Одномерный фотонный кристалл как отражающая или волноведущая диэлектрическая структура Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.876.4: 517.958

Одномерный фотонный кристалл как отражающая или волноведущая диэлектрическая структура

© В.Ф. Апельцин, Т.Ю. Мозжорина МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрена двумерная краевая задача о прохождении плоской электромагнитной волны через периодическую слоистую среду, имеющую структуру одномерного фотонного кристалла. Структура содержит конечное число плоскопараллельных слоев, каждая ее ячейка периодичности состоит из двух слоев с разными действительными значениями постоянной диэлектрической проницаемости и разными толщинами. Показано, что при некотором дополнительном условии, связывающем угол падения плоской волны и диэлектрические проницаемости слоев, задача решается до конца в явном виде и приводит к простым выражениям для отраженного от структуры и прошедшего сквозь нее полей. При этом, если отношение толщин слоев меньше единицы, структура ведет себя практически как идеальное зеркало, а если больше единицы, то - как волноведущая структура без потерь, втягивающая в себя падающее поле, т. е., подавляющая как отраженное, так и прошедшее сквозь нее поля.

Ключевые слова: фотонный кристалл, плоскопараллельный слой, однородный диэлектрик, плоская волна, идеальный отражатель, волновод без потерь.

Введение. Под фотонным кристаллом подразумевается среда с периодической структурой, состоящей из ячеек постоянных значений диэлектрической проницаемости. Такая среда может быть трехмерной, двумерной или одномерной. В случае одномерной среды это бесконечная последовательность плоскопараллельных слоев из однородного диэлектрика, причем каждая ячейка периодичности состоит из двух слоев разной толщины и разных значений постоянной диэлектрической проницаемости.

В последние годы исследованию электродинамических и оптических свойств таких структур посвящено значительное количество публикаций [1-3]. Если такая среда бесконечна, то она обладает строго фиксированными частотными полосами пропускания электромагнитной волны, или, наоборот, полосами запирания энергии поля внутри структуры. Эти свойства, как следует из ряда работ, являются следствием теоремы Блоха и того, что волновое поле удовлетворяет в такой структуре условиям Флоке.

В случае практического применения этих свойств необходимо, разумеется, создавать такие структуры с большим, но конечным числом ячеек периодичности, для которых эта теория уже не справедлива. Однако такие структуры должны обладать свойствами близкими к бесконечным, если число ячеек достаточно велико. Наиболее есте-

ственный метод теоретического исследования этих свойств подразумевает численные методы математического моделирования, что и делается в большинстве работ этого направления [4-5].

В данной работе приводится аналитический подход к решению подобной задачи в случае одномерного фотонного кристалла с конечным числом слоев N. В рамках этого подхода удается выписать явное решение для прошедшего через структуру и отраженного от нее волновых полей, если потребовать выполнения некоторого необременительного дополнительного условия, связывающего диэлектрические проницаемости слоев ячейки периодичности и их толщины. В результате, все практически важные физические свойства структуры становятся наглядными и обозримыми.

Постановка задачи и система уравнений для фурье-образов решения. Пусть в области декартовых координат (у, 2) при 2 < 0 расположена многослойная среда с плоскими параллельными границами раздела, причем слои имеют периодичность по толщине и значению диэлектрической проницаемости в. Элемент периодичности является двухслойной плоской полосой с толщинами слоев й1 и йг, общей толщины О = й\ + и с диэлектрическими проницаемостями В1 и в2. Среда содержит N элементов периодичности. Общее количество слоев 2N (рис. 1).

Рис. 1. Геометрия одномерного фотонного кристалла

Структура возбуждается плоской волной и(0) (у, 2) = = е~гко(усо5а+гвша), присутствующей в области г > 0 выше структуры. Здесь же присутствует поле и0 (у, г), отраженное от структуры и подлежащее нахождению. В области г < - N0 присутствует прошедшее поле и2N+1 (у,г), также подлежащее определению. Рассматривается случай Е - поляризации (единственная компонента элек-

трического поля, отличная от нуля, Ех = и( у, г). В каждой области постоянства 8 возбуждаемое поле и^ (у, г); = 0, ...,2 N +1 удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца:

