРЛИ МУЛКЧИЛИК кopхoнaдapининг стaтистик мaълyмoтлapи aсoсидa yлap x1oлaтини тaxлил килиш Ba синтезлaш, ишлaб чикapиш жapaёнлapи мaълyмoтлapи aсoсидa турли мaтемaтик фyнкциядapни тузиш Ba yлap aсoсидa кopхoнa xpлaтини сон Ba сифaт жиx1aтдaн тaxдил килиш, кopхoнa Ba фиpмaдap фaoлиятини зaмoнaвий компьютер технoлoгиядapи ёpдaмидa куп вapиaнтли ечимлapини олиш Ba илмий aсoслaнгaн хyлoсaдap чикapиш кyникмaдapигa эга булишини тaдaб этмокда

Мaкpo- Ba микро жapaёнлapни тaxлил килиш, чизикли фyнкциялap Ba yлapнинг хусусияти xдмдa пapaметpлapини aникдaш, тaдaб Ba тaклиф фyнкциялapи, yлap aсoсидa бозор с^имини xa^a мyвoзaнaт бax1oлapни x1исoблaш; ишлaб чикapиш жapaёнлapини тaxлил килиш; иктисодий жapaёнлapни мaтемaтик мoделлaштиpиш, кopхoнa Ba фиpмaлap фaoлияти тaxлилидa aхбopoт Ba компьютер технoлoгиялapидaн фoйдaдaнa олиш, кopхoнaлapнинг ишлaб чикapиш сaмapaдopлиги Ba унта тaъсиp килyвчи oмиллapни тaxлил килишлapи учун экoнoметpикa фaнидaги тyшyнчaдapни билиши зapypияти юзaгa келмoкдa.

Мaтемaтикaни иктисодиётга бoFлaб укитиш жapaёнидa бевoситa тaфaккyp oпеpaциялapи - aнaдиз Ba синтез, тaккoслaш, aбстpaкциялaш, yмyмлaштиpиш, кoнкpетлaштиpиш, синфлapгa aжpaтиш, системaдaштиpиш кaби aмaдлap ишлaтилиб, бу aмaдлap тузилиши жиxдтидaн хдр бир укитиш, ypгaтиш метoдлapи aсoсидa куйилиши мумкин. Бу эсa уз нaвбaтидa мaтемaтикa фaнлapини укитиш жapaёнидa му^им вхдмият кaсб этaди. Чунки, хдр бир мaтемaтик ёки иктисодий мaсaлa Ba мисoллapнинг мaтемaтик моделини тузиш жapaёнидa yлapнинг тaxлил килиниши, сyнгpa синтез килиниб, мaтемaтик фopмyлaси ёки моделини юзaгa келтиpилишидa мухдм axдмиятгa эгaдиp.

Хдр бир иктисодий мaсaлa aввaд тaxлил килинaди, сyнгpa кypсaткичдapнинг бoFлaниш конунияти aникдaнaди. Бу конуният беpилгaн иктисодий мaсaдaнинг мaтемaтик моделини, яъни фopмyлaсини aникдaшгa ёpдaм беpaди. Бyндaй жapaён тaдaбaдap учун ижодий жapaён булиб, мaсaдaни ечишга ёpдaм беpaдигaн йyллap Ba yсyллapни кидириш, yлapни тaнлaш Ba мaзкyp жapaёнгa тaдбик килишни aмaдгa оширишга x1apaкaт килaдилap. Демaк, тaдaбaдapнинг иктисодий тaфaккypини pивoждaнтиpишдa мaтемaтикaнинг тaдбики мухдмдир.

Ушбу мaкoлaдa, бaъзи бир иктисодий мaсaлaлapни диффеpенциaд хисоб ёpдaмидa ечиш yсyллapи кapaдaди. Мaтемaтикa фaнидaги тyшyнчa Ba фopмyлaдapни иктисодий фaнлapдaги тyшyнчaлap билaн бoFлaш Ba тушунтириш тaлaбaлapнинг фaнгa бyлгaн кизикишигa Ba yлapни билишигa xдмдa aмaдий мaсaдaдapгa кУллaш кyникмaдapини шaкллaнтиpишигa хизмaт килaди.

Иктисодиётда турли хил жараёнларни тахлил килишда лимит мицдорлар (лимит киймат, лимит харажатлар, лимит даромад, лимит унумдорлик, лимит фойдалилик, лимит истеъмолга мойиллик) тушунчаси кенг ишлатилади. Бу тушунчаларнинг барчаси функция хосиласи тушунчаси билан бевосита богликдир.

