Научная статья на тему 'О необходимом условии минимума одного квадратичного функционала с интегралом Стилтьеса'

О необходимом условии минимума одного квадратичного функционала с интегралом Стилтьеса Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
149
44
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФУНКЦИОНАЛ / НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ / ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА / ПРОИЗВОДНАЯ ПО МЕРЕ / FUNCTIONAL / A NECESSARY CONDITION / STIELTJES INTEGRAL / DERIVATIVE ON THE MEASURE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шабров С. А.

В работе получено необходимое условие экстремума квадратичного функционала с интегралом Стилтьеса.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On a Necessary Condition of at Least one Quadratic Functional with an Integral Stieltjes

In this paper is obtained a necessary condition for an extremum of a quadratic functional with a Stieltjes integral.

Текст научной работы на тему «О необходимом условии минимума одного квадратичного функционала с интегралом Стилтьеса»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1

и тогда

Br U =

Е Е/

i£{i:ai <ak} j ak

' д —

Gk(x, y)Ik(Dk, y) dvUj (У) dy.

По построению все Вг вполне непрерывны в Е2+Л(^п) для п ^ г, Аг просто непрерывны в Е2+Л(^п). Более того, Аг сходится к нулю в Е2+х(Бп) при г ^ го. Тогда для каждого п найдется такое г, что операторная норма ||АГ||^2+л(Вп) < 1 и, следовательно, I + Аг обратим. Тогда в силу теоремы 12 непрерывно обратим I + Ф, тем самым доказывая существование решения (7).

Оценки решения задачи (6) вытекают из непрерывной обратимости I + Ф в Е2+Л(0) и из того, что Е(х) = f (х, у)/(у) йу. □

Библиографический список

1. Пенкин О. М., Богатов Е. М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 6. С. 874-886.

2. Nicaise S., Penkin O. M. Poincare’-Perron’s method for the Dirichlet problem on stratified sets // J. of Math. Anal. and Appl. 2004. Vol. 296, № 2. P. 504-520.

3. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М. : Физматлит, 2004. 272 с.

4. Лукьянов В. В., Назаров А. И. Решение задачи Вент-целя для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 1998. Т. 250. С. 203-218.

5. Лукьянов В. В., Назаров А. И. Исправления к статье «Решение задачи Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов» // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2005. Т. 324. С. 129-130.

6. Бураго Ю. Д., Мазья В. Г. Многомерная теория потенциалов и решение краевых задач для областей с нерегулярными границами // Зап. науч. семинаров Ле-нингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. 1967. Вып. 3. С. 5-86.

7. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М. : Физ-матлит, 1953. 415 с.

УДК 517

8. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики : в 2 т. М.; Л. : Гостехтеоретиздат, 1945. Т. 2. 620 с.

9. Рудин У. Функциональный анализ. М. : Мир, 1975. 443 с.

10. Nicaise S., Sanding A. M. Transmission problems for the laplace and elasticity operators: Regularity and boundary integral formulation // Math. Model and Methods in Appl. Sci. 1999. Vol. 9. P. 855-898.

11. Пенкин О. М., Покорный Ю. В. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 8. С. 1107-1113.

12. Gavrilov A. A., Nicaise S., Penkin O. M. Poincare’s inequality on stratified sets and applications // Evolution Equations : Applications to Physics, Industry, Life Sciences and Economics (Levico Terme, 2000) : Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. Basel : Birkhauser, 2003. Vol. 55. P. 195-213.

13. Penkin O. М. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions // Partial Differential Equations on Multistructures (Luminy, 1999). Lecture Notes in Pure and Appl. Math. / eds. F. Ali Mehmeti, J. von Belov, S. Nicaise. N. Y. : Marcel Dekker, 2001. Vol. 219. P. 183191.

О НЕОБХОДИМОМ УСЛОВИИ МИНИМУМА ОДНОГО КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА С ИНТЕГРАЛОМ СТИЛТЬЕСА

С. А. Шабров

Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: shaspoteha@mail.ru

В работе получено необходимое условие экстремума квадратичного функционала с интегралом Стилтьеса.

Ключевые слова: функционал, необходимое условие, интеграл Стилтьеса, производная по мере.

On a Necessary Condition of at Least one Quadratic Functional with an Integral Stieltjes

S. A. Shabrov

Voronezh State University,

Chair of Mathematical Analysis E-mail: shaspoteha@mail.ru

In this paper is obtained a necessary condition for an extremum of a quadratic functional with a Stieltjes integral.

