Кумулятивные оценки средней вероятности связности пары вершин случайного графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

КУМУЛЯТИВНЫЕ ОЦЕНКИ СРЕДНЕЙ ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗНОСТИ ПАРЫ ВЕРШИН СЛУЧАЙНОГО ГРАФА

А. С. Родионов, О. К. Родионова*

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

630090, Новосибирск, Россия * Высший колледж информатики Новосибирского государственного университета,

630090, Новосибирск, Россия

УДК 519.9

Рассматриваются некоторые кумулятивные оценки средней вероятности связности пары вершин случайного графа, эффективно используемые при принятии решения о надежности (ненадежности) сети по соответствующему критерию.

Ключевые слова: случайный граф, надежность, парная связность, алгоритм. Several methods for finding exact bounds of average pairwise network connectivity (APNC) are proposed. These methods allow faster decision making about if a network is reliable for its purpose. Previous results on cumulitive updating of all-terminal probabilistic connectivity and exact algorithms for calculating average number of disconnected pairs of nodes in a random graph are used as a base for most of presented results.

Key words: random graph, reliability, pairwise, connectivity, algorothm.

Сокращения:

— СГ — случайный граф;

— APNC — средняя вероятность связности пары вершин;

— ECP — математическое ожидание числа связных пар вершин;

— EDP — математическое ожидание числа несвязных пар вершин;

— LBA — нижняя граница APNC;

— UBA — верхняя граница APNC;

— LBN — нижняя граница EDP;

— UBN — верхняя граница EDP. Обозначения:

— G(n, m) = (V,, U, P, WT) —неориентированный граф с множеством вершин X, множеством ребер U, матрицей вероятностей присутствия ребер P и вектором весов вершин WT;

— n = \X\ — число вершин графа;

— m = \U\ — число ребер графа;

— wi = w(vi) — вес вершины vi, WT = (w\,... , wn);

— W(G) — суммарный вес вершин графа G;

— Pij — вероятность того, что ребро eij исправно (присутствует), надежность ребра P = \ \pij\\; Яч = 1 - Pij;

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 12-01-00727, 13-07-00589) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ 5176.2010.9).

— M(G, P) и N(G, P) - ECP и EDP случайного графа G;

— R(G) — N(G) — EDP (средняя вероятность связности пары вершин случайного графа G — математическое ожидание доли пар вершин, остающихся связанными);

— Ch — цепь из k ребер в\,... ,ek;

— G/Ch (G/e) — граф, полученный из G стягиванием по цепи Ch (ребру e);

— G/(x, y) — граф, полученный из G стягиванием вершин x и y;

— G\C (G\e) — подграф G, полученный удалением цепи Ch (ребра e).

Если характеристики СГ ясны из контекста, будем обозначать его G. При необходимости конкретизации отдельных характеристик используются также G(P), G(WT) или G(P, WT). Для ссылки на вес конкретной вершины заданного графа используем WTi(G). При рассмотрении множества ребер (например, ребер цепи или цикла), как правило, им назначаются персональные номера, т. е. используется ek (k-е ребро) вместо eij (ребро, соединяющее вершины vi и vj). Для обозначения соответствующих надежностей используем pk.

Введение. Средняя вероятность парной связности вершин случайного графа APNC (average pairwise network connectivity) является важным показателем его надежности [1-4], поскольку характеризует надежность моделируемой случайным графом (СГ) сети с точки зрения возможности установления произвольного парного соединения даже в случае частичного разрушения сети, т. е. надежность с точки зрения абонента.

Задача получения APNC эквивалентна задаче получения математического ожидания несвязных пар вершин EDP (expectation of a number of disconnected pairs), исследованной в [5, 6], а для случая равнонадежных ребер — в [7]. Как в указанных работах, так и в данной работе рассматривается модель СГ с надежными вершинами и независимо отказывающими ребрами.

Подобно k-терминальной вероятностной связности сети [8-10] APNC может использоваться для принятия решения о ее надежности, в данном случае о надежности парных соединений.

В работе [11] предложен новый подход к принятию решения о надежности сети, основанный на кумулятивном обновлении точных нижней LB и верхней U B границ вероятности связности СГ. Пусть задано пороговое значение надежности R0. Тогда, если LB > R0, то сеть надежна, если UB < R0, то сеть признается ненадежной. Этот подход приводит к некоторым алгоритмам, основанным на точных методах вычисления вероятности связности СГ. В [12] предложены усовершенствования алгоритмов, основанных на методе факторизации [8], с использованием результатов, полученных в [13], что позволило более существенно увеличить их производительность.

