CC BY
44
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 1(9)
УДК 533.6.011-536.24
А.Н. Голованов, В. Д. Гольдин
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ВДУВА ГАЗА-ОХЛАДИТЕЛЯ И ПРОДОЛЬНЫХ ПОТОКУ КОЛЕБАНИЙ СТЕНКИ 1
Теоретическими и экспериментальными методами исследуется влияние колебаний и вдува на волновое сопротивление конуса с торцевым затуплением при его сверхзвуковом обтекании. Численным методом С.К.Годунова в двумерной постановке решена задача нестационарного невязкого обтекания. Результаты расчетов и экспериментов показывают снижение волнового сопротивления при увеличении параметра вдува и параметра, характеризующего интенсивность колебаний.
Ключевые слова: сверхзвуковое обтекание, вдув, колебания, волновое сопротивление.
Рассматривается задача о сверхзвуковом обтекании затупленного конуса. Схема течения приведена на рис. 1. Конус с торцевым затуплением (1) обтекается сверхзвуковым потоком совершенного газа, имеющим скорость V» , плотность р» и давление р» . Из внутренней камеры 2 под действием разности давления в камере (р0 ) и в ударном слое через пористую вставку 3 может осуществляться вдув газа-охладителя навстречу набегающему потоку. Кроме того, обтекаемое тело может осуществлять периодические колебания вдоль продольной оси. Характерные числа Рейнольдса предполагаются большими, а вдув газа достаточно сильным, поэтому задача рассматривается в невязкой постановке. Рассмотрение ведется в цилиндрической системе координат: х - координата, отсчитываемая вдоль оси симметрии, у - расстояние до оси. При наличии колебаний точка О (рис. 1)
1 Работа выполнена при поддержке программы ФАО (проект № 2.1.1/2269).
движется по закону
* , * / * * \ xO = A cos (со t ),
где A - амплитуда колебаний, ю - круговая частота, t - время. В цилиндрической системе координат, связанной с точкой O, течение описывается системой уравнений Эйлера, которая в безразмерной форме имеет вид [1]
дF дР дQ
----+ — + — + G = 0 :
дt дx ду
p = (Y-1)Pe ,
(1)
(2)
где
f P ^ pu ^ f pv ^ f pv N
F = pu , Р = p + pu 2 , Q = puv p + pv2 , G = I puv+ypf pv2
Pv puv у
lpe^ чu (PS + p)o Чv (pe + p )o чv (ps+p )+ypuf о
Здесь t - безразмерное время; р - плотность газа; u, v - x- и ^-компоненты скорости; p -давление; е = e + (u2 + v2)/2 - полная энергия единицы массы газа; e -внутренняя энергия; у - показатель адиабаты; f - величина, обусловленная колебаниями системы координат f = -Аю2 cos(юt); A - безразмерная амплитуда колебаний; ю - частота.
Все геометрические размеры отнесены к радиусу торцевого затупления RN, компоненты скорости - к максимальной скорости Vm , которая вычисляется через скорость набегающего потока Уж и число Маха Мм:
VI = к:. 1+
(у-dmг
время - к RN/Vm , плотность - к рм , давление - к рм (Vm )2, внутренняя энергия - к
(Vm*)2.
Система уравнений (1), (2) решается в области, ограниченной головной ударной волной и поверхностью тела. В качестве граничных условий на движущейся ударной волне используются обычные условия Ренкина - Гюгонио:
Pi (Vn1 - Dn )= vn2- Dn ,
Pi + PiVni (Vni -Dn ) = P*> + Vn2 (Vn2-Dn ) ,
2 ( - e2) = (Pi - P»)| 1 - —
l Pi,
VTl = VT2 ,
где индекс да относится к параметрам набегающего потока, а 1 - к параметрам за ударной волной; vn, vT - нормальная и касательная составляющие скорости к поверхности ударной волны; Dn - нормальная скорость движения ударной волны. При этом безразмерные параметры набегающего потока вычисляются по формулам
Vn2 = v«, sin р, vT2 = V2 cos p,
1
2 V
+ Aю sin (rot), p2 =
v: =
1 + -
2
e: =-
Y-1
в - угол между касательной к ударной волне и осью симметрии.
На обтекаемой поверхности в случае отсутствия вдува выставляется условие непротекания:
vn = 0.
