Однозначная разрешимость начально-краевых задач с распределенными параметрами на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

является регуляризирующим в смысле метрики пространства C[T]. В частности требуется наличие дополнительной информации о значении искомого воздействия на левом конце временного промежутка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions London, Gordon and Breach. 1995.

2. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: МГУ, 1999.

3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М. Наука, 1985

4. Вдовин А.Ю., Рублева С.С. О гарантированной точности процедуры динамического восстановления управления с ограниченной вариацией в системе, зависящей от него линейно // Математические заметкию 2010. Т. 87. Вып. 3. С. 337-358.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в УГЛТУ по заданию Министерства образования и науки РФ .

Vdovin A.Yu, Rubleva S.S. NUMERICAL METHOD OF CONSTRUCTION IMPACT IN NONLINEAR SYSTEM OF ODE ON INEXACT INFORMATION ABOUT ITS PHASE STATES

For the essentially nonlinear system of ordinary differential equations a numerical method of construction the impact on the results of inaccurate measurements of its phase states is considered.

Key words: dynamic regularization algorithm; inverse problems of dynamics.

УДК 517.954

ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ © А.С. Волкова

Ключевые слова: обобщенное решение; теорема об однозначной разрешимости

начально-краевых задач.

Рассматриваются обобщенные решения начально-краевых задач с распределенными параметрами на произвольном геометрическом графе. Приведены условия однозначной разрешимости таких задач.

Рассматривается начально-краевая задача для уравнения параболического типа на Гу = = Г х (0,Т) (Г — произвольный компактный ориентированный граф)

(Ьи) (х, г) = ^ - ш (а(х) +ь (х)и (х, г) = / (х, г), (1)

и |*=0= ф(х), х Є Г (2)

с краевыми условиями типа Дирихле

и |дг= 0, 0 ^ г ^ Т, (3)

здесь ф(х) Є Ь2(Г) (пространство функций, суммируемых с квадратом на Г); /(х,г) Є

Є Ь2,\(Гт)■ Пространство Ь2,\(Гт) состоит из элементов Ь\(Гт) с конечной нормой

2473

Т

1 /2

||u||l2 1(гт) =/ ||u(-, t)\\L (г) dt. Здесь и ниже используются обозначения, приведенные в [1, 2, 0 )

3]. Рассматривается также начально-краевая задача для уравнения гиперболического типа

(Lu)(x, t) = - дх (a(x)+ b(x)u(x, t) = f (x, t) (4)

с начальными условиями

u |t=o= p(x), du |t=o= ÿ(x), x e Г, (5)

и краевыми условиями (3), где p(x) e ^^(Г). Здесь через W2,0(Г) обозначено замыкание в норме W21(r) множества непрерывных во всех узлах графа Г функций класса W2(Г), для которых сужения (a(x) dvX )Y на ребра y e Г непрерывны в концевых точках ребер y, принадлежащих множеству внутренних узлов Г, и для которых выполняются соотношения

V-V /л \ du(1)7i V'' fП\ du(0)Yj

Е а(1)ъ^^ = £ a(0)Y^~dXJL (6)

Yj&R(0 Yj €r(Ç)

вместе с краевыми условиями (3). R(£), r(£) — число ребер, примыкающих к узлу £ и ориентированных «к узлу £ »и «от узла £ », соответственно [4], ^(x) e ^(Г), f (x,t) e e ¿2,1 (Г t ). Коэффициенты a(x), b(x) —измеримые ограниченные функции на Г:

0 < a* ^ a(x) ^ a*, |b(x)| ^b, x e Г. (7)

Введем необходимые для исследования начально-краевых задач (1)—(3) и (4), (5), (3) пространства.

