ОХЛАЖДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 536.2

ОХЛАЖДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА

Канарейкин Александр Иванович

доцент кафедры общей физики Российский государственный геологоразведочный университет

имени Серго Орджоникидзе (МГРИ) 117997, Москва ул. Миклухо-Маклая д.23

COOLING OF AN INFINITE RECTANGULAR PLATE UNDER BOUNDARY CONDITIONS OF THE

SECOND AND THIRD KIND

Kanareykin A. I.

Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting, 117997, Miklouho-Maclay St. 23, Moscow, Russia

Аннотация. В данной статье рассматривается вопрос о нахождении закона изменения температурного поля от времени в прямоугольной пластине при разных граничных условиях, заданных на стенках пластины. При этом сама задача является нестационарной. В настоящей работе на основе метода Фурье получено решение распределения температурного поля в пластине бесконечной длины. Само решение получено в виде ряда, содержащего тригонометрические и экспоненциальные функции. Также были рассмотрены частные случаи. Достоверность полученного результата подтверждается тем, что один из частных случаев приводит поставленную задачу к задаче с граничными условиями первого рода, когда температура поверхности постоянна.

Abstract. In this article, the question of finding the law of the change of the temperature field from time in a rectangular plate under different boundary conditions set on the walls of the plate is considered. At the same time, the task itself is non-stationary. In this paper, based on the Fourier method, a solution for the distribution of the temperature field in a plate of infinite length is obtained. The solution itself is obtained in the form of a series containing trigonometric and exponential functions. Special cases were also considered. The reliability of the obtained result is confirmed by the fact that one of the special cases leads the problem to a problem with boundary conditions of the first kind, when the temperature of the surface is constant.

Ключевые слова: теплообмен, температурное поле, граничные условия второго рода, граничные условия третьего рода, нестационарный теплообмен, число Био, число Фурье.

Keywords: heat transfer, temperature field, boundary conditions of the second kind, boundary conditions of the third kind, unsteady heat transfer, Bio number, Fourier number.

Введение.

Процессы теплообмена и вытекающего из него массообмена определяют рабочий процесс в различного рода технологических установках. Что обуславливает активное развитие теории теплообмена. Активное развитие теории также обусловлено потребностями таких сфер жизнедеятельности человека как теплоэнергетика, космонавтика, атомная энергия [1-4].

Отдельно можно выделить нестационарные задачи теплопроводности. Такие процессы часто встречаются при охлаждении продуктов в холодильниках, нагревании и охлаждении обрабатываемых заготовок и изделий в технологических процессах, обжиге кирпича, вулканизации резины, пуске и останове энергетических и холодильных агрегатов [5, 6].

В работе рассмотрен случай адиабатически изолированной стенки пластины. Что приводит к тому, что задача является несимметричной и придаёт ей новизну. Вопросам расчета температурных полей при наличии адиабатической изоляции посвящено несколько работ [7, 8].

Основной задачей данной работы является нахождение распределения температуры в пластине бесконечной длины граничных условиях второго и третьего рода одновременно.

Математическая постановка задачи.

Рассмотрим однородную пластину толщиной 5 с постоянными физическими характеристиками (рис. 1). При этом в начальный момент времени t = 0 температура в пластине распределена равномерно и равна To. Затем пластину помещают в среду с постоянной температурой Токр < To. При этом теплообмен на одной поверхностей пластины происходит при h = const, на другой поверхности теплообмена нет. Необходимо найти закон распределения температурного поля в пластине в виде следующей функции: Т = f (x, t).

I

г =0

Т

X

Рисунок 1. Прямоугольная пластина с адиабатически изолированной стенкой и заданной температурой

на другой стенке.

Для нахождения решения задачи необходимо решить одномерное дифференциальное уравнение теплопроводности

Я д2Т д? ер дх2

(1)

удовлетворяющее следующим условиям: начальному

Т = Т Т =о Т (2)

и граничным: справа есть теплообмен

5Т+т 8=о

дх ^х=5

(3)

а слева нет

дТ_

дх

= 0 х=0 (4)

где: X - коэффициент теплопроводности, р - плотность материала пластины, с - теплоемкость пластины, И -коэффициент теплоотдачи между средой и поверхностью тела. Построение решения задачи. Для начала введём новую переменную

Я

т =— ? ер (5)

В этом случае уравнение (1) упроститься

дТ д2Т

дт дх2

(6)

Решение будем искать в виде произведения двух функций: одна из которых Х(х) - функция координаты, другая - У(х) -времени

T(х,т) - X(x)Y(z) (7)

Для нахождения решения воспользуемся методом разделения переменных

Xу -_YV /X - /Y (8)