При наличии вдува для определения характеристик вдуваемого газа требуется рассмотреть течение в пористой вставке под действием перепада давления во внутренней камере и ударном слое; очевидно, что вдув реализуется лишь в том случае, когда давление в камере превосходит давление торможения набегающего потока. В предположении, что скорость газа в порах много меньше скорости звука, градиент давления поперек вставки много больше соответствующего градиента вдоль нее, а число Рейнольдса, определенное по характерному диаметру пор, мало, это течение описывается следующей системой уравнений [4]:
* * . * * ч
р ^ф = = р^; (3)
**
V;=А А <4)
ц дs
Здесь vg - скорость фильтрации; ф - пористость вставки; 5 - геометрическая координата, отсчитываемая от внутренней стенки вставки по нормали к ней; vnw -
нормальная скорость вдува газа в ударный слой; к , д - коэффициенты фильтрации и вязкости; индекс w относится к параметрам на обтекаемой поверхности.
В случае, если температура вставки является постоянной, плотность фильтрующегося газа можно выразить следующим образом:
*
р* =р0 ^ . (5)
Ро
Интегрируя уравнение (4) с учетом (3), (5), можно получить выражение для массовой скорости вдуваемого газа, которое в безразмерной форме имеет вид
Р^пК = В ( Р02 - Р2 ) , ()
где в=-1 к *фр0р:(кт)3
2 Ц* Ро* д
Д - толщина пористой вставки.
Равенство (6) является граничным условием на поверхности тела при наличии вдува. Другие граничные условия на этой поверхности:
1 2
^ = 0 Уе* + ^ vnw = НК, ()
где И - полная энтальпия вдуваемого газа. Кроме того, предполагается, что вдуваемый газ имеет тот же показатель адиабаты, что и газ в набегающем потоке.
На оси симметрии в качестве граничного условия используется условие симметрии, на замыкающей поверхности вниз по потоку течение является сверхзвуковым и граничного условия не требуется.
В качестве начальных условий в задаче с учетом колебаний тела задается решение стационарной задачи обтекания тела в отсутствие колебаний.
Система уравнений (1), (2) решается численным методом С.К.Годунова [2,3]. При этом используется подвижная сетка, в которой движущаяся головная ударная волна является граничной поверхностью. Вдув предполагается дозвуковым, по-
верхность контактного разрыва, разделяющая слой вдува и ударный слой, не выделяется. Подробности реализации численного метода описаны в [2,3].
Следует остановиться на реализации граничных условий на теле при наличии вдува. Предполагается, что условия (6), (7) выполнены для «больших» величин нормальной скорости, давления и плотности (Уп, Р, К) на границе ячейки, примыкающей к поверхности тела; кроме того, параметры газа на теле и в центре граничной ячейки связаны условием в волне разрежения:
Здесь малые величины относятся к центру приграничной ячейки, причем уп -проекция скорости на нормаль к телу, с - скорость звука:
равенство (10) становится уравнением для определения Р. В процессе расчета это уравнение решается методом Ньютона.
Поставленная задача решена на сетке, содержащей 128 ячеек поперек ударного слоя и 61 ячейку вдоль поверхности тела. Для удобства вычислений острая кромка на стыке затупления и боковой поверхности заменялась окружностью малого радиуса; при этом в окрестности скругления использовалось сгущение сетки в продольном телу направлении.
Сначала решалась задача стационарного обтекания тела как при наличии, так и при отсутствии вдува. На рис. 2 представлено положение ударной волны при
О - ЯУп = В(р20 - Р2) ;
(8)
(10)
(9)
После исключения Уп, Я из (8), (9) :
2вИЛ
w
Рис. 2. Положение ударной волны
Мо = 2 в случае обтекания непроницаемого тела (кривая 1) и при вдуве с параметрами р0 = 0,5, В = 2,5, И = 0,5 (кривая 2). На рис. 3 приведено распределение давления и массовой скорости вдуваемого газа вдоль головной части поверхности тела в рассмотренных случаях; кривые 1, 2 соответствуют давлению (1 - без вдува, 2 - со вду-вом), 3 - массовому расходу. Вдув газа приводит к увеличению отхода ударной волны, а также к снижению давления на тело в силу того, что эффективная форма обтекаемой поверхности становится менее затупленной. Возрас-
тание р№У„№ при удалении от оси симметрии связано с увеличением перепада давления в камере и в ударном слое.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 у
Рис. 3. Распределение давления (кр. 1, 2) и массового расхода вдуваемого газа (кр. 3) вдоль поверхности тела при стационарном обтекании
В рассматриваемой задаче представляют интерес значения коэффициента сопротивления как затупленной носовой части, так и всего тела в целом. В предположении, что донное давление равно давлению в набегающем потоке, эти величины вычисляются по формулам [3]
01)
с = с + с
хМ хМр хМг >
Сх Схр + Сх
СхМр = 4
1 + -
СхМг = 4
1 +
(у-1)МО 2
(у-1)МО
1 о
— \ РУёУ-м
Ум 0 Мо
1 Уш
— | р ^1уФ ; у2
Схр = 4
1+-
ш 0
1 Уш
-Т [ РУаУ-Уш 0
уМо
сг = с
2
Ум_
хМг 2 Уш2
(12)
(13)
(14)
(15)
Здесь ум, уш - безразмерный радиус окончания участка вдува и радиус донного сечения, формулы (13), (15) описывают вклад в сопротивление реактивного импульса вдуваемого газа.