А и(0) (у, г +к02и(0) = 0

Аи0 (y,г + кЯ = 0;

Аи (у, г + к^щ = 0;

Аи2 (у, г) + к| и2 = 0

Аиз (у, г + к2из = 0;

Аи4 (у, г + к2и4 = 0;

Аи2 N-1 (у г + к1 и2 N-1 =

Аи2N (у г + к2 и2 N = 0

Аи2 N+1(У, г + к0и2 N+1 =

(1)

На границах раздела свойств однородных сред ставятся условия

ди^

сшивания значений полей и их производных по 2: и^ = и^+1,

д г

дл

д г

. Первая группа условий удовлетворяется введением 2N + 1

произвольных неизвестных функций / (у), подчиненных следующим условиям:

и(0) (у, 0) + ио (у, 0) = £0 (у);

и1 (у, 0) = /о (у);

и1 (у, - ¿1) = /1 (у); и2 (у, - ¿1) = /1 (у);

и2 (у, - £>) = /2 (у); (2)

из (у, - £>) = /2 (у); из (у, - £ - ¿1) = /з (у); и4 (у, - £ - ¿1) = /з (у);

щ (y, - 2D) = / (y);

Щк (у, - (К- - Ж) = /к- 1 (у);

П2Н (у, - Ш>) = /к (у); Щ2К + 1 (у, - Щ) = (у);

Дальнейшее рассмотрение удобно проводить для Фурье-образов решений в каждом слое.

Если V - спектральный параметр преобразования Фурье по у, то решения уравнений (1) для образов Ц-^, 2), в каждом слое можно записать в виде

ио (V, 2) = Ао (V) ^ ^ 2; и (V, 2) = АIV) е'V)2 + ВД е"* V)2; и2 (V, 2) = А2^) 2 + Б2(v) е" 2;

из (V, 2) = А3^) v)2 + БзМ е"v)2; (3)

и4(V, 2) = А4^) е^2(v)2 + БIV) е~1 °2(v)2;

U2N- i (v, z) = Á2N- ! (v) e¿v)z + B2N- 1 (v) e"¿v)z; Un(v, z) = A2n (v) e¿°2(v)z + B2N(v) e"¿°2(v)z ; U2N+1 (v, z) = B2N+1 (v) e" io°( v) z.

где a0 (v) = ^Jk^ - v2; o1,2 (v) = ^&22 - v2 , а краевые условия (2) для образов примут вид

Uo (v, 0) + 2л £( v + k0 cosa )= F0 (v); Ui (v, 0) = Fo (v); Ui (v, -di) = Fi(v); U2 (v, -di) = Fi(v); U2 (v, -D) = F2 (v); Uj(v, -D) = F2 (v);

U3 (v, D -di) = F3 (v); (4)

и (V, -В - ¿1) = Ез (V);

и4 (V, -2В) = ^4 (V);

U2N (V, - (N- i)D - di) = F2N- i (v); U2N (v, - ND) = F2N (v); U2N + 1 (v, - ND) = F2N (v);

где Fj ( v) - образы Фурье функций f (y) в (2).

Используя (3), краевые условия (4) можно разбить на пары уравнений, из которых однозначно определяются неизвестные амплитуды Aj(V), Bj(v) через функции Fj(v) (пока также неизвестные):

A0 (v) + sflñ 5 (v + k0 cosa ) = F0 (v); Ai(v) + Bi(v) = Fo (v); Ai(v) e -i V)di + Bi(v) ei ai( V) di = Fi(v); A2(v) e -i M V)di + B2(v) e¿°2(V) di = Fi (v); A2 (v) e -i°2(V)D + B2 (v) eiC2(V)D = F2(v); (5)

A3(v) e -i v)D + B3(v) ei V)D = F2 (v); A3 (v) e -i°i(V)(D + di} + B3 (v)eiai(V)(D+di} = F3(v); A4 (v) e -ia2(V)(D + di) + B4 (v)eia2(V)(D+di) = F3 (v); A4 (v) e -i°2(V)2D + B4 (v)e ia2(V)2D = F4 (v); A5 (v) e -i°i(V)2D + B5 (v) eiai(V)2D = F4 (v); A5 (v)e -iv)(2d+di} + B5 (v)e iai(V)(2d+di} = F5 (v);

Л^ (V) е ^^ - 1)в+¿1] + B2N (V) е'^Ш - 1)в+¿1] = ^ - 1 (V); Лж (V) е + B2N (V) е^2^ = F2N (V);

B2N + 1 (V) т = F2N (V).