Бирор бир махсулотнинг x микдорини ишлаб чикиш учун y(x) харажат килинсин. У холда y '(x ) махсулот микдори x -нинг узгаришида харажатлар узгариши тезлигини ифодалайди. Бу хосилага лимит (.маржинал) киймат дейилади.

Хрсиланинг таърифига биноан бирор х нуктада

y'(x)=Шп Ay , (1)

Ar^O Ax

бу ерда Ay - функция орттирмаси, Ax - аргумент орттирмаси.

Таърифни ифодаловчи (1) да лимит остидаги ифодани хосиланинг такрибий киймати сифатида кабул киламиз

y '(x )«Ay • (2)

Ax

Аргумент орттирмаси Ax = 1 деб олинса (бу умумийликка зиён етказмайди), (2) ни ушбу куринишда ёзишимиз мумкин

y-(x). y(x +1)-y(x) = y(x + l)-y(x). (3)

Ax

Олинган айирма y(x +1)- y (x ) махсулотнинг яна бир бирлик микдорини ишлаб чикарганда харажатнинг канчага узгаришини ифодалайди. Демак, иктисодий нуктаи назардан караганда лимит харажат - y '(x) кушимча бир бирлик махсулотни ишлаб чикаришга кетган харажатдир.

Масалан, махсулот ишлаб чикариш хажми x ва ишлаб чикаришга кетган харажат y уртасидаги богланиш чизикли y = 10х + 50 функция билан берилган булсин. х = 100 бирлик махсулот ишлаб чикарилганда лимит харажат y '(x )

оркали топилади у'(х)=(10х + 50) = 10. Бу эса x = 100 бирлик махсулот ишлаб чикарилганда кушимча бир бирлик махсулотни ишлаб чикариш учун кетадиган харажатнинг 10 бирликни ташкил этишини курсатади. Агарда (3) формула билан хисоблайдиган булсак Ax = 1, x = 100, x + Ax = 100 +1 = 101 деб, y'(l 00) = y (101)- y(l 00) = 10-101+50-10-100- 50 = 10 ни хосил киламиз.

Биз кураётган хол учун y '(x ) лимит харажат х дан боглик эмас. Шунинг учун нафакат x = 100, балким барча x - лар учун лимит харажат 10 га тенг булади. Лекин харажат функцияси чизиклимас функция булганда бу холат юз бермайди.

Харажат функцияси чизиклимас куринишда булсин. Масалан, ишлаб чикариш харажати махсулот микдори оркали куйидагича богланишга эга

у = 50 x - 0,2x . Ишлaб чи^риш хджми x = 10 бирлик бyлгaндa ypтaчa Ba лимит хapaжaтлapни тoпишдa ypтaчa хapaжaт у кyйидaгичa aникдaнaди

у=у

x

Бу xoлдa

2

¡ \ у 50x - 0,2x" ^ л „

у (x ) = =-?-= 50 - 0,2 x.

xx

Берилган x = 10 учун у(10) = 50 - 0,2 -10 = 48 бирлик бyлaди. Лимит хapaжaт

у '(10) = (50x - 0,2x2 ) = (50 - 0,4x) | = 50 - 4 = 46 бирликга тенг бyлaди.

x=10

x=10

Демак, уртача харажат y = 48 бирлик булганда бир бирлик кушимча махсулот ишлаб чикаришга кетадиган харажат 46 бирликни ташкил этади, яъни бу уртача харажатдан зиёд эмас.

Иктисодий назарияда y ' (x) - лимит (маржинал) микдорни My(x) каби белгилаш кабул килинган. Бу белгилашдаги биринчи харф M инглиз тилидаги Marginal - "маржинал" сузининг биринчи харфидир.

Фойдани максималлаштириш ва оптималлаштириш масалаларини куриб чикайлик. Реализация килинган махсулот микдорини x, даромад функциясини R(x), ишлаб чикариш харажат функциясини C (x) деб белгилайлик. Бу функцияларнинг куриниши жуда куп омиллардан боглик, хусусан, ишлаб чикариш усули, инфраструктурани оптималлаштириш, янги техника ва технологияларни куллаш, маркетинг тадкикотларини утказиш ва х.к. Фойда функциясини n(x) деб белгиласак,

n(x )= R(x )- C (x ) (4)

булади.

