CC BY
17
УДК - 355.58, 351.862.1,351.862.211.7, 355.583
Батталов С.М., Носов М.В.
ОДНОСТРУКТУРНЫЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ связности ДВУХПОЛЮСНЫХ СЕТЕЙ ПО ПРОСТЫМ РАЗРЕЗАМ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
В статье рассмотрена методика нахождения вероятности связности сложных сетевых структур, описываемых случайным графом двухполюсной сет,и, приведено описание формальных правил, проиллюстрированных прим,ерам,и инженерных расчетов.
Ключевые слова: система оповещения населения, структурно-сложные технические системы, вероятность связности, оценки надежности.
Battalov S.M., Nosov M.V.
CURRENT RATING RELIABILITY OF NOTIFICATION OF POPULATION AND BASIC METHODS OF ITS IMPLEMENTATION
The article provides relevant modernization of the existing notification system, state of the problem of reliability analysis and review of existing assessments structurally complex technical system,s.
Keywords: reliability, safety assessment, public notification system, structurally complex technical system,s.
Исходные положения. Постановка задачи
Факторы, определяющие надежность сети, могут быть весьма разнообразны. Выход из строя определенного набора элементов сети приводит к тому, что определённые узлы не могут устанавливать соединение друг с другом, то сеть связи окажется парализованной. Формулируя задачу оценки надежности, нужно определить, какие из параметров важны: связность, время восстановления работоспособности, пропускная способность и т.д. В данной статье изучается связность ребер направлений оповещения между центром и пунктами оповещения как показатель структурной надежности сети.
Первые активные разработки в области систем повышенной надежности проводились для систем, чей отказ мог повлечь катастрофы и гибель людей. Примерами таких систем является авиа и космические системы, управление ядерными реакторами, системы управления оборонными комплексами. В последнее время широко распространено мнение, что в ряде промышленных отраслей с экономической точки зрения выгодней применять системы повышенной надежности [3,5]. Например, это экономически оправданно в сетях связи, а именно при проектиро-
вании и строительстве систем оповещения населения (СОН), так как доказано, что своевременное оповещение населения о внезапном применении противником оружия массового поражения и возможность принятия мер по его защите в течение 10-15 минут после оповещения, обеспечивает снижение людских потерь с 85% до (4-7)% [1]. Можно полагать, что аналогичная ситуация будет иметь место и при возникновении крупномасштабных ЧС природного и техногенного характера, авариях на радиационных и химически опасных объектах. Поэтому решение задачи своевременного оповещения населения от угроз различного характера является актуальной.
Научный интерес к оценкам характеристик надежности обусловлены следующими причинами [2]:
проблемой анализа структурной надежности (топологии) сетей, алгоритмы решения которой связаны с вычислением характеристик надежности для огромного количества потенциально возможных структур сети;
вычисление каждой характеристики надежности - алгоритмически трудная проблема. Поэтому исследование того, насколько близко можно приблизиться оценками к точным
значениям трудно вычислимых характеристик надежности, имеет огромный теоретический и практически интерес;
проблемами теории случайных графов. В этой теории [3] характеризуются случаи, когда вероятность того, что случайный граф обладает некими свойствами, например, связностью или наличием циклов и т.д. стремится к 1, если число вершин стремится к бесконечности.
При рассмотрении задач, связанных со структурной надежностью двухполюсных сетей, элементами связи в направлениях оповещения в качестве вершин (узлов) выступают центры или пункты оповещения, а ребра отображают направления оповещения. Каждый элемент графа присутствует с определенной вероятностью, что выражает надежность соответствующего элемента сети. Под надежностью сети понимается вероятность связности заданного подмножества вершин графа. Возможны различные варианты: абсолютно надежные вершины и ненадежные ребра, ненадежные вершины и абсолютно надежные ребра, ненадежные вершины и ребра, нахождения элементов сети в том или ином состояний зависет от времени, а также от того ориентированные или неориентированные ребра и т.д. В этой статье рассматривается неориентированный граф с абсолютно надежными вершинами и ненадежными ребрами. Научная задача состоит в вычислении вероятности связности заданного подмножества ребер графа с минимальными погрешностями и снижением трудоемкости при вычислении расчетов.
Имеющиеся методы точного расчета основаны на решениях, заключающихся в процедурах поиска полного множества простых цепей и разрезов в двухполюсных сетях. Эти задачи имеют экспоненциально возрастающую трудоемкость решения при использовании методов перебора и поэтому малопригодны для практического применения, а имеют больше исторический и академический интерес.
