CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXГ 1990
№ 5
УДК 533.6.011.8
532.526.011.6 : 533.694.71/.72
ОХЛАЖДЕНИЕ ОСТРОГО НОСКА ВДУВОМ ИНОРОДНОГО ГАЗА В ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ
А. Л. Анкудинов
Проведено расчетное исследование вязкого течения вблизи носка заостренного тела в тонком ударном слое для бинарной смеси газов при условии охлаждающего вдува инородного газа через проницаемую поверхность.
Задача тепловой защиты острых кромок конструкции летательных аппаратов представляет одну из насущных и важных для практики проблем сверхзвуковой аэродинамики. В данной статье исследуется активная теплозащита острого носка летательного аппарата посредством вдува через проницаемую поверхность охлаждающего газа. Задача решается в рамках модели двумерного тонкого вязкого ударного слоя; вдуваемый газ предполагается в общем случае инородным, т. е. имеющим другие теплофизические свойства, чем газ в набегающем (невозмущенном) потоке. Течению в тонком вязком ударном слое около затупленных форм (в том числе и при наличии вдува с поверхности) посвящена достаточно обширная литература (см., например, обзор [1]). Значительно менее изучено в рамках используемой в настоящей работе физической модели (тонкого вязкого ударного слоя) обтекание заостренных тел [2—4]. Исследования, проведенные в работе [3] для острых конусов с большим диапазоном полууглов раствора р (р = 5°-^-20°) при заданной температуре стенки в отсутствии массообмена, указывают на хорошее соответствие теории тонкого вязкого ударного слоя и представленных экспериментальных данных, в том числе и для достаточно тонких конусов, формально слабо отвечающих требованиям модели тонкого ударного слоя. Это обстоятельство позволяет рассчитывать, что использование (при исследовании обтекания заостренных тел) модели тонкого вязкого ударного слоя, осложненной дополнительными физическими эффектами (типа массообмена на поверхности), не противоречащими этой модели, будет корректным и с достаточной степенью приближения (как и в работе [3]) отражать реальность.
Рассмотрим задачу двумерного течения в тонком вязком ударном слое при вдуве с поверхности охлаждающего инородного газа. Уравне-
ния, описывающие исследуемое течение (бинарной смеси нереагирующего газа) в физической плоскости, и соотношения, представляющие граничные условия задачи, приведены в работе [4] и в данной статье, ввиду достаточной их громоздкости, в полном объеме выписываться не будут. Полагаем, как и в работе [4], что газ в набегающем потоке однороден, т. е. Ссо = 0, а с проницаемой поверхности тела подается газ с иными теплофизическими свойствами, чем в основном потоке; на поверхности же тела предполагается, подобно работе [4], выполнение условия отсутствия теплового потока к внутренним областям твердой проницаемой стенки. Здесь (и далее) принимается: с — концентрация вдуваемого газа, индекс «оо» относится к величинам в набегающем (невозмущенном) потоке. Для исследования течения вблизи заостренного носка тела введем новые независимые переменные:
S = *1/2; С ={('!» — ,'!0/I(rI + V/2V) - г2 (1)
и представим решение задачи в виде:
6 ~ (Я - tfj/r1/*; с = (с сй)/г’2; р = (р — р0)1г , (2)
где функции и, 0, р и с при s = 0 будем считать конечными и тождественно не равными нулю величинами. Переменные (1) и (2), являясь обобщением регуляризующих переменных, введенных в работе [5] для исследования течения в тонком вязком ударном слое при отсутствии массообмена на поверхности, регуляризуют рассматриваемую задачу в окрестности острого носка тела, раскрывая имеющую место особенность системы уравнений при s->-0.
Здесь, в (1), (2), и в дальнейшем изложении принимается:
ФРоо^оо £1+v — функция тока, введенная соотношениями — — г'ри и
ду
— rvpi>, xL — продольная физическая координата, отсчитывае-
дх
мая вдоль поверхности; yL — поперечная физическая координата, отсчитываемая от поверхности по нормали; х/.-1 — продольная кривизна поверхности; rL ■—расстояние от оси тела до поверхности; uUoo, vUca, HUlo, pUlc poo, ppco — соответственно продольная и поперечная компоненты скорости, полная энтальпия, давление и плотность, Po~Pw\x=o> На== Нц, Q = ffw\x_0, са — cw о = cw^x__q, v 0,1 соответственно в плоском и осесимметричном случае; Ооэ, рет—скорость и плотность в набегающем (невозмущенном) потоке; L — характерный линейный размер; индекс „w“ относится к величинам на поверхности тела.