В [13] опубликованы предварительные результаты кумулятивного оценивания APNC и связанным с ней EDP, дополненная и исправленная версия которых положена в основу настоящей работы.

1. Предварительные результаты. Как указано выше, задачи вычисления APNC и EDP эквивалентны. Действительно, очевидным является равенство

R(G)

где

C2n — N (G)

C 2 : C

N(G) = C2n (1 - R(G)) . Очевидно также, что верхняя оценка APNC соответствует нижней оценке EDP, и наоборот.

Точное значение EDP может быть получено несколькими способами [5]. Рассмотрим два из этих способов.

1.1. Базовые методы. Первый способ заключается в рекурсивном применении формулы факторизации по состоянию произвольного ребра:

N (G) = ргз N (G/eij) + (1 - ргз )N (С\вгз), (1)

где G/eij — граф, получаемый из G стягиванием вершин vi и Vj по ребру ej, имеющему надежность pij; G\eij — граф, получаемый из G удалением eij. Рекурсии продолжаются до тех пор, пока не будут получены графы, для которых EDP вычисляется непосредственно.

Второй способ заключается в полном переборе пар вершин с вычислением соответствующих вероятностей парной связности и их последующим осреднением:

n— l n

N(G) = Е Е aijWiWj■ (2)

i=l j=i+l

Здесь aij — вероятность несвязности vi и Vj в G; wi — "веса" вершин vi, которые соответствуют математическому ожиданию числа вершин, стянутых в vi при использовании (1) на предыдущих шагах. Как показано ниже, веса вершин, отличные от единицы, получаются также при некоторых способах снижения размерности задачи. Отметим, что вычисление EDP для графов малой размерности всегда проводится по формуле (2).

1.2. Формулы для непосредственного расчета EDP. Ниже приведены конечные формулы для EDP графов, имеющих не более четырех вершин, и некоторых графов специального вида, полученные в [5].

Случай n = 2:

N(G) = Wi • W2 • Pi2.

Случай n = 3:

N(G) = WiW2(1 - Pl2)(1 - P23P13) + WiWs(1 - P13)(1 - P12P23) + W2W3(1 - Р2з)(1 - Pl2Pl3). Случай n = 4:

N(G) = WlW29l2[(1 - Pl3P23)(1 - Pl4P24) - Pl3Ql4q23P24P34 - ql3Pl4P23q24P34] +

+ W2W3Q23 [(1 - P24P34)(1 - Pl2Pl3) - ql2Pl3Pl4P24?34 - Pl2Ql3Pl4q24P34] + + W3W4<?34[(1 - Pl3Pl4)(1 - P23P24) - Pl2Pl3?l4Q23P24 - Pl2Ql3Pl4P23q24] + + WlW4ql4[(1 - Pl2P24)(1 - Pl3P34) - Ql2Pl3P23P24?34 - Pl2ql3P23q24P34] + + WlW3<?l3[(1 - Pl2P23)(1 - Pl4P34) - Pl25l4q23P24P34 - 5l2Pl4P23P24q34] +

+ W2W4Q24 [(1 - P23P34)(1 - Pl2Pl4) - ql2Pl3Pl4P23534 - Pl2Pl35l4q23P34] • (3) Случай дерева. Для произвольного дерева Tn

n—l n

N (Tn) = WiWj( 1 - Д Pst

i=l j=i+l estePtij

где Ptij — единственный путь от vi к Vj.

Случай цикла. Рассмотрим цикл Cn с n вершинами и n ребрами. Перенумеруем вершины таким образом, чтобы vi+l следовала за vi, i = 1,... ,n - 1, а vl следовала за vn. Для простоты ребра ei;i+l, i = 1,... ,n - 1 обозначим через ei, ребра en,l — через en. Соответственно обозначим надежность ei через Pi. В этих обозначениях имеем

п-1 п п г—1

N(Сп) = Е Е 1 - Д р8) (1 - П Р*П Р*

г=1 ]=г+1 *=г з=] *=1

Например, в случае 4-вершинного цикла получаем

N(С4) = WlШ2(1 - Р1)(1 - Р2РЗР4) + W2Wз(1 - Р2)(1 - Р1Р3Р4) + ШзШ4(1 - Рз)(1 - Р1Р2Р4) +

+ Ш1Ш4(1 - Р4)(1 - Р1Р2Рз) + Ш1Шз(1 - Р1Р2)(1 - Р3Р4) + Ш2Ш4(1 - Р1Р4)(1 - Р2Р3), что соответствует (3).

