О монотонной ветви нелинейной спектральной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ON MONOTONE BRANCHES OF THE NONLINEAR SPECTRAL PROBLEMS

Chmeleva Galina Alexeevna, PhD of Physico-Mathematical sciences, Associate Professor, North-Caucasian Humanitarian and Technical Institute, Stavropol

Kokoreva Valentina Vladimirovna, PhD of Physico-Mathematical sciences, Associate Professor, Stavropol State Pedagogical Institute, Stavropol

The article considers the question of the existence of non-trivial solutions (if X > 0 ) for nonlinear integro-differential

equations -(/w')(x) + Jii(s)<iO(s) ~(pu')(0).

о 0

Keywords: growth nonlinearities function; nontrivialpositive solution; a homogeneous equation; the existence of non-trivial solutions; boundary conditions.

О МОНОТОННОЙ ВЕТВИ НЕЛИНЕЙНОЙ УДК 51-74

СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДА ЧИ

В работе рассмотрен вопрос о существовании нетривиального решения (при © Чмелева Г.А., 2015 X > О ) У нелинейного интегро-дифференциального уравнения

Кокорева В.В., 2015

0).

о о

Ключевые слова: рост нелинейности функции; нетривиальность положительного решения; однородное уравнение; существование нетривиального решения; краевые условия.

Рассмотрим условия роста нелинейности функции /(«), для которой задача ЧМЕЛЕВА Галина

Алексеевна, кандидат физико-ма тема тических наук, доцент,

0 0 (1) Северо-Кавказский

и (0) = u (l) = О гуманитарно-технический

институт, Ставрополь

может иметь не более одного нетривиального положительного решения, т.е. решения, принадлежащего множеству А" = {гу(х)еС[0Д]: (0<х<1)}.

Теорема 1. Пусть однородное уравнение

~(pu')(x) + ju(s)dO(s) = -(pu')( о) (2)

о

не осциллирует на [0,1 ] и функция /(и) не убывает по и при и > о, и

f(u\

пусть при и

> 0 функция м>(м) = строго убывает по и и /(0) = 0. Пусть, наконец, определяемый функцией /(м) оператор суперпозиции непрерывно действует из С [0,1] в

о

КОКОРЕВА Валентина

Тогда множество л значений х > 0, при которых задача Владимировна, кандидат

физико-ма тема тических л. л. наук, доцент,

-(/ш')(х) + |м (s)dO(s) = lj/(u(s))da(s)-(pu,)(0) Ставропольский

0 0 (3) государственный

u (о) = u (1) = 0 педагогический

институт, Ставрополь

имеет хотя бы одно нетривиальное решение в К, обладает следующими свойствами:

1) А непусто и совпадает с некоторым интервалом при 0<Х0 <Хх, <оо;

2) каждому х<= А отвечает лишь одно решение ик(х)еК краевой задачи (3), причем

lim гуЛ

= 0

lim гу.

Доказа тель ство.

Из монотонности по и функции /(м) и равенства /(0) = 0 следует,что /(г/) >0 при и >о. А из строгой монотонности \|/(гу) вытекает, вследствие теоремы 3, что если краевая задача (3) разрешима в К при некотором },>о,то ее решение их(х) принадлежит внутренности А"„ , откуда следует при некоторых а,р справедливость неравенства

0<а<-^44<Р<оо (0<х<1) 11о{х)

(4)

неравенство

>1

е (ОД) (в противном случае поменяем гу(х) и (х) ролями). Положим

М-0 = lllf.

ФО

W)v(x)■

(5)

Очевидно, о<ц0<1. Для функций и(х) и у(х) справедливы равенства:

1

0

1

о

Так как функция \|/(м) строго монотонно убывает по и, то

—/(^0v(x))>/(v(x)) (0 < х < 1)

(7)

Из (5) следует, что гу(х)>ц0у(х) на [0,1]. Отсюда и из монотонного возрастания f(u)

следует,что /(м(х))>/(ц0у(х)) (0<х<1).Поэтому и вследствие (7) функция г(/) = /(м(х)) --ц0/(у(х))положительна на множестве полной меры из [0,1]. Отсюда и из сильной положительности линейного интегрального оператора <4сядром вытекает,что (,4г)(х) >0 на [0,1], т.е. при некотором у0 >0 имеет место (Аг)(/) > у0 >0 на [0,1]. Последнее означает, вследствие (6), что [гу(х)-ц0у(х)] = (,4г)(х)> >Ху0 >0 (0<х<1).

