CC BY
5
Ы 2 +11^112л * Д —^ о,
max{h +Го2(Yio + Y11\s2(h +yIY + Y12))}= d < 1, (15) Yl + Yo (h9 + Yl3 )= d2 •
Теорема 2. В случае h0 (и,и)= Л1(и) + Л2 (и) при выполнении условия (15), решение задачи 1 при s ^ 0 сходится к решению вырожденной задачи в смысле W2 •
Список литературы:
1. Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца-Больцмана. - Бишкек, 2011. - 122 с.
ОДНОСКОРОСТНЫЕ ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА В ПРОСТРАНСТВЕ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ
Туганбаев Марат Мансурович
канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызского национального университета им. Ж. Баласагына,
Кыргызская Республика, г. Бишкек E-mail: tuganbaev.mm@mail.ru
SINGLE-SPEED DIRECT PROBLEMS OF TRANSPORT THEORY IN THE SPACE OF WEIGHT FUNCTIONS
Marat Tuganbaev
сandidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Kyrgyz National University named after J. Balasagyn,
Kyrgyzstan, Bishkek
АННОТАЦИЯ
В пространстве весовых функций решены прямые задачи теории переноса, эквивалентно сведенные к интегральному уравнению второго рода. Введены соответствующие физическому смыслу весовые
функции. Исследуются вопросы ограниченности и единственности решения в пространстве весовых функций.
ABSTRACT
In the space of weight functions is solved direct problems of transport theory, equivalence reduced to an integral equation of the second kind. Entered correspond to the physical meaning of the weighting function. The questions of limitations and uniqueness of the solution in the space of weight functions are studied.
Ключевые слова: задача переноса, интегральное преобразование, интегральное уравнение, весовые функции.
Keywords: transport problem, integral transformation, the integral equation, the weighting functions.
Как отмечено в работе О.М. Алифанова и др. [1] одна из причин многих трудностей, возникающих при исследовании сходимости алгоритма приближенного решения задач теории переноса, состоит в том, что решения этих задач не обладают, как правило, классической гладкостью, то есть они не принадлежат пространствам типа
d-k) , k > 1. В связи с этим, решения задач переноса будем искать не только в пространствах с чебышевскими нормами, но и в пространствах весовых функций.
В работе исследуются прямые задачи для односкоростных интегро-дифференциальных уравнений типа Каца-Больцмана [3] относительно функции f (и,t) от скорости не R и времени t > 0.
Задача 1. Найти функцию распределения f {u,t) е Wc (Qj), если
д1М.+fl и)д1Ы.+h (u) f (и, t ) =
дt W ди V ' V '
да ^ '
= J k{u,u')h(U)F (и', f (и',t))du' + F (u,t) = Kf,
—да
f (и,t)t=o = fo (и), (и,, = R x R+, (2)
где: F(u, t)e C(0 (Q) , 0 < fo (и)е C1 (R), Fo (и', f)e C1-1 (R x R), 0 < a (и) , 0 < k(и, и'), 0 < h (и) - известные функции, причем
||F/||<м = const, V(u, f) е R x R, i = 0,1, M J k (и, и') h (и')du' <+да,
—да
+да +да
J h(u)du < +да, J k(и, и')du' = 1.