1.3. Декомпозиция и редукция графов. В некоторых случаях можно снизить размерность исходного или промежуточного (в методе факторизации) графа либо декомпозировать его на пару графов меньшей размерности. Это возможно, например, если в структуре графа имеется висячая вершина или мост.

Для дальнейших выводов потребуется следующая лемма, впервые доказанная в [5].

Лемма. Если во время процесса ветвления при расчете графа С получены некоторые подграфы С1, ... , Ск с вероятностями реализации р1,... ,рк , имеющие одинаковую структуру, и матрицу Р и все вершины, кроме одной, имеют одинаковый вес, а вершина V* имеет вес ш*г в Сг, г = 1,... , к, то совокупный вклад этих подграфов в N (С) равен

к

^^ (С0),

г=1

где граф С0 имеет такие же структуру и матрицу Р, как у всех Сг, и

кк ШТ*(С0) = ^ РгШ*г Рг.

Ш*

г=1 / г=1

1.4. к-компонентные графы. Если граф С состоит из к взаимно несвязных компонент С1, ..., С к, то, очевидно,

к к-1 к

N (С) = ^ N (Сг) + ^ ^ Ш (Сг)М (С).

г=1 г=1 ]=г+1

1.5. Удаление висячих вершин. Пусть в связном графе С(п,т) имеется висячая вершина vi, смежная некоторой вершине Vj. Тогда разрушение ребра е^ приводит к появлению шг • Ш(С\в^) = шг • Шк пар несвязанных вершин. Соответственно

к=г

N (С) = рг] N (С/е%3) + (1 - Р%3 )(шгШ (С\вгз) + N (С\вгз)).

Отметим, что в этом случае структура графа С*(е^), получаемого стягиванием вершин VI и Vj по ребру е^, совпадает со структурой графа С\е^, в котором вес вершины Vj увеличен на Шг. Таким образом, эта вершина в остальном в одинаковых графах с вероятностью рр^ имеет вес Wj + Шг, ас вероятностью 1 - р^ имеет вес Wj. Согласно лемме ?? имеем

N (С) = N (С0) + (1 - pгj )шгШ (С\егз),

где С0 — граф той же структуры, но с весом вершины Vj, равным

WTj (Go) = pij (wj + wi) + (1 - pij )wj = wj + pij wi.

1.6. Использование точек сочленения. Пусть G состоит из двух подграфов (блоков) Gi и G2, соединенных посредством общей вершины vs (точки сочленения). Тогда, очевидно, любой путь, соединяющий vi и vj, либо лежит в одном из блоков (обе вершины принадлежат этому блоку), либо проходит через vs (вершины принадлежат разным блокам). Тогда с учетом (2) имеем

N (G) = N (Gi) + N (G2) + Y1 (ais + asj - aisasj )wiwj, (4)

iex(Gi) jex(G2)

где ais и asj — вероятности того, что vi и vj несвязны с vs в своих блоках.

1.7. Удаление моста. Пусть граф G(n,m) имеет ребро est, такое что его удаление приводит к разделению графа на два несвязанных компонента G1(k, f ) и G2(n — k,m — f — 1) (очевидно, они являются связными графами). Такие ребра известны как мосты. Тогда

N (G) = pstN (G/est) + (1 — pst) [W (Gi)W (G2) + N (Gi) + N (G2)].

Однако граф G/est имеет точку сочленения и состоит из двух блоков G1 и G2. Используя (4), окончательно получаем

N (G) = N (Gi) + N (G2) + (1 — pst) [W (Gi) W (G2)] +

+ pst (ais + asj — aisasj)wiwj. (5)

iex(Oi) jex(G2)

2. Кумулятивное оценивание EDP и APNC.

