ОХЛАЖДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ РАЗНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2

ОХЛАЖДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ РАЗНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Канарейкин Александр Иванович

Доцент кафедры общей физики, Российский государственный

геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе

Статья посвящена вопросам нестационарного теплопереноса. В ней приведено нахождения температурного поля в бесконечной прямоугольной пластины с адиабатически изолированной стороной. Теплообмен на одной поверхности пластины происходит при граничных условиях третьего рода, на другой поверхности теплообмена нет. Из-за чего задача является несимметричной. Решение находится с помощью применения методов Фурье и графического метода. В результате получено аналитическое выражение распределения температуры пластины в виде ряда. Данная работа отличается от результатов, полученных другими авторами тем, что задача является несимметричной.

Ключевые слова: теплообмен, температурное поле, прямоугольная пластина, нестационарная теплопроводность, однородное дифференциальное уравнение теплопроводности, метод Фурье, графический метод, начальные условия, граничные условия третьего рода, функциональный ряд.

COOLING OF AN INFINITE RECTANGULAR PLATE UNDER DIFFERENT BOUNDARY CONDITIONS

Kanareykin A. I

Associate Professor of the Department of General Physics,

Sergo Ordzhonikidze Russian State Geological Exploration University

The article is devoted to the issues of non-stationary heat transfer. It involves finding the temperature field in an infinite rectangular plate with an adiabatically isolated side. Heat exchange on one surface of the plate occurs under boundary conditions of the third kind, there is no heat exchange on the other surface. Because of this, the task is asymmetric. The solution is found by applying Fourier methods and the graphical method. As a result, an analytical expression of the plate temperature distribution in the form of a series is obtained. This work differs from the results obtained by other authors in that the problem is asymmetric.

Keywords: heat transfer, temperature field, rectangular plate, unsteady thermal conductivity, homogeneous differential equation of thermal conductivity, Fourier method, graphical method, initial conditions, boundary conditions of the third kind, functional series.

Как известно процессы теплообмена играют исключительную роль как в природе, так и в технике. Особый научный интерес представляют работы, описывающие нестационарный теплообмен в современных теплообменных элементах теплообменного оборудования [1-5]. При этом вопросам расчета температурных полей при наличии адиабатической изоляции посвящено несколько работ [6, 7].

Рассмотрим однородную пластину толщиной б с постоянными физическими характеристиками (Рисунок 1). При этом в начальный момент времени 1 = 0 температура в пластине распределена равномерно и равна То. Необходимо найти закон распределения температурного поля в пластине в виде следующей функции: Т = f (х, 1).

T -0

То

X

V/N, y

S

Рисунок 1 - Прямоугольная пластина с заданными условиями

Для нахождения решения задачи необходимо решить одномерное

удовлетворяющее следующим условиям: начальному

и граничным: справа есть теплообмен а слева нет

Для начала введём новую переменную В этом случае уравнение (1) упроститься

Будем искать решение в виде произведения двух функций: одна из которых

Для нахождения решения воспользуемся методом разделения переменных

Применяя метод Фурье, получим линейные дифференциальные уравнения

На вид уравнения одинаковые, но их решения будут отличаться. Решение уравнения

Решение второго уравнения (10) находим в виде экспоненциальной функции

Из условия (3) следует что

дифференциальное теплопроводности

уравнение

ЗТ 1 д2Т

8t cp дх2

T = T0

lí=0 0

—+ hT\ d = 0

8x

= 0

(1) (2)

(3)

(4)

1

t = — t

cr (5)

(6)

дг _

8 т дх1

Х(х) - функция координаты, другая - У(х) -времени

Т ( х,т) = X (х)Т (т) (7)

*ух=-г/

(8)

X' + k2 X = 0 (9) Y' + k Y = 0 (10)

(9) будем находить в виде тригонометрических функций [8]

X(x) = Acoskx + B sin kx (ц)

Y (x) = Ce-¡

(12)

t=C

а из условия (4) следует что откуда

Теперь применим второе граничное условие (14)

Откуда

Преобразуем правую часть Обозначим произведение кб за р. Тогда

Поэтому необходимо положить числа Mn равными обобщённым коэффициентам Фурье

X '(d) + hX (d) = 0 (1з) ^ '(0) = 0 (14) X (x) = ^4cos kx (15)

- Ak sin kS + Ah cos kS = 0

(16)

ctgkS = -

Ctg

k

h (17) (18) Bi (19)

где

безразмерное числом Био. Уравнение (20) имеет корни рп, которые называются собственными числами, зависят от

И получим множество функций температуры

Далее составим бесконечную сумму

и подберем коэффициенты Мп таким образом, чтобы ряд при х ^ а сходился к начальному условию (2)

Ег = Я = а

1 (20)

порядкового номера п и числа Вь Таким образом получим множество функций, удовлетворяющих граничному условию (14)

X(х) = An cos

[Лпх

T = M. cos|^£le v ° 0

T(x,t) = = XMn cos| d e

2Mn cos\ff J = T

(21)

(22)

(23)

(24)

1 r.

Mn

\ , S .

cos|-\dx r. —sin ¡лп

S 0

2 sin ¡лп

| cos21 — \dx SS+4^TSin2ft

+ sin cos ^

Подставляя теперь значения Мп в (25), получаем формулу для определения

(25)

температурного поля в несимметрично охлаждаемой однородной пластине

T (x,t) = £T0-

2sin цч

-cos'i^ Ц -

Таким образом в настоящей работе было получено аналитическое выражение для нахождения температурного поля в пластине

n цп + sin ц cos цп \ d j (26)

бесконечной длины с адибатически изолированной стороной при граничных условиях третьего рода.

r

ЛИТЕРАТУРА

1. Маскайкин В.А. Теоретическое исследование температурных режимов при обтекании осесимметричных тел, транспортируемые на внешней подвеске летательных аппаратов // Труды МАИ, 2020. № 111.

2. Бендерский Б.Я., Чернова А.А. Теплообмен в камере сгорания ракетного двигателя при изменении геометрии канально-щелевого заряда твердого топлива // Труды МАИ, 2018. № 111.

3. Савицкий Д.В., Аксёнов А.А., Жлуктов С.В. Численное моделирование взаимодействия аргоновой плазмы с углеродным образцом теплозащитного покрытия // Труды МАИ, 2020. № 101.

4. Рапопорт Э.Я. Методы параметрической оптимизация в задачах многоканального управления системами с распределенными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления, 2019. - № 4. - С. 36-50.

5. Иванов Д.Ю. Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы области в случае двумерных задач нестационарной теплопроводности с граничными условиями второго и третьего рода // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, 2019. - № 57. - С. 5-25 DOI: 10.17223/19988621/57/1.

6. Kanareykin A. Temperature distribution in an elliptical body with an internal heat source with partial adiabatic isolation, E3S Web of Conferences, 2021. Vol. 258, 09071 https://doi.org/10.1051/e3sconf/202125809071.

7. Канарейкин А.И. Распределение температуры в теле эллиптического сечения с внутренним источником тепла при адиабатической изоляции половины поверхности // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением, 2021. - № 5. - С. 20-25.

8. Канарейкин А.И. Применение математического аппарата Берса к решению задачи теплопроводности // В сборнике: Научные труды Калужского государственного университета имени К.Э. Циолковского. Сер. "Естественные науки" Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, 2018. - С. 175-178.