Регуляризующие свойства преобразования (1) и (2) для исследуемой задачи могут быть показаны такими же средствами, как это было проделано в работе [5] для течения однородного газа без вдува. Описанное в работе [5] унифицированное преобразование переменных, обобщенное в работах [4, 6] на случай течений со вдувом (включающее в себя на данном этапе и преобразование (1) и (2), и реализованное в этих же работах для затупленных тел, было построено, однако, (см. [5]) при множественных и достаточно жестких требованиях, накладываемых на функции решения вблизи носика. Приводимый ниже в кратком изложении анализ решения около острого носка не вводит этих ограничений и является по существу обоснованием преобразования (1) и (2) при гораздо менее обременительных, чем в работе [5], условиях,
что значительно расширяет сферу приложения преобразования, делая более оправданным его применение, а также и результат, полученный на его основе.
Подставляя (2) в уравнения и граничные условия задачи тонкого вязкого ударного слоя (см. [4]), представленные в переменных (1), и устремляя продольную координату в к нулю, получим при 5 = 0 для описания течения около острого носка следующую (предельную, при 5—*“0) систему уравнений в пренебрежении эффектами термо- и бародиффузии (в работе [4] отмечался их пренебрежимо малый вклад в решение) :
дг г'
д(Н-На)1г
Рг
д ( и ди\ г.
Ж(№Тя)=0;
, Л_______М д (с — са)1г112
^ Эс 1е) д7
Бс
[лр
д(с - Сд)!г
дХ
1/2
=0,
(3)
= 0; (4)
(5)
где рцо — коэффициент вязкости; — энтальпия: Рг—число
Прандтля; Ье — число Льюиса; Бс — число Шмидта; ас=(срч — ср\)!ср\ ср 1 Ср оо и Ср2ср оо — удельная теплоемкость набегающего и вдуваемого газа соответственно; сро0— удельная теплоемкость набегающего газа (таким образом: ср 1=1); —коэффициент вязкости
при температуре торможения; индексы 1 и 2 относятся соответственно к набегающему и вдуваемому газу.
Выпишем также при я=0 необходимые для дальнейшего анализа условия на внешней границе ударного слоя, представленные в регуля-ризующих переменных (1), (2) и полученные, аналогично уравнениям
(3) — (5), предельным переходом при я-^-О из модифицированных соотношений Рэнкина—Гюгонио (см. [4]):
= 0;
С=1
2Ч—1
Ж'
и ( 1 д(Н-На)1г1/2
р? -—-
дИ
+
Нас
Бс
д (с - са)/г
1/2
= 0;
5=1
г>м—1
Ие Зс
и
№ —
£
(Яоо — На) (1 + (рг>)« о) э1п ,8
Р (С - Са)/Г _ ^ + ^ Са Р «= О,
дС
(6)
(7)
(8)
где Яе = ^оо1роо/ио — число Рейнольдса; (рг>)® о = (р^Оо-^о; Р— угол наклона поверхности к оси тела. Соотношения (6) — (8) составляют внешние (т. е. при £=1) граничные условия для уравнений (3) —(5).
Однократное интегрирование уравнения (3) для функции и с учетом (6), а затем (в указанной последовательности) уравнений (5) и (4), рассматриваемых относительно величин (с—са) и (Я—На), с условиями на эти функции, взятыми соответственно из (8) и (7) (при анализе каждого уравнения используется результат предшествующих интегрирований), дает возможность получить для величин С И Я при 5=0 на всем интервале изменения переменной | [0, 1}:
с = са = ст о; Н = на = н
®0'
(9)
Рассматривая при s-vO уравнение импульса в поперечном направлении (см. [4]) и полагая х-»-0 при s-»-0, находим: p = const и р = гр + р0 = = po = const; согласно же (2), при s=0 имеем: u = uri/2, т. е. и = О,
откуда /г=Я—и2/2 = Н. Поскольку же р = р(с, Я), ц=|л(с, Я) (см. в [4] уравнение состояния и соотношения для расчета коэффициентов переноса), то, учитывая (9), заключаем, что функции р и ц, а соответственно и Le, Sc и Рг, также будут постоянными величинами при s = О на всем отрезке [0, 1]. Принимая во внимание этот результат, после повторного интегрирования уравнения (3) с учетом условия (прилипания) на стенке и|^0 = 0 получаем:
k = Cj С (С, = const). (10)
Интегрирование же уравнения (4) с условием (7) дает:
2V~* и / 1 <ЙГ , Иаг I, 1 \ д7
Re X
(■ - хУ
— (Я*, — На) (1 + (pv)w о) Sin р = 0,
(И)
а интегрирование уравнения (5) с условием (8) приводит к соотношению:
f)V —1
Re Sc
№'
дс
дГ
(1 4-(рг>)шо) casin р = 0.