2.1. Прямой метод. Безотносительно к вычислению EDP APNC по определению вычисляется по формуле

n-i n

R(G) = ЮRj. (6)

i=i j = i+i

Пусть для некоторых k пар вершин Rij уже вычислены. Для простоты перенумеруем эти пары и обозначим соответствующие вероятности парной связности через Ri, i = 1,...,k. Тогда в качестве оценок APNC рассматриваемого графа можно использовать очевидные выражения. В худшем случае все остальные пары вершин несвязны, поэтому

к

R(G) > LBA = (ОП) -iY, Ri-

i=i

В лучшем случае остальные пары вершин всегда связны и

¿ Ri + on — k k — È R'% R(G) < UBA = 2-= 1--О=Г-.

on on

Для вычисления Rij предлагается использовать хорошо зарекомендовавший себя метод факторизации с последовательно-параллельной редукцией (см., например, [10]). Известно, что эффективность метода факторизации существенно зависит от размерности графов, для которых значение функционала рассчитывается непосредственно. Будем использовать выражения для Ri2 в графах с числом вершин от 2 до 5, представленные в [14]. Случаи n = 2 и n = 3 тривиальны. Приведем выражения для случаев n = 4 и n = 5. Случай n = 4. Введем следующие обозначения:

a = Р12, b = P23, c = рз4, d = P14, e = P24, f = Pl3-

Тогда

Ri,2(G) = 1 - a'(b'(e' - d'e'f + c'd'ef ) + f'(d' + bc'de')).

Здесь апостроф обозначает вероятность противоположного события (дополнение до единицы).

Случай n = 5. Используя обозначения

a = P12, b = pi3, c = P14, d = pi5, e = P23, f = P24, g = P25, h = P34, u = P35, v = P45,

получаем

Ri,2(G) = 1 - ab[e'g(d'cu(v + fhv') + c'fh(u + dvu')) + cd(l - efg)] + af [g'd(c'bv(h + euh') +

+ b'eu(v + chv')) + eg] + f 'ace[b'dh(u + gvu') + d'gv(h + buh')].

2.2. Основы кумулятивного обновления оценок. В [7] рассматривались верхние и нижние оценки для вероятности связности всех вершин СГ (ATR). Оценки для R(G) имеют подобный вид и могут быть получены аналогично.

В работе [11] утверждается: "Предположим, что данная сеть декомпозирована или фак-торизована на L подсетей Gi, G2,... ,Gl, для которых ATR может быть легко вычислена.

L

Пусть Pi для l = 1,... ,L есть вероятность получения Gl. Тогда Pi = 1, и ATR сети G

i=i

может быть определена как

L

R(G) = £ PiR(Gi), i=i

где R(Gi) есть ATR подсети Gi".

С учетом сказанного выше получаем следствие для границ ATR: для любого k е {1,... , L} справедливы неравенства

]>] PiR(Gi) < R(G) < 1 - J] Pi (1 - R(G)

I) ^ 1=1 1=1

Указанные положения для связности СГ справедливы и для связности выделенной пары вершин. Таким образом, имеем

п—1 п к

Ё(а) Е ЕР^)>

г=1 ]=г+1 1=1

п— 1 п / к 4

ад ^ЕЕ 1 -Е ^ ^ -)

1=1 3=г+1 V 1=1

Очевидно, что

к к

Y,PiLBi < < 1 — £(1 -рг)ивг.

i=l i=l

2.3. Использование EDP для получения точных нижней и верхней границ APNC. Для нахождения EDP графа G используем (1).

При факторизации по разрешающему ребру eij возможны три варианта:

— eij является мостом;

— eij не является мостом и один или оба результирующих графа допускают прямой расчет EDP;

— ej не является мостом и ни один из результирующих графов не допускает прямой расчет EDP.

В первом случае получаем несвязный граф. Поскольку исходный граф всегда связный, G\eij содержит не более двух компонент связности (назовем их Gi и G2) с ni и n2 вершинами (ni + n2 = n) соответственно. Используем (5).

В лучшем случае (с точки зрения надежности) N(Gje^j), N(Gi) и n(G2) равны нулю, тогда как в худшем случае все пары вершин в этих графах несвязные. Таким образом,

N(G) > (1 - pij) [W(Gi)W(G2)],

n— i n / П1 — i «1

N(G) < Pij ^ J] ws(G)wt(G) + (1 - Pij) W(Gi)W(G2) + ^ ^ Ws(Gi)wt(Gi) +

s=i t=s+i V s=i t=s+i

«2 — i «2 \

+ Y1 Ws(G2)wt(G2)] .

s=i t=s+i J

Во втором случае получаем граф H, соответствующий некоторой реализации случайного графа G: одни ребра работоспособны (присутствуют), другие отказали (отсутствуют). Вероятность такой реализации P(H) вычисляется как произведение вероятностей соответствующих событий, т. е. как произведение pj и 1 — pj. Тогда p(H)N(H) есть вклад этой реализации в N(G), т. е. текущее значение LBN(G) должно быть увеличено на эту величину, тогда как текущее значение UBN(G) должно быть уменьшено на p(H) (W*(H) — N(H)).