Х,ар кандай ишлаб чикарувчи олдида фойдани оптималлаштириш, яъни максимал фойдага эришиш максади туради. Фойда функциясини дифференциалланувчи функция деб карасак, Ферма теоремасига биноан n(x) функция максимум кийматга эга буладиган x нуктада n'(x) = 0 булади.

Фойда функциясининг (4) ифодасига биноан

n'(x )= R'(x)- C '(x )= 0 , яъни R' (x ) = C ' (x) булади. Иктисодиётда кабул килинган белгилашни ишлатиб охирги тенгликни MR (x) = MC (x) куринишда ёза оламиз, бунда MR (x) - лимит даромад, MC (x) - лимит харажат. Бу эса макроиктисодиётдаги маълум коидани ифодалайди: фойда максимал булишини таъминловчи ишлаб чикариш хажмида лимит даромад ва лимит харажатлар тенг булиши керак.

Юкорида келтирилган фойда функциясидан фойдаланиб куйида фойдани максималлаштириш масаласини карайлик.

Даромад ва харажат функциялари куйидаги куринишда берилган булсин:

. 3

R(.)= — + 200000 ., C(.) = 1200 .2

Ишлаб чикаришнинг максимал фойда берувчи хажмини ва унда олинадиган фойдани топиш керак 6улсин.

Фойда функциясининг (4) ифодасидан берилган R(. ) ва C (. )ларда

. 3

П(. ) = у + 200000. -1200.2

ни топамиз.

Бу функция хосиласини нолга тенглаймиз П " (.) = .2 + 200000 - 2400. = 0 ва

.2 - 2400 . + 200000 = 0 тенгламани хосил киламиз.

Бу тенгламанинг ечимлари

_ 2400 i 102 •У242 - 4 • 20

.u = 2

яъни . = 200(б + V3T), . = 200(б ^л/3Г) бyлaди.

Экстремумнинг етарлилик шартларига ^ра ёки .2 нуктада П(. ) функция максимал кийматга эга 6улиши учун П" (.) < 0 6улиши керак.

Иккинчи тартибли хосила П " (. ) = 2. - 2400 = 2(. -1200 ) бyлaди.

Бевосита текшириш шуни кyрсaтaдики: П " ^ )> 0, П" (.2 )< 0. Демак

П(.) га максимал киймат берувчи ишлаб чикариш хажми = 200(б -V3l) бyлaди.

Бу кийматда фойда функциясининг кийматини топиш учун дастлаб .2 нинг такрибий кийматини топамиз . = 200(б - л/3Г) « 200(б - 5,5678) = 200 • 0,4322 = 86,44. Демак фойданинг максимал киймати

3

П(.2 ) = П(86,44) = ' + 200000 • 86,44 -1200 • 86,442 « 8537041

пул бирлигига тенг эканлиги келиб чикдди.

Эндu фойдaнu опmuмaллaшmuрuш мaсaлaсuни карайлик. Даромад ва харажат функциялари куйидаги ^ринишда берилган 6улсин R(.) = 15. - 0,5.2, C(.) = .2 - 0,5.

Ишлаб чикаришнинг оптимал даражасини ва унда эришиладиган фойда микдорини топишда фойда функцияси (4) ифода билан аникланади П(. )= R(. )- C (. ), яъни

1200 i 200 V3T,

П^)= 15x - G,5x2 -(x2 - G,5)= 15x - 1,5x2 + G,5.

Бу фyнкциядaн xpc^a олиб, нолгa тенглaб ^(x )= 15 - 3x = G, x = 5

ни тотамиз. Бу оптимвл ишлaб чи^риш х,эжмидир. Бу киймaтдa Птах = 15 • 5 -1,5 • 52 + G,5 = 75 - 37,5 + G,5 = 38 пул бирлиги б^ади.

Корхоналарни соликка тортишни оптималлаштириш мaсaлaсини кaрaб чи^йлик. Дaромaд Ba хaрaжaт фyнкциялaрининг реaлизaция килингaн мaхсyлот микдори х оркaли кyйидaги кyринишдa берилгaн R(x) = 2Gx - x2, C(x) = x2 +1.

Бир бирлик реaлизaция килинaдигaн мaхсyлотгa кyйилaдигaн соликнинг оптимaл дaрaжaси Ba бyндa эришилaдигaн корхонa фойдaсини топиш керaк 6УЛСИН.

Бир бирлик ишлaб чикaрилaдигaн мaхсyлотгa солинaдигaн солик микдорини t (tax) деб белгилaйлик. Бyндa x микдордa мaхсyлот ишлaб чикилгaндa умумий солик T = tx бyлaди. Фойдa функциясини кyйидaги кyринишдa ë3aMro

П(x ) = R(x ) - C (x) - tx.