(12)
Выпишем теперь соотношения для теплоизолированной поверхности тела в случае охлаждающего вдува через проницаемую стенку: принимаются условия отсутствия результирующего удельного теплового потока к внутренним областям твердой проницаемой стенки, через которую подается охлаждающий газ (это условие, возможно, точнее было бы назвать условием баланса тепла на поверхности с мас-сообменом), т. е.:
йтг 4^+кта- г: й,-^--р«(й~йо„)=о. (И)
/ = 1, 2
где Ти1а1сроо — температура газа, А00 и\а —- первоначальная энтальпия вдуваемого газа; с2 = с; с1 = 1 — с.
Начальная температура охладителя Тоои1о1ср оо считается известной, а на поверхности предполагается, кроме того, выполнение условия сохранения массы вдуваемого газа. Рассматриваемые граничные условия задачи на стенке запишем в принятых регуляризующих переменных (1) и (2):
2v-
Re Sc
I)V —1
l*p-
u dc
С
-s^ + pwO +рг>)(1
дИ
с)
= 0,
(14)
Re
t*P
и ( 1 д 0 . Hac (,
pw(l +pv)(H-h00)
Le
c=0
dc
Здесь (и далее) принято Тср кость смеси.
= 0. (15)
>
Я, где Ср Ср оо — удельная теплоем-
с=о
Совместный анализ уравнений (10) — (12), рассмотренных при £ = 0, и граничных условий (14) и ('15) дают возможность найти для острого
носка соотношение, связывающее температуру теплоизолированной стенки и расход охлаждающего газа, подаваемого через проницаемую поверхность тела.
Итак, выписав уравнения (10) — (12) для £ = 0, присоединив к ним, как указывалось выше, условия на стенке (14), (15) и учитывая связь величин Т и Н для бинарной смеси, разрешим сформированную систему уравнений, рассматривая ее как алгебраическую систему относительно неизвестных Т, с, У2, где и У2 — некоторые комплексы функций:
У
. _ Г 2»-1
1 ' ! Ие Бс
;хр
дс
У,=
с=о
о'1—1
Йе Рг
цр
им т,
— — На,
С \йС
дс
дС
с=о
Опуская подробности вычислений, приведем выражение для величины температуры теплоизолированной поверхности в остром носке при вду-ве, полученное из решения упомянутой выше алгебраической системы уравнений:
Т — ^ + (У00/Г0> [(Р^)«.0 (ср21ср1)МпЦ)
* \(^)шо(ср2/ср1)/51а Р]+ 1 ’
где Тйи'Цсрсо—температура торможения в невозмущенном потоке.
Некоторые результаты приложения формулы (16) к анализу течения вблизи острого носка представляются в виде зависимостей Т10(В) (где обозначено В=(ру)юо; Тк=Ту,/Т0) для значений р в диапазоне Р = 5°-^20° — в этих условиях, согласно работе [3], головной скачок можно считать присоединенным киоску (последнее предположение принято в использованной выше модели тонкого вязкого ударного слоя около заостренных тел); приводятся результаты для трех значений Р = 5°, 12,5°; 20°. Рассматривался случай: набегающий газ—азот (Ср 1 ■ С рос — 1,03 кДж/кг. К); вдуваемый газ — гелий (сР2-сРоо =
= 5,204 кДж/кг. К), имеющий начальную температуру Гоо=0,03 Т0.
На рис. 1 проводится сопоставление результатов настоящей работы с данными работы [4], откуда извлечены характеристики обтекания критической точки сферического носка при таких же условиях вдува с поверхности, что и принятые в настоящей работе. Результаты работы
[4] получены в рамках теории тонкого вязкого ударного слоя при числе Маха Моо= Ю для двух серий параметров (см. [4]):
1)Не = 100; В = 0; 0,01; 0,1; ТоиЦсрх = 6048К,
(17)
2) Ие = 20 ч- 100; Т0 иЦсР т = 3885 К; Тт иЦср = 1000 К, (18)
где число Re вычислено по плотности и скорости невозмущенного* потока, коэффициенту вязкости при температуре торможения и радиусу кривизны носка. В расчетах с параметрами (17) в работе [4] пренебрегалось диффузионным тепловым потоком на поверхности, т. е. использовалось соответствующим образом редуцированное граничное условие (13) (а именно, в (13) были отброшены члены, характеризующие диффузионную составляющую теплового потока на стенке:.
У hj Щ-) , расчеты же с параметрами (18) проводились при
полном (нередуцированном) условии (13). Эквивалентом формулы (16)г соответствующей полному условию (13), в случае редуцированного условия (13) является следующее соотношение, полученное таким же образом, как и (16):
т _ 7b[sin ft + (Tool То) (pv)wQ (ср 2/ср t)] [sin р + (?v)w 0]
о (СР 2IеР i) + Sin Hsin р + 2 (?V)W 0]
(19)
Сплошные кривые на рис. 1 построены с использованием формулы (19), соответствующей редуцированному условию (13); крестиками нанесены данные работы [4], полученные для первой серии параметров [см. (17)]. Штриховые кривые на рис. 1 построены при посредстве формулы (16) (соответствующей полному условию (13)) и приводятся в сопоставлении с данными работы [4] по второй серии расчетов [см. (18)]„ которые на рис. 1 помечены кружками.