Отметим, что независимо от результата по ветви стягивания предполагается наличие постоянной связи между вершинами vi и Vj, поэтому верхняя оценка EDP должна быть уменьшена на величину p • p jWiWj, где p — вероятность получения соответствующего графа.

3. Результаты экспериментов. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием прямого метода оценивания APNC (6) и метода оценивания EDP без применения дополнительной оптимизации (простая факторизация с редукцией висячих вершин и декомпозицией при обнаружении мостов). Эксперименты проведены с помощью программы [15]. Рассматривались решетки 4x4 (16 вершин, 24ребра, 120 пар, Gi) и 5x5 (25 вершин, 40 ребер, 300 пар, G2) с равнонадежными ребрами (все ребра имеют надежность p). Использование EDP показало лучшую чувствительность к надежности ребра в высоконадежных сетях, в то время как прямой метод обеспечивал более быстрое принятие решения в случае малой надежности ребер. Результаты экспериментов приведены в таблице (TD, TE — время вычисления для прямого метода и метода, основанного на оценивании EDP, соответственно). Эксперименты с Gi неинформативны с точки зрения времени вычислений, но позволяют оценить динамику оценок (рис. 1,2).

Результаты экспериментов

Граф P Ro TD TE Существование

решения

Gi 0,9 0,995 <0,01 <0,01 Да

Gi 0,9 0,996 <0,01 <0,01 Да

Gi 0,9 0,997 <0,01 <0,01 Нет

Gi 0,9 0,998 <0,01 <0,01 Нет

Gi 0,9 0,900 <0,01 <0,01 Да

Gi 0,9 0,950 <0,01 <0,01 Да

G2 0,9 0,950 60 6,3 Да

G2 0,9 0,900 57 6,2 Да

G2 0,5 0,950 6 0,15 Нет

G2 0,75 0,950 36 0,95 Нет

G2 0,75 0,990 6 0,9 Нет

G2 0,8 0,950 61 1,8 Да

G2 0,2 0,950 3 <0,01 Нет

G2 0,99 0,950 59 59 Да

G2 0,9999 0,950 59 186 Да

!> Щ |Л зсу^эййй'лйясзай о а И !> щ 1Г ^рог^^оо«»!^^ I Oi tri № Ol ffi <J\ Ol CO H 'Л ИМ OD ИМ CO CO f--- f-- i-- f-"- f- N Л N [ч IJ) U> Щ Ш

i-tino) nr*--i-itncnf»ir--.4m<7sror-- ,-н уч бч

i « и (N nmtnm-w 00 00m ш о оин^гчмчгчт

■iniÜlOSNNMMmffitriOO'

Рис. 1. Пример границ для EDP (решетка 4x4): а — p = 0,9; б — p = 0,5

(III III IUI I II III

н ш ffi fo h и m oi m is и in m m n и un ff» m

ii (Jl О О О rH iH

Рис. 2. Пример границ для APNC (решетка 4x4): а — случай p = 0,5, б — случай p = 0,9

Сравним результаты, представленные в таблице. В большинстве случаев метод оценивания EDP имеет преимущество над прямым методом оценивания APNC. В то же время в предпоследней строке времена вычислений равны, а в последней метод оценивания EDP менее эффективен. Эти строки соответствуют пороговому значению, близкому к истинному значению R(G).

На рис. 1, 2 показана сходимость оценок к точному результату. Видно, что кривая, полученная с помощью прямого метода оценивания APNC, является более плавной. Это обусловлено относительно небольшим различием значений Rj. Как в рассматриваемом примере, так и в реальных сетях данные вероятности не могут различаться на много порядков. Оценки, полученные с использованием метода оценивания EDP, резко изменяются на малых участках, что обусловлено характером алгоритма: несколько выходов из рекурсии подряд вызывают значительное изменение оценок, особенно заметное на завершающем этапе. Этим объясняется существенное уменьшение эффективности в случае близких порогового и истинного значений EDP.