Соликда тортувчи идорaлaр бир бирлик мaхсyлотгa солинaдигaн солик t нинг микдорини шyндaй белгилaшгa xдрaкaт килaдики, x микдордaги мaхсyлотдaн олитадиган умумий солик T энг ^тта 6улсин.

Берилгaн R(x ) Ba C ( x ) лaрни хдсобга олиб

П(x) = 2Gx - x2 - x2 -1 - tx = 2Gx - 2x2 - tx -1 деб ёзaмиз.

Олдинги мaсaлaлaрдaги таби фойдa функциясининг мaксимyмгa эришиш шaрти ff(x) = G бyлaди. Бyндaн П'^) = 2G - 4x -1 = G тенглaмaни Ba yндaн t

x = 5 — ечимни тотамиз. 4

Г t л

Умумий солик микдори T = tx = t 5 — бyлaди.

V 4 У

Энди бу микдорнинг энг кa1тa киймaтгa эришиш шaртини топaмиз

= 5 -1 -1 = 5 -1 = G. 4 4 2

L t Л

t 5 —

V 4 J

T '(t ) =

Бyндaн t = 1G келиб чи^ди

Оптимaл фойдa берувчи ишлaб чикaриш хджми x = 5 -1 = 5 - = 2,5

бирлик бyлaди.

Мaксимaл фойдa эсa П(x) = 2G • 2,5 - 2 • 2,52 - 1G • 2,5 -1 = 5G -12,5 - 25 -1 = 11,5 пул бирлиги бyлaди.

T = t

Солик хизмати нуктаи назаридан оптимал солик йиFими

Г л лЛ

^5 -

4

= 10

5 -10

= 25 пул бирлиги булади.

V 4 у t=10 V 4 у

Энди махсулотдан солик олинмайдиган холни караймиз. Бунда t = 0 булиб, х = 5 - 0 = 5 булади.

Максимал фойда эса П(5) = 20 • 5 - 2 • 52 -1 = 100 - 50 -1 = 49 пул бирлиги булар экан.

Олинган натижадан куриниб турибдики, соли; юки олиб ташланганда оптимал ишлаб чикариш хажми ортади ва корхонанинг махсулот сотишдан оладиган максимал фойдаси юкори булади. Хдкикатдан хам соли; ставкаси бир бирлик махсулотга t = 10 (пул бирлиги)/(махсулот бирлиги) булганда оптимал ишлаб чикиш хажми х = 2,5 бирлик булиб, корхонанинг максимал фойдаси Птах = 11,5 пул бирлиги булган эди. Солик ставкаси t = 0 булганда оптимал ишлаб чикиш хажми х = 5 бирлик булиб, корхонанинг максимал фойдаси Птах = 49 пул бирлигига тенг булди. Шунинг учун ишлаб чикарувчилар доимо солик ставкаларини камайтириш тарафдори булишади.

Логарифмик хосиланинг ицтисодиётда кулланилишига доир масалани карайлик. Банкдаги омонатнинг t вактдаги (йил) киймати y (t ) булсин. Бу функция оркали банкнинг йиллик фоиз ставкасини топиш мумкинми, деган савол тугилади.

Агар тулов фоизлари узлуксиз хисобланса, ушбу муносабат уринли булади

y(t )= У0 *(5)

бунда p - омонатнинг йиллик усиш фоизи, r = ~~ - йиллик номинал ставка.

Берилган (5) муносабатни логарифмлаймиз

ln y(t ) = У 0 + — w 0 100

ва тенгликнинг иккала таърифидан хосила оламиз

[ln y(t )]' = r. (6)

Демак, банк номинал ставкаси омонатнинг логарифмик хосиласига тенгдир. Бошкача айтганда, логарифмик хосила омонатнинг даромадлилигини аниклайди.