Как следует из рис. 1, полученные в работе [4] значения взаимосвязанных величин В и Ту, (точки (В, Ту,)) лежат в целом в изучаемой области значений этих же величин, вычисленных для исследуемой задачи: течения около острого носка. Рис. 1 свидетельствует, что изменение (убывание) температуры теплоизолированной проницаемой стенки в-остром носке с ростом расхода охладителя происходит более высоким темпом при более низких расходах вдуваемого газа (т. е. при меньших значениях В). Отметим попутно (см. рис. 1, где сплошная кривая получена по формуле (19), которая соответствует редуцированному условию (13), а штриховая — по формуле (16), которая соответствует полному условию (13)), что упрощение граничного условия (13) задачи,, заключающееся в пренебрежении диффузионной составляющей теплового потока, т. е. использование в расчетах, вместо полного, редуцированного условия (13) приводит в рассматриваемом случае к более пессимистическим результатам, а именно, завышает температуру теплоизолированной стенки при заданном расходе вдуваемого газа, либо требует большего расхода охладителя при заданной температуре теплоизолированной поверхности по сравнению с соответствующим результатом, полученным при
полном условии (13).
Рис. 2 иллюстрирует существенно большую эффективность использования в качестве охладителя газа, имеющего большую удельную теплоемкость, чем газ в основном (набегающем) потоке: нижняя кривая на рис. 2 соответствует вдуву гелия в азот (сР 2 — 5), верхняя — азота в азот
(Ср2=1) при р = 5°. Влияние уче- Рис. 3
4—«Ученые записки» К» 5
49
та излучения проницаемой теплоизолированной стенки на ее температуру в остром носке показано на рис. 3. Соотношение баланса тепла на поверхности для этого вида граничного условия [ср. (13)] принимает вид:
СрР дТ , (Л V' I dci tu и \ 0 (оо) п /ОГ\\
ТСТГ-ЗГ + WSi H’-S7-*«)-■ , J- <20>
1 = 1,2 ГСО оо
где о — постоянная Стефана—Больцмана, е — коэффициент черноты поверхности.
Аналогом формулы (16) (дающей для острого носка связь между расходом вдуваемого газа и температурой теплоизолированной неизлучающей стенки) при учете излучающей способности поверхности будет соотношение:
<*>— {(> -т.) ■*e-‘°[S:£:)1,4(2,>
Пунктирные кривые на рис. 3, соответствующие излучающей стенке (см. условие (20) и формулу (21)), представлены для случая М00=15, £/<х> = 4240 м/с; р<х> = 0,384 • 10~3 кг/м3 при р = 5° и § = 20°; коэффициент черноты поверхности принимался равным е=0,8. Из рис. 3 следует, что учет излучения стенки наиболее существенную поправку вносит, как и можно было ожидать, в области малых вдувов (малых значений В), ■где температура поверхности наиболее высока; представляется, что эта поправка в относительном смысле растет с убыванием угла р при малых (В~0) и сравнительно больших (В>0,1) расходах охладителя.
Формулы (16), ('19) и (21) дают возможность более детального и разностороннего исследования влияния различных параметров и условий течения на температуру охлаждаемой вдувом теплоизолированной стенки в носке заостренного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Можно отметить, что в формулах (16), (19) и (21) отсутствует влияние параметра v, т. е. полученные зависимости не делают различия между плоским и пространственным случаем. Укажем также на параметр B — cP2(pv)w0/cp { sin р [см. (16)], коррелирующий результаты, относящиеся к полному условию (13).
ЛИТЕРАТУРА
1. Гершбейн Э. А'., Пейгин С. В., Тирский Г. А. Сверхзвуковое обтекаие тел при малых и умеренных числах Рейнольдса. — Обзор ВИНИТИ, сер. Механика жидкости и газа, 1985, т. 19.
2. С h е n g Н. К. The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number. — IAS Paper, 1963, N 63—92.
3. Waldron H. F. Viscous hypersonic flow over pointed cones at low Reynolds number. — AIAA J. 1967, vol. 5, N 2.
4. Анкудинов А. Л. Вдув инородного газа в гиперзвуковой вязкий ударный слой. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 4.
5. Анкудинов A. JI. Об одном преобразовании уравнений вязкого ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1315.
6. Анкудинов А. Л. Расчет гиперзвукового вязкого ударного слоя с подводом инородного газа при умеренно малых числах Рейнольдса. — Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1315.
Рукопись поступила 11 /IV 1989 г.
