Однопериодические обобщённые аналитические функции с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №9_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956.2

Д.С.Сафаров, Г.М.Мисоков ОДНОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОБОБЩЁННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 25.07.2013 г.)

В работе дан метод нахождения однопериодических обобщённых аналитических функций с отклоняющимся аргументом.

Ключевые слова: периодическая функция - аналитическая функция - решение - уравнение.

В работе [1] построены однозначные, обобщённые в смысле И.Н.Векуа [2], однопериодиче-ские решения уравнения обобщённых аналитических функций

+ а-иг + b-йг = /(z)

когда a ( z), b (z), f ( z) - непрерывные однопериодические функции, удовлетворяющие условиям

a(z)|<A, ь(z)\<b, f(z)|<, «>i. (i)

rl z I z

В данной работе строятся однозначные обобщённые решения (в смысле Векуа) для уравнения

вида

ии 2 + auu (z + h) = f (z) (2)

с периодом a, Rea ^ 0, когда a - постоянная, f (z) - непрерывная однопериодическая функция с периодом a, h - некоторая постоянная.

Предположим, что f (z) удовлетворяет условию (1) и а> 2 . Пусть R - фундаментальная область группы

Sk (z) = z + ka, Rea * 0, k = 0,±1,±2,...

Будем искать однопериодические обобщённые решения уравнения (2), допускающие в конечной части плоскости в качестве особых точек лишь полюсы, а при приближении z к концевым точкам полосы R , стремящиеся к конечному или бесконечному значению.

Как в [1], условимся считать, что обобщённое однопериодичное решение уравнения (2) имеет в области R порядок не выше Л + S + S2,X = + , если оно в точках z. е R имеет по-

люсы порядков X. , а также полюсы на концах полосы R порядков не выше S1uS2 соответственно.

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джумабой Сафарович. 735140, Республика Таджикистан, г. Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. E-mail: [email protected]

Теорема 1. Пусть в уравнении (2) число И кратно а и Зташ = п. Тогда уравнение (1) при любой правой части имеет однопериодическое обобщенное решение, с периодом а, порядком не выше Л + ^ + , и оно представимо в виде

= [^(2) Яя /СОеП-^Н&гт],

где

И ( + +

к* О

Н (*,г)= Н (г, 7)- Н (г, г0 ) ,г0 е Л

Р (г) = 1% ^ +Й- ^ ЛЧ (3)

С ¡к — постоянные.

Доказательство. Будем искать однопериодическое решение уравнения (2) в виде

ш (г) = ейг - а*р ( г), (4)

где р( г) - искомая функция. Если выполнены условия теоремы, то в представлении (4) р( г) должна быть однопериодической по а .

В самом деле, ш (г) — однопериодическая по а, а при И = ка и Jmaа = ж, к — целое,

ак—ак 2!Штао^ 1

е = е = 1 ,

поэтому

р(г + а) = и)(г + а) е-аг+а ■е~аа—ав =ш(г) е~аг+аг ■е™таа =р (г) . Подставляя (4) в (2), относительно р( г) получим неоднородное уравнение Коши-Римана

Л\ аг-аг

г)е . (5)

Так как | ш (г) \ = \ р (г) \ , то все особенности функции р(г) совпадают в Я с особенностями решения ш (г) уравнения (2).

Таким образом, р(г) должна иметь в области Я порядок не выше Л + ^ + , то есть в точках г,г2,...,гот имеет полюсы порядка Л,Л1,...,Лт, соответственно, и при приближении г к концевым точкам Я полюсы порядка .

Как показано в работе [1], однопериодические решения уравнения (5), имеющие в Я порядок не выше Л + + £2, определяются формулой

Доклады Академии наук Республики Таджикистан

2013, том 56, №9

ф) = о (г) + = ~ || +

я

где

Н (*,2) = Н (г, 7)- Н (г, ^) е К ,

н (,, 2 )=Л. + ]тГ 1 +-1. 1.

г - 2 к~-0 ^ г - 2 - ко ко )

к

В самом деле, функция 0 (г) в силу периодичности ядра Нх (г, 2) является периодической по о . А в силу того, что

й? (н 2)-гт ]=0 •

интеграл

имеет дифференциальные свойства оператора Векуа [2]

' = Я '(') д

= 1<г)е'

то есть

д0 (г) дг

Поэтому разность р (г) — 0 (г) является однопериодической аналитической функцией, имеющей в К порядок не выше Я + ^ + . Поэтому эта разность р ( г) — 0 (г) = р (г) имеет вид

(3) и справедлива формула (6).

Подставляя (6) в равенство (4), получим утверждение теоремы 1.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и к = ко, к - целое число и а - корень уравнения

а + аеак-ак = 0, (7)

причём ао = ж1. Тогда уравнение (1) при любой правой части имеет решение вида

'( 2 ) =

. . а2-а2

w (2) = е

Ф( 2)-(г) е-а7+аН1 (г, 2 ) ёК

где функция Ф (z) представляется формулой

^Ж1^(z,Zj)+Z Cse ® ,

-;ti (k -1)! Jkdz

j=1 k=1\* ^ S=-S2

где Ск— произвольные постоянные числа.

Замечание 1. В случае регулярных однопериодических решений уравнения (1), то есть непрерывных решений на Я , уравнение (1) имеет решения вида

о( z ) = ez - z

где С — произвольная постоянная.

Замечание 2. Все корни уравнения (7) сосредоточены на окружности = |а|, поэтому каждому корню уравнения (7) соответствует бесчисленное множество решений однородного уравнения (2).

Поступило 25.07.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Показеев В.И., Сафаров Д.С. Простые обобщенные аналитические функции, автоморфные относительно элементарных групп. — Изв. АН РТ. Отд.физ.-мат.н., №4 (120), 1991, с.3-8.

2. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М., 1959, 628 с.

Ч,.С.Сафаров, Г.М.Мисоков ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИИ УМУМИКАРДАШУДАИ ЯКДАВРДОШТА

БО АРГУМЕНТИ ФАРЦКУНАНДА

Донишго^и давлатии Кургонтеппа ба номи Н.Хусрав

Дар макола усули ёфтани функсиях,ои аналитикии умумикардашудаи якдаврдошта бо аргументи фарккунанда нишон дода шудааст. Калима^ои калиди: даврй - аналитики - х,ал - муодила.

D.S.Safarov, G.M.Misokov SINGLY-PERIODIC SOLUTIONS OF THE GENERALIZED ANALYTIC FUNCTIONS WITH DEVIATING ARGUMENTS

N.Khusrav Qurgantyube State University In the paper a method of finding the one-periodical generalized analytic functions with deviating arguments is proposed.

Key words: periodical - analytic - solution - equation.