Решая эти парные системы и два крайних одинарных уравнения, получим общее представление коэффициентов Л/(у), В^) через Е^) для четных и нечетных значений индекса у:

j ( ) e iai(v)nD F2n(v)e'"i(v)di - F2n + i(v) Á2n+i(v) = e u; -———-;

2/sin ai(v)di n _ 0;... N - i

B ( ) _ e - i oKv) nD F2n + i(v) - F2n (v)e "i °i(v)di

B2n + i(v) _ e j -—----;

2/sin ai(v)di

, л ia2(v)D T? í \ ia2(v)di

A2„ (v) _ eia2(v)(n - i)D F2n - i(v)e-- F2n (v)e-; (6)

2/ sin a2(v)d2

N _ i; . N

r^ / \ - i a 2(v)di ^ / ч - i a 2(v)D B2n (v) _ e - i a2(v)( n - i) DF2n (v)e - F2 n - i(v)e ;

2/sln a 2(v)d2

A (v) _ F0 (v) - ^5 (v + k0 cosa); B2n + i (v) _ F2n (v) e -ia0(v }ND.

Теперь можно выписать единообразные выражения для образов Фурье U(v, z) всех полей (кроме отраженного U0 (v, z) и прошедшего U2N +i (v , z)):

F ( ) i a 2(v) D F ( ) ia 2(v)dj

U2n ( v, z) = eia2(v)(n - i)D t2n - i(v)e-- t2n (v)e-eia2(v)z +

2isln a2(v)d2

F ( ) - ia 2(v)dl F ( ) - ia 2(v)D

e - i a2(v)(n - i) D F2n (v)e_- F2n - i (v)e_ - i a2(v) z .

5

2isln a2(v)d2

F ( ) i a i(v) di - F ( )

U2n - i ( v, z) = e i ai(v)( n - i)D t2n - 2(v)e-F n - i(v) eiai(v) z +

2isln ai(v)di

F (v) - F (v)e -iai(v)di e - i ai( v) (n - i) D 2n - ilV 2 n - _ e - i ai(v) z ;

2isin ai(v)di n = i; . . . . N.

Систему уравнений для нахождения неизвестных Fj(v) получим используя вторую половину краевых условий на границах слоев (непрерывность производных по z от функций Uj(v, z)).

Приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений, из которых неоднородно только первое:

['а0( v^^o^ v)d1 -а1( v)cosа1( v)d1]F0( v) +а1( v) F,( v) — ='а0( v)^/2тсsinа1( v)d1ô(v+kocosa) а1(v) F (v) г а1(v) , а2(v) i F (v) , а2(v)

Fo(v) - Г 14 y i 2V У ] Fi (v) i — 24 y F2 (v) = 0; sin а^^ tgа1( v)d1 tgа2( v)d2 sin а2( v)d2

а2 (v) Fl(v) - + ^v^]F2(v) + . а1(v) Fs(v) = 0;

sin а2( v)d2 tgа1( v)d1 tgа2( v)d2 sin а1(v)d1

а1(v) F2(v) - + ^^v^F(v) i . а2(v) F4(v) = 0;

sin а1( v)d1 tgа1( v)d1 tgа2( v)d2 sin а2(v)d2

v) F2N- 2(v) - Г^^ + ^L-] F,n- . (v) +

sin а1( v)d1 tgа1( v)d1 tgа2( v)d2

i "^^TTT F2N (v) = 0;

sin а2 ( v)d2 а2( v) F (v) Г а2( v)

. , w F2N - i(v) - [ - iao (v)] F2N(V) = 0. (7)

sin a2( v)d2 tga 2(v)d2

Матрица системы (7) имеет почти регулярную структуру, за исключением первой и последней строки. Систему (7) можно переписать в более компактной форме, если поделить все уравнения на элементы главной диагонали. Вводя обозначение q(V) = - [—ai(V)— +

tgai( V)di

a2( v)

