CC BY
44
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1
и тогда
Br U =
Е Е/
i£{i:ai <ak} j ak
' д —
Gk(x, y)Ik(Dk, y) dvUj (У) dy.
По построению все Вг вполне непрерывны в Е2+Л(^п) для п ^ г, Аг просто непрерывны в Е2+Л(^п). Более того, Аг сходится к нулю в Е2+х(Бп) при г ^ го. Тогда для каждого п найдется такое г, что операторная норма ||АГ||^2+л(Вп) < 1 и, следовательно, I + Аг обратим. Тогда в силу теоремы 12 непрерывно обратим I + Ф, тем самым доказывая существование решения (7).
Оценки решения задачи (6) вытекают из непрерывной обратимости I + Ф в Е2+Л(0) и из того, что Е(х) = f (х, у)/(у) йу. □
Библиографический список
1. Пенкин О. М., Богатов Е. М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 6. С. 874-886.
2. Nicaise S., Penkin O. M. Poincare’-Perron’s method for the Dirichlet problem on stratified sets // J. of Math. Anal. and Appl. 2004. Vol. 296, № 2. P. 504-520.
3. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М. : Физматлит, 2004. 272 с.
4. Лукьянов В. В., Назаров А. И. Решение задачи Вент-целя для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 1998. Т. 250. С. 203-218.
5. Лукьянов В. В., Назаров А. И. Исправления к статье «Решение задачи Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов» // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2005. Т. 324. С. 129-130.
6. Бураго Ю. Д., Мазья В. Г. Многомерная теория потенциалов и решение краевых задач для областей с нерегулярными границами // Зап. науч. семинаров Ле-нингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. 1967. Вып. 3. С. 5-86.
7. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М. : Физ-матлит, 1953. 415 с.
УДК 517
8. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики : в 2 т. М.; Л. : Гостехтеоретиздат, 1945. Т. 2. 620 с.
9. Рудин У. Функциональный анализ. М. : Мир, 1975. 443 с.
10. Nicaise S., Sanding A. M. Transmission problems for the laplace and elasticity operators: Regularity and boundary integral formulation // Math. Model and Methods in Appl. Sci. 1999. Vol. 9. P. 855-898.
11. Пенкин О. М., Покорный Ю. В. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 8. С. 1107-1113.
12. Gavrilov A. A., Nicaise S., Penkin O. M. Poincare’s inequality on stratified sets and applications // Evolution Equations : Applications to Physics, Industry, Life Sciences and Economics (Levico Terme, 2000) : Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. Basel : Birkhauser, 2003. Vol. 55. P. 195-213.
13. Penkin O. М. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions // Partial Differential Equations on Multistructures (Luminy, 1999). Lecture Notes in Pure and Appl. Math. / eds. F. Ali Mehmeti, J. von Belov, S. Nicaise. N. Y. : Marcel Dekker, 2001. Vol. 219. P. 183191.
О НЕОБХОДИМОМ УСЛОВИИ МИНИМУМА ОДНОГО КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА С ИНТЕГРАЛОМ СТИЛТЬЕСА
С. А. Шабров
Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]
В работе получено необходимое условие экстремума квадратичного функционала с интегралом Стилтьеса.
Ключевые слова: функционал, необходимое условие, интеграл Стилтьеса, производная по мере.
On a Necessary Condition of at Least one Quadratic Functional with an Integral Stieltjes
S. A. Shabrov
Voronezh State University,
Chair of Mathematical Analysis E-mail: [email protected]
In this paper is obtained a necessary condition for an extremum of a quadratic functional with a Stieltjes integral.
Key words: functional, a necessary condition, Stieltjes integral, derivative on the measure.
а
© Шабров С. А., 2G12
С. А. Шабров. О необходимом условии минимума одного квадратичного функционала ВВЕДЕНИЕ
В работе получено необходимое условие экстремума функционала:
і 2 і о і і
'! - '2 - ,2 Г
Ф(и) = у^Ф + у ^+ у у— у пйЕ, (1)
0 0 0 0
определенного на множестве Е — абсолютно непрерывных на [0; 1] функций, первая производная которых д-абсолютно непрерывна на [0; 1], и удовлетворяющих условиям п(0) = п'(0) = п(1) = п'(1) = 0.
