О числе решений нелинейной краевой задачи с интегралом Стилтьеса Текст научной статьи по специальности «Математика»

М. Б. Давыдова, С. А. Шабров. О числе решений нелинейной краевой задачи

УДК 517

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛОМ СТИЛТЬЕСА

М. Б. Давыдова, С. А. Шабров

Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected], [email protected]

В работе получены достаточные условия существования нескольких решений у нелинейной краевой задачи с интегралом Стилтьеса.

Ключевые слова: краевая задача, интеграл Стилтьеса, нелинейная задача.

On the Number of Solutions of Nonlinearity Boundary Value Problems with a Stieltjes Integral

M. B. Davidova, S. A. Shabrov

Voronezh State University,

Chair of Mathematical Analysis

E-mail: [email protected], [email protected]

In this paper we obtain sufficient conditions for the existence of multiple solutions for nonlinear boundary value problem with a Stieltjes integral.

Key words: boundary value problem, Stieltjes integral, nonlinear problem.

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время интенсивно изучаются дифференциальные уравнения с производными по мере. Так, для линейных уравнений второго порядка построена точная параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вплоть до осцилляционных теорем [1-4].

Эффективность использования производных по мере (или в интегродифференциальной форме) объясняется следующим обстоятельством: для применения качественных методов анализа (теорем типа Ролля) решений дифференциальных уравнений необходимо знать значения функции и её производных в каждой точке, что с позиций теории обобщённых функций затруднительно. Здесь можно отметить работу А. Д. Мышкиса [5] — доказательство аналога теоремы Штурма о перемежаемости нулей для уравнения ч'' + дч = 0 с обобщённым коэффициентом q.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Требуется получить достаточные условия существования нескольких различных решений задачи

X X

Ьч = — (рчХ)(х) + (рчХ)(0) + / и ¿Я = / /(з, ч(5))йст(з),

0 0

(ри'х )(0) — 71 ч(0) = 0, (1)

ЛРи'х )(1) + 72 ч(1) =

Здесь ст(х) — строго возрастающая функция, порождающая на [0; I] меру, причем р(х) и Я(х) — ст-абсолютно непрерывны на [0; I]; 7172 > 0, 71 + 72 > 0; функция /(х, ч) порождает оператор суперпозиции

[^ч](х) = / (х, ч(х)),

который непрерывно действует из С[0; I] в Ьр>а [0; I] — пространство измеримых на [0; I] функций, суммируемых с р степенью (1 < р < го). Нормой в Ьр>а[0;I] служит величина ||/=

= 11/(х)|р ¿ст(х) . Для того чтобы ^ непрерывно действовал из С[0; I] в Ь1 а[0; I], достаточно,

0

чтобы /(х, ч) была совокупно равномерно [ст х ч]-непрерывна: для любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что для всяких точек (х1 ,ч1) и (х2,ч2), удовлетворяющих неравенствам |ст(х1) — ст(х2)| < 6 и |ч1 — ч21 < 6, справедливо неравенство |/(х1,ч1) — /(х2,ч2)| < е. Интегралы в (1) понимаются по Лебегу - Стилтьесу.

В уравнении из (1) х принадлежит множеству [0; ¡]3, которое строится следующим образом. Через Б(ст) обозначим множество точек разрыва функции ст(х). На множестве ^ = [0; I] \ Б(ст) введем

© Давыдова М. Б., Шабров С. А., 2011

13

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 4

метрику р(х, у) = |а(х) — а(у)|. Если Б (а) = 0, то метрическое пространство , р), очевидно, не является полным. Стандартное пополнение , р), при котором каждая точка £ е Б (а) заменяется парой собственных элементов {£—0, £+0}, и приводит нас к [0; 1]3. В каждой точке £ е Б (а) уравнение в (1) принимает вид

—Д(р<)(£) + и(£)Дд(£) = / (£, и(£)),

где Д^(£) = -0(£ + 0) — -0(£ — 0) — скачок функции -0(х) в точке £.

