Научная статья на тему 'Приближенные методы решения задачи о формах потери устойчивости стержня, имеющего начальный прогиб'

Приближенные методы решения задачи о формах потери устойчивости стержня, имеющего начальный прогиб Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
157
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОГИБ СТЕРЖНЯ / НАЧАЛЬНЫЙ ПРОГИБ / УСТОЙЧИВОСТЬ / DEFLECTION OF THE ROD / THE INITIAL DEFLECTION / STABILITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шарафутдинова Гюзель Гафуровна

Предлагается новый приближенный метод нахождения критической силы и формы прогиба стержня, сжатого осевой силой и имеющего начальный прогиб.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

APPROXIMATE METHOD OF SOLVING ABOUT BUCKLING RODS HAVING THE INITIAL DEFLECTION

We propose a new method for finding approximate the critical force and deflection of the rod shaped, compressed by an axial force and having an initial deflection.

Текст научной работы на тему «Приближенные методы решения задачи о формах потери устойчивости стержня, имеющего начальный прогиб»

Определим функции вк(Ь) = вк соя2пЬ — дк 8т2п£, дк(¿) = дк соя2пЬ + вк 8'т2пЬ, и функционалы ак[%(Щ = (%с,дк) + (хв,вк), в[х(^)] = (хс,в*к) — (х3,д*), где векторы хс и х3 — это отвечающие сов2п1 и 8т2п£ коэффициенты Фурье функции х(1) € ^[0,1].

Наконец, определим действующий из Ф в ^ оператор &х(1) = х(1) — 1х(1).

Из условия и1) следует, что матрица Ао обратима. Основными в предлагаемой схеме являются следующие функции:

ф2к(t) = a,2(ek(s),Xo) ds, ф3к(t) = a3(ek(s),Xo) ds,

Г к (t) = ^ A- ф2к (1) - &ф2к (t) - Tk Ao i exp[Tk Ao(t - .в)]вф2к (s) ds,

Tk J

o

t

ф\к(^) = Tk J af2X(ek(s),Xo)rk(s) ds - фзк(t) , k = 1,2.

o

Положим A = A'(Xo) и определим числа: Yk = (Aek,e*k) + (A'gk,gk), h = ®k[&фгк(t)].

Теорема2(о типе бифуркации). Пусть выполнены условия U1)- U3) и 5к = 0, к = 1, 2. Тогда рождающиеся при малых \X - Xo| периодические решения x(t,X) системы

2п

(1) с периодом, близким к —, существуют только при X<X0, если 5kYk < 0, или только

при X>X0, если 5 к Yk > 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мардсен Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 362 с.

2. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. С. 24-30.

Sharafutdinov I.V. TAG AND TYPE OF HOPF BIFURCATIONS IN NON-SMOOTH DYNAMICAL SYSTEM FOR DEGENERACY

Sign of the Hopf bifurcation for a dynamic system with non-smooth right-hand side, which has a certain value of the parameter two pairs of purely imaginary eigenvalues, is received. Also a method for determining the type of bifurcation is provided.

Key words: Hopf bifurcation; non-smooth dynamical system; fold degeneracy.

УДК 517.91

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ, ИМЕЮЩЕГО НАЧАЛЬНЫЙ ПРОГИБ

© Г.Г. Шарафутдинова

Ключевые слова: прогиб стержня; начальный прогиб; устойчивость.

Предлагается новый приближенный метод нахождения критической силы и формы прогиба стержня, сжатого осевой силой и имеющего начальный прогиб.

t

t

t

2743

Математическая модель изгиба стержня, лежащего на упругом основании и имеющая первоначальный прогиб ио, описывается краевой задачей

У" = Р(в)(-Лу + /(у) - Лад + /(ио))^(1 - (у - и0)2) - ио, (1)

у(0) = у(1) = 0, (2)

где в — координата, совпадающая с искривленной осью стержня; у — прогиб стержня, р(в) характеризует изменение жесткости по длине стержня; /(в) — функция, характеризующая наличие упругого основания; Л — продольная нагрузка.

При постепенном увеличении продольной нагрузкой Л своего значения в задаче (1)—

(2) стержень прогнется дальше в сторону первоначальной деформации и при дальнейшем увеличении нагрузки, при достижении ею значения, называемого критическим, произойдет «хлопок» и стержень резко (скачком) прогнется в противоположную строну — произойдет жесткая бифуркация.