Заключение. В работе приведены результаты, полученные с использованием кумулятивных оценок средней вероятности парной связности вершин случайного графа для приня-

а

тия решения о его надежности по этому критерию. На основе известных методов вычисления этой характеристики, в том числе авторских, получены выражения для этих оценок. Экспериментально показана эффективность использования метода факторизации для получения оценок. Целью дальнейших исследований является получение оценок с использованием более сложных структурных особенностей рассматриваемых графов, в частности с учетом наличия в них цепей.

Авторы выражают благодарность Д. А. Мигову [15], предоставившему для экспериментов высокоэффективную программу вычисления связности пары узлов СГ.

Список литературы

1. Palmer C. R., Siganos G., Faloutsos M., et al. The connectivity and faulttolerance of the Internet topology // Workshop on network-related data management (NRDM-2001). [Electron. resource]. http://www.research.att.com/ divesh/papers/cjfgs98-ir.ps.

2. Thang N. Dinh, Ying Xuan, My T. Thai, et al. On new approaches of assessing network vulnerability: hardness and approximation // IEEE/ACM Trans. Netw. 2011. V. 20, N 2. P. 609-619.

3. Fangting Sun, Mark A. Shayman. On pairwise connectivity of wireless multihop networks // Intern. J. Secur. Netw. 2007. V. 2, N 1/2. P. 37-49,

4. Potapov A., Goemann B., Wingender E. The pairwise disconnectivity index as a new metric for the topological analysis of regulatory networks // BMC Bioinformatics. 2008. V. 9, N 1. P. 1-15.

5. Rodionov A. S., Rodionova O. K. Network probabilistic connectivity: Expectation of a numberof disconnected pairs of nodes // HPCC 2006. Springer Lect. Notes Comput. Sci. Ser. 4208. 2006. P. 101-109.

6. RodionovA. S., Rodionova O. K., Choo H. On the expected value of a number of disconnected pairs of nodes in unreliable network // ICCSA-2007, Springer Lect. Notes Comput. Sci. Ser. 4707. 2007. P. 534-543.

7. Rodionova O. K., Rodionov A. S., ChooH. Network probabilistic connectivity: Exact calculation with use of chains // ICCSA-2004. Springer Lect. Notes Comput. Sci. 2004. V. 3046. P. 315-324.

8. Satyanarayana A., Chang M. K. Network reliability and the factoring theorem // Networks. 1983 V. 13. P. 107-120.

9. Shooman A. M. Algorithms for network reliability and connection availability analysis // Proc. of the Intern. prof. program (Electro/95), Boston (US), June 21-23, 1995. IEEE, 1995. P. 309-333.

10. Shooman A. M., Kershenbaum A. Exact graph-reduction algorithms for network reliability analysis // Proc. of the GLOBECOM' 91, Phoenix (US), Dec. 2-5, 1991. IEEE, 1991. V. 2. P. 1412-1420.

11. Won J.-M., Karray F. Cumulative update of all-terminal reliability for faster feasibility decision // IEEE Trans. Reliability. 2010. V. 59, N 3. P. 551-562.

12. Rodionov A., Migov D., Rodionova O. Improvements in the efficiency of cumulative updating of all-terminal network reliability // IEEE Trans. Reliability. 2012. V. 61, N 2. P. 460-465.

13. Rodionov A. S., Rodionova O. K. Exact bounds for average pairwise network reliability // Proc. of the ACM IMCOM (ICUIMC). 2013. Paper 13-5.

14. Мигов Д. А. Формулы для быстрого расчета вероятности связности подмножества вершин в графах небольшой размерности // Пробл. информатики. 2010. №2. С. 10-17.

15. Мигов Д. А. Принятие решения о надежности (ненадежности) сети по отношению к заданному порогу для различных показателей надежности. Версия № 2. Регистрационный номер в ФАП СО РАН PR12027. Дата регистрации 29.12.12.

Родионов Алексей Сергеевич — д-р техн. наук, зав. лабораторией Института вычислительной математики и математическй геофизики СО РАН; e-mail: alrod@sscc.ru;

Родионова Ольга Константиновна — канд. техн. наук, доц. Высшего колледжа информатики Новосибирского государственного университета; e-mail: rolcon@mail.ru

Дата поступления — 04.03.13