CC BY
41
в = —C
rr + r2 + 1
r(1 + r2)(p+1)/2 •
Положим C = -1. С использованием (18) равенство (19) примет вид a =
p — 1
C
(p-i)/2
(20)
аналогично из (20)
получим в =
1
Р — 1 r2 C(p-1)/2
Применяя теорему 3, получаем, что р-минимальная поверхность устойчива на интервале (Ь0, Ь),
(р — 1)п
определяемом из неравенства Ь — Ь0 < —(Р-1)/2 '
Со V
Для определения интервала неустойчивости р-минимальной поверхности заметим, что Ь = Ь(т) — обратная функция к т = т(Ь), тогда й(Ь(т)) = Vйт. Так как производная обратной функции опреде-
, 1 /1ПЧ . йт йт _
ляется по формуле V = — и, учитывая (18), получаем йЬ = — = —, ^ ^ . Следовательно,
интервал неустойчивости находится из неравенства
p
r л/С0г2/(р-1) — 1
r(t) dr
(p — 1)со
r(to) r
C0 r p-1 — 1
Библиографический список
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. 760 с.
2. Клячин В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минков-ского // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55, № 1. С. 206-217.
3. Тужилин А.А. Индексы типа Морса двумерных минимальных поверхностей в М3 и Н3 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55, № 2. С. 581-607.
4. Тужилин А.А., Фоменко А.Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. М.: Наука, 1991. 174 с.
5. Клячин В.А., Медведева Н.М. Об устойчивости экстремальных поверхностей некоторых функционалов типа площади. Волгоград, 2006. Деп. в ВИНИТИ
08.11.06 № 1313 - B 2006. 23 с.; Сибирские электронные математические известия. 2007. Т. 4. Статьи. С. 113132.
6. Tkachev V.G. External Geometry of p-Minimal Surfaces // Geometry from the Pacific Rim, Eds.: Berrick/Loo/Wang, Walter de Gruyter&Co., Berlin, 1997. P. 363-375.
7. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.
8. Клячин В.А., Миклюков В.М. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях // Мат. сб. 1996. Т. 187, № 11. С. 67-88.
9. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 250 с.
УДК 517.927
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина, А.С. Ищенко*
Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа * Белгородский университет потребительской кооперации, кафедра естественно-научных дисциплин E-mail: [email protected], [email protected]
В работе обсуждается нерегулярная модель стилтьесовской
x
струны -p(x)u/(x) + p(+0)u/(+0) + f u(t)dQ(r) =
о
= F(x) - F(0) на отрезке [0,1] при краевых условиях u(0) = u(l) = 0. Описываются условия разрешимости вышеуказанной задачи.
On Solvability of Certain Classes of Irregular the Second Order Variation Problems
Yu.V. Pokornyi, Zh.I. Bakhtina, A.S. Ischenko
In the work the irregular model -p(x)u/(x) + p(+0)u/(+0) +
x
+ /u(t)dQ(r) = F(x) - F(0) of the Stiltjes string on segment
0
[0,1] with boundary conditions u(0) = u(l) = 0 is discussed. The solvability conditions of the mentioned problem are described.
В работе обсуждаются условия разрешимости задачи
— (pu')' + Q'u = F'
(1)
p
2
© Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина, А.С. Ищенко, 2007
Ю.В. Покорный и др. О разрешимости некоторых классов нерегулярных вариационных задач на отрезке [0,1] при краевых условиях
и(0) = и(1) = 0. (2)
Условия (2) взяты однородными для упрощения формулировок. В уравнении (1) функции р, Q, Е предполагаются лежащими в БУ[0,1], то есть имеющими ограниченные вариации на [0,1]. При этом Q/ и Е/ означают обобщенные в некотором смысле производные функций Q и Е. Точно так же и (рп'У означает обобщенную производную от функции р(х) .
Мы будем считать адекватной для (1) формой следующее уравнение:
X
-р(х)и/(х) + р(+0)и/(+0) + | и(т) ) = Е(х) - Е(0). (3)
0
Интеграл, определяющий здесь второе слагаемое, понимается по Стилтьесу. Уравнение (1) получается из (3) формальным дифференцированием. С другой стороны, если уравнение (1) сочетает слагаемые абстрактного характера (поскольку обобщенные производные — абстрактные функционалы) и не имеет поточечного смысла, то уравнение (3) является поточечно интерпретируемым (при каждом х). Следует отметить, что уравнение (3) является формальным аналогом уравнения Эйлера для функционала
I /2 I 2 I
Ф(и) = JP~y dx + J dQ — J u dF. (4)
Последняя запись является канонической [1] для выражения потенциальной энергии стилтьесов-ской струны (в терминах М.Г. Крейна [2]); здесь dQ(x) определяет локальный коэффициент упругости окружающей среды, dF — плотность внешней нагрузки, приходящейся на элемент dx (от x до (x + dx)) упругой нити, а p(x) — натяжение этого элемента.