+---] получим

tga 2(v)d2

a, (v)

Fo (v) +-—-Fi (v) =

ia0(v)sin v)di - v)cos v)di

ia 0 sin ai( v)di 5 ( v + k0cos a)

ia0(v)sinai(v)di -ai(v)cosai(v)di

ai(V) F (V) + F (V) + a2(V)

Fo (v) i Fl (v) i , ч .2V ' , F2 (v) = 0;

q(v)sin а1( v)d1 q( v)sin а 2( v)d2

_ОИ_ F(v) i F (v) i_а1(v)

Fl(v) i F2 (v) i-^-Fз (v) = 0;

q( v)sin а2( v)d2 q(v)sin v)d1

а1(v) F (v) i F (v) i а2(v)

F2 (v) i Fз (v) i , ч ,2V; ч 7 F4 (v) = 0; (В)

q( v)sin v)d1 q( v)sin а 2( v)d2

а1(Ч>

F2N - 2 (V) + - 1 (V) + -

а2(Ч>

[/-7-% ч , ]бша2^М2

р2м - 1 (V) + ^да (V) = 0;

F2N (V) = 0;

В еще более компактной форме систему (8) можно записать, если ввести дополнительные обозначения

Ао =

Р1

ю 0 бШ а^)^ 5 (V + &0соБ а)

/а 0(v)sin а^)^ -а^)соБ а^)^

а1(^ а1^)

/а0^)Бт а^)^ - а1(v)cos а^)^

; Р 2

q(v) бш а^)^

Рз :

а 2(Ч>

■; Р4 : ,

а2[/а0^) - "-^т^тт"аШ2

2

^0 (V) + Р1^1 (V) = А0; Р2 ^0 (V) + V ) + Рз F2 (V) = 0; Рз V ) + (V) + Р2 ^з (V) = 0; Р2 (V) + ^з (V) + Рз ^4^) = 0;

а2(Ч>

Р2 F2N - 2 (V) + F2N- 1 (V) + Рз F2N (V) = 0; Р4 F2N- 1 (V) + F2N (V) = 0.

Таким образом, матрица системы (8) является трехдиагональной, порядка 2N + 1, и имеет вид

1 Р1 0 0 0

Р2 1 Рз 0 0

0 Рз 1 Р2 0

00 Р2 1 Рз

0 0 0 Рз 1

Р2.

0 0 0 0 0

(9)

0

.. Р 2 .0

1

Р4

Рз 1

0

Структура матрицы (9) нерегулярна только вследствие наличия в первой строке элемента Р1, а в последней строке - элемента Р4. Детерминант D2N + 1 этой матрицы можно разложить по паре элементов

первой и затем последней строки. Введем обозначения D(^p^-Ip2'>,

D(2 N3- 2з), D(2 12-р2), D(2 12-Рз) для регулярных детерминантов соответствующих порядков, у которых боковые диагонали начинаются с элементов Рз (р2), и заканчиваются элементом р2 (Рз). Тогда

D2N + 1 = D2N3-Р2) -Р4Рз D(2PN3lР13) -Р1Р2 D^NN2-^2) + Р1Р2РзР4D2N2-Рз). (™)

Прошедшее поле. Из последнего равенства (3) следует выражение Цж +1 (V, 2) = £ж +1(у) е~Ш0(у) 2 для образа Фурье прошедшего поля, а с учетом последнего равенства в (6):

U2N +1(4 2) = F2N (V) е - / а0(У)( 2 + т>.

При этом, F2N (V) как решение алгебраической системы (8) выписывается в виде

. . А ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ' . . . 0 1 0 Р4 0

Если раскрыть определитель в числителе по элементам последнего столбца, то оставшийся определитель порядка 2N станет определителем треугольной матрицы и легко вычисляется в виде (р2 рз)1 - 1 р2 р4.