—да —да
Задача эквивалентно приводится к виду [2]:
/
f (и, t ) = f0 (р(и, t,0)) exp I— J h<(U\du '
^ p(u,t,0) a (U )
J к(р(и,t,s),и')h(U)F (u ', f (и',s))du'ds +
)—да \
F (р(и,t,s),s)ds = H[f](u,t),V(u,t)eQ. (3)
f I U h (и' ) ^
ьJ exp — J , 'dU
fiexP — J
PU,s) a (U ' )
h (и )
v_J J, J
(и )
dU
Теорема 1. Пусть выполняются условия:
( и ,.i.J\ \
а)
. . r h (U)
f0 (р0) exP — I^T dU J a (и )
V P0 V /
V P0
t ( и Л
<Yi,
sup J exp -J ( r) du' (u, s) ds <y2,
Q( 0 I p a (U )
0 v P
t ( и ,„i.j\ Л
sup M J exp —J
h (U) , -и du' a (U )
J k (и, U ) h (и' ) du 'ds < d < 1, d = const; (4)
в)
f0u (p0 )p0, + f 0 (P0 ) -(PP) P0, a (p0 )
exp
( r h (U) ^
— J dU P a U)
+M J k (и,и')h (u ' ) du' +1F (u, t) < уъ,
0
0
м'и'и '.яЬаагШо
( и
Бир М | ехр — |
Н (и') , 1 ¿и
V Ра
а (и')
Н (Р)
| к (и, и')Н (Г) ¿Г -
+ } ки(о,о')\р,\Н(и')du'
—да
г ( гН (и) ^
Бир ехр — , (dи иР1 Р -1 а(и')
V р>
ds = г4,
Р НР
' а (р)
Ъ (и 5) + ^„(и 5)
ds = г;
с)
' (
с сН (и) ,
Бир I ехр — 1^—г dи
я+ а (и')
о V Р) V /
Ли()о )Раи + /о ()о)
а (и) а (р)
Н (и) Н ()о)
Ри
(и, 5) + Р1и (и, 5)ри
^ = rs,
( и
С , Н (и) ,
Бир ехр - —^—- ¿и
я+р { р 1 а (и')
0 V ро V /
а (и) а (ро ) Н (и) Н (р) ^
ро,
:ри
а (и) а (р) | к (и,и') Н (и') ¿и' +| к„ (и,и' )\р\Н (и') ¿г '
= г.
Тогда исходная задача 1 разрешима в (^)., при этом последовательность {/+,} строится по правилу Пикара с начальным приближением /о:
/„+! = Н[/] (п = од...) , (5)
Ц/+,-/|| < ¿-¿о^0, Е0 =\\/ — /0||. (6)
Доказательство. Действительно, с учетом условий теоремы а) — с), получим, что /, /, / ограничены в смысле нормы РТС (^).
С другой стороны, докажем, что оператор в правой части (3) отображает шар (/0 ) = {||/ — /0|| < г} в себя и является сжатием. Пусть
+ о
о
^ Сийдк
т\пу.яЬас.т{о
, ч ( (и') 1 Г ( № (и') 1 / ч /0 = / (р)ехр -Г-)-)йи' +|ехр -Г-)-)йи' ^ (р,з)йз
V Р а{и) ) Г I Р а{и) /
||Я [ /0 ]-/ °|| <{1-й) г. Тогда
||н [ / ]-/ °|| <||н [ / ]-н [ /0 ]| +
+ || н [/0 ]- /°|| < й||/ - /II + (1 - й)г < йг + (1 - й)г = г ' ||н [ / ]-н[ /]\<
Г ( Гк (и')
< МГ ехр г йи
V Р
г(и')
| к(р, и')г(и')||/ - Дйи'йз < й/ -/||.
По условию теоремы й < 1. Таким образом, отображение (3) является сжимающим и согласно принципу сжимающих отображений, оно имеет единственную неподвижную точку. Следовательно, задача 1 имеет единственное решение. Теорема доказана.
Но в теории переноса есть случаи, когда источники возмущения и начальные данные не принадлежат пространству с чебышевскими нормами. Так как из существования решения в пространстве с чебышевскими нормами следует существование в пространстве весовых функций, то будут исследоваться вопросы ограниченности и единственности решения.
В связи с этим рассмотрим задачу в пространстве весовых функций.
Задача 2. При начальном условии (2), где 0 < /0 (и) е С1 (И) П ГЩ; (К), р > 1. найти решение /(и,/) е С1Д (Ц)ПЦ, (Ц), р > 1 уравнения
д/ (и, г) /и) 4 - + а (и)—г-- +
дг
ди
к (и)/(и,г) = Г к (и,и)к (и)^ (и,/(и,г))йи• = К1.