Мы рассматриваем нерегулярный случай уравнения (3). Это антитеза случаю, когда Q и F гладки и p(x) непрерывна и не имеет нулей на [0,1]. В этом последнем случае (1) приобретает стандартный для обыкновенных дифференциальных уравнений вид — (pu/)/ + qu = f при q = Q/, f = F/ и p ^ 0. Обсуждаемый ниже случай допускает не только потерю гладкости у коэффициентов Q, F, но и наличие разрывов, что приводит уравнение (1) к дельта-образным членам в коэффициентах Q/ и F/. При этом мы допускаем возможность обнуления функции p(x). Именно в этом последнем аспекте данная работа содержит основное научное продвижение.
1. При обсуждении вопроса о разрешимости задачи (1)-(2) или, как мы увидим дальше, задачи (3)-(2) первый вопрос, требующий выяснения, это вопрос о пространстве, где должно искаться соответствующее решение. Актуальность анализа этого вопроса определена еще столетие назад классическим примером Гильберта (см. [3]), где совершенно тривиальный внешне функционал Ф(и) =
1 2
= J xз u/2(x) dx при условиях u(0) = 0, u(1) = 1, очевидно, определенный на всем пространстве
0
C1 [0,1], не достигает своего минимума в этом пространстве — легко проверяется, что inf Ф(п) достигается на функции u0(x) = x3. В самом деле, для любой h(x) Е C1 [0,1] с нулями на концах имеем:
1 1 ДФ = Ф^0 + h) — Ф^0) = У 2x3 u0(x)h/(x) dx + Jx3h/2(x) dx.
00
Поскольку u0 (x) = 3x-3, то в предыдущей сумме первое слагаемое приобретает вид
1 1 11 [ж [2 2 2 2 Г 22 2 [ 2
2x3u0(x)h/(x) dx = зx3x-3h/(x) dx = 3 x3x-3 dh = 3 dh = ^(h(1) — h(0)) = 0.
0 0 00
1 2
Таким образом, ДФ = J x3h/2 dx > 0 для любого h Е C 1[0,1]. Это значит, что inf функционала
0
Ф^), определенного на [0,1], достигается за пределами C1. Но тогда возникает резонный вопрос об использовании уравнения Эйлера для нерегулярных вариационных задач — в данном примере оно
0
0
0
имеет вид (х2u')' = 0. Естественно, что следует максимально расширять пространство потенциальных решений таких уравнений.
Несложно проверяется, что уравнение (3), как формальная запись, является необходимым условием для минимали функционала (4). Точнее, если u0 ^ inf Ф, то скалярная функция ^(А) = Ф(и0 + Ah) для любого допустимого h принимает минимальное значение при А = 0 и потому ^(А)|а=о = 0,
i i i
откуда чисто формальными выкладками следует, что J pu'h' dx + J uh dQ — f h dF = 0 (для каждо-
0 0 0
го допустимого h). Интересуясь непрерывными экстремалями и пользуясь теоремой о преобразовании меры [6], мы, полагая da = udQ, отсюда после интегрирования по частям первого слагаемого ill i (/pu'h' dx = f pu' dh = — f hd(pu')) будем иметь f hd[—pu' + a — F] =0. Для любой непрерывной
0 0 0 0
функции h(x). Отсюда напрямик следует уравнение (3), если воспользуемся леммой Дюбуа-Реймона.
В проведенной схеме рассуждений отсутствует главное — точное описание класса рассматриваемых функций. Приведенный выше пример Гильберта говорит о том, что при достаточно широких условиях на p(x) даже отсутствие у функционала Ф второго и третьего слагаемых в представлении (4) не позволяет ограничиться пространством C1. Наличие в представлении (4) нерегулярных коэффициентов p и Q тем более требует расширения множества функций, допустимых для анализа.
2. Основное пространство рассматриваемых функций, обозначаемое через E, мы определим так: E — множество непрерывных на сегменте [0,1] функций, каждая из которых:
а) абсолютно непрерывна на [0,1], т.е. имеет суммируемую на [0,1] призводную u'(x), причем
X
u(x) = u(0) + f u'(т)dr, где суммирование подразумевается по Лебегу;
0
б) для произвольной u(x) предполагается включение pu' е BV[0,1].
