Интегро-дифференциальная модель и ее вариационная мотивация Текст научной статьи по специальности «Математика»

INTEGRO-DIFFERENTIAL MODEL AND ITS VARIATIONAL MOTIVATION

Chmeleva Galina Alexeevna, PhD of Physico-Mathematical sciences, Associate Professor, North-Caucasus Humanitarian-Technical Institute, Stavropol

Kokoreva Valentina Vladimirovna, PhD of Physico-Mathematical sciences, Asso-ciate Professor, Stavropol State Pedagogical Institute, Stavropol

The article is dedicated to integro-differential model and its variational motivation.

Keywords: integro-differential equation; Stieltjes integral; deformation; elasticity coefficients of the environment; the minimization of the energy functional.

УДК 51-74

© Чмелева Г.А., 2014 © Кокорева В.В., 2014

ЧМЕЛЕВА Галина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Северо-Кавказский гуманитарно-технический институт, Ставрополь

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ И ЕЕ ВАРИАЦИОННАЯ МОТИВАЦИЯ

Статья посвящена интегро-дифференциальной модели и ее вариационной мотивации.

Ключевые слова: интегро-дифференциальноеуравнение; интеграл Стилтьеса; деформация; коэффициент упругости среды; минимизация функционала энергии.

В работе исследуется интегро-дифференциальное уравнение

X

ри'(х) = |u(s)dQ(s) - Г(х)+еоп81 в предположении, чтор, Q и F-

0

функции ограниченной вариации, а штрих означает обычную производную.

Исследуем интегро-дифференциальное уравнение:

pu'(x) = ju(s)dQ(s) - F(x)+const

(1)

КОКОРЕВА Валентина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент, Ставропольский государст в енный педагогический институт, Ставрополь

в предположении, что р, Q и Г - функции ограниченной вариации, а штрих означает обычную производную. Решения этого уравнения будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, производные которых имеют ограниченную на [0;1] вариацию.

Пусть вдоль отрезка [0;1] оси Ох расположен упругий континуум (натянута струна). Предположим, что рассматриваемый объект деформируется в вертикальной плоскости под воздействием силы, локальная интенсивность которой равна dF(x), и пусть деформации этой системы малы. Будем считать эти деформации непрерывными функциями, заданными на отрезке [0;1].

Пусть Г(х) - общее внешнее усилие, приложенное слева от точки х, то есть на [0;х]. Если и(х) - отклонение (деформация) в точке х под воздействием на элемент [x;x+dx\ силой dF(x)=F(x+dx)-(Fx), то работа, выполняемая этой силой при перемещении указанного элемента на дистанцию и(х), равна u(x)dF(x).

В целом для придания струне формы и(х) затрачиваемая внеш-

ней силои энергия определяется выражением

Ф

,(u) = ju (x)dF (x).

Аналогично описывается энергия, накапливаемая за счет упругой реакции внешней (окружающей) среды. Если через dQ обозначить локальный коэффициент упругости среды, то при отклонении элемента [x,x+dx\ на дистанцию к сила упругой реакции, по закону Гука, равна кdQ(x), поэтому работа по преодолению этой силы при изме-

( и ( x ) Л

нении к от нуля до иравна

j hdh dQ = 2 dQ. на всем проме-

жутке [0;1] это приводит к следующему выражению для соответствующей энергии

1 и 2

ф е (и) = И \ —в. 0 2

Полная энергия Ф(и), накапливаемая струной под воздействием нагрузки Р(х), равна Ф0(и)+Фв(и)-ФР(и), где Ф0(и) определяется внутренней энергией струны. Опишем ее явное выражение.

Изменение длины струны на уча2тке

[х,х+—х) равно (^1 + и'2 - 1)—х • Еслир(х) - сила

натяжения струны в точке х, то энергия, затрачиваемая на изменение длины участка ах, рав-

и'2, имеем ^о

Фо(и) = И

1 а _ г ри

2

ах

Рассматривае-

1 1 2

ф(и) = Ир^-аи + И^—в-Ииар (2)

при условиях закрепления концов. В (2) все интегралы понимаются по Риману-Стилтьесу. Существование указанных интегралов по Ри-ману-Стилтьесу следует из непрерывности и(х) и ограниченности вариации функций в, Р,р и производной и'.