Биз курган холда йиллик номинал ставка r узгармас сон эди. Лекин у узгарувчи сон булганда хам (5) муносабат уринли булади. Бу холда r омонатнинг оний даромадлилигини белгилайди. Масалан, бирор бир A активнинг t вактдаги киймати A(t) булсин, r эса бошка бирор активга пул куйиш даромадлилиги булсин. Уни каралаётган вакт давомида узгармас деб

KapañMH3. fflyHgañ caBon TyFHnagu: A aKTHBHH ^anoH cothö onum ëKH coram ^onganu? Ey caBonra ^bboö öepum ynyH A HHHr ohhh gapoMagnunurH r gaH KaTTa öynraH BaKT HHTepBanuHH TonaMH3. A(t ) aKTHBHHHr ohhh gapoMagnunuru yHHHr norapH^MHK xocunacu 6unaH Tonunagu. fflyHHHr ynyH ronaHaëTraH BaKT

HHTepBanu [ln A(t)] > r TeHrcronHKgaH Tonunagu. Ey HHTepBan (^, t2 ) öyncHH. ^eMaK A(t ) aKTHBHH ^ BaKTga cothö onuö, t2 Ba^Tga coram KepaK. AñHaH my BaKT gaBoMHga A(t ) aKTHB öom^a aKTHBnapra HucöaTaH Kynpo^ omagu.

YMyMaH norapu^MHK xocuna y (t ) ^yH^HAHHHr hhcöhh y3rapum Te3nurHHH H^oganangu

' 1/

Ty =(ln y )= y-.

y

MacanaH, umnunap öpuragacHHHHr MexHaT yHyMgopnuru

y = -t2 + 8t + 20, 0 < t < 8,

ëpgaMHga H^oganaHraH, öyHga t - cMeHagaru um coaTH. MexHaT yHyMgopnurHHHHr y3rapum Te3nurHHH Ba hhcöhh y3rapum Te3nurHHH t = 2 Ba t = 5 BaKTnapga Tonum KepaK ôyncuH.

MexHaT yHyMgopnurHHHHr y3rapumu Te3nuru

y ' = -2t + 8, (7)

hhcöhh y3rapum Te3nuru эca

Ty =(ln y) = y = (8)

y y -1 + 8t + 20

öynagu.

TonunraH (7), (8) H^oganapgaH t = 2 Ba t = 5 coaraapga

y ' (2) = -2. 2 + 8 = 4; Ty (2)= - 2 '2 + 8 4 1

y'(5) = -2• 5 + 8 = -2; T (5) = w yW - 52 + 8 • 5 + 20 - 25 + 40 + 20 35

KHHMaTnapHH TonaMH3.

TonunraH KuñMaraapgarH MycöaT umopa MexHaT yHyMgopnuru Ba yHHHr hhcöhh y3rapumu t = 2 coaTga ycaëTraHnurHHH, MaH^uñ umopanap эca t = 5 ga KaMaaëTraHnurHHH KypcaTagu.

Ohhh TatnHM Myaccacanapuga MaTeMaTHKa ^aHnapuHHHr yranumuga TatnHM HyHanumH xycycH^raapuHH эtтн6opгa onum KaTTa axaMH^Tra эгa. Eom^ana añTraHga, MaTeMaTHKa ^aHnapuHH MyTaxaccucnuK ^aHnapu эпeмeнтпapн öunaH öornam ^aHHH y3namTHpum caMapagopnuruHH omupagu. EupuHHHgaH, Tanaôanap y ëKH 6y MaTeMaTHK TymyHnanapHHHr aManufi KypcaTKHHnap ôunaH ôornHKHHrHHH aHrnaô eTagunap. XycycaH, H^THcoguñ KypcaTKH^napHHHr y3rapumu KoHyHH^raapuHH K;añ Tap3ga ^yH^uanap, TeHraaManap ëpgaMHga H^oganaHHmHHH TymyHHÔ onagunap. MKKHHHugaH, aManufi Macananap ôunaH ôofhhk Tap3ga MaTeMaTHK TymyHnanap ôepunraHga Tanaôanap ToMoHHgaH ynapHH

22 + 8 • 2 + 20 - 4 +16 + 20 8' - 2 • 5 + 8 - 2 - 2

узлаштириш анча енгиллашади. Математик коидалар, тушунчалар маълум вакт давомида талабалар ёдидан чикиши мумкин, лекин амалий масалаларнинг математик усуллар ёрдамида ечилиши узок вакт уларнинг эсидан чикмайди.

Фойдаланилган адабиётлар руйхати

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. Уч. Пособие. -М.: Физматлит, 2004.-464 с.

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. -СПб.: Питер, 2005.-464 с.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. 6-е изд., испр. -М.: Изд-во «Дело» АНХ, 2008.720 с.

4. Хужаёров Б.Х., Шадманов И.Э., Ф.Э.Жомонкулова. Дифференциал хдсобнинг иктисодий масалаларни ечишга кулланилиши. Услубий курсатмалар. Самарканд. СамИСИ, 2016. - 32 б.