CC BY
7
НАУЧНЫЕ ИЗВЕСТИЯ^29^2022
УДК 536.242
ОСОБЕННОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В ТВЭЛАХ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО К ЭЛЛИПТИЧЕСКОМУ СЕЧЕНИЮ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА
Канарейкин Александр Иванович
Доцент кафедры общей физики, Российский государственный
геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе
В статье рассмотрен процесс теплообмена в твэлах разного сечения. В ней рассматривается стационарный процесс без внутренних источников тепла при граничных условиях первого рода. Автором была получена формула для нахождения температурного поля твэла эллиптического сечения для случая софокусных эллипсов. Было установлено, что всех случаях перепад температур между центром твэла и поверхностью не зависит от граничных условий, а полностью определяется внутренним тепловыделением и коэффициентом теплопроводности материала.
Ключевые слова: теплообмен, теплопроводность, уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа, закон распределения температуры, граничное условие первого рода, твэл, цилиндрическая система координат, эллиптическая система координат, интегрирование.
THE PECULIARITY OF THE CHANGE IN THE BEHAVIOR OF THE TEMPERATURE FIELD IN FUEL RODS DURING THE TRANSITION FROM A CYLINDRICAL TO AN ELLIPTICAL SECTION UNDER BOUNDARY CONDITIONS OF THE FIRST KIND
Kanareykin A. I.
Associate Professor of the Department of General Physics,
Sergo Ordzhonikidze Russian State Geological Exploration University
The article considers the process of heat transfer in fuel rods of different cross-sections. It considers a stationary process without internal heat sources under boundary conditions of the first kind. The author obtained a formula for finding the temperature field of an elliptical section fuel element for the case of sophocal ellipses. It was found that in all cases the temperature difference between the fuel element center and the surface does not depend on the boundary conditions, but is completely determined by the internal heat release and the thermal conductivity coefficient of the material.
Keywords: heat transfer, thermal conductivity, thermal conductivity equation, Laplace equation, temperature distribution law, boundary condition of the first kind, fuel element, cylindrical coordinate system, elliptical coordinate system, integration.
В теории теплообмена одной из основных задач является определение температурного поля, тем самым определяется пространственно-временного распределение температуры в исследуемой области. Распределение определяется
дифференциальным уравнением
теплопроводности, которое вытекает из закона сохранения и превращения энергии [1-6].
Задача о теплопроводности
цилиндрической стенки представляет большой практический интерес. Решение такой задачи позволяет провести расчёт передачи тепла в различного вида теплообменниках [7-9].
НАУЧНЫЕ ИЗВЕСТИЯ•29^2022
Что бы найти распределение температурного поля, необходимо решить уравнение теплопроводности. В случае
цилиндрической стенке уравнение Лапласа имеет вид
1I Л1 = о
г дг \ дг 0 (1)
Решение будем искать при заданных значениях температур внутренней и внешней
откуда
Повторно проинтегрируем
далее
Константу интегрирования С найдём с условия, что при Г = Г 2 1 = 12
—( г—Г \ = 0
-Г \ -г 0
(2)
поверхностей. Проинтегрируем обе части уравнения
dT
г-= С
dr
- С
Ыг г
К=№
t - ь = С 1п
Г г 1
I г
(3)
(4)
(5)
(6)
откуда
^ -11 = С 1п|
(7)
окончательно получим
,=, + ^V 4 г
(8)
(9)
Таким образом, зависимость температуры от радиуса в цилиндрической
стенке изображается в виде логарифмической кривой(Рисунок 1).
или
1 г
с = Ь-!
г
1п
1п1 — I V1
Для определения температурного поля в твэле эллиптического сечения для простоты вычислений будем рассматривать софокусные эллипсы. При этом задача отличается тем, что
Тогда само решение будем искать в виде [11, с. 140]
Постоянные найдём из следующих граничных условий условия. На внутренней поверхности (а1) задана температура ^
внутренние источники тепла отсутствуют [10, с. 230]. Уравнение теплопроводности в декартовой системе координат имеет вид
8 2Т 8 гТ „
—Г +—Г = 0 8х 8у
' + + С
(10)
(11)
подставляя (12) в (11), получим откуда
тогда закон распределения температуры примет вид
а ■ -г+тт=1
а Ь
' =11 + +12 -1
(12)
(13)
(14)
(15)
На внешней поверхности (а2) задана температура t2.
