CC BY
16
УДК 536.2
doi 10.24411/2077-6896-2019-10016
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕП-ЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ 3 РОДА
Еремин А. В., Губарева К. В. Самарский государственный технический университет
SOLUTION OF 3-KIND DIFFERENTIAL EQUATION FOR THERMAL CONDUCTIVITY UNDER BOUNDARY CONDITIONS
Eremin A. V., Gubareva K. V Samara State Technical University
Статья посвящена аналитическому методу решения задач нестационарной теплопро-водно-сти для бесконечно-протяженной (неограниченной) пластины при граничных усло-виях 3 рода. В статье рассмотрено совместное применение интегрального метода тепло-вого баланса и дополнительных граничных условий. В предлагаемом подходе с помощью введения новой функции - теплового потока на поверхности пластины, получено про-стое по форме приближенное аналитическое решение нестационарной задачи. Описан алгоритм расчета с графическим представлением результатов расчета температурного по-ля в неограниченной пластине с учетом скорости распространения тепла.
Представленный в статье метод может быть использован для решения дифференциаль-ных уравнений в частных производных, не допускающих разделение переменных. Ключевые слова: численно - аналитическое решение, нестационарный теплообмен, краевая задача, граничные условия третьего рода, тепловой поток, интеграл теплового баланса.
The article is devoted to an analytical method for solving problems of nonstationary heat conduction for an infinitely extended (unbounded) plate under boundary conditions of the third kind. The article discusses the combined use of the integral method of heat balance and addition-al boundary conditions. In the proposed approach, by introducing a new function — the heat flux on the plate surface — an approximate analytical solution of a nonstationary problem that is simple in form is obtained. A calculation algorithm is described with a graphical representation of the results of calculating the temperature field in an unbounded plate, taking into account the speed of heat propagation. The method presented in the article can be used to solve partial dif-ferential equations that do not allow the separation of variables.
Keywords: analytical solution, unsteady thermal conductivity, boundary value problem, boundary conditions of the third kind, additional function, thermal balance integral.
Исследование процессов теплопрово- вании не-стационарных процессов связан-дности наиболее актуально при исследо- ных с прогревом или охлаждением тел.
Решение подоб-ных задач теплообмена с помощью метода Фурье (метода частных переменных) сводится к решению громоздких выражений, не пригодных к использованию на практике.
В данной работе будут представлен метод решения с помощью несложных преоб-разо-ваний и результатом в виде простых алгебраических уравнений.
Математическая постановка представлена в безразмерном виде [1] (см рис. 1) д©(£^о)_ д2©(<^о) ; (1)
дFo д%2
в = (Т-T@(T0 -Ta) 0(£О) = 1.
?
00(0, Fo) .. (3)
(2)
■ = 0
ае(1'р0) + Bi0(1,Fo) = 0, (4)
где - безразмерная температура; х
- безразмерная координата; - {а^)/82
- безразмерное время (число Фурье); Bi -а8/Х- число Био.
ф(¥о) = -
= tg а , (5)
функции в точке и коорди-
натной осью. а
Возвращаясь к размерным величинам, выражение (5) может быть записано в виде 5_ЭТОт) . (6)
ф(г) =
T - T
10 1ß@
dx
По закону Фурье плотность теплового потока на поверхности пластины определяется следующим выражением дТ(1, т) , (7)
q(r) —-X
дх
Подставляя (7) в (6) найдем ß
Ф(г)=——ZTT = k '
(8)
Рисунок 1 - Схема теплообмена в пластине
Введем новую искомую функцию времени
50(1, Fo)
ЧТ - т@)
где к = сопя1 - некоторый коэффициент, определяемый масштабом системы. Таким образом, новая искомая представляет собой плотность теплового потока в точке при-ложения граничного условия третьего рода в произведении с константой.
Решение задачи (1) - (4) представим в виде полинома п-ной степени:
0(^с) ^¿ь, (Рс) г1 ,(9)
1=1
где п е N - натуральное число, соответствующее количеству членов ряда (9); Ь (То) - неизвестные коэффициенты, зависящие от безразмерного времени.