о
Эта задача аналогично приводится к интегральному уравнению
/(и,') = /о (р(и, ',0))ехр — I ^ ¿и
V р(!,',о) а(и)
(8)
"Iехр — I
0 V р(и,',5)
Н1 ¿I
',5) а1')
\к(р{и,',з),и')Н(и')/(и',я^и^У,,') е О.
Теорема 2. В условиях задачи 2, при выполнении условий
+да ( и 1 ( Л Л
I-(и)/о (р(и, ',0)) р ехр — р | ^ ¿и
и,',0) а(Г )
V
р(и.'.0)
¿и < г = сопя', V/ е Я
( и
' ь( Л и +ад
Бир | Н(и)(|ехр —|-п ¿I I ||к(р(и,', я) и') "-(и)^и
кхк, „ а I и ) I
+ —да 0 V Р /\—ад
¿5) р ¿и < Г = сопя',
(9)
d = 2рг2 < 1,1 +1 = 1 Р Ч
функция /(и, /) ограничена в Ьр (Ц), р > 1 и единственна в
этом
классе.
Доказательство. Действительно, оценивая (8) с учетом неравенства Гельдера, получим
(
\/{и, ')</ (Р(U, 'Щ ехр — I ОгФи' +| ехр — |
V р(и.'.0)а(и ) / 0 V р(и.'.з) а(и ) Л 1
+да ч Л ч (+да Л р
I\к(р{и,', з),и') Н(и')с1и' I IН(и')/(и', я) рс1и' I
\
(
¿и
\
Возводя в степень р это неравенство, умножая на -(и), интегрируя на й и учитывая неравенство (а, + а2)р < 2р (ар + ар )
а > 0, а > а, р > 1, имеем:
II/(u,'Е < 2р
+да (и — (и')
I — (и)|/о (р(и,',0))р ехр —р | —ПЛи'
—да ^ р(и,',о) а(и)
dи +
+
и
и
X
^ СибАК
т\пу.яЬас.т{о
-\к (и)
< 2р
Г ( Г к (и ') ,1
Г ехр- Г аилйи
о V Р(и,г,о)а (и ) ^
+да
Г \к(р(и,г,з),и')|"к(и' )йи'
-да
У\ +/2\\/(и, г )||; ] = 2р г, + й\\/(и, г )||\г
йи|| / (и, г )|
Так как по условию й < 1, то окончательно получим:
II/(и г)||<
( 2Р^1 р V ^ /
что доказывает ограниченность функции /(и, г) в пространстве ^ (Ц), Р > 1.
Предполагая существование решений / (и, г) и / (и, t) и оценивая их разность, имеем: ||/(и,г)-/(и,г)р < й||/(и,г)-/(и,г)^ . Так как
й<1, то \\/(и,г)-/(и,г\Рр(1 -й)<о. Отсюда ||/(и,г)-/(и,г)|Рр = о.
Следовательно, /(и,t) = /(и,t), У(и,г)еЦ, то есть функция /(и,t) единственна в классе функций Ьр (Ц ), р > 1 для всех фиксированных t > 0. Теорема доказана.
Задача 3а. Определить в пространстве Ьк (Ц) решение задачи:
д/ (и, г) д/ (и, г)
- + а-
' к(и)/ (и, г)
дг ди
+да
Г к (и, и')к (и') / (и', г) йи'= К2/ (10) с начальным условием
/°(и) е 4(Ф, где а = сопИ, и)и = 1, *\к(и')йи' < +да.
-да
да
Теорема 3. Пусть для исходной задачи имеют место условия:
+да ' ( -, и
+да ' 1 и Бир I-(u)| ехр--I-ГУН
¿я! и < г = сопя', |к(и и)| < Гз,
а )
V и— а('—я)
Га =ГГз < Ъ
+да ( 1 и Л
I -(и)/0 (и — а') ехр — - I-(и'^и ¿и<г2 = сопя', Vt е Я+ . (11)
а
V и—а'
Тогда / (и, /) ограничена (Ц), V(u ')еЦ и единственна. Для решения задачи 3 а, на основе преобразования вида
( 1 и
/ (и,' ) = д(и,' )ехр — I-(и')с1и'
а
V —да
Vuе Я, V/ е Я+, (12)
получим интегральное уравнение
( 1 и ^
/ (и,') = /0 (и — а') ехр — I - (и') ¿1
V а и—а' /
' ^ 1 и ^ да
+! ехр — I - (и') ¿и' I к (и — а (' — я) ,и')— (и')>
/
и—а('—я)
х/(и',5)¿I¿я,V(u,') е О .
