Окрестностное моделирование искусственных иммунных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Найдем матрицу Якоби Ff(z*(s,X)), вычисленную в точке z = z*(s,X). Положим Bh = = F'(z*(s, Л)) и найдем спектральный радиус оператора B.

Теорема1. Оператор B : L2[0,1] ^ L2[0,1] положителен.

Спектральный радиус оператора B есть наибольшее по модулю собственное значение. Для произвольной функции h0(s) = 0 : ||ho(s)||L2 = 1 вычислим hi(s) = , h2(s) =

= ||B(A)fe1(aj||,..., hn(s) = ^ fxh—1 jsj||, где hn(s) ^ h*(s) — собственная функция оператора B, отвечающая наибольшему по модулю собственному значению, т. е. B(X)h*(s) = = l^maxh* (s). Собственное значение цтах можно вычислить по формуле

ц = (B^)h*(s),h*(s))

Цтах = (h* (s),h*(s)) .

Далее программа в среде MATLAB находит значение Л = Л*, при котором спектральный радиус p(B) = ц становится равным единице.

Для определения приближенных прогибов после бифуркации находим решение классической задачи [1], т. е. определяем критические значения Л1, Л2, Л3,..., такие, что Л1 < < Л2 < Л3 ... Затем определяем, между какими двумя последовательными собственными значениями находится Л*. Номер собственного значения Лг на левом конце равен количеству полуволн, по которым прогнется стержень. Форма прогиба стержня при Л = Л* будет такой же, как в условиях классической задачи при Л = Лг, когда значение q мало.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарафутдинова Г.Г. Операторный метод исследования задачи Эйлера о формах потери устойчивости шарнирно-закрепленного стержня при продольной нагрузке // Известия вузов. Математика. Казань, 2010. № 11. С. 86-91.

Sharafutdinova G.G APPROXIMATE METHOD OF SOLVING ABOUT BUCKLING RODS HAVING THE INITIAL DEFLECTION

We propose a new method for finding approximate the critical force and deflection of the rod shaped, compressed by an axial force and having an initial deflection.

Key words: deflection of the rod; the initial deflection; stability.

УДК 512.18

ОКРЕСТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ

ИММУННЫХ СИСТЕМ

© А.М. Шмырин, А.С. Косарева

Ключевые слова: окрестностные системы; искусственные иммунные системы.

Предложена окрестностная иммунная система.

Искусственная иммунная система - комплекс математических методов, моделирующих основные функции иммунитета человека. ИИС используют для решения задач распознавания образов, классификации, оптимизации.

2745

Рассмотрим описание поведения г -го агента (узла) с помощью уравнения в разностной форме:

N N

аг(Ь + 1) = аг (Ь) + т+/(аг(Ь)) - Т ^ т-/ (аг(Ь)) + ТШг + ткг, г = 1,М.

3=1 3 = 1

/(аг(г)) = [1 + ехр(0.5 - аг(Ь))]-1,

где N - возможные варианты поведения; аг(Ь) - состояние г -го агента в момент времени Ь; Ь,т+г,т-г - мера стимуляции и подавления поведения агента со стороны других агентов, обусловленная их взаимодействием; тг,кг - мера стимуляции и подавления поведения агента со стороны антиагентов; т - шаг по времени. Каждое последующее поведение агента аг(г + 1) зависит от предшествующего состояния агента в момент времени Ь. Второе и третье слагаемые в правой части уравнения определяют стимуляцию и подавление агента другими агентами системы, соответственно. Четвертое слагаемое представляет стимуляцию со стороны антиагента, а пятое слагаемое - фактор угнетения. Уравнение в окрестностной форме:

а[а, Ь + 1] =

а£Ох[а\

= ^ (а[а,1]+ т^ т+[а,Р}/(а[а,{]) — ^ т [а, в}/(а[а,Ь]) + тт[а] + тк[а] ),

а£Ох[а\ в^Ох[аг] в^Ох[а\

/(а[а, Ь]) = [1 + ехр(0.5 — а[а, Ь])]-1,

где Ох[а] - окрестность узла а по состоянию; а, а, в € А; A{a1,...,aN} - конечное множество значений дискретного аргумента системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Искусственные иммунные системы и их применение / под ред. Д. Д. М.: Физматлит, 2006.

2. Блюмин С.Л., Шмырин А.М. Окрестностные системы. - Липецк: Липецкий эколого-гуманитарный институт, 2005.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 11-08-97525 р-центр а).

Shmyrin A.M., Kosareva A.S. NEIGHBORHOOD MODELING OF ARTIFICIAL IMMUNE SYSTEMS

The neighborhood immune system is offered.

Key words: neighborhood systems; artificial immune systems.

2746