Для устранения этого недостатка были предложены двухсторонние оценки (далее -ДСО) вероятности связности (далее - ВС) двухполюсных сетей (далее - ДС) [4,8].
В указанных оценках используются разные по структуре оценочные графы, состоящие из простых цепей (ПЦ) и простых разрезов (ПР).
В [5] были проанализированы наиболее из-
вестные ДСО ВС ДС (оценки Эзари-Прошана (далее - ОЭП), оценки Литвака-Ушакова (далее - ОЛУ), экспресс-оценки (далее - ЭО)), которые показали их малопригодность ввиду их большой погрешности и трудоемкости выполнения расчетов. Для больших сетевых структур эта задача весьма сложна.
Эти оценки характеризуются минимально возможными (предельными) погрешностями и позволяют получить монотонную сходимость к точному значению ВС анализируемого случайного графа двухполюсной сети (СГДС). Кроме того, трудоемкость получения ОСО в два раза снижается относительно трудоемкости получения ОЭП.
Поэтому для обоснования расчетов и повышения надежности структуры СОН необходимо решить следующие задачи:
- разработать формальные правила, позволяющие при минимальном объеме трудозатрат находить нижние Р^ и верхние Р^ оценки, удовлетворяющие требуемым значениям точности;
- оценить влияние числа и места расположения мостиковых соединений Ьм на общую связанность сети.
Основной результат
В статье предлагаются методика понижения размерности рассматриваемых структур для поставленной задачи, основанная на использовании разрезов, то есть ПР. Поэтому ниже предлагается и научно обосновывается однострук-турные оценки (далее - ОСО), для которых оценочные графы состоят из ПР.
Наиболее простым и достаточно известным подходом к устранению трудоёмкости решения задачи анализа связности структурно-сложных (неприводимых) ДС является разработка и практическое применение однострук-турных двухсторонних оценок ВС ДС, численные погрешности которых незначительно отличаются от точного значения.
Исходными условиями для существования вероятности связности одноструктурных оценок ВС ДС являются известные равенства, определяющие связанность ДС по ПР и ПЦ [5]:
_ дЛЯ расчета последовательно соединенных
сетей:
для ОСО ^зг п0 следующим равенствам:
N
N
Рг-З
ЦРп =П(1 -
(1)
п=1
п=1
для расчета параллельно соединенных се-
тей:
Рг-З
1 - П (1 - Р^з).
к=1
рВ
Цр(1
Н\.
п=1
4
Р-.
н ял
Р-.
(2)
Пр(п
3 )•
п
рассчитываются
п=1
численные
величины
Одноструктурные оценки вероятности связности для исходного СГДС можно представить в виде выполнения последовательности следующих операций:
_ дЛЯ ИСХОдНОГО СГДС определяется
множество ПР = {
где К= {г- подмножество взаимно -независимых ПР;
^ззч = {гп} ~ подмножество взаимозависимых ПР по совокупности мостиковых ребер Ьм = { (1% )} , г =]и £ = т, + 1,ть + ть;
на исходной структуре СГДС, как показано на Рисунке 1, все простые цепи М8находящиеся между вершин, заменяем на эквивалентное по надежности ребро рэ согласно равенству (1);
- па основе множества ПР = | Я^!\^^ | строится структура оценочных СГ ДС С^пС^, используемых соответственно для расчета ОСО В,^ и при этом следует
иметь в виду, что структура оценочного СГ ДС состоит только из подмножества независимых ПР К= {г^}, тогда как структура оценочного СГДС включает подмножество независимых К^ = {гЦ} и подмножество зависимых К= {г:п} по мостиковым ребрам ПГ;
определяются соответствующие оцено ч-ным СГДС О^ъ формальные выражения
ОСО ^зг в соответствии с полученными
для них формальными выражениями и погрешности полученных оценок относительно точного значения.
Решение задачи
Для решения поставленной выше задачи рассмотрим содержание расчетов, подтверждающих теоретическую обоснованность свойств ОСО с минимально допустимыми погрешностями.
Задача 1. Определим свойства ОСО для ВС СГДС с добавлением на каждом этане мо-етикового соединения согласно (Рисунок 1), (Рисунок 2, а и б), (Рисунок 3, а и б), (Рисунок 4 а и б), (Рисунок 5) без изменения количества вершин и общей структуры. При этом примем непринципиальное допущение о том, что вершины графа абсолютно надежны т.е. р(У£=1о) = 1, такое допущение не влияет на результаты расчетов [6], а значение всех ребер рассматриваемых ниже структур СГДС равно
Р(Ь=9Щ)=0,9-
Исходным СГДС будет служить приводимая структура без мостиковых ребер, Рисунок 1:
= {Р-п=1 = ^^иНзМь),,
Р-п=2 = (¿10^12 ^14^1б).(3)
Расчет точного значения выполнен по соответствующей для этого оцено чного графа формуле:
Р8л = 1 - (1 - Р4)2.