Последнее условие о принадлежности pu' пространству BV[0,1], т.е. об ограниченности вариации функции p(x)u'(х), является ограничением, необходимым для осмысленности первого слагаемого в
i i
(4). В самом деле, /pu'2 dx = f pu'du и последний интеграл в силу предполагаемой непрерывности
00
u(x) определен по теореме Стилтьеса. По аналогичной причине из непрерывности u(x) следует определенность второго и третьего слагаемых в (4). Пространство E, являясь более узким, чем любое
соболевское пространство с весом p, оказалось по вышесказанному наиболее естественной областью определения функционала Ф. Именно в этом пространстве мы обсуждаем разрешимость вариационной задачи для функционала (4) и связанную с этим разрешимость краевой задачи (3)-(2).
Мы предполагаем всюду далее, что p, Q, F имеют ограниченные вариации на [0,1], причем p(x) > 0 (при 0 < х < I).
Лемма 1. Для того чтобы функция u0 (х) давала минимум функционалу (4), необходимо и достаточно, чтобы функция u0(х) удовлетворяла задаче (3)-(2).
Доказательство проводится тривиальным расписыванием приращения ДФ = Ф^0 + h) — Ф^0), а именно
(i i i \ j p(u0 + h')2 dx + J (u0 + h)2 dQ — j(u0 + h) dF J —
0 0 0 /
i '2 i 2 i\i i i
p^^ dx + J -2° dQ — J u0dF | = I pu0h' dx + / u0hdQ — / hdF.
00
Если последнее выражение неотрицательно для любой допустимой Л,(х), в силу его линейности по h оно должно быть тождественным нулем.
Таким образом, вместо вопроса о существовании минимума для функционала Ф мы вправе обсуждать вопрос о разрешимости краевой задачи (3)-(2).
3. Проблему разрешимости уравнения (3) мы сначала обсудим для уравнения (3) начальных условий u(0) = y0, u'(+0) = y1 .
Теорема 1. Пусть функция p суммируема на (0,1), функция Q(Xy ограничена и Q^) не убывает. Тогда уравнение (3) при любых начальных условиях имеет единственное решение в E.
34
Научный отдел
Доказательство. С учетом новых условий уравнение (3) можно заменить следующим:
X
(—Ц)(х) = р(0)71 + J и(з)^ф(5) - Е(х) + Е(0), (5)
о
откуда следует, что и(х) = 7о +/ (/ и(з)^(5))Й- + / (Е(0) - Е(5)+ —(0)^(0))^5. Перепишем
X
и( '
о о о
последнее равенство в виде
и = Аи + г, (6)
полагая
X Т
(Аи)(х) ^ у р-Ту ^ и(5)^^(5))^Т (7)
оо
и
X
г (х) = / —(5)(Е (0) - Е (5)+ Р(0)и/(0))Й5- (8)
о
Утверждение нашей теоремы эквивалентно тому, что уравнение (6) однозначно разрешимо при любом г. Из представления (8) в силу суммируемости 1/— видно, что при и е Е (и даже при и е С [а, 6]) функция г(х) е С [а, 6]. Мы вопрос о разрешимости уравнения (6) будем обсуждать в пространстве
С [а, 6]. Допустимость сужения нашего вопроса (на пространство С [а, 6]) легко объяснима тем, что ре-
шение и(х) уравнения (6) должно удовлетворять тождеству (5), в котором стоящие справа слагаемые наверняка принадлежат ВУ[0,1]. Поэтому в ВУ[0,1] лежит и (ри/)(х), а это означает, что и(-) е Е.
Доказательство разрешимости (6) в С [а, 6] основано на двух обстоятельствах. Во-первых, оператор А, определяемый равенством (7), действует и ограничен в С и, кроме того, его спектральный радиус меньше 1.
X
Проверка действия А из С в С элементарна: для любой и(х) функция / и(з)Й5 имеет ограниченную
о
вариацию. Потому она суммируема и в силу суммируемости 1/— функция (Аи)(х) непрерывна. Более того,
X Т X
|(Аи)(х)| < ||и|| У —(-) У йф(з)йт = ||и|| У ^(Т^ ^ )^(0)^-, (9)
о о о
что и означает непреывность оператора А в С [а, 6] (в (9) ||и|| взята в смысле С [а, 6]).