Функция д(х), порождающая меру д, предполагается строго возрастающей на [0; 1]. Также будем считать, что множество Б(д) — точек разрыва функции д(х), непусто, что является наиболее интересным с точки зрения приложений. На протяжении всей работы мы предполагаем выполненными следующие условия: 1) р(х), г(х), д(х) и Е(х) имеют конечное на [0; 1] изменение; 2) р(х) > 0;
3) интеграл / конечен; 4) г(х) > 0 для всех х Є [0; 1]; 5) д(х) — не убывает на [0; 1].
0 р(^0
Первая производная в равенстве (1) понимается в классическом смысле, вторая — в следующем смысле: -и(х) называется д-производной функции п(х), если для всех х Є [0; 1] \ Б(д) справедливо
X
равенство п(х) — п(0) = / ^(^) dд(s). Мы принимаем следующее соглашение для функции ^(х),
0
принадлежащей БУ [0; 1] — пространству функций ограниченной на [0; 1] вариации: если для некоторой внутренней точки п отрезка [0; 1] справедливо равенство ^(п — 0) = ^(п + 0), то ^(п) равно ^(п — 0) (= ^(п + 0)), т. е. ^(х) непрерывна в точке п.
Все интегралы в (1) понимаются по Лебегу - Стилтьесу, причем все кроме первого существуют и по Риману - Стилтьесу.
ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Задача минимизации функционала (1) на множестве Е возникает при моделировании малых деформаций растянутых шарнирно сочлененных стержней, в точках шарнирного соединения прикреплена пружина, реагирующая на поворот, когда (1) описывает потенциальную (полную) энергию системы. Если п0 Є Е дает минимум функционалу (1), то, следуя схеме Лагранжа, первая вариация
і і і і
! рп0Х^ ^Лх + J гп0Х ЬХх dx + J п0hdQ — ^ hdЕ = 0 (2)
0 0 0 0
для любой Л Є Е. Третий интеграл на основании результатов работы [1] допускает запись
і і
! п0hdQ = J hda.
00
і і где а(х) = / п0 dQ (х Є Б(д)). После интегрирования по частям интеграла / hd(a — Е) равенство (2) 00 принимает вид
і і ! рп0 Х^ dh,x + J (гп0 X — а + Е) Л'х dx = 0 00
(внеинтегральные слагаемые равны нулю, так как Л Є Е). Вводя в рассмотрение абсолютно непре-
х і
рывную на [0; 1] функцию в(х) = / ((гп0X)(s) — а(s) + Е^)) ds и интегрируя / вХЛ'х dx по частям,
00
имеем:
і
У (РиоХц - в йЫх = 0 (3)
0
(внеинтегральные слагаемые снова равны нулю в силу принадлежности Ы множеству Е).
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Далее нам потребуется следующая лемма.
I
Лемма. Пусть А(х) е ВУ [0; 1]; для любой Ы е Е интеграл / А(х) йЫ'Х равен нулю. Тогда А(х)
0
есть линейная функция.
I
Доказательство вполне стандартно (см. [2]). Для любых С и С2 интеграл /(С + С2х) (1Ы'Х равен
0
нулю, поэтому вполне очевидно существование таких С1 и С2, что функция
х £
Ы(х) = ^ J (А(з) — С1 — С25)
00
I
принадлежит Е. Для этой функции мы будем иметь равенство /(А(х) — С1 — С2х)2 йх = 0, из которого
0
с учетом нашей договоренности и следует утверждение леммы. □
Из равенства (3) на основании леммы вытекает тождество
рпо'Х^ — в(х) = С + С2 х. (4)
Из (4) в силу абсолютной непрерывности функций в(х) и С1 +С2х следует абсолютная непрерывность (рп0ХУ (х) на [0; 1]. Тогда (4) допускает дифференцирование по х:
(РиоХУХ (х) — (гиоХ) (х) + а(х) — Е(х) = С2. (5)
В работе [3] показано существование такой функции а(х), которая порождает меру а, что функции
х, д(х), г(х), ф(х) и Е(х) являются а-абсолютно непрерывными на [0; 1]. Следует отметить, что
в равенстве (5) переменная х «пробегает» множество [0; 1]3, в котором каждая точка £ множества Б = Б(д) и Б(г) и Б(ф) и Б(Е) заменена на упорядоченную пару собственных элементов {£ — 0; £ + 0}, бывшие ранее предельными. Строится это множество следующим образом. На множестве ^ = [0; 1]\Б введем метрику ^(х; у) = |а(х) — а(у)|. Если Б = 0, то метрическое пространство , 0) очевидно неполно. Стандартное пополнение и дает нам [0; 1]3.
