О разрешимости интегро-дифференциального уравнения с расширенным интегралом Стилтьеса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство следует из единственности решения однородного уравнения с нулевыми начальными условиями.

Таким образом, функции ^(x),-0(x) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения, т.е. базис в пространстве таких решений. С помощью этой системы {^,ф} при любых условиях на концах соответствующее решение уравнения (3) наверняка представимо при надлежащем выборе С1, С2 в виде u(x) = z(x)+C^(x)+C2ф(х), где z(x) — решение уравнения (3), обеспечиваемое теоремой 1.

Теорема 2. Для однозначной разрешимости уравнения (3) при любом F(x) е BV и при любых значениях на концах необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) (при F(x) = 0) и условиях (2) имело только тривиальное решение u(x) = 0.

Теорема 3. Для однозначной разрешимости вариационной задачи (2), (4) достаточно, чтобы функция Q(x) была неубывающей.

Доказательство. Покажем, что однородное уравнение (3) (при F(x) = 0)при условиях (2) имеет

X

только тривиальное решение. Пусть u0(x) — нетривиальное решение уравнения (pu')(x) = f udQ

о

при условиях (2). Пусть для определенности u0(r) > 0 всюду на промежутке [0,т]. Тогда, так как

Т

u0(т) = 0, мы должны иметь / u(s) dQ(s) = 0, откуда в силу неубывания Q мы получаем противоречие

0

с неравенством u(x) > 0 при 0 < x < т. □

В заключение отметим, что введенное нами пространство E является банаховым по норме

||u|| = sup |u(x)| + V0l[pu'(x)].

[o,l]

Доказательство этого факта существенно опирается на классические теоремы Хелли и ввиду достаточной деликатности в сочетании с громоздкостью в данной работе не приводится.

Библиографический список

1. Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче // Докл. АН. 2002. Т. 383, № 5.

С. 1-4.

2. Кац И.С., Крейн М.Г. О спектральных функциях струны // Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.

3. Алексеев В.М., Тихонов В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, Гл.ред. физ.-мат.лит.,

1979. 432 с.

4. Покорный Ю.В, Зверева М.Б., Шабров С.А. О за-

даче Штурма-Лиувилля для разрывной струны // Изв. вузов. Северокавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. 2004. Спецвыпуск. С. 186-191.

5. Pokornyi Yu.V., Shabrov S.A Toward a Sturm-Liouville Theory for an Equation With Generalised Coefficient // J. of Mathematical Sciences. 2004. V. 119, № 6. P. 769-787.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

УДК 517.923

О РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С РАСШИРЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ СТИЛТЬЕСА

А.А. Ткаченко, С.А. Шабров

Воронежский государственный университет,

кафедра математического анализа

E-mail: [email protected], [email protected]

В работе доказывается разрешимостьзадачи Коши для интегро-дифференциального уравнения с расширенным интегралом Стилтьеса.

About Solvability of Integro-Differential Equation with Extended Stieltjes Integral

A.A. Tkachenko, S.A. Shabrov

In the paper are proved solvability of initial-value problem for integro-differential equation with Stieltjes integral.

В работе изучается вопрос о разрешимости интегро-дифференциального уравнения

—pu'(x) + ud[Q] = F(x) — F(0) — pu'(0) (x E [0,1]2)

(1)

X

© А.А Ткаченко, С.А. Шабров, 2007

в форме задачи Коши. В уравнении p(x) (inf p > 0), Q(x) и F(x) являются функциями ограниченной вариации. Подобное уравнение возникает при моделировании малых деформаций разорванной струны, концы которой имеют упругое сочленение с помощью пружин (см., напр., [3, 4]).

Обозначим через S(д) множество точек разрыва функции д(ж). Пусть J' = [0,1]\S(д). Введем на J' метрику p(x, у) = |д(х) — д(у)|. Метрическое пространство (J',р), очевидно, не является полным. Обозначим через [0,1] его стандартное пополнение по метрике р. При таком пополнении каждая точка £ из S(д) превращается в собственные элементы, которые ранее были предельными, обозначаемые нами через £ — 0 и £ + 0. Пусть [0,1]1 = [0,1] (J S(д). Множество [0,1]2 получается из [0,1]' заменой каждой точки £ є S(д) на пару собственных элементов rf и т|, причем будем считать, что £ — 0 < т1 < т| < £ + 0.