Для получения решения задачи (1) - (4) в первом приближении ограничимся тремя слагаемыми (п = 3) в выражении (9). Для определения неизвестных коэффициентов bi подставим выражение (9) в граничные условия (3) и (4), а также в дополнительное условие (5). В результате подстановки получим систему двух алгебраических уравнений
где - угол между касательной к графику
ВЬ + Ь3(В1 + 2) - 0; Ь - 0;
2Ь3 -ф^о) - 0, Из решения системы алгебраических
уравнении определим
ф^о)(2 + Bi)
üiCFo) =--
2Bi
b (Fo) = 0;
b3(Fo) -
¿(Fo). 2
Выражение (9) с учетом найденных коэффициентов запишется в виде 0(^с) = /¿Яффа), (10)
где № = £ - -Ш+2 -
1 ae(^,Fo) I д Fo
dH\
д ¿&(^,Fo)
. С11)
Вычисляя интеграл, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида
dф(Fo)
с
dFo
1 1
л
v Bi + 3 У
-ф(Fo) - 0'
(12)
из решения, которого находим
i i '
—+-
Bi 3
(13)
ф(¥о) - C1e где Ci - константа интегрирования. Подставляя (13) в (9), получаем - - (14)
0(t,Fo) = №) Ce к' V ;
^ 1 1
где К =--ь - .
В1 3
Для выполнения начального условия (2) составим его невязку и потребуем ор-того-нальности невязки к координатной
ш
координатная
2 2Bi
функция. Полученное соотношение удовлетворяет граничным условиям (3), (4), а также дополнительному условию (5) при любых значениях функции .
Для приближенного удовлетворения исходного дифференциального уравнение (1), проинтегрируем его в пределах изменения пространственной координаты, т.е. составим интеграл теплового баланса [8]
функции 1
|[©(£ 0)-1Щ) - (В1 + 3)С1 +3Bi - 0
0
Из решения
. (15)
уравнения (15) определим константу интегрирования С1 - —з = . Выражение (14) с учетом найденного значения представляет решение задачи (1) - (4) в первом приближении и может быть записано в виде
0(É,Fo) = -!
K
( £2
Bi + 2 2Bi
. (16)
На рис. 2, 3 представлены результаты расчётов температуры по формуле (16) в первом и третьем приближении в сравнении с численным решением. Анализируя графики изме-нений безразмерной температуры в пластине можно сделать вывод о том, что в диапа-зоне °Д - Ро < расхождение полученных результатов не превышает 2%.
Рисунок 2 - Изменение безразмерной температуры в пластине:
--приближенное решение,
---- численное решение [] 1,3 - номер приближения; В1 = 0,5
Fo
e
о
1,0 0 0,75
0,50
0,25
\о,1
\\ 3 \\ 1 \\ \ \
¡Н,о\\ 3 \ \
1
0
2,5
5,0
7,5 Fo 10,0
Рисунок 3 - Распределение безразмерной температуры в пластине:
--приближенное решение,
---- численное решение [] 1,3 - номер приближения; В1 = 0,5
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фунда-мен-тальных исследований (РФФИ) в рамках научного проекта № 18-38-00029 мол а и Совета по грантам Президента РФ в рамках научного проекта МК-2614.2019.8.
Библиографический список
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
2. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло - и массообмена // Инженерно - физический журнал. Т. 9, № 3. 1956. С. 287 - 304.J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68-73.
3. Фёдоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск. Наука. 2000. 220 с.
References
1. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti. M.: Vysshaya shkola, 1967. 600 s.
2. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло - и массообмена // Инженерно - физический журнал. Т. 9, № 3. 1956. С. 287 - 304.J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68-73.
3. Фёдоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск. Наука. 2000. 220 с.
Еремин Антон Владимирович, ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет», кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Промышленная теплоэнергетика»
Anton V. Eremin, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Industrial Power Engineering, Samara State Technical University, Samara Губарева Кристина Владимировна, ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет», аспирант кафедры «Промышленная теплоэнергетика» E-mail: r.kristina2017@mail.ru
Gubareva Kristina Vladimirovna, Samara State Technical University, Samara, E-mail: r.kristina2017@mail.ru
Дата поступления статьи в редакцию 12.11.2019 24
