CC BY
20
UNIQUE SOLVABILITY OF AN UNUSUAL PROBLEM (THE PROBLEM OF THE STRING) Kokoreva Valentina Vladimirovna, PhD of Physical and Mathematical Sciences,
Stavropol State Pedagogical Institute, Stavropol
Chmeleva Galina Alexeevna, PhD of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, North-Caucasus Humanitarian-Technical Institute, Stavropol
The paper considers the question of the solvability of a non-standard boundary-value problem (the problem of the string).
Keywords: boundary value problem, the fundamental system of solutions of the problem of the string, the canonical basis, the operation of the Green.
УДК 51-74
© Кокрева В.В., 2013 © Чмелева Г.А., 2013
О
Г
О
г
г
о
I-
о
(1)
58
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ НЕСТАНДАРТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ (ЗАДАЧИ О СТРУНЕ)
В работе рассмотрен вопрос о разрешимости одной нестандартной краевой задачи (задачи о струне).
Ключевые слова: краевая задача; фундаментальная система решений; задачи о струне; канонический базис; операция Гсина.
Пусть E и E - линейные пространства и пусть L- линейный аддитивный и однородный оператор, действующий из E "на" Е2 ,то есть ЬЕХ з Е .Назовем оператор L обыкновенным оператором, а уравнение вида:
Lu = f (f є Е2), (1)
обыкновенным уравнением, если корневое пространство N (L) = {u : Lu = 0} конечномерно и имеет размер n (dim N (L) = n).
Базис пространства N(L) называют фундаментальной системой решений уравнения Lu = 0.
Пусть уравнение (1) дополнено условием l(u) = h (h є Rn), где l-конечномерный линейный оператор, l: Е ^ Rn, то есть lопределяется набором функционалов {l,l2,...,ln} из Е*. Пару
Lu = f, l (u ) = h
(2)
КОКОРЕВА Валентина Владимировна,
кандидат физикоматематических наук, доцент,
Ставропольский
государственный
педагогический
институт,
Ставрополь
будем называть краевой задачей.
В виде (2) могут быть представлены и задачи о струне. Например, задача о струне с закрепленным левым и свободным правым концом
Lu = -(pu'j, Е = C2[0,l], Е2 = C[0,l],
lxu = u (0), l2u = u'(l), dim N (L) = 2.
В задаче о струне, упруго подпертой во внутренней точке £, пружинкой и жестко закрепленной на концах,
ЧМЕЛЕВА Галина Алексеевна,
кандидат физикоматематических наук, доцент,
Северо-Кавказский
гуманитарно-
технический
институт,
Ставрополь
Lu = -(pu') ,
Е = C2[0,^)и(у ], Е2 = C [0,S)u(£l ],
lu = u (0), l2u = u (l), lu = u (^ + 0)- u (^ - 0),
lu = p(^ + 0)u'(^ + 0) - p(^ - 0)u'(£, - 0) - ku (^).
Можно показать, что dim N (L) = 4.
Исследуем вопрос о разрешимости задачи
(2). Отметим, во-первых, что так как L действует из E "на" E ,то для всех f є E2 уравнение
(1) имеет по крайней мере одно решение. Пусть {ф,фф} - какой-нибудь базис в N ( L ). Тогда общее решение уравнения (1), очевидно, можно представить в виде
и = с^ф + С2ф2 +... + Спфп + z , (3)
где z - частное решение уравнения (1).
Теорема. Задача (2) однозначно разрешима при любых f є E2, h є Rn тогда и только тогда, когда соответствующая однородная задача:
Lu = 0, l (и ) = 0
(4)
имеет только тривиальное решение. Последнее
к ^
ф 0,
то отли-
эквивалентно тому, что det есть определитель матрицы чен от нуля.
Будем называть задачу (2) невырожденной, если однородная задача (4) имеет только нулевое решение.
Пусть K - отображение из Е2 в E такое, что LK = I. В этом случае говорят, что K обращает L. Такое Kсуществует (отображение, обращающее L,неединственное, что следует из dim N(L) = п), так как L действует "на" Е2. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Для невырожденной краевой задачи (2) решение и (х) представимо в виде
i( x) =
detl НФ I,k=1
Kf Фі - Фп
l1 (Kf)- h l1 (ф ) ••• l1 (фп )
ln (Kf )-К 1п (ф ) • іп (фп )
(5)
где {фі,ф2,...,фп} - базис N(L).
Базис {ф,}^ в N(L) называют каноническим для краевых условий {lt}^, если
lk (ф) = 5k,, k,i = 1,...,п, где 5kt - симв°лКр°-некера, равный 1 при k = i и равный 0 при
к ф i.
Теорема. Для всякой невырожденной краевой задачи (2) существует канонический базис.
Если краевая задача (2) невырождена, то однозначно разрешима в E полуоднородная краевая задача
Lu = f,
l (u) = 0 (6)
l-n
о
гч
о
□
при произвольной функции f є E . Поэтому определена операция, которую обозначаютчерез G и называют операцией Грина, ставящая в соответствие произвольной функции f є E решение и(х) задачи (6), при этом записывают
и = Gf.
Теорема. Пусть {ф} - канонический базис. Тогда операция Грина приобретает вид
СО
гч
О"
I---------
Gf = Kf -£l, (Kf )ф
i=1
(7)
Kp
\'
Литература:
1. Данфорд H. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд,
Дж. Шварц - М.: Иностранная литература, 1962. - 895 с.
2. Канторович Л.В. Функциональный анализ в нормированных про- 59 странствах / Л.В.Канторович, Г.П. Акилов- М.: Наука, 1977. - 496 с.
3. Канторович Л.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах / Л.В. Канторович, Б.З. Вулих, А.Г. Пинскер. - М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.
4. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А.Красносельский- М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.
5. Красносельский М.А. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, В.В. Покорный, В.Я. Стеценко - ДАН Тадж. ССР,1974.
- T.XVII, №1.- С. 12-15.
6. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О некоторых нелинейных задачах, имеющих много решений / М.А.Красносельский, В.Я.Стецен-ко - Сиб. Матем. ж., Т.4, №1,1963.- С.120-137.
7. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев и др. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272 с.