В табл. 1 приведены значения этих коэффициентов для тела, имеющего безразмерное удлинение Ь = 4, при ум = 0,9, уш = 1,7. Здесь строка 1 соответствует стационарному обтеканию без вдува, 2 - обтеканию со вдувом при р0 = 0,5,
В = 2,5, И = 0,5.
Т аблица 1
Аэродинамические коэффициенты в различных режимах обтекания
№ п/п С хИр С хИг С хИ Ср Схг Сх
1 1,359 0 1,359 0,486 0 0,486
2 1,198 0,019 1,217 0,417 0,007 0,424
3 1,187 0,021 1,208 0,419 0,007 0,426
Расчет обтекания тела, осуществляющего гармонические колебания вдоль набегающего потока, производился при безразмерной амплитуде А = 0,2 и частоте ю = 0,1. При таких значениях параметров колебания являются достаточно медленными, в результате все характеристики течения совершают приблизительно гармонические колебания, повторяя колебания скорости тела. В случае, когда вдув отсутствует, амплитуда колебаний коэффициента сопротивления носовой части тела составляет 0,1, а среднее его значение практически не отличается от стационарного. Таким образом, расчеты показывают, что в отсутствие вдува при указанных параметрах колебания тела не оказывают влияние на среднюю картину невязкого течения.
Несколько иная картина наблюдается в присутствии вдува. Хотя и в этом случае колебания характеристик течения примерно повторяют колебания скорости, однако они несколько отстают по фазе и средние значения аэродинамических характеристик заметно отличаются от стационарных значений. На рис. 4 показаны значения коэффициентов сопротивления СхИр, СхИ в зависимости от времени (кривые 1, 2); там же кривой 3 представлены значения скорости в набегающем потоке
, пунктиром показано стационарное значение СхИ. Как видно из графиков, положения экстремумов аэродинамических характеристик не совпадают с соответствующими значениями для скорости; кроме того, их среднее значение несколько ниже стационарного. В табл. 1 в строке 3 приведены средние за период величины коэффициентов сопротивления. В результате суммарный коэффициент сопротивления носка снизился примерно на 1 %, а коэффициент, обусловленный реактивным импульсом, возрос на 15 % . Следует отметить, что суммарный коэффициент сопротивления всего тела практически не изменился.
Рис. 4. Коэффициент сопротивления носовой части тела и скорость набегающего потока
На рис. 1 показано положение головной ударной волны в различные моменты времени: кривая 4 соответствует стационарному обтеканию при наличии вдува, кривые 4, 5 - колебательному режиму в моменты времени, соответствующие минимальному и максимальному значениям аэродинамических характеристик.
На рис. 5 приведены распределения давления вдоль тела; здесь кривая 1 относится к стационарному обтеканию, 2, 3 - к течению с колебаниями в моменты времени, соответствующие экстремальным значениям характеристик. На рис. 6 показаны значения массового расхода вдуваемого газа, обозначения здесь те же, что и на рис. 5.
0 0,5 1 1,5 у 0 0,2 0,4 0,6 0,8 у
Рис. 5. Распределение давления по поверх- Рис. 6. Массовый расход вдуваемого газа
ности тела в колебательном режиме при при наличии колебаний тела
наличии вдува
В данной работе также экспериментально исследуется сопротивление затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком, в присутствии вдува газа-охладителя через проницаемый участок и последовательного воздействия на системы пористого охлаждения продольных потоку гармонических вибраций стенки и пульсаций газа-охладителя. Эксперименты проводились в сверхзвуковой аэродинамической трубе. Число Маха варьировалось в пределах: Мж = 1,9 - 2,1. Обтекаемое тело представляло собой конус с торцевым затуплением.