В работе предлагается схема нахождения критических нагрузок и получения аналитических формул, дающих приближенные решения задачи (1)—(2).

На первом этапе переходим к операторному уравнению. Для функции у (в) € W2[0,1], удовлетворяющей граничным условиям задачи (1)-(2), положим

г(в) = - 0 (3).

Тогда г (в) Є Ь2[0,1], при этом выполнено равенство

1

у = I С(в,а)г(а)йа, где С(в,а) = |

1

а(1 — в); 0 < а < в, (4)

в(1 — а); в ^ а ^ 1,

о

— функция Грина оператора —у" при граничных условиях у(0) = у(1) = 0. Граничная задачи (1)—(2) эквивалентна операторному уравнению

г (в) = Л(Х)г(в) + а(г(в), Х) + ф(г(в), X), (5)

где

1

1 /2Л

2,Г

оо

Л(Х)г(в) = (Х — с)р(в)^1 — 2 «02) 10(в,а)х(а)(1а + р(в)((с — Х)и0 + д^п'0 ( С'3(в,а)г(а)(1а,

і ( і 2 1 \

а(г(в),Х) = (с — Х)р(в) J С(в,а)х(а)(1а і 2(^ С'3(в,а)г(а)(1а^ + и'0 J Є'3(в, а)z(а)dа\ +

0 0 0

і

+2Р(в) ((с — Х)и0 + д) С3(в, а)г(а)с1а)

0

Функция || ф(г(в),Х) \\ь2 = о(\\г(в)\Ц2) при \\г(в)\\ь2 ^ 0, || а(г(в),Х) \\ь2 = о(\\г(в)\\ь2) при Цг(в)||ь2 ^ 0,д — поперечная нагрузка.

Из общей теории бифуркации известно, что критическими являются такие значения параметра Х, при которых оператор линеаризованной задачи имеет собственное значение, по модулю равное единице. Рассмотрим оператор

Г (г) = Л(Х)г(в) + а(г(в), Х) + ф(г(в), Х).

2744

Найдем матрицу Якоби F' (z*(s, А)), вычисленную в точке z = z*(s,X). Положим Bh = = F'(z*(s, А)) и найдем спектральный радиус оператора B.

Теорема1. Оператор B : L2[0,1] ^ L2[0,1] положителен.

Спектральный радиус оператора B есть наибольшее по модулю собственное значение. Для произвольной функции h0(s) = 0: ||h0(s)||L2 = 1 вычислим h1(s) = , h2 (s) =

= mxil( aj||, • • •, hn(s) = [xhul(Sjii, где hn(s) ^ h*(s) — собственная функция операто-

ра B, отвечающая наибольшему по модулю собственному значению, т. е. B(A)h*(s) = = l^maxh* (s) • Собственное значение ¡Imax можно вычислить по формуле

__ = (B(A)h*(s),h*(s))

Imax = (h* (s),h*(s)) •

Далее программа в среде MATLAB находит значение А = А*, при котором спектральный радиус p(B) = I становится равным единице.

Для определения приближенных прогибов после бифуркации находим решение классической задачи [1], т. е. определяем критические значения Ai, А2, А3,..., такие, что Ai < < А2 < A3 ... Затем определяем, между какими двумя последовательными собственными значениями находится А*. Номер собственного значения Ai на левом конце равен количеству полуволн, по которым прогнется стержень. Форма прогиба стержня при А = А* будет такой же, как в условиях классической задачи при А = Ai, когда значение q мало.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарафутдинова Г.Г. Операторный метод исследования задачи Эйлера о формах потери устойчивости шарнирно-закрепленного стержня при продольной нагрузке // Известия вузов. Математика. Казань, 2010. № 11. С. 86-91.

Sharafutdinova G.G APPROXIMATE METHOD OF SOLVING ABOUT BUCKLING RODS HAVING THE INITIAL DEFLECTION

We propose a new method for finding approximate the critical force and deflection of the rod shaped, compressed by an axial force and having an initial deflection.

Key words: deflection of the rod; the initial deflection; stability.

УДК 512.18

ОКРЕСТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ

ИММУННЫХ СИСТЕМ

© А.М. Шмырин, А.С. Косарева

Ключевые слова: окрестностные системы; искусственные иммунные системы.

Предложена окрестностная иммунная система.

Искусственная иммунная система - комплекс математических методов, моделирующих основные функции иммунитета человека. ИИС используют для решения задач распознавания образов, классификации, оптимизации.

2745

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.