Применяя метод Фурье, приравняем обе функции к постоянной k2. В результате этого действия получим линейные дифференциальные уравнения

X'' + k2 X - 0 (9)

Y + k 2Y - 0 (ю) Решение уравнения (9) находим в виде тригонометрических функций [9]

X(x) - Acoskx + Bsinkx ^^ Решение второго уравнения (8) находим в виде экспоненциальной функции

-k 2т

Y (x) — Се (12)

Найдём постоянные А, В, С, и X так, чтобы удовлетворить граничным условиям (3) и (4). Из условия (3) следует что

X' (S) + HX(S) - 0 (13)

или

- Лк вт0 + Бк совО = 0

Из него следует, что B = 0. Тогда уравнения (11) примет вид

Х(х) = Лсобкх Теперь применим второе граничное условие (4)

Х = 0 (16)

или

_ Ak sin kS + Ah cos kS - 0 (17)

Откуда

CtgkS - —

h (18)

Преобразуем правую часть

CtgkS - S

Sh (19)

Обозначим произведение kd за ц. Тогда выражение (20) примет вид

М

еtg¡u = —

(20)

где

Б1 = 8Н =

а8

т

(21)

безразмерное числом Био [10].

Само уравнение (20) с постоянными коэффициентами является трансцендентным, поэтому он имеет бесчисленное множество решений. Оно хорошо решается графическим методом. Таким образом получим множество функций

(х) = А сое

к 8 у

(22)

подставляя (22) и (12) в (7), получим множество функций температуры

Т = М С08

Г \ IМ

Ях

п п

8

к 8 у

(23)

Чтобы удовлетворить начальному условию (2), составим бесконечную сумму

Т(х,т) = £Тп = £М С08

" п / ! п

п=1 п

Г Л I М к 8 у

(24)

и подберем коэффициенты Мп таким образом, чтобы ряд при х ^ а сходился к начальному условию

I Мп

С08

п=1

ГМпхЛ

к 8 у

= Т

— Т

(25)

Поэтому необходимо положить числа Мп равными обобщённым коэффициентам Фурье

| Т0 С08

М =

к 8 у

8 .

ах Т0—/лп Мп

п 8 ( и -Л

I

С08

Мпх

к 8 у

88 ах -+—§1п2ми 2 М

=Т

1 п

2вШ Мп

Мп + Я1п Мп ^ Мп

(26)

Подставляя теперь значения Мп в (25), получаем формулу для определения температурного поля в несимметрично охлаждаемой однородной пластине

Т (х,т) = 1То

2^1П Мп

-С0Б

Г \ IМ. ' Мпх

п Л~и

Мп + *1пМп С0* Мп В безразмерной форме уравнение (27) запишется как

Т ^ 2Б1П Мп

8

к 8 у

(27)

в(х, ^1) = - = 1

Т0 V Мп + §1пМп Мп

-С0Б

к 8 у

,-Мп ^0

(28)

2

г

2

Г

0

0

2

Г

где

ат

= ^Т (29)

критерий Фурье.

Анализ полученного решения

Так как соб(Дпх/5) - величина ограниченная, а ехр^^^) - величина быстро убывающая, то в так называемой области с регулярным тепловым режимом (при Fo > 0,25) ряд становится быстро сходящимся и может быть заменен только первым членом. В этом случае выражение (28) примет

0 = N соя

V

Я

У

(30)

Проведём исследование поведения температурного поля пластины при различных значениях числа Bi. Сначала рассмотрим случай малых значений числа Вг Для малых ц характеристическое уравнение примет вид

/л1 = Ы

(31)

В этом случае температура пластины по толщине распределяется равномерно и в безразмерном виде её можно определить по формуле

0 = соя л[в1— \е

' я)

(32)

В пределе (В ^ 0) значение косинуса равно 1, тогда температурное поле примет вид

0 = е~

(33)

Откуда следует, что выражение (32) не зависит от Х. Это означает, что температурное поле меняется во времени по экспоненциальному закону.

В случае, когда число Bi стремиться к бесконечности означает, что интенсивность внешнего теплообмена бесконечно велика. Что приводит к тому, что температура поверхности пластины равна температуре окружающей среды. В этом случае получаем задачу с граничными условиями первого рода, когда температура поверхности постоянна.

Распределение температуры в различное время при разных значениях числа Bi приведено на рисунке 2.

Рисунок 2. Изменение температурного поля охлаждаемой пластины при условии Bi ^ да и Bi ^ 0.

Заключение.

В настоящей работе было получено аналитическое выражение для нахождения температурного поля в пластине бесконечной длины при граничных условиях второго и третьего рода.