Производная и^(х) определена на [0,1]2, причем для точек £ е Б(д)

и' (т5) = и(£) - и(£ - 0) и и' (т?) = и(£ + 0) - и(£)

^(1) д(£) - д(£ - 0) ^(2) д(£ + 0) - д(£) •

Интеграл в (1) понимается как п-интеграл и задается следующим образом:

в в

/ ^¿[и] = / ^¿ио + ^(в - 0)(и(т"^) - и(в - 0)) +

^ ^ а<Б<в

а а з£5(и)

+ ^ Ч«)(и(т2) - и(т15))+ ^ Ф + 0)(и(в + 0) - ^(т2)),

э^Б(и) э^Б(и)

где V е [0,1]1, и е [0,1]2, и0 - непрерывная часть и, точки а, в е [0,1]2.

Подобный интеграл впервые был введен Ю.В. Покорным [1], [2] и получил дальнейшее свое развитие и применение в работах [3], [4].

Заметим, что уравнение (1) в точках разрыва £ функции д(х) реализуется в виде равенств

-[(Р<)(т1) - (риУ(£ - 0)] + и(£ - 0)[^(т1) - ^(£ - 0)] = Р(т1) - Р(£ - 0)

-[(Ри^)(т2) - (РиУ(т1)] + и(£)[£(т!) - ^(т1)] = Р(т2) - Р(т1 ^ (2)

-[(ри/х)(£ + 0) - (ри/х)(т2 )] + и(£ + 0)[^(£ + 0) - ^(т2 )] = Р(£ + 0) - Р(т2).

Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема. Для любой точки х0 е [0,1]2 \Б(д) и любых чисел и0, v0 задача

—pu'(x) + / ud[Q] = F (x) — F (0) — pu' (0), 0

u(x0) = u0, u' (xo) = Vo

(3)

имеет единственное значение.

Доказательство. В случае, когда Q(x) = const, разрешимость задачи (3) очевидна. Пусть Q(x) ф const. Рассмотрим два случая, когда множество S(д) точек разрыва функции д^) конечно и когда S(д) счетно. Пусть S(д) конечно, т.е. S(д) = {0 < ^1 < £2 < ... < £п < 1}.

Уравнение (1) нам удобно заменить эквивалентным уравнением

u(x) = J | —1) У u(s)d[Q(s)] 1 dд(t) + z(x),

X0 \ Xo /

где z(x) = u0 + f p(xopft)+F(xo)dд(t). В последних двух (и последующих) равенствах внешние

Xo

интегралы (по д) понимаются по Лебегу-Стилтьесу.

X

Математика

37

Разрешимость последнего уравнения эквивалентна разрешимости уравнения и = Аи + г с операХ / ^ \ _^ _______ _____________

и(зШОЫ1 I ¿д(£), действующим из С([0,1]!) в

Хо \Ж0

тором (Au)(x) = / pi) I f u(s)d[Q(s)] I ^д(£), действующим из C([0,1]1) в C([0,1]1), где C([0,1]1)

Г

пространство д-непрерывных на [0,1]х функций.

Покажем, что для любых двух функций ^(х), ^2(х), определенных на [0,1]2, выполняется нера венство

|А(^1 - Ы(х)| < Их) - Мх0)|

min p(x)

max |^i(s) - ^2(s)|,

s€|xo ,x]

(4)

где Vq1 (Q) — полная вариация Q(x) на [0,1]2. Имеем

|A(^1 - ^2)(x)| <

1

P(t)

(^1 - ^2)(s)d[Q(s)]d^(t)

<

1

min p(x) s£[x0,x] ЯЄ[0,1]£

max |^1 (s) - ^2(s)|x

d[Q(s)]

d^(t) <

V1(Q)

. vl^(x) - ^(xo)| ■ max |^1 (s) - ^2(s)|.

min p(x) s£[x0,x]

xe[0,1]2

Пусть xo Є [Ci+0,Ci+1 - 0] и є =

2 Vo1 (Q)

где p0 = inf p > 0. Так как функция д(х) строго монотон-[0,1] ^

но возрастает и непрерывна на [^+0,^i+1—0], то существует такое разбиение множества [^+0, £i+1—0]

точками ^ = х04 < х^ < ... < хП = Сг+1 — 0, из [0,1]2\Б(д), что 0 < д(х^+1) — д(х^) < е для 2 = 0,... ,п — 1. Тогда х0 € [х|*, х|г+1 ] при некотором &. Воспользовавшись теперь неравенством (4) получаем, что для всех х € [х^ ,хк+1] справедливо неравенство

|Аи(х)| < р- ?тах |и(х)|^01 (^)(М(х!+1) — Д(хк )) < 111и1|.

всех

p0[

Лі „л

1]

Следовательно, оператор А является сжимающим, и уравнение и = Аи+г разрешимо в С([х^, хкг+1]) — пространстве д-непрерывных на [х|*, х|.г+1] функций. Обозначим через ^(х) решение уравнения на этом отрезке.