(13)
Оценивая (13), получим
1 и Л ' (ли Л
\/(и,')<I/о(и — а')ехр| —1 Iии\ + ГзIехр —1 I-{и')И х/(и,')|Ь, ■
и—а('—з)
Умножая на —{и) и интегрируя на Я , имеем:
+да ( л и Л
\\/(и,')| < | Н(и)|/о (и — а')\ехр| — _ { Н(и')!! ¿и-
о
и— а'
г
л
+да г \ U
+7з J h(o)Jexp — J h(o ')do' dsdo-||f (o,t<y2 +
-да 0 ^ a u-a(t-s) ^
+Г1Г31|f (oг)||L =72 + 7о||f (o,г)|L ■
Откуда с учетом уо < 1 получим: ||/(и,г)|^ <—У—. Это означает
к 1 -Уо
ограниченность / (и, t) в классе функций Ь1 (Ц).
Единственность этой функции докажем методом от противного. Пусть существуют функции /(и, t) и /(и, t), которые удовлетворяют (10) с начальным условием (2). Тогда оценивая их разность, получим:
г ( 1 и 1
\/(и, г) - / (и, г ]<Уз Г ехр - - Г к(и)йи< йз\/(и, г) - / (и, г )|| д.
о V и-а(г-з) у
Умножая на к(и) и интегрируя на Я , имеем:
||/(и, г) - /(и, г(1 - уо) < о, уо < 1. Отсюда следует, что
||/(и,г)-/(и,г)|^ = о. Следовательно, /(и,г) = /(и,t) для У(и,г)еЦ
что и требовалось доказать.
Задача 3б. Решение задачи 3а будем искать также в классе функций Ьр (Ц), р > 1, когда имеют место условия:
+ да г
-да 0
1 o 4
sup J h(o)(J exp--J h{u')du' I J |k(o- a(t - s) o')qh(o')do'I ds)pdo<y5 = const
o-a(t-s)
d = 2P 75 < 1, 1 + i = 1;
p q
J h(u)| f (o - at) p exp - P J h(o)dU h{o)do<yA = const, Vt e R+,
fo(o) e LP (R) (14)
V u-at J
Теорема 4. Если для задачи 3б выполняются условия (14), то решение этой задачи ограничено в Ьр (Ц)э р > 1 и единственно.
+ да
+да
и
Доказательство. Действительно, оценим (13):
( 1 u ^ ' ( 1 " \f (и,t)|<|f0 (и-at)\exp — J h"')"' +]■ exp — J h(u')dv'
V a и-at
( +o
' u-a(t-s) 1
j \k( и - a(t - s), и')|qh( и') du'J h ( и')\ f ( и', s)|Pd" ds.
j?h(u)f (и- at)p exp -P Jh(u')d" Idu +
(", t)|< 2p
+ co | t (л и
+ J exp-1 J к{и'Уи'
-oo (о V a u-a(t~s)
j |k (и- a(t - s), и') qh(и')dи'l ds
^ f С ]<2p[п+ЫЖС ]=
= 2 p[ + d\\f (и, t)| pp. Так как по условию d < 1, то окончательно получим:
If (и С <
(2рТ, V
v 1 - d у
(15)
Список литературы:
1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - Москва: Наука, 1988. - 288 с.
2. Омуров Т.Д., Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса. - Бишкек: Илим, 2010. - 116 с.
3. Frosali, van der Mee, Paveri - Fontana, Conditions for runaway phenomena in the kinetic theory of particle swams // Journal Math. Phys., - 1989, - Vol. 30. -№ 5, - Р. 1177-1186.
x
x
x