Через W^,0(ГТ) обозначим пространство функций u(x,t) e Ь2(ГТ) (пространство функций, суммируемых с квадратом на Гт ), имеющих обобщенную производную первого порядка по x из ¿2(Гт ), норма в W 2,0(Гт ) определяется скалярным произведением

(u,v)Wi,0(r ) = / (uv + диШ) dxdt; У2(ГТ) — пространство функций из W2’0(ГТ), сильно

2 ( т) гт

непрерывных по t e [0,T] в норме ¿2(Г) [3], принадлежащих W2,0(Г) для каждого фиксированного t e [0, T ] и имеющих конечную норму

|Н|у2(гт) = vrai max0^t^T ||u(x,t)||Ll(r) + ||^и\\ь2(Гт) • Далее через W2(Гт) обозначим пространство функций u(x,t) e Ь2(Гт), имеющих обобщенные производные первого порядка,

норма определяется скалярным произведением (u, v)wi(rT) = I {uv + диш + ШЖс) dxdt;

2 Гт

W2 0 (Гт) С W2(Гт) — пространство, плотным множеством в котором являются гладкие функции, равные нулю вблизи боковой границы цилиндра Гт•

Определение! Обобщенным решением класса W 2’°(Гт ) начально-краевой задачи (1)-(3) называется функция u(x,t) e У2(Гт), удовлетворяющая интегральному тождеству

f fi дп du дп \

u(x,t)n(x,t)dx+ [-u^tt + a(x) Ъ^Ъ—+ b(x)u(x,t)n(x,t) j dxdt =

г г

=/ 0)dx Чfndxdt

г г

при любой n(x,t) e W2,0(ГТ).

Определение 2. Обобщенным решением класса W 2(Гт ) начально-краевой задачи (4), (5), (3) называется функция u(x,t) e W2 0(Гт), удовлетворяющая интегральному

2474

тождеству

/(

при любой п(х,£) € Ш2,о(Гт), равной нулю при £ = Т.

Для начально-краевых задач (1)-(3) и (4), (5), (3) справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. При любых ф(х) Є Ь2 (Г) и f (х,і) Є Ь2,1(Гт) начально-краевая задача (1) -(3) однозначно разрешима, если выполнены условия (7).

Теорема 2. При любых ф(х) Є Ш 2,0(Г), ф(х) Є Ь2 (Г) и f (х,ї) Є Ь2}1(ГТ) начальнокраевая задача (4), (5), (3) однозначно разрешима, если выполнены условия (7).

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.

2. Волкова А.С., Гнилицкая Ю.А., Провоторов В.В. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе // Системы управления и информационные технологии, 2013. №1 (51). С. 11-15.

3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

4. Волкова А.С. Обобщенные решения для эллиптического уравнения в задачах граничного управления на геометрическом графе // Процессы управления и устойчивость: труды 43-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. А.С. Еремина, Н.В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петербур. гос. ун-та., 2012. С. 14-20.

Volkova A.S. UNIQUE SOLVABILITY OF INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS ON A GRAPH

The generalized solution of initial-boundary value problems with distributed parameters on an arbitrary geometric graph is considered. The conditions of unique solvability of such problems are given.

Key words: generalized solution; theorem on unique solvability of initial-boundary value problems.

УДК 517.922

ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ, НЕ РАЗРЕШЕННОМ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Ключевые слова: нелинейное дифференциальное уравнение; функция Грина; интегральные постоянные; липшицевы постоянные; абсолютно устойчивое решение.

На основании интегральных постоянных и основного интегрального условия получены свойства решения нелинейного дифференциального уравнения.

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение п -го порядка, не разрешенное относительно старшей производной, следующего вида [1]:

Предположим, что а0, а2,..., ап-2, ап — постоянные коэффициенты, а0 = 0. Предположим также, что выполнено нерезонансное условие:

ЛИТЕРАТУРА

© М.И. Вязанкина

a0x(n) + a\x(n 1) + ... + an-1x + anx = f (t, x,x, ■ ■ ■, x(n 1),x(n)).

(1)

Ln(iQ) = ao(i9)n + ai(i0)n 1 + ... + an-i(i0) + an = 0,

2475