Рассмотрим отрезок [хкг+1, хк+2], примыкающий к [х^ ,хкг+1 ] справа. Поставим теперь задачу Коши

в точке х

k+1 •

u(xi+1) =

< (х1+1)=^ (xk+1)-

(5)

Аналогичными рассуждениями устанавливается, что в С([хк+1 ,хк+2]) оператор А также будет сжимающим, следовательно, существует решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (5). Продолжим этот процесс вправо до тех пор, пока не достигнем точки х = &+1. Тогда после проведения описанной выше процедуры нам становятся известны значения ^(£¿+1 — 0) и ^(&+1 — 0). Воспользовавшись формулами (2) получаем значения для ^(£¿+1. + 0) и ^(£¿+1. +0). Проводя теперь для отрезка [&+1 + 0, ^г+2 — 0] аналогичные рассуждения покажем существование на нем решения. Таким образом, решение продолжаемо до точки х = 1. Аналогично решение продолжается и влево до точки х = 0.

Пусть теперь Б(д) счетно. Выберем из Б(д) только те точки £^, в которых величина скачка функции д(х) превышает е. Таких точек будет конечное количество, поскольку функция д(х) имеет ограниченную вариацию. Поэтому отрезок [0,1] разбивается на конечное число отрезков, и дальнейшие рассуждения проводятся как и в случае конечного числа точек разрыва.

Замечание. При постановке задачи Коши мы исключали точки разрыва х0 разрыва функции д(х). Дело в том, что если х0 € Б(д), то функция и(х) в точке х = х0 имеет единственное значение, а производная и^(х) имеет два значения. Поэтому при х0 € Б(д) мы можем рассматривать задачи

-pu^(x) + f ud[Q] = F(x) - F(0) - pu^(0),

0

u(x0 - 0) = u0,

< (т1 ) = ¡’0,

(6)

t

x

t

x

X

k

l

38

Научный отдел

А.В. Фрянцев. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов

—pu^(x) + J ud[Q] = F(x) — F(0) — pu^(0), 0

u(xo) = u0,

, <(ti ) = vo,

X

—pu^(x) + J ud[Q] = F(x) — F(0) — pu^(0),

0

u(x0) = u0,

, <(t2) = v0,

X

—pu^ (x) + J ud[Q] = F (x) — F (0) — pu^ (0),

0

u(x0 + 0) = u0,

, <(tI) = v0,

(7)

(8)

(9)

В силу равенств (2) задачи (6), (7), (8), (9) сводятся к задаче вида (3). Поэтому в силу предыдущей теоремы задачи (6), (7), (8), (9) также однозначно разрешимы.

Авторы выражают признательность и благодарность Юлию Витальевичу Покорному за постановку задачи и чуткое руководство, а также Маргарите Борисовне Зверевой за замечания, которые способствовали улучшению текста статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00397).

Библиографический список

1. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // Докл. АН. 1999. Т. 364, № 2. С. 167-169.

2 Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля // Докл. АН. 2002. Т. 383, № 5. С. 1-4.

3. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. О за-УДК 517.53

О ЧИСЛЕННОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ

AE. Фрянцев

Владимирский государственный университет, студент 4 курса

E-mail: [email protected]

Получена формула аппроксимации дифференциальных операторов специального вида. Указана оценка абсолютной погрешности аппроксимации. Показано, что рассматриваемая аппроксимация является точной на многочленах.

даче Штурма-Лиувилля с разрывными решениями // Труды математического факультета. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 2005. Вып. 10. С. 119-130.

4. Зверева М.Б. О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса: Дис. . .. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2005. 120 с.

On Numerical Approximation of Differential Polynomials A.V. Fryantsev

A numerical approximation formula was devised for differential operators of a special form. An absolute approximation error value was indicated. It was shown that the mentioned approximation is accurate for polynomials.

1. ТЕОРЕМА ОБ АППРОКСИМАЦИИ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

В работах [1, 2] предложен метод аппроксимаций аналитических функций посредством сумм вида ^к Ак/(Акг) (здесь / — некоторая фиксированная аналитическая в окрестности точки г = 0 функция, а аппроксимация проводится за счет подбора комплексных чисел Ак) и указаны приложения метода к численному дифференцированию и интегрированию аналитических функций. В теореме 1 настоящей работы метод модифицируется применительно к аппроксимации дифференциальных многочленов, обобщающих оператор дифференцирования.

ГО

Пусть функция /(г) = ^ /(г — ¿о)-7' аналитична в некотором замкнутом круге и(г, г0) :=

7=о

ч

:= {г : |г — г01 < г}, г0 Є С и Р(А) = ^ рвАв — некоторый фиксированный многочлен степени

в=1

д, рд = 0, Р(0) = 0.

© А.В. Фрянцев, 2007