Key words: functional, a necessary condition, Stieltjes integral, derivative on the measure.

а

© Шабров С. А., 2G12

С. А. Шабров. О необходимом условии минимума одного квадратичного функционала ВВЕДЕНИЕ

В работе получено необходимое условие экстремума функционала:

і 2 і о і і

'! - '2 - ,2 Г

Ф(и) = у^Ф + у ^+ у у— у пйЕ, (1)

0 0 0 0

определенного на множестве Е — абсолютно непрерывных на [0; 1] функций, первая производная которых д-абсолютно непрерывна на [0; 1], и удовлетворяющих условиям п(0) = п'(0) = п(1) = п'(1) = 0.

Функция д(х), порождающая меру д, предполагается строго возрастающей на [0; 1]. Также будем считать, что множество Б(д) — точек разрыва функции д(х), непусто, что является наиболее интересным с точки зрения приложений. На протяжении всей работы мы предполагаем выполненными следующие условия: 1) р(х), г(х), д(х) и Е(х) имеют конечное на [0; 1] изменение; 2) р(х) > 0;

3) интеграл / конечен; 4) г(х) > 0 для всех х Є [0; 1]; 5) д(х) — не убывает на [0; 1].

0 р(^0

Первая производная в равенстве (1) понимается в классическом смысле, вторая — в следующем смысле: -и(х) называется д-производной функции п(х), если для всех х Є [0; 1] \ Б(д) справедливо

X

равенство п(х) — п(0) = / ^(^) dд(s). Мы принимаем следующее соглашение для функции ^(х),

0

принадлежащей БУ [0; 1] — пространству функций ограниченной на [0; 1] вариации: если для некоторой внутренней точки п отрезка [0; 1] справедливо равенство ^(п — 0) = ^(п + 0), то ^(п) равно ^(п — 0) (= ^(п + 0)), т. е. ^(х) непрерывна в точке п.

Все интегралы в (1) понимаются по Лебегу - Стилтьесу, причем все кроме первого существуют и по Риману - Стилтьесу.

ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Задача минимизации функционала (1) на множестве Е возникает при моделировании малых деформаций растянутых шарнирно сочлененных стержней, в точках шарнирного соединения прикреплена пружина, реагирующая на поворот, когда (1) описывает потенциальную (полную) энергию системы. Если п0 Є Е дает минимум функционалу (1), то, следуя схеме Лагранжа, первая вариация

і і і і

! рп0Х^ ^Лх + J гп0Х ЬХх dx + J п0hdQ — ^ hdЕ = 0 (2)

0 0 0 0

для любой Л Є Е. Третий интеграл на основании результатов работы [1] допускает запись

і і

! п0hdQ = J hda.

00

і і где а(х) = / п0 dQ (х Є Б(д)). После интегрирования по частям интеграла / hd(a — Е) равенство (2) 00 принимает вид

і і ! рп0 Х^ dh,x + J (гп0 X — а + Е) Л'х dx = 0 00

(внеинтегральные слагаемые равны нулю, так как Л Є Е). Вводя в рассмотрение абсолютно непре-

х і

рывную на [0; 1] функцию в(х) = / ((гп0X)(s) — а(s) + Е^)) ds и интегрируя / вХЛ'х dx по частям,

00

имеем:

і

У (РиоХц - в йЫх = 0 (3)

0

(внеинтегральные слагаемые снова равны нулю в силу принадлежности Ы множеству Е).

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Далее нам потребуется следующая лемма.

I

Лемма. Пусть А(х) е ВУ [0; 1]; для любой Ы е Е интеграл / А(х) йЫ'Х равен нулю. Тогда А(х)

0

есть линейная функция.