Так как эллипсы софокусные, то при переходе от можно записать условие перехода от внутренней к внешней поверхности
При подстановке выражения (17) в (16) получим
тогда
Откуда вторая константа равна
Окончательно получаем
Таким образом, была получена формула для нахождения температуры в твэле, образованного эллиптическими поверхностями софокусных эллипсов. Что бы определить
X2 / .
' 2 = 1 а 1 Ь 1 (16)
а = ka Ь1 = ^ (17)
2 2 X у а2 : —— + = 1
2 а2е ь2е (18)
2=к+ф1 -1)
С — _
к2 -1
t = и +
, * I 2 2
и — и I х у
1 7,2
к2 — 1
ь -1
(19)
(20)
(21)
характер поведения температурного поля буем рассматривать точки, принадлежащие эллиптическим контурам внутри самого твэла
где 1 < г <Ь. Выражение в этом случае (21) примет вид
а2 = га Ь2 = гЬ (22)
t =, + (г2
к2 -
1 (г2 -1)
(23)
^ = С. + С2
С2 = ^ - С
Из выражения (23) следует, что (Рисунок 2), что согласуется с результатом, зависимость температурного поля полученным ранее [12, с. 76].
характеризуется в виде параболической кривой
Рисунок 2 - Распределение температуры твэла в разрезе
Таким образом работа посвящена вопросам теплообмена в твэлах при граничных условиях первого рода. Были рассмотрены два сечения, а также характер поведения температурного поля при переходе от одного сечения к другому. В обоих случаях перепад температур между центром твэла и
поверхностью не зависит от граничных условий, а полностью определяется внутренним тепловыделением и коэффициентом теплопроводности материала. Полученный результат может быть полезен для дальнейших теоретических исследований в данной области.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - 600 с.
2. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. Т. 1. - М.: Высш. шк., 1982. -
328 с.
3. Апальков А.Ф. Теплотехника: учебное пособие для студентов очной и заочной форм обучения / А.Ф. Апальков. Ростов н/Д: Феникс, 2008. - 186 с.
4. Баскаков А.П. Теплотехника. М.: Энергоатомиздат. 1991. 244 с.
5. Алабовский А.Н., Константинов С.М., Недужий А.Н. Теплотехника. - Киев: Выща шк. Головное издательство, 1986. - 255 с.
6. Брюханов О.Н. Основы гидравлики и теплотехники: Учебник для сред. проф. образования /О.Н.Брюханов, А.Т.Мелик-Аракелян, В.И.Коробко. М.: Издательский центр «Академия», 2004. - 240 с.
7. Власов, Н.М. Тепловыделяющие элементы ядерных ракетных двигателей / Н.М. Власов, И.И. Федик. - М.: ЦНИИ атоминформ, 2001. - 208с.
8. Kanareykin A. I. Mathematical modeling of the thermally stressed state of elliptical-section concrete structures Journal of Physics: Conference Series 2001 (2021) 012013 D0I:10.1088/1742-6596/2001/1/012013
9. Kanareykin A. Temperature distribution in an elliptical body with an internal heat source with partial adiabatic isolation // E3S Web of Conferences. 2021. V. 258. 09071. DOI: 10.1051/e3sconf/202125809071
10. Канарейкин, А.И. Распределение температурного поля в твэле с эллиптическим поперечным сечением // Научные труды Калужского государственного университета им. К.Э. Циолковского, серия: естественные науки, 2016. - С. 230 - 231.
11. Канарейкин А.И. О частном решении дифференциального уравнения в частных производных без перехода к эллиптической системе координат // в сборнике: Научные труды Калужского государственного университета имени К.Э. Циолковского. Региональная университетская научно-практическая конференция. Сер. "Естественные науки" Калужский государственный университет имени К.Э. Циолковского, 2015. - С. 140 - 141.
12. Канарейкин, А.И. Распределение температуры в теле эллиптического сечения с внутренним источником тепла при граничных условиях первого рода // Вестник Калужского университета, серия: естественные науки. - Калуга: КГУ им. К.Э. Циолковского, 2020. - №2 (47) - С. 74 - 76.