Будем говорить, что однородное уравнение Ьи = 0 не осциллирует на [0; 1], если всякое нетривиальное решение имеет на [0; 1] не более одного нуля.

Более подробно с теорией неосцилляции этого уравнения можно ознакомиться в работах [2, 3]. Введем обозначение

К = {и(х) е С[0; 1] : и(х) > 0 V х е [0; 1]}.

Множество К является телесным, нормальным конусом в С[0; 1]. В дальнейшем нам понадобится ио-норма:

и(х)

|и||ио = ВИр 0<х<1

где

Г1

2 тах д(х, 5)'

(х,в)

ио(х) = <

х / (21), (1 — х)/(21), х(1 — х)/1,

ио (х)

если 71 < го и 72 < го,

если 71 = го и 72 < го, если 71 < го и 72 = го, если 71 = го и 72 = го.

Запись 71 = го мы понимаем следующим образом: краевое условие (риХ)(0) — 71 и(0) = 0 заменяется условием и(0) = 0. Аналогично понимается запись 72 = го. Как нетрудно видеть, || ■ ||ио является нормой в простанстве Еио функций и(х) из С[0; 1], для каждой из которых ||и||ио конечна, более того, Еио является полным пространством по этой норме. Множество Кио = К П Еио является телесным конусом. Кроме того, отношение и < V эквивалентно по определению включению V — и е Кио.

ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1) однородное уравнение Ьи = 0 не осциллирует на [0; 1];

2) /(х, и) — равномерно [а х и]-непрерывна на [0; 1] х Л1;

3) функция /(х, и) не убывает по и при каждом х е [0; 1] и

/(х, 0) > 0;

4) существует N пар чисел а^вь удовлетворяющих неравенствам

0 < а1 < в1 < а2 < в2 < ■ ■ ■ < ап < вп, вк

/(х, вкио(х)) < у

/ ^2(5) ^а(з)

(х е [0; 1]).

(2)

(3)

(4)

5) для каждого к существует множество и*к с [0; 1] положительной а-меры такое, что

1

/(х,акио(х)) >

/ Л4 (5) ^а(з)

(х е [0; 1], к = 1,..., N).

(5)

Тогда задача (1) имеет 2N — 1 нетривиальных решений {и(х)}*=1^ 1, удовлетворяющих неравенствам

и (х) > 0 (г = 1, 3,..., 2N — 1) (6)

и2г-1(х) < и2г + 1(х) (г = 1, 2, . . . , N — 1).

1

и

М. Б. Давыдова, С. Л Шабров. О числе решений нелинейной краевой задачи_

Неравенства (6) связывают лишь решения иг (х) с нечетными номерами. По отношению к этим решениям остальные расположены «между» ними в следующем смысле: при каждом к = 1, 2,..., N— 1 существуют точки х' и х'' такие, что

И2к-1(жк) < Щ2к (х'к) и Щ2к (хк) < И2к+1 (хк').

Доказательство. Вопрос о разрешимости краевой задачи (1) можно заменить вопросом о разрешимости нелинейного интегрального уравнения

и(х) = / С(х, з)/(з,и(з))

(7)

где С(х, з) — функция Грина краевой задачи

—(р< )(х) + (р< )(0) + / и «д = — (0) + Р * (х) — Р * (0), о

(р< )(0) — 71и(0) = 0,

)(1) + 72щ(1) =

здесь Р*(х) — а-абсолютно непрерывна на [0; 1]. Уравнение (7) можно записать в виде

и = СРи,

(8)

где С — интегральный оператор с ядром С(х, з): (СР*)(х) = С(х, Р*(з) и Р — оператор

Л «а

суперпозиции: (Ри)(х) = /(х,и(х)).

Уравнение (8) эквивалентно уравнению

и(х) ио (х)

■/ з, 77-777 ■ ио(вП

ио(х)

ио (з)

или

где С — интегральный оператор с ядром

и(х)

и(х) = (С Р и)(х), С(х, з)

ио (х)

, Р — оператор суперпозиции (Ри)(х) = /(х,и(х) х

х ио(х)) и и(х) = , , .