Следовательно, F2N (V) = А0 D2-N+1 (У)(р2 Рз)1 - рР4. В свою очередь,

U2N +1(4 2) = А0 (V)D-N + 1^)(рз)11 - 1^2)ЛР4е -/а0(у)(2 + т). (11)

Само прошедшее поле и21+1(у, 2) определяется через обратное преобразование Фурье в виде

( V) = D2N + 1( ^

1 Р1 0 0 0 0

Р2 1 Рз 0 0 0

0 Рз 1 Р2 0 0

0 0 Р2 1 Рз 0

0 0 0 Рз 1 Р2

Р2 0

UN +i(y, Z) = ' f A0(V)PN (V)PN"1(V)P4(V) в_«ОСv)(z+ND^ . (12)

D2N+1(V)

TT л Za 0

sin o1( V)d15 (V + &0cos a)

И так как A0 = -; содержит 5-

io0(V)sin o1(V)d1 _ o1(V)cos o1(V)d1

функцию, окончательное выражение для прошедшего поля примет вид

U

2 N+1

(У, z) =

_ ik0 sin a sin CTl(a)d1pN (a)p3N - 1(a)p4(a)e-ík°(ycosa+(z+ND)sina) . (13) D2n+1(a)[ik0sin a sin a1(a)d1 - a1(a)cos a1(a)d1]

З ^(a) a2(a)

Здесь p2 = /-——, рз = ,2———, т. е., прежние вы-

q(a )sin a1(a )d1 q(a)sin a 2(a)d2

ражения для этих величин, в которых v заменяется на - k0 cosa, в соответствии с аргументом 5-функции.

Воспользуемся теперь выражением (10) для детерминанта D2 N+1 (a),

и вынесем из каждой строки каждого из детерминантов правой части фактор -, учитывая, что они содержат лишь члены р2 или р3, а

q(a)

также то, что этот фактор не содержит сомножители р1, р4, входящие в (10). Получим вместо (10) следующее равенство:

D2n + 1(a) = -2Ñ1— D2N3_P2)(a), _ 2NN3_^23>(a),

q (a) q (a)

p1P2 D(P2, P2)(a) + p1p2p3p4 D(P2, P3)(a) 2N_U \ D2N_2 (a), + 2N_ 1t ч D2N_3 (a)-

q (a) q (a)

(14)

„ _ a2(a) a1(a) ñ

Здесь р2 =-^—, р3 =-^—, а D означает, что у каждого

sin a2(a)d2 sin a1(a)d1

такого детерминанта на боковых диагоналях присутствуют лишь члены вида р2, р3 (без q(a) в знаменателе), а на главной диагонали q(a) (вместо 1). Вынося также 2N1- из произведения (р2)N - (р3)N в числи-

q - (a)

теле выражения (13) и заменяя его на (рр3 )N - 1(рр2 )N, получим, после сокращения

М21 +1(у, 2) =

■ 1 /- \ 1 / -1/ \ / \ -/к0(усоБа + (z+ND)sinа)

/к0 sinаsinа1(а)а1 р2 (а)рз (а)р4(а)е ^ ; ;

D2N+1(а)[/к0Бт а sin а1(а )ё1 - а1(а)соБ а1(а)^1]

(15)

вместо (13), и равенство

D2N+1 (а) = D21з-Р2) (а) - Р4 Рз D2Г (а), - р ~р2 /)2Г Г (а) +

(Рз, Рз),

иР2, Р2),

"Р1Р2Р3Р4 ^^2^2-3р3)(а)

(16)

вместо (10).

Детерминант D2N+1 (а) можно вычислить в замкнутой форме

лишь при диагональных элементах, равных нулю. Это означает, что параметры структуры должны быть выбраны так, чтобы д(а) = 0, т. е. должно быть выполнено равенство

[

а1(а )

+

а2(а)

1-а^а )ё1 1-а2(а )ё2

] = 0.