Оценим теперь спектральный радиус оператора А в С [а, 6]. Аналогично (9) для любой ^ е С [а, 6] верно:
X
|(А^)(х)| < 1М1У ^(-—^Т^(0)^Т < (10)
о
где через К обозначена конечная по условию верхняя граница отношения • Отсюда аналогично предыдущему следует, что |А2^(х)| < |А(А^)(х)| < ЦА^ЦКх < ||^||. Поэтому при любом
п |АП^(х)| < ||^|| КПТ" . Теперь, переходя к оценке нормы левой части, имеем || Ап || < . Отсюда
следует, очевидно, что спектральный радиус г = ПII Ап|| = 0. Теорема полностью доказана. □
Замечание. Доказывая существование решения уравнения, мы идем к главной задаче — к доказательству существования минимума для функционала Ф.
Следствие. При Е(х) = 0 мы из (3) получаем соответствующее однородное уравнение, для которого согласно доказанной теореме однозначно определяются решения начальных задач:
р(0)=0У (+0) = 1 (11)
и
^(0) = 1,^(+0) = 0. (12)
Лемма 2. Функции ^(х),^(х), определенные условиями (11) и (12) для соответствующего однородного уравнения (при Е(х) = 0), линейно независимы.
Доказательство следует из единственности решения однородного уравнения с нулевыми начальными условиями.
Таким образом, функции ^(х),-0(х) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения, т.е. базис в пространстве таких решений. С помощью этой системы {^,"0} при любых условиях на концах соответствующее решение уравнения (3) наверняка представимо при надлежащем выборе C1, C2 в виде u^) = г(х)+С1^(х)+С2^(х), где г(х) — решение уравнения (3), обеспечиваемое теоремой 1.
Теорема 2. Для однозначной разрешимости уравнения (3) при любом F(х) е BV и при любых значениях на концах необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) (при F(х) = 0) и условиях (2) имело только тривиальное решение u^) = 0.
Теорема 3. Для однозначной разрешимости вариационной задачи (2), (4) достаточно, чтобы функция Q^) была неубывающей.
Доказательство. Покажем, что однородное уравнение (3) (при F(х) = 0)при условиях (2) имеет
X
только тривиальное решение. Пусть зд(х) — нетривиальное решение уравнения (pu')(х) = J udQ
0
при условиях (2). Пусть для определенности u0(t) > 0 всюду на промежутке [0,т]. Тогда, так как
Т
u0(т) = 0, мы должны иметь / u(s) dQ(s) = 0, откуда в силу неубывания Q мы получаем противоречие
0
с неравенством u^) > 0 при 0 < х < т. □
В заключение отметим, что введенное нами пространство E является банаховым по норме
||u|| = sup ^(х)| + V°i [pu'(х)].
[o,i]
Доказательство этого факта существенно опирается на классические теоремы Хелли и ввиду достаточной деликатности в сочетании с громоздкостью в данной работе не приводится.
Библиографический список
1. Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче // Докл. АН. 2002. Т. 383, № 5.
С. 1-4.
2. Кац И.С., Крейн М.Г. О спектральных функциях струны // Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.
3. Алексеев В.М., Тихонов В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, Гл.ред. физ.-мат.лит.,
1979. 432 с.
4. Покорный Ю.В, Зверева М.Б., Шабров С.А. О за-
даче Штурма-Лиувилля для разрывной струны // Изв. вузов. Северокавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. 2004. Спецвыпуск. С. 186-191.
5. Pokornyi Yu.V., Shabrov S.A Toward a Sturm-Liouville Theory for an Equation With Generalised Coefficient // J. of Mathematical Sciences. 2004. V. 119, № 6. P. 769-787.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
УДК 517.923
О РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С РАСШИРЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ СТИЛТЬЕСА
А.А. Ткаченко, С.А. Шабров
Воронежский государственный университет,
кафедра математического анализа
E-mail: [email protected], [email protected]
В работе доказывается разрешимостьзадачи Коши для интегро-дифференциального уравнения с расширенным интегралом Стилтьеса.
About Solvability of Integro-Differential Equation with Extended Stieltjes Integral
A.A. Tkachenko, S.A. Shabrov
In the paper are proved solvability of initial-value problem for integro-differential equation with Stieltjes integral.
В работе изучается вопрос о разрешимости интегро-дифференциального уравнения
—pu'(х) + ud[Q] = F(х) — F(0) — pu'(0) (х е [0,1]2)
(1)
X
о
© А.А. Ткаченко, С.А. Шабров, 2007