Согласно полученному аналитическому выражению температурное поле пластины при охлаждении в любой момент времени имеет вид несимметричной кривой в виде косинусойды и уменьшается во

времени по экспоненциальному закону. Также были рассмотрены частные случаи. Для этого полученное решение было исследовано при малых и больших значениях числа Био. Достоверность результатов подтверждается тем, что один из частных случаев приводит поставленную задачу к задаче с граничными условиями первого рода, когда температура поверхности постоянна.

Список литературы:

1. Лыков А. В. Тепло- и массообмен при фазовых и химических превращениях // Тепло- и массообмен в процессах испарения / отв. ред. А. В. Лыков. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 7-14.

2. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987. 224 с.

3. Журавлёв В.А., Колодкин В.М., Васькин В.В. Динамика двухфазной зоны металлических сплавов с химическими реакциями // Изв. АН СССР. Сер. Металлы, 1983. Т.4. №4. C. 64-68.

4. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М., 1952. 4. Лыков А. В. Тепло- и массообмен при фазовых и химических превращениях // Тепло- и массообмен в процессах испарения / отв. ред. А. В. Лыков. М.: Изд-во АН СССР. 1958. С. 7-14.

5. Иванов Д.Ю. Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы области в случае двумерных задач нестационарной теплопроводности с граничными условиями второго и третьего рода // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 57. С. 5-25. DOI: 10.17223/19988621/57/1.

6. Несис Е.И. Методы математической физики. М.: Просвещение, 1977. с.199.

7. Канарейкин А. И. Распределение температуры в теле эллиптического сечения с внутренним источником тепла при адиабатической изоляции половины поверхности // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2021. № 5. С. 20-25.

8. Kanareykin A. Temperature distribution in an elliptical body with an internal heat source with partial adiabatic isolation // E3S Web of Conferences, 2021. Vol. 258. 09071. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202125809071.

9. Канарейкин А. И. Применение математического аппарата Берса к решению задачи теплопроводности // В сборнике: Научные труды Калужского государственного университета имени К.Э. Циолковского. Сер. "Естественные науки" Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского. 2018. С. 175-178.

10. Kanareykin A.I. Determination of the thickness of the flame front using mathematical modeling of the temperature field // 2022 IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci. 990 012030. DOI: 10.1088/17551315/990/1/012030.

References:

1. Lykov A.V. Heat and mass transfer in phase and chemical transformations // Heat and mass transfer in the processes of evaporation / ed. A.V. Lykov. M.: Publishing House of the USSR Academy of Sciences, 1958. P. 7-14.

2. Borisov V. I. Theory of two-phase zone of the metal ingot. Moscow: Metallurgiya, 1987. 224 p.

3. Zhuravlev V. A., Kolodkin V. M., Vaskin V. V. Dynamics of the two-phase zone of metal alloys with chemical reactions. Izv. AN SSSR. Ser.Metallii, 1983. Vol. 4. No. 4. C. 64-68.

4. Lykov A.V. Theory of thermal conductivity. M., 1952. 4. Lykov A.V. Heat and mass transfer during phase and chemical transformations // Heat and mass transfer in evaporation processes / ed. A.V. Lykov. M.: Publishing House of the USSR Academy of Sciences. 1958. pp. 7-14.

5. Ivanov D.Y. Refinement of the collocation method of boundary elements near the boundary of the domain in the case of two-dimensional problems of unsteady thermal conductivity with boundary conditions of the second and third kind // Bulletin of Tomsk State University. Mathematics and mechanics. 2019. No. 57. pp. 5-25 DOI: 10.17223/19988621/57/1.

6. Nesis E.I. Methods of mathematical physics. M.: Enlightenment. 1977. p.199.

7. Kanarekin A. I. Temperature distribution in an elliptical cross-section body with an internal heat source with adiabatic insulation of a half surface // Forging and stamping production. Processing of materials by pressure. 2021. No. 5. pp. 20-25.

8. Kanareykin A. I. Temperature distribution in an elliptical cross-section body with an internal heat source with adiabatic insulation of a half surface // Forging and stamping production. Processing of materials by pressure, 2021. No. 5. pp. 20-25.6. Kanareykin A. Temperature distribution in an elliptical body with an internal heat source with partial adiabatic isolation // E3S Web of Conferences. 2021. Vol. 258. 09071. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202125809071.

9. Kanareykin A. I. Application of the mathematical apparatus of Bers to the solution of the problem of thermal conductivity // In the collection: Scientific works of Kaluga State University named after K.E. Tsiolkovsky. Ser. "Natural Sciences" Kaluga State University named after K.E. Tsiolkovsky. 2018. pp. 175-178.

10. Kanareykin A.I. Determination of the thickness of the flame front using mathematical modeling of the temperature field // 2022 IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci. 990 012030. DOI: 10.1088/17551315/990/1/012030.