(17)

Здесь а1(а) = ^к12 - к0 соб2а , а2(а) = -^к^ - к0 соб2а . Тогда имеем для детерминанта

^2 И3:Р2)(а) =

0 р з 0 0 0 Рз 0 рз 2 0 0 0 Р 2 0 р з 0

= /4 Л(^ Р2) = _ з6 /Л(Р3, Р2) = р3 D2 N - 5 р3 D2 N - 7

0 р 3 0 р 2 0 0 р 2 0

к /2к Г)(^ /2) . . ( -1)кр3 D2N - (2к +1)

= 32 П(^ /2) = - р3 D2 N - 3

Причем D (з/3, Р2)

0, т. е. D2N3_f2)(а) = 0. То же

0 р з 0

рз 0 р2

0 Р 2 0

самое справедливо и для l^2^:зз) (а). Следовательно, формула (16) сокращается до

D2N+1 (а) = - /4рз ^2Цз-^з)(а), - /1 р2 ^2И2-Р2)(а), (18)

для двух оставшихся детерминантов получим по индукции

О(Р3, = _ Р2 О(Рэ, Рэ) = ~4 О(Рэ, Рэ) = _ ~6 А(Рз, Рз)

2N _ 2 (а) Рз _ 4 Рз _ 6 Рз _ 8

= ( _1)кРз2"Г2 Рз к +1) = . . . = ( - 1 ¿Г' ^ (а)

2(N _ 1)

так как

0(й, Рз) = _

-2(N _ 1)

Аналогично Г>2 (а) = ( 1 Р2 (а). Окончательно из

равенства (18) следует

Г2N +1 (а) = ( _1ЙР4Рз2N_1 + Р1 Р22* _ 1].

-2N _ 1 -

(19)

Соответствующее явное выражение для прошедшего поля имеет вид

U2N +1(у, г) = (_1)

N

¡к0 бш а бш о1 (а)ё1 рР2^ (а)Р1(а)р4 (а)е

-г^о( у 008 а + ( г+N0)8^ а)

Р4 Р2N _1 + Р1Р2N _ 1

[/к0 sin а sin о1 (а )ё1 _ а1(а) соб а 1 (а)^1 ]

Разделив числитель и знаменатель на (Рз^( Р2)^ приведем это равенство к виду

U2N +1(у, г) = (_1) х

1к0 sinаsinа1(а)^1 Р2(а)Р4(а)е

-гко( усоБа+(г+N0 )Бша)

. (20)

Р2 Р4

Г РзЛ

N

V Р2 J

+ Р1Рз

V Рз J

[/к0 sin аsin о1 (а)^1 _о1 (а)соБ о1 (а)^1 ]

Заметим, что

' РзЛ

V Р2 J

N

а1(а )ё1 sin а2(а)ё2 бш а1(а )ё1 а2(а)ё2

N , ^N ( ¿2 ^

V а1 J

. Пове-

бш X

дение функции- на интервале [0, л] (монотонно убывает от 1 до

X

Рз Р?

0) позволяет утверждать, что либо —^, либо —2 меньше 1. Следова-

Р2 Рз

тельно, при N ^ да знаменатель в (20) стремится к да. Выражение (20)

X

X

X

можно привести к более симметричному виду, если подставить явные выражения для р1(а) рз (а), и для р4 (а) р2 (а):

U2N+1 (y, ^) = (-l)N X

( ñ Y

X iko sin а e-^(ycosa+(z+ND)sina)[ik0 sin а SÍn d (a)¿i - d (a) COS CTi (g)dl P3_

sin ai (a)di l p2

+

ik0 sin а sin a2 (a)d2 - a2 (a) cos a2 (a)d2

sin a2(a)d 2

* I r1

v P з )

Используя равенство (17) в виде a1(a)ctg a1(a)d1 = -a2 (a)ctg a2 (a)d2, приведем его к виду

U2N+l(y, Z) = (-1)

N

ik0 sin ae

- ik o (ycosa + (z + ND )sina)

ik 0sina

N

N

P2 + P 3

lP3 ) lP 2 )

+ a 1(a)ctga 1(a)d j

\N

P2 P3

lP 3 ) lp2 )

(21)

Отраженное поле. Из (3) и (5) следует, что U0(v, z) = Ao(v) eiao(v)z = Fo(v)ela°(v)z - ^5 (v+ ko cosa) eia°(v)z. Из системы (8), аналогично предыдущему, получим

X

X

Fo (v)

1 P3 0 0 0 0 0

P3 1 P2 0 0 0 0

0 P2 1 P3 0 0 0

Ao( v)

D2 N +1( v) 0 0 P2 1 P3 0 0

0 0 P3 1 P2 0

0 0 0 P2 1 P3

0 0 0 0 P4 1

(2N)