(4)
п
V; Ч] .']: V,
Рисунок 1 Исходный СГДС
Простые разрезы, характеризующие анали- замены последовательно соединенных ребер до
зируемый СГДС и используемые д.ля расчета первого моетикового соединения, как показано
ОСО, принимают вид д.ля: на (Рисунок 2, б) на эквивалентное но надеж-
СГДС с одним мостиковым ребром (Рису- ности ребро: нок 2, а) и преобразование его структуры путем
б)
Рисунок 2 Одномостиковые СГДС а) исходный б) разложеный но ОСО
- СГДС с двумя мостиковыми соединениями ребер от вершин Ь4 и до конечной вершины (Рисунок 3, а) и с преобразованием его структу- ^8, как показано на Рисунке 2, б на эквивалент-ры путем замены последовательно соединенных ные по надежности ребра:
= { = [гп=1 — (^9,^1о),гга=2 — (¿12^13)Л=3 — (¿15,1716,18);
— [гп=4 — (^9^11^13)Л=5 — ^10^11 ,^12),^га=6 — (¿12 ,^14,^16,18), ^
Гп=7 — (^13^14^15,17)Л=8 — (^10^11 ^14^15,17^^=9 — ,^11 ,^14,^16,18)} .
СГДС с идентичной структурой, как на (Рисунок 3, а), но с изменением местоположения моетикового ребра (Рисунок 4, а) и преобразование его структуры путем замены по-
следовательно соединенных ребер от начальной вершины Ь1 до вершин Ь4 и Ь5, как показано на Рисунке 4, б на эквивалентные по надежности ребра:
{ — [гп=1 — (^9,11,^10,12),^га=2 — (¿14^15),^га=3 — (^17^18)] ;
— [гп=4 — (^9,11^13^15)Л=5 — (^10,12^13 ,^14),^га=6 — Тп=7 — (^15^16^17)Л=8 — (¿9,11 ^13,^16,^18),^га=9 — ^10,1213,^16,^17)} .
(7)
Рисунок 3 Двухмостиковые СГДС - а) исходный - б) разложеный но ОСО - в) разложенный
для получения верхней оценки - Е^ г) разложенный для получения нижней оценки
Рисунок 4 Двухмостиковый СГДС - а) исходный - б) разложений по ОСО
Таблица 1 Свойства ОСО д.ля различных структур СГДС
Точное Верхняя Нижняя Относительная Погрешности ОСО
Вариант значение оценка оценка погрешность относительно
ОСО АКяАв - н) Ы5 - Т) Ыг - н)
1 0,8817 - - - - -
2 0,9259 0,9291 0,9224 0,0066 0,0031 0,0035
3 0,9402 0,9447 0,9368 0,0078 0,0045 0,0033
4 0,9402 0,9447 0,9368 0,0078 0,0045 0,0033
0,9555 0,9605 0,9548 0,0028 0,005 0,0007
СГДС с тремя мостиковыми соединениями, Рисунок 5:
= { = [гп=1 = (^9^10)Л=2 = (^12^13)Л=3 = (¿15Л=4 = (¿18^19)] ;
= [Гга=5 = (^9^11^13),^га=6 = (^10^11 ,^12) Л=7 = (^12^14 ^16),^п=8 = (^1314 ,^15), * Гп=9 = (¿15 ,^17,^19),^та=10 = (^16,^17,^18) ,^та=11 = ^911 ,^1416) ,^га=12 = (¿10,^11,^14 ,¿15), (8) Гп=13 = (^12^14^17^19),^га=14 = (¿13^14^17^18),^га=15 = (^9 ,^11 ,^14 ,^17 ,^19), , Гп=16 = (^10,^11,^14,^17,^18)} .
Расчет оценок К^ и В,^ для указанных вариантов выполнен соответственно но оценочным графам (1), (2), (3), (4) и (5). Для расче-
та точного значения воспользуемся формулой разложения Э. Мура и К. Шеннона [3]:
Чр) = р/(р) + (1 - р)<р(р)-
Задача 2. Из Таблицы 1 видно, что увеличение количества мостиковых ребер до 3 и более незначительно увеличивает вероятность связности рассмотренной структуры. В этой свя-
зи подтвердим свойства ОСО применительно к двухмостиковому СГДС (Рисунок 3) для 4-х вариантов анализа:
1М^=9Щ) = 0,9; 2)^(^*1) = Р^и) = 0,99, ^дтз) ^п),^) = 0,9; 3)р(1*п) '= ^¿м) = 0,9, р(1^=9Щ)\(1*11),(1*14) = 0,99; 4)р(1^=9Щ) = р = 0,99.