Мы считаем, что функционал (2) задан на множестве Е абсолютно непрерывных на [0;1] функций, производные которых имеют конечное на [0;1] изменение, т.е. принадлежат БУ[0;1 ] - пространству функций ограниченной вариации с нормой ||у||бк = |у(о)| + ^(у), и принимающих нулевые значения на концах отрезка [0;1]. Если и(х) дает минимум Ф(и) на Е, то по схеме Лагранжа первая вариация

5Ф (и) к = — Ф (и + к к) а к

к=о

функционал. Для ее явного нахождения введем функцию ф(к) = ф(и + кк) = И Р(и + кк )

1 1 1 а (и + кк)+—И (и + кк)2 —в - И (и +кк)ар

2 о 0

при

фиксированном к е Е. Так как:

1 , ри

~2

ф(к)=И —и +^И ри ак+— И рк'ан +1 Ии 2ав

о 2 о 2 о 2 о

1 к2 1 1 1 +кИик—в + ^Ик2ао -Ииар -кИкар, то

о 2 о о о

а 1 11

—к (к) = И ри—к + кИ рк—к + И ик—в +

Я

■е

8

на р(х)(^1 + и'2 - 1)—х , и Для всей струны имеем Ир(х)^1 + и'2 -1)ах. Разлагая выражение

кИк2—в -Икар , и

первая вариация прини-

мает

^1 + и'2 в ряд Тейлора по степеням и' и отбрасывая малые более высокого порядка, чем

■ Ои

1 1 1 <т

вид 5Ф (и )к = И рк' —к + Иик—в - Ик—Р . _ т

о о о

Отсюда вытекает равенство ^ '

И рк'—к + И ик—в -И к—Р = о (3)

мая функция и(х) - это гипотетическая (виртуальная) деформация. Реальная деформация должна давать минимум полной энергии Ф(и)=Фо(и)+Фв(и)-Фр(и). Будем рассматривать функционал:

справедливое для любой функции к из Е. Вво- 87 дя обозначение р( х) = И и^)—в^) , где х - точка

о

непрерывности в(х), мы можем переписать равенство (3)в виде

1 11

И рк —к + И ка р - И к—р = о.

(4)

Так как и(х) непрерывна и р(х), Р(х) имеет ограниченную на [0;1] вариацию, то возможно интегрирование по частям второго и третьего интегралов:

И к—р = кр -Ир—к

(5)

о о

ИкёР = кР -Ира1к

(6)

о о

есть нулевой по к

Так как к(0)=к(0), то (5) и (6) можно переписать в виде

Икар = -Ирак

(7)

J hdF = -J Fdh.

0 0

(8)

Подставляя (7) и (8) в (4), будем иметь ра-1 1 1

венство |pu'dк - Jpdк Fdк = 0.

0 0 0

Таким образом, первая вариация бФ(и)к функционала Ф(и) принимает вид

ÔO(u)h = J ( pu' — Р + F )dh

Откуда вытекает равенство:

(9)

J ( pu' — Р +F )dh = 0,

(10)

справедливое для любой к е E.

Отметим, что, в силу непрерывности и функция, р^) имеет вместе с Q(x) ограниченную вариацию. Действительно, пусть {г.}™ - произвольное разбиение отрезка [0;1], т.е. 0 < x0 < x1 < ... < xm < 1. Тогда

£|Р( хм)—Р( х,. )=£

í+1

J udQ

откуда, в силу оценки для интеграла Римана-Стилтьеса, имеем оценку:

J v(s)dW (s)

< max |v(s)| -VP (W )

a<s<p' '

ность вариации функции р, если Q имеет конечное на [0;1] изменение.

Лемма. Пусть A(x) - функция ограниченной

1

вариации и пусть для любой h е E jAdh = 0 •

о

Тогда A(x) = const •

Доказательство.

Если A(x) непрерывна, утверждение тривиально следует из классической леммы Дюбуа-Реймонда. Поэтому оно верно для случая, когда все скачки A(x) нулевые - в рамках сделанных предположений собственные значения функции ограниченной вариации в отдельной точке роли не играют - важны ее предельные значения слева и справа. Напомним, что множество точек разрыва функции из BV[0,1], т.е. точекс ненулевыми скачками, не более чем счетно, т.е. заведомо имеет Лебегову меру нуль.