I

Доказательство вполне стандартно (см. [2]). Для любых С и С2 интеграл /(С + С2х) (1Ы'Х равен

0

нулю, поэтому вполне очевидно существование таких С1 и С2, что функция

х £

Ы(х) = ^ J (А(з) — С1 — С25)

00

I

принадлежит Е. Для этой функции мы будем иметь равенство /(А(х) — С1 — С2х)2 йх = 0, из которого

0

с учетом нашей договоренности и следует утверждение леммы. □

Из равенства (3) на основании леммы вытекает тождество

рпо'Х^ — в(х) = С + С2 х. (4)

Из (4) в силу абсолютной непрерывности функций в(х) и С1 +С2х следует абсолютная непрерывность (рп0ХУ (х) на [0; 1]. Тогда (4) допускает дифференцирование по х:

(РиоХУХ (х) — (гиоХ) (х) + а(х) — Е(х) = С2. (5)

В работе [3] показано существование такой функции а(х), которая порождает меру а, что функции

х, д(х), г(х), ф(х) и Е(х) являются а-абсолютно непрерывными на [0; 1]. Следует отметить, что

в равенстве (5) переменная х «пробегает» множество [0; 1]3, в котором каждая точка £ множества Б = Б(д) и Б(г) и Б(ф) и Б(Е) заменена на упорядоченную пару собственных элементов {£ — 0; £ + 0}, бывшие ранее предельными. Строится это множество следующим образом. На множестве ^ = [0; 1]\Б введем метрику ^(х; у) = |а(х) — а(у)|. Если Б = 0, то метрическое пространство , 0) очевидно неполно. Стандартное пополнение и дает нам [0; 1]3.

Вернемся к равенству (5), которое допускает а-дифференцирование:

(Р^оХУХа — (ГиоХ Уа + иЯ'а = К. (6)

Уравнение (6) определено на множестве [0; 1]а = [0; 1]8 и Б (а), причем в точках £ Є Б (а) уравнение (6) принимает вид

А (Рп0ХУХ (£) — Д (гп0У1 + п(£)Ад(£) = АЕ(£),

где А-0(£) = "0(£ + 0) — -0(£ — 0) — полный скачок функции -0(х) в точке £.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Если п0 (х) дает минимум функционалу (1) на множестве Е, то п0 (х) принадлежит пространству Е с Е вторая квазипроизводная (рп0Х^) (х) абсолютно непрерывна на [0; 1], (р<УХ _ а-абсолютно непрерывна на [0; 1] и является решением краевой задачи

( (РпХ^Ха — (гпХ )1 + пд1 = Е1 ’ (7)

п(0) = пХ(0) = п(1) = пХ (1) = 0.

Замечание. Доказанную теорему можно обобщить и на функционалы более общего вида:

і і

ад = / Еі ку ^ + / Е2 (х,и,«Х) dx.

00

Разрешимость краевой задачи устанавливается стандартным приемом: доказывается ее невырожденность (при описанных выше условиях это очевидно) и строится функция Грина (доказывая изначально разрешимость уравнения в (7) в форме задачи Коши (именно здесь и используется третье условие)).

54

Научный отдел

С. А. Шабров. О необходимом условии минимума одного квадратичного функционала

Следует отметить, что изучать уравнение в (7) можно и с позиций теории обобщенных функций (которое получается после обобщенного дифференцирования уравнения (4)). Однако при использовании этого подхода, во-первых, возникает проблема умножения обобщенной функции на разрывную, которая в общем случае неразрешима; во-вторых, даже при решении (в каком-то смысле) первой проблемы удается установить лишь слабую разрешимость уравнения; в-третьих, уравнение с обобщенными коэффициентами рассматривается как равенство функционалов, что делает невозможным применение качественных методов анализа (типа теорем Ролля) решений. Последнее стало возможным при использовании поточечного подхода, предложенного Ю. В. Покорным [2] в 1999 году, при котором уравнение расценивается как поточечно заданное, т. е. обыкновенное.

Покажем теперь, что при выполнении условий 1)-5) экстремаль ио(х) (решение краевой задачи) функционала (1) доставляет минимум. В самом деле, вторая вариация функционала Ф(и) на допустимой экстремале имеет вид

1 Г1 ,, ,2 , 1

2

52 Ф(п0 )Л =

2

2

рЛХ ^ dд +

I гЛХ dx + 1 I '0 2 і 0

Л2 dQ.

которая при всех Ы е Е принимает неотрицательные значения. Библиографический список

1. Покорный Ю. В., Бахтина Ж. И., Зверева М. Б., Шабров С. А. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах. М. : Физматлит, 2009. 192 с.

2. Покорный Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производ-

нениях // Докл. АН. 1999. Т. 364, № 2. С. 167-169.

3. Шабров С. А. О ^-регуляризации функции с конечным изменением // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета Воронеж. гос.

ные по мере в обыкновенных дифференциальных урав- ун-та. Воронеж, 1999. С. 166-169.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.