Расчет ОСО и соответственно вы- соответствующим этим графам формулам: полнен для оценочных графов (3, в) и (3, I') и
РЦ,г = [1 -(1 - Р)2}2 [1 - (1 - А)2] (13)
= ^ [1 - (1 - Р)3}2 [1 - (1 - Р)2(1 - А)]2 [1 - (1 - Р)3(1 - А)]2 .(14)
Таблица 2 - Свойства ОСО ВС ДС для двух мостикового СГДС
Точное Верхняя Нижняя Относительная Погрешности ОСО
Структура значение оценка оценка погрешность относительно Rst
Rs,t RJs,t Rs,t ОСО ARs,t(B - Н) öst(B - Т) öst (Т - Н)
1 0,9402 0,9447 0,9368 0,0078 0,0045 0,0033
2 0,9442 0,9447 0,9441 0,0005 0,0004 0,0001
3 0,9446 0,9447 0,9443 0,0003 0,00004 0,0003
4 0,9993 0,9994 0,9993 ~ 0 0,000005 ~ 0
Для расчета точного значения вероятности связности Rst для двухмостикового СГДС ис-
Pst = (Р* А р*) [1 - (1 - р)2] 2 [1 - (1 - Рэ)2] +(р* А q*) [1 - (1 - р)2] [1 - (1 - р • рэ)2] + (
Множество ПР, характеризующее структуру СГДС, представленное на Рисунок 3, б и используемое при расчете его одноструктурных оценок ВС имеет вид согласно (6).
Результаты расчетов сведены в Таблицу 2.
Представленные в Таблицах 1 и 2 результаты расчетов свойств ОСО показало, что:
1. верхняя оценка ВС исходного СГДС Gq+ не зависит от состояния его мо-
пользован метод полного разложения мостико-вых соединений [7]:
стиковых ребер Ьм = ■{ 1М и остается постоянной величиной при последовательном увеличении значений р(1Мм) = 0,9; 0,99; 0,999;
2. повышение работоспособности мостико-вых ребер р(1%) = 0,9; 0,99; 0,999 снижает погрешность ОСО относительно точного значения
3. существуют сходимости оценок
н
Рс
и Р81. ^ Р§ь-> откуда следует существование общей сходимости ОСО вида: Рз,г ^ Рз,г ^ Рз,^
4. погрешность ОСО для ВС в СГДС стремится к нулю при условии, что каждое
+ (д* Л р*) [1 - (1 - р2)2] [1 - (1 - рв)2] + ( , л д*) [1 - (1 - р2 • рэ)2]. {
р(1^) ^ 1 и равно нулю при р(1^) = 1;
5. абсолютная погрешность 5рзг(Т - Н) нижней оценки Р^ незначительно отличается от точного значения, что обуславливает целесообразность ее использования при решении практических задач анализа связности СГДС
6. погрешность ОСО для четвертого варианта анализа, когда для каждого ребра имеет место равенство р(1%) = р = 0,99, практически равна нулю. Действительно, погрешность оценки 5рзг \(Н - Т)| и 5рзг (В - ¿) отмечается только в шестом знаке от нуля (запятой). Следовательно, если работоспособность всех ребер анализируемого СГДС С81 близка к 0,99, то получаемые при этом значения ОСО практически равны точному значению Рд^
7. погрешности ОСО практически не зависят от числа мостиковых ребер, находящихся в исходных структурах СГДС (см. Таблицу 1 и Таблицу 2).
Теперь представим в графическом виде поведение функции ВС ОСО Р$ь(р) и Рзг(р) относительно функции вероятности связности для точного значения Р31.(р) для условия, когда 0 < .р(^=5~д) < 1) применительно к оценочным графам (Рисунок 3, в) и (Рисунок 3, г) двухмо-стиковому СГДС.
На оснований результатов расчетов функции (13), (14) и (10) построен график (Рисунок 6). По оси абсцисс отложены значения 0 < р < 1, а по оси ординат - соответствующие значения функции
0 < р8ар),р^(р),'ряар) < 1.