ио(х)

По условию теоремы Р непрерывно действует из Еио в Р1>а[0; 1]; С — действует и вполне непрерывен из Р1>а[0; 1] в Еио. Поэтому СР действует и вполне непрерывен из Еио в Еио.

Покажем, что СР удовлетворяет всем условиям теоремы из [6, § 45, с. 373] (при соответствующем выборе Е и К). Для удобства читателя приведем формулировку этой теоремы.

Теорема. Пусть К — нормальный телесный конус в банаховом пространстве Е, А — действующий в Е монотонный вполне непрерывный оператор. Пусть существует N пар элементов

и1 < < и2 < у2 < ■ ■ ■ < им < УМ

(9)

о

о

таких, что

иг < Аиг, АУг < у (г = 1, 2, . . . , N). (10)

Тогда существует 2N — 1 неподвижных точек х15 х2,..., х2м+1 оператора А, удовлетворяющих неравенствам

иг < х2г-1 < Уг, иг < х2г < Уг + 1, иг + 1 ^ х2г, х2г ^ Уг при всех г = 1, 2,..., N.

Положим Е = Еио и в качестве конуса К возьмем множество Кио. Телесность и нормальность этого конуса очевидны, причем и ^ 0 эквивалентно и(х) > 0 при всех х е [0; 1]. По условию теоремы

Математика

15

_Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 4

/(х, ч) монотонна по ч. Отсюда и из неотрицательности ^^ 5) следует монотонность оператора С—.

чо(х)

Компактность установлена ранее. Введем в рассмотрение функции

чг(х) = а и Уг(х) = вг (г = 1, 2,..., N).

Из (3) вытекает, что функции чг (х) и Уг(х) удовлетворяют неравенствам (9). Докажем выполнимость (10).

Интегральный оператор С с ядром С(х, 5) обладает свойством сильной положительности: для любой неотрицательной нетривиальной функции /(х) ее образ (С/)(х) есть функция строго положительная. По условию теоремы функция

Цх) = вг — / ^2(5) ¿ст(з) ■ /(х,вгчо(х)) 0

неотрицательна и отлична от тождественного нуля. Поэтому (С—^)(х) ^ 0, что означает

вг [1 Щ4 ¿СТ(5) > [1 ^(5) ¿СТ(5) ■ (С#)Уг(х). (11)

7 о ч0 (х) 70

Так как --1— < Л-2(з) и / Л-2(з) ¿ст(з) > 0, то из (11) вытекает вг > (С—Уг)(х) для х е [0; I].

ч0(х) 0

Последнее и означает что

(С-Уг ) < Уг .

Докажем теперь неравенство С—ч& > чk. При фиксированном к рассмотрим функцию

u(x) = <

f (x, akuo(x))--r ak , x e wk,

J hi (s) a<r(s)

wk

0, x e wk.

По условию ч(х) > 0 и положительна на множестве положительной меры. Сильно положительным оператором С— эта функция переводится в строго положительную функцию (С—ч) > 0 на [0; I], т.е. С—ч » 0. Так как С(х, 5) > ч0(х)^1 (5), то

Г С(х,5)

г \ ак -ГТ" ¿ст(5)

Г С(х,5) 7^ ч0(х) ,, по,

-(-^/(5, ч0(5)) ¿ст(5) > -^- > = чк(х). (12)

ч0(х) / ^1(в)^ст(в)

С другой стороны, из (2) и монотонности по ч функции /(х, ч) вытекает неотрицательность функции /(х; а) при любом а > 0. Поэтому

(С-Рч^)(х) > [ С(х'5) /ч0(5)) ¿ст(5). ч0(х)

Отсюда и из (12) следует С—ч^ » ч^.

Итак, для оператора С— выполнены все условия теоремы 45.3 из [6]. Теорема доказана. □

Библиографический список

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Боровских А. В., Прядиев В. Л., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М., 2004. 272 с.

2. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С. А. Ос-цилляционная теория Штурма - Лиувилля для им-

пульсных задач // Успехи математических наук. 2008. Т. 63, вып. 1 (379). С. 98-141

3. Pokornyi Yu. V., Shabrov S. A. Toward a Sturm - Liouville theory for an equation with generalized coefficients // J. of Math. Sciences. 2004. Vol. 119, № 6. P. 769-787.

4. Покорный Ю.В., Бахтина Ж. И., Зверева М.Б.,

В. Ф. Кириченко. Разрешимость эволюционных уравнений в обобщенных задачах трансмиссии

Шабров С. А. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах. М., 2009. 192 с. 5. Мышкис А. Д. О решениях линейного однородного двучленного дифференциального неравенства второго

УДК 539.3

порядка с обобщённым коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 5. С. 615-619. 6. Красносельский М.А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М., 1975. 512 с.

РАЗРЕШИМОСТЬ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБОБЩЕННЫХ ЗАДАЧАХ ТРАНСМИССИИ ДЛЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

В. Ф. Кириченко

Саратовский государственный технический университет, кафедра математики и моделирования E-mail: [email protected]

С помощью метода компактности и нового способа получения априорных оценок доказана разрешимость обобщенной задачи трансмиссии в неклассической теории пологих оболочек.

Ключевые слова: задачи трансмиссии, нелинейные системы уравнений с частными производными, обобщенные решения краевых задач, неклассическая теория оболочек.

Solvability of Evolutionary Equations in Generalized Transmission Problems for Shallow Shells

V. F. Kirichenko

Saratov State Technical University, Chair of Mathematics and Modelling E-mail: [email protected]

We prove the solvability of the generalized transmission problem in the non-classical theory of shallow shells using the method of compactness and a new way of obtaining a priori estimates.

Key words: transmission problems, nonlinear systems of partial differential equations, generalized solutions of boundary value problems, non-classical theory of shells.

В настоящей работе исследуется новый класс обобщенных задач трансмиссии для нелинейной системы уравнений с частными производными, характеризуемой структурной неоднородностью входящих в нее дифференциальных уравнений различного типа. Доказательство корректности такой системы имеет в своей основе метод компактности [1, 2] и новый «трехмерный» способ получения априорных оценок. Заметим, что классические задачи трансмиссии (или дифракции) исследуются, например, в работах [3-5].

Объектом исследования является пологая однородная и изотропная оболочка, занимающая в начальный момент времени наблюдения t0 трехмерную область D = Di U D2 из пространства R3, при этом:

Di n D2 = 0, Di = O х(-1; у) (i = 1,2),

O = O U dOi U Y, 0 = 0i U O, O = dO U O, dO = dOi U №.

Здесь O — план оболочки; dO — граничный контур плана; y — достаточно гладкая кривая, разбивающая область O на две измеримые подобласти ; hi — постоянная толщина части оболочки, занимающей измеримую подобласть Di; h1 > h2 > 0. Как обычно, отождествляем элементы (xi5x2,x3) е R3 с координатами точек в геометрическом пространстве, параметризованном декартовой системой координат таким образом, что уравнение x3 =0 является определяющим для срединной поверхности рассматриваемой оболочки, а ось Ox3 направлена к центру кривизны оболочки.

Полагаем, что в области Di эволюция оболочки описывается на базе обобщенных гипотез Тимошенко, а в области D2 — гипотез Кирхгофа - Лява. Математическая модель такой оболочки определяется следующим вариационным уравнением Гамильтона - Остроградского:

/ ] JJ è ( - P^ihi dt (^U3o) - P^i ^ ' grad ' grad dt (^U30) + hi^ièi ^Ц30¿U30+

to Q i=i ^

d hl /2 èi ■ grad -Ц0 ■ grad ¿U30 + ^ | (ст«¿£ii + CTi3-i¿£i3-i + 2^3^) dx3+

-hl/2

(g Кириченко В. Ф., 2011

17