Определим функции вк(Ь) = вк соя2пЬ — дк 8т2п£, дк(¿) = дк соя2пЬ + вк 8'т2пЬ, и функционалы ак[%(Щ = (%с,дк) + (хв,вк), в[х(^)] = (хс,в*к) — (х3,д*), где векторы хс и х3 — это отвечающие сов2п1 и 8т2п£ коэффициенты Фурье функции х(1) € ^[0,1].
Наконец, определим действующий из Ф в ^ оператор &х(1) = х(1) — 1х(1).
Из условия и1) следует, что матрица Ао обратима. Основными в предлагаемой схеме являются следующие функции:
ф2к(t) = a,2(ek(s),Xo) ds, ф3к(t) = a3(ek(s),Xo) ds,
Г к (t) = ^ A- ф2к (1) - &ф2к (t) - Tk Ao i exp[Tk Ao(t - .в)]вф2к (s) ds,
Tk J
o
t
ф\к(^) = Tk J af2X(ek(s),Xo)rk(s) ds - фзк(t) , k = 1,2.
o
Положим A = A'(Xo) и определим числа: Yk = (Aek,e*k) + (A'gk,gk), h = ®k[&фгк(t)].
Теорема2(о типе бифуркации). Пусть выполнены условия U1)- U3) и 5к = 0, к = 1, 2. Тогда рождающиеся при малых \X - Xo| периодические решения x(t,X) системы
2п
(1) с периодом, близким к —, существуют только при X<X0, если 5kYk < 0, или только
^к
при X>X0, если 5 к Yk > 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мардсен Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 362 с.
2. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. С. 24-30.
Sharafutdinov I.V. TAG AND TYPE OF HOPF BIFURCATIONS IN NON-SMOOTH DYNAMICAL SYSTEM FOR DEGENERACY
Sign of the Hopf bifurcation for a dynamic system with non-smooth right-hand side, which has a certain value of the parameter two pairs of purely imaginary eigenvalues, is received. Also a method for determining the type of bifurcation is provided.
Key words: Hopf bifurcation; non-smooth dynamical system; fold degeneracy.
УДК 517.91
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ, ИМЕЮЩЕГО НАЧАЛЬНЫЙ ПРОГИБ
© Г.Г. Шарафутдинова
Ключевые слова: прогиб стержня; начальный прогиб; устойчивость.
Предлагается новый приближенный метод нахождения критической силы и формы прогиба стержня, сжатого осевой силой и имеющего начальный прогиб.
t
t
t
2743
Математическая модель изгиба стержня, лежащего на упругом основании и имеющая первоначальный прогиб ио, описывается краевой задачей
У" = Р(в)(-Лу + /(у) - Лад + /(ио))^(1 - (у - и0)2) - ио, (1)
у(0) = у(1) = 0, (2)
где в — координата, совпадающая с искривленной осью стержня; у — прогиб стержня, р(в) характеризует изменение жесткости по длине стержня; /(в) — функция, характеризующая наличие упругого основания; Л — продольная нагрузка.
При постепенном увеличении продольной нагрузкой Л своего значения в задаче (1)—
(2) стержень прогнется дальше в сторону первоначальной деформации и при дальнейшем увеличении нагрузки, при достижении ею значения, называемого критическим, произойдет «хлопок» и стержень резко (скачком) прогнется в противоположную строну — произойдет жесткая бифуркация.
В работе предлагается схема нахождения критических нагрузок и получения аналитических формул, дающих приближенные решения задачи (1)—(2).
На первом этапе переходим к операторному уравнению. Для функции у (в) € W2[0,1], удовлетворяющей граничным условиям задачи (1)-(2), положим
г(в) = - 0 (3).