II (х) ^у0

Значит, ~~тт -M-0+y-f >М-0,

v(xj V

что противоре-

Покажем, что при каждом },>о задача (3) может иметь в К не более одного нетривиального решения. Пусть м(х), у(х) - различные решения из /^задачи (3), отвечающие некото-

и (х)

рому X > 0 • Очевидно, х > 0 • Функция ^у

вследствие (4) строго положительна на [0,1 ]. Без ограничения общности можно полагать, что

читопределению (5) числа ц0.Таким образом, при каждом х>0 задача (3) имеет не более одного решения в К, что доказывает первую часть свойства (2).

Покажем теперь, что множество л непусто. Для этого достаточно показать, что хотя бы при одном >о существует нетривиальное решение уравнения и = Ши,ур1е о - оператор, определяемый равенством

(СН)(.т) = ([,№]Н)(.Т) = }О(.Т;5)/(Н(5))^СТ(5) (8)

Рассмотрим оператор

^ kGu + /0 k I kGu + /0

(/0(x) = U = 0,1,2,...). здесь

норма понимается

выполняется не при всех

в смысле пространства С [0,1]. Оператор G в условиях теоремы действует и вполне непрерывен в С [ОМ, причем доставляет инвариантным множество К неотрицательных непрерывных функций. Так как ||А<7м+/0||>||/0|| = 1 при и(х) >0, то оператор Gk также вполне непрерывен на К. Кроме того, Gk преобразует все множество Кв единичную сферу С[0,1 ]. Поэтому Gk оставляет инвариантным множество S+ функций гу(х) е К, для которых ||м||<1. Это множество очевидным образом замкнуто, выпукло и ограничено. Вследствие принципа Шау-дерау Gk существует в S+ неподвижная точка uk :Gki<к = ик. Переписывая это равенство с помощью оператора О.

(GMt)(x)+- = ntMt(x), (9)

При Цд

, вследствие » = 1 и ком-

пактности оператора б^имеем, что последовательности {ц,^} и компактны. Если последовательность окажется ограниченной снизу положительной константой, то последо-

вательность {г^} также окажется компактной. Переходя в этих последовательностях к сходящимся подпоследовательностям и производя их перенумерацию, будем иметь вместо (9)

Оик + ак10 = \хкик,

(10)

При

ii, .ыг, / ос;

ч|,0и ->ц0 >0. Теперь, пе-

= тт и,

[0.1] '

(х) > 0

(11)

сти оператора

бел еду ет М°"к)(1)-((}10)(1) =

П

= А

-/(1)

>0

(10)

Г(,)>^(О/0)(,). Но тогда

пишу, (х) >

[од] к у '

реходя в (10) к пределу, получим Ои0 =ц0г/0. Таким образом, нам остается показать, что последовательность ограничена снизу положительным числом.

Пусть М= 0. Тогда можно считать, что /ик^0 и что справедливо (10) при ак ^0. Из (10) вытекает, что ик (х) > 0 на [0,1 ]. Поэтому

А так как ||г^|| = 1, то ук< 1, причем если бы ук = 1 при некотором к, то ик(х) = \ и Оик -ак)ик, т.е. доказательство непустоты А на этом бы кончалось (предположение ук = 1 не связано со сделанным предположением от противного о том, что М = 0).3на-

/(")

чит, можно считать ук <1.Таккакфункция ——

и

убывает,то /(!)- ^^ • А из неубывания /(м)

Ук

и неравенства ик(ух)>ук вытекает /(г^ (х)) >/{ук)- Отсюда в силу положительно-

тт(О/0)(х) и в силу (1 ]) ук >^тт(О10)(х), И к 1,1 Ик

т.е. Ик - П1т(^"'.1)(л'). Последнее означает вследствие ¡ик I о, что т1п(С1о)(х) = чего заведомо быть не может.

Таким образом, Ы/ик>0 и непустота А доказана.

Аналогично показывается, что для каждого >0 при некотором я>0 уравнение х = ЯОх имеет в /Сретение с нормой, равной г. Таким образом, множество значений функции Цг^Ц на заполняет (0,-ьм).

Литература:

1. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский. - М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.

2. Прядиев В.Л. О структуре спектра одного класса нелинейных краевых задач второго порядка / В.Л. Прядиев // Дифференциальные уравнения. -1999. - Т. 35. - № 11. - С. 1575.

3. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В. Л. Прядиев и др. - М.: ФИЗМАТЛИТ,

2004. - 272 с.

4. Чмелева Г.А. Математическое моделирование сетеподобных податливых структур на основе теории полуупорядоченных структур : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Г.А. Чмелева. - Ставрополь,

2005.- 100 с.

5. Чмелева Г.А., Кокорева В.В. Методы теории полуупорядоченных пространств в анализе одного класса нестандартных моделей податливых систем : монография / Г.А. Чмелева, В.В. Кокорева. -Ставрополь : Ставролит, 2013. - 72с.

, поэтому и вследствие