Вернемся к равенству (5), которое допускает а-дифференцирование:
(Р^оХУХа — (ГиоХ Уа + иЯ'а = К. (6)
Уравнение (6) определено на множестве [0; 1]а = [0; 1]8 и Б (а), причем в точках £ Є Б (а) уравнение (6) принимает вид
А (Рп0ХУХ (£) — Д (гп0У1 + п(£)Ад(£) = АЕ(£),
где А-0(£) = "0(£ + 0) — -0(£ — 0) — полный скачок функции -0(х) в точке £.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Если п0 (х) дает минимум функционалу (1) на множестве Е, то п0 (х) принадлежит пространству Е с Е вторая квазипроизводная (рп0Х^) (х) абсолютно непрерывна на [0; 1], (р<УХ _ а-абсолютно непрерывна на [0; 1] и является решением краевой задачи
( (РпХ^Ха — (гпХ )1 + пд1 = Е1 ’ (7)
п(0) = пХ(0) = п(1) = пХ (1) = 0.
Замечание. Доказанную теорему можно обобщить и на функционалы более общего вида:
і і
ад = / Еі ку ^ + / Е2 (х,и,«Х) dx.
00
Разрешимость краевой задачи устанавливается стандартным приемом: доказывается ее невырожденность (при описанных выше условиях это очевидно) и строится функция Грина (доказывая изначально разрешимость уравнения в (7) в форме задачи Коши (именно здесь и используется третье условие)).
54
Научный отдел
С. А. Шабров. О необходимом условии минимума одного квадратичного функционала
Следует отметить, что изучать уравнение в (7) можно и с позиций теории обобщенных функций (которое получается после обобщенного дифференцирования уравнения (4)). Однако при использовании этого подхода, во-первых, возникает проблема умножения обобщенной функции на разрывную, которая в общем случае неразрешима; во-вторых, даже при решении (в каком-то смысле) первой проблемы удается установить лишь слабую разрешимость уравнения; в-третьих, уравнение с обобщенными коэффициентами рассматривается как равенство функционалов, что делает невозможным применение качественных методов анализа (типа теорем Ролля) решений. Последнее стало возможным при использовании поточечного подхода, предложенного Ю. В. Покорным [2] в 1999 году, при котором уравнение расценивается как поточечно заданное, т. е. обыкновенное.
Покажем теперь, что при выполнении условий 1)-5) экстремаль ио(х) (решение краевой задачи) функционала (1) доставляет минимум. В самом деле, вторая вариация функционала Ф(и) на допустимой экстремале имеет вид
1 Г1 ,, ,2 , 1
2
52 Ф(п0 )Л =
2
2
рЛХ ^ dд +
I гЛХ dx + 1 I '0 2 і 0
Л2 dQ.
которая при всех Ы е Е принимает неотрицательные значения. Библиографический список
1. Покорный Ю. В., Бахтина Ж. И., Зверева М. Б., Шабров С. А. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах. М. : Физматлит, 2009. 192 с.
2. Покорный Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производ-
нениях // Докл. АН. 1999. Т. 364, № 2. С. 167-169.
3. Шабров С. А. О ^-регуляризации функции с конечным изменением // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета Воронеж. гос.
ные по мере в обыкновенных дифференциальных урав- ун-та. Воронеж, 1999. С. 166-169.