Покажем вначале, что множество скачков функции A(x) пусто. Проинтегрировав по час-

1 1 тям интеграл jAdh, будем иметь jhdA = 0.

о о

*

Пусть x - точка из [0,1], в которой скачок AA(x) = A(x + 0)-A(x-0)функции A(x) отличен от нуля. Без ограничения общности можем считать, что AA(x*) > 0. Положим:

A ( х) =

0,

х < х

ДЛ(х*), х > х*

и в качестве h(х)

возьмем "шапочку" юе(х — х*), т.е.

(здесь VaP(W) - вариация на [а,р] функции W), которая справедлива для любой непрерывной функции v(x), любой функции Wограниченной вариации и произвольных а и р, лишь бы они были точками непрерывности функции W. Име-

m-1 m-1

ем Z|P(x,+i) -Р(Х)| -Z ™ах]1иИV^(Q). Отсюда в силу неравенства J^a*]lu(s)l-

-ц®lM(í) = lИ1 (здесь И = m«lu(s)l -нормав

пространстве C[0;1] непрерывных на [0;1] функций), справедливого для любого i = 1,2,..., m -1, вытекает

m-1 m-1

Z|P(x,1) - р( x.) -1\u\\z/:r (Q)=||"|| ). (ii)

1=1 i=1

Окончательно, из (11) находим ^(P) - ||u||V01(Q), что доказывает ограничен-

ие ( х — х* ) =

еслих е (х —s,х +s)

0, в противном случае.

Тогда для интеграла

i i

Jras (х — х* )d ( A( х) — A* ( х)) = Jras ( х — х* )dA( х) —

00

i i —Jras (х — х* )d4* (х) = Jras ( х — х* )dA( х) — AA( х* )

00

Jras (t — х* )d ( A(t ) — A* (t ))

имеем оценку

J ras(t — х*)d(A(t) — A*(t))

< max ras ( х —

хе| х -s,х +s I

— х*)Vf++s(A(х) — AA(х )) < Vхх-:s(A(х) — AA(х ))

„.*w ^ Vх +S/

х'—s

,=1

,=1

s s

х —s

Из последнего неравенства в силу непрерывности функции А( х) - Л* (х) в точке х* вытекает, что выражение в правой части при достаточно малом е > о не будет превосходить

1 AA(x'), т.е.

2

jras (x - x')d ( A(x) - A*(x))

!< 2 ^ A(x. Но тогда интеграл

jrae(t - x*)dA(t)

с одной стороны, равен нулю, а с другой - больше положительного числа 1 ДЛ(х*), так как

2

1 г 1

--ДА(х*) < И®8 (х - х *)—(А(х) - А *( х)) <-Д4(х *)

9 ^ 9

или

1 1 3 -ДА(x*) < Гю8(x - x*)dA(x) <-ДА(x*)

2 „ 2

Полученное противоречие показывает, что у функции Л(х) нет ненулевых скачков. Из равенства (10) и леммы следует, что минималь функционала Ф(и) на Е должна удовлетворять равенству:

(pu')(x) = }u(s)dQ(s) - F(x)

+ const

(12)

Литература:

1. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин - М. : Наука, 1981. -543 с.

2. Кокорева В.В. Развитие метода функции влияния в задачах математического моделирования стилтьесовской струны : дис. ... канд. физ.-мат. наук. / В.В. Кокорева. - Ставрополь, 2005. -111 с.

3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт - М. : Гостехиздат. - Т.1, 1933. - 476 с.

4. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям / Б.М. Левитан. - М.; Л. : Гос. изд. тех.-теор. лит. 1972. -274 с.

5. Натансон И.П. Теория функции вещественной переменной / И.П. Натансон - М. : Наука, 1974. - 474 с.

6. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. Общая теория / Г.Е. Шилов, Б.Л.Гуревич - М. : Наука. - 1967.

7. Чмелева Г.А., Кокорева В.В. Методы теории полуупорядоченных пространств в анализе одного класса нестандартных моделей податливых систем : монография / Г.А. Чмелева, В.В. Кокорева - Ставрополь : Ставролит, 2013. - 72 с.

8. Кокорева В.В., Чмелева Г.А. Однозначная разрешимость одной нестандартной краевой задачи (задачи о струне) / Г.А. Чмелева, В.В. Кокорева // KANT. - 2013. - С. 58-60.

и

t

8

■ ON

IE

■

89