Тогда г (в) Є Ь2[0,1], при этом выполнено равенство
1
у = I С(в,а)г(а)йа, где С(в,а) = |
1
а(1 — в); 0 < а < в, (4)
в(1 — а); в ^ а ^ 1,
о
— функция Грина оператора —у" при граничных условиях у(0) = у(1) = 0. Граничная задачи (1)—(2) эквивалентна операторному уравнению
г (в) = Л(Х)г(в) + а(г(в), Х) + ф(г(в), X), (5)
где
1
1 /2Л
2,Г
оо
Л(Х)г(в) = (Х — с)р(в)^1 — 2 «02) 10(в,а)х(а)(1а + р(в)((с — Х)и0 + д^п'0 ( С'3(в,а)г(а)(1а,
і ( і 2 1 \
а(г(в),Х) = (с — Х)р(в) J С(в,а)х(а)(1а і 2(^ С'3(в,а)г(а)(1а^ + и'0 J Є'3(в, а)z(а)dа\ +
0 0 0
і
+2Р(в) ((с — Х)и0 + д) С3(в, а)г(а)с1а)
0
Функция || ф(г(в),Х) \\ь2 = о(\\г(в)\Ц2) при \\г(в)\\ь2 ^ 0, || а(г(в),Х) \\ь2 = о(\\г(в)\\ь2) при Цг(в)||ь2 ^ 0,д — поперечная нагрузка.
Из общей теории бифуркации известно, что критическими являются такие значения параметра Х, при которых оператор линеаризованной задачи имеет собственное значение, по модулю равное единице. Рассмотрим оператор
Г (г) = Л(Х)г(в) + а(г(в), Х) + ф(г(в), Х).
2744
Найдем матрицу Якоби F' (z*(s, А)), вычисленную в точке z = z*(s,X). Положим Bh = = F'(z*(s, А)) и найдем спектральный радиус оператора B.
Теорема1. Оператор B : L2[0,1] ^ L2[0,1] положителен.
Спектральный радиус оператора B есть наибольшее по модулю собственное значение. Для произвольной функции h0(s) = 0: ||h0(s)||L2 = 1 вычислим h1(s) = , h2 (s) =
= mxil( aj||, • • •, hn(s) = [xhul(Sjii, где hn(s) ^ h*(s) — собственная функция операто-
ра B, отвечающая наибольшему по модулю собственному значению, т. е. B(A)h*(s) = = l^maxh* (s) • Собственное значение ¡Imax можно вычислить по формуле
__ = (B(A)h*(s),h*(s))
Imax = (h* (s),h*(s)) •
Далее программа в среде MATLAB находит значение А = А*, при котором спектральный радиус p(B) = I становится равным единице.
Для определения приближенных прогибов после бифуркации находим решение классической задачи [1], т. е. определяем критические значения Ai, А2, А3,..., такие, что Ai < < А2 < A3 ... Затем определяем, между какими двумя последовательными собственными значениями находится А*. Номер собственного значения Ai на левом конце равен количеству полуволн, по которым прогнется стержень. Форма прогиба стержня при А = А* будет такой же, как в условиях классической задачи при А = Ai, когда значение q мало.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шарафутдинова Г.Г. Операторный метод исследования задачи Эйлера о формах потери устойчивости шарнирно-закрепленного стержня при продольной нагрузке // Известия вузов. Математика. Казань, 2010. № 11. С. 86-91.
Sharafutdinova G.G APPROXIMATE METHOD OF SOLVING ABOUT BUCKLING RODS HAVING THE INITIAL DEFLECTION
We propose a new method for finding approximate the critical force and deflection of the rod shaped, compressed by an axial force and having an initial deflection.
Key words: deflection of the rod; the initial deflection; stability.
УДК 512.18
ОКРЕСТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ
ИММУННЫХ СИСТЕМ
© А.М. Шмырин, А.С. Косарева
Ключевые слова: окрестностные системы; искусственные иммунные системы.
Предложена окрестностная иммунная система.
Искусственная иммунная система - комплекс математических методов, моделирующих основные функции иммунитета человека. ИИС используют для решения задач распознавания образов, классификации, оптимизации.
2745