На этом рисунке также приведена диаго-
наль (1, представляющая собой прямую линию, Ра(р) = Р 0 < р < 1. проходящую через начало координат с угловым коэффициентом равным 1, т.е. функцию Р81(р), Р§г(р), Рзг('Р)
Рисунок 6 График изменения ОСО относительно точного значения двухмоетикового СГДС,
показанного на Рисунке 3, б
Точка пересечения кривой функции (15) с диагональю й соответствует значению р = р* & 0,75.
Можно показать, что точка пересечения кривой функции Р31.(р) с диагональю й для любого другого СГ ДС, структура которо-IX) отличается от «двухмостиковой» схемы СГ ДС (рисунок 3, а), не соответствует равенству р = р* & 0,75.
Для рассматриваемого СГ ДС кривая функции Р$1('р) расположена выше диагонали для р > р* и ниже ее для р < р* и имеет три характерных значения:
Р$г(р) = 1 при р = 1; Р31.(р) = 0 при р = 0; Р8г(Р) = Р*> ПРи Р = Р*1
где, р* - точка пересечения функции (р) с диагональю й.
Аналогичные характеристики относятся и к функциям Р^^Р) и Рд^р).
Таким образом, диапазон изменения вероятности 0 < р < 1 подразделяется на два поддиапазона относительно р*: 1-й поддиапазон соответствует значению р>р* и2 - й р < р*. Это означает, что существуют и могут быть рассмотрены два типа оценок оценки, соответствующие значениям р > р*, и оценки, соответствующие значениям р < р*.
Исходя из графика функций Р31:(р), Р^(р)
и Pgt(p) (Рисунок 6), видно сходимость оценок вида Pgt(р) ^ Pst(P) ^ Pst(P) и справедливости неравенства Pgt(p) > Pst(p) > P$t(p) для
всех значений 0 < р < 1, за исключением только при р = 1 ми р = 0 получаем равенство:
𧹠= ps,t(p) = Ps№-
Из анализа формул (13), (14), (15) и поведения Pst(p), P$t (р), Pgt(p), представленных на Рисунке 6, можно заме-
s,M ps,t(Pl PgM
на Рисунке 6, можно тить, чт0 абсолютная погрешность ниж
ней оценки öpH =
Ps,t(jp) - psM
мень-
ше абсолютной погрешности верхней оценки
5рв =
РШ - PsÄP)
, т.е. 5рн < 5рвдля зна-
в
чении р > р*.
Можно также заметить, что при р > р* погрешности оценок ниже погрешностей оценок, полученных для значений р < р*, а также поведение оценок на Рисунке 6, говорит о необходимости использования ПР для получения ОСО ВС СГДС С^ .
Полученные результаты выполненного анализа свойств ОСО позволяют сделать следующие практически значимые выводы:
1. Для увеличения ВС в СГДС необходимо в первую очередь увеличивать связность мостиковых ребер Ьм = | ^
2. Если связность по каждому мостиковому
ребру в СГДС будет равна р(1%) = 0,99 и более (Таблица 3 и Рисунок 6), то в качестве рабочей оценки ВС анализируемого СГДС может быть использована только Р^, как наиболее простая и не требующая больших трудозатрат при выполнении инженерных расчетов;
3. Расположение мостиковых ребер при неизменном количестве вершин и ребер СГДС никак не влияет на общую связанность структуры сети, как показано на Рисунке 3 и Рисунке 4 и доказана результатами расчетов структур 3 и 4 Таблица 1.
Литература
1. Сапрыкин Д.Н., Осипов A.M., Ларионова М.Д. Основы безопасности жизнедеятельности в условиях современного производства. Иваново. 2005. 301 с.
2. Кривулец В.Г., Полесский В.П. Квазиупаковочные оценки характеристик надежности сетей // Информационные процессы. 2001. Том 1. № 2. С. 126-146.
3. Носов М.В. Комбинаторные методы анализа качества функционирования и модернизации систем оповещения населения. Монография: Химки. 2014. 304с.
4. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. М.: Сов.радио. 1969. 488 с.
5. Батталов С.Т. Актуальность оценки надежности систем оповещения населения и основные методики её реализации // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2016. №4. С.38-45.
6. Филин Б.П. О предельном развязывании клаттеров в оценках Полесского границ комбинаторной надежности случайных бинарных систем. Автоматика и телемеханика. 2005. №9. С.149-189.
7. Носов М.В. Метод полного разложения мостиковых соединений в задачах анализа связности радиально-кольцевых структур систем оповещения населения / / Технологии гражданской безопасности. 2014. Том 2. №4 С. 68-74.
8. Батталов С.Т. Методика построения рациональной организационно-технической структуры систем оповещения органов управления // Известия Института инженерной физики.2017. №3. С. 40-47.