На рис. 7 показана принципиальная схема проведения экспериментов. Пластины 1 из пористых материалов (нержавеющая сталь и нихром) герметично поджимались в малое основание усеченного конуса 2. Стрелками 3, 4 обозначены вдуваемый газ (воздух, азот) и внешний потока воздуха. Пульсации давления газа-охладителя и линейные относительно оси симметрии модели вибрации генерировались с помощью вала электродвигателя 5 и червяка 6. Различие между вибрациями модели и пульсациями газа-охладителя заключалось в способе воздействия червяка на модель: для вибраций - непосредственно на стенку, для пульсаций - на газ-охладитель в магистрали газоснабжения. Частота возмущений / и амплитуда А регулировались скоростью вращения вала электродвигателя и геометрическими размерами червяка. Частота и амплитуда колебаний варьировались в пределах / = (0 - 20) Гц, А* = (0 - 5)-10-3 м.
Геометрические характеристики пластин из пористых материалов (способ изготовления - трикотаж [5]): диаметр пор Б = 10-3 м, толщина пластин А = = (1,0 - 2.0)*10-3 м, диаметр нити й = (20 - 50)* 10-6 м; пористость ф = 0,347 - 0,67.
4
6
1
Рис. 7. Схема эксперимента
Коэффициент волнового сопротивления Сх рассчитывался двумя способами: по результатам измерений давлений р через 8 дренажных отверстий с помощью датчиков типа ЛХ-415 и по формуле [6]:
Здесь 0 - угол между касательной к телу и осью симметрии, 0^ - его значение для конической поверхности; гт, Бт - радиус и площадь миделева сечения; Р - коэффициент давления:
Р0 - коэффициент давления в точке торможения. Интегрирование в (16) ведется по поверхности тела. Разница значений Сх, рассчитанных по формулам (16) и (17), не превышала 3,7 %. При тарировке датчиков давления вводился поправочный коэффициент, учитывающий искажения, возникающие при вибрации модели.
В табл. 2 показаны значения Сх для моделей, обтекаемых сверхзвуковым (Ыт = 1,9) подогретым потоком воздуха (температура торможения Т = 382 К) при наличии вибраций стенок. В таблице вдув характеризуется параметром
где (а / ср )0 - коэффициент конвективного теплообмена в отсутствии вдува, а интенсивность колебаний - параметром
(16)
(17)
где с - скорость звука в набегающем потоке.
Т аблица 2
Зависимости коэффициента волнового сопротивления от параметра вдува и интенсивности колебаний
В 0 1,3 4,1 8,2
I, кг/с3 0 0 0,2 0,36 0,6 0 0,2 0,36 0,6 0 0,2 0,36 0,6
с, 0,56 0,56 0,55 0,54 0,52 0,55 0,53 0,52 0,51 0,50 0,49 0,47 0,47
Таким образом, полученные экспериментальные результаты свидетельствуют о восприимчивости систем пористого охлаждения к малым периодическим возмущениям, пульсациям газа-охладителя и вибрациям стенки; при этом величина коэффициента волнового сопротивления уменьшается с ростом интенсивности вдува и колебаний. Снижение сопротивления показывают и проведенные расчеты невязкого обтекания. Следует, однако, отметить, что в расчетах влияние колебаний оказывается существенно меньшим, чем наблюдается в эксперименте. Такое различие может быть вызвано влиянием вибрации на режим фильтрации газа в порах, что не учитывается в постановке задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.
2. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.
3. Антонов В.А., Гольдин В.Д., Пахомов Ф.М. Аэродинамика тел со вдувом. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. 133 с.
4. Гришин А.М., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред. Новосибирск: Наука, 1984. 320 с.
5. Пористые проницаемые материалы: справочник / под ред. С.В.Белова. М., 1987.
6. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. М., 1976.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
ГОЛОВАНОВ Александр Николаевич - профессор, доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета Томского госуниверситета. ГОЛЬДИН ВИКТОР Данилович - старший научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского госуниверситета . E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 10.02.2010 г.