1 p3 o o o o o

P3 1 p2 o o o o

o p2 1 p3 o o o

Ao( v)

D2 N +1( v) o o o o

o .... o p2 1 p3 o

o ... o o p3 1 p2

o ... o o o p2 1 (2N -1)

1 p3 o o o o o

P3 1 p2 o o o o

o p2 1 p3 o o o

Ao( v) p4( v) p3( v)

D2 N +1( v) o o o o

o o p3 1 p2 o

o o o p2 1 p3

o o o o p3 1 (2N

В более короткой записи:

,(p3 Р2)

SР3 Р3),

F (v) _ Ao(v)D(2N-1) (v) - A0 ( v) p4 ( v) p3 ( v) D(2N-2) (v)

F0(v)--ñ-7~\-

D2 N + 1( v)

(22)

т. е.

D (Р3' p2)(v)

d(2N-1) (v)

Uo (v, z) _ Ao (v) ~2N +

D(2N D2 N + 1( v)

D2 N + 1( v) °o(v) z

-Ao (v)>

p4( v) p3( v) D(2pN'-p23))( v) iO0(v) z

x e

(v + Jocosa) e¿ a°( v) z.

(23)

Применяя к (23) обратное преобразование Фурье и учитывая, что z'ao( v)>/2"rc sin о1( v)d15 (v + kocos a)

Ao (v)

z'ao( v)sin o1( v)d1 - o1( v)cos o1( v)d1

получим

Uo(y, z) =

ikp sinasinü1(g[Р^-у (a)~)Рэ(а)P(2N__)]_ [ik0 sin a sin a1 (a)d1 _ a1 (a)cosa1 (a )d1 ]D2 N+1(a)

x (24)

_ iko(y cos a _ zsin a)

x e

Далее, как и прежде, выносим фактор - из детерминантов и

q(a)

сомножителем числителя и знаменателя:

Р2 N + 1(a) = 2N V ) P2N + 1(a) (фоРмУла (14)); pÍN^V) q (a)

1 Р (Р3 P2)(a). n(P3, Р3)( ) = 1 PÍP3 P3)( ); p (a)

2N _ n(2N _1) (a); n(2N_ 2) (a) 2N _ 2( ч n(2N_ 2) (a); p3(a)

q2 N _ Xa) ' q2 N _ 2(a)

—í— pP 3 (a). Тогда,

q(a)

Uo(y, z) =

ik0 sin a sin a1(a)d1[nn((2p3_jp)2) (a) _ P4(a) p3 (a) P((2PN_23)V)] , J (2^)

[ik0 sin a sin ai (a)di _ ai (a) cos ai (a)di ]Р2N +1 (a)

-iko( ycos a _ zsin a)

_1

xe

Если q(a) ^ 0, то P^V) ^0, а P^N-p^a) ^(_1)N - 1 p2(N 1) (a). Получим, вместо (25)

ik0sin a sin a1(a )d1 p4(a) p3 (a)(_1)

u0( y, z ) = I--=--1 f x

[ik0sina sina1(a)d1 _a1(a)cosa1(a)d1]P)2N+1(a) | (26)

_ik)( ycosa_ zsina)

x e

После подстановки P2N + 1(a) в знаменатель в виде (19), получим

U0(y,z)=

I ik0 sin a sin ai(a)di p4(a) p3N_'(a) J (27)

J[ik0sin a sin ai (a) di _ai(a)cos ai(a)di][ p4(a) p-^^a) + pi(a) p2N_1(a)] J

x e_ ik0( ycos a_ zsin a)

Условия обращения в ноль фактора я(а). Фактор д(а), равенство которого нулю позволяет выписать прошедшее и отраженное поля в явном виде, имеет вид

д(а)

ст1(а) + ст2(а)

(28)

Обратить в ноль это выражение проще всего, потребовав выполнения равенств

г§01(а)^1 = (а)ё2 = да. (29)

Отсюда следует, что а1(а)^1 = к (п + 1/2); ст2 (а)ё2 = к (т + 1/2). В более подробной записи:

ш

■у/8!"

,2

- 8 о 81И а а1 =

ё1 = к (п + 1/2); ш -^82 - 80 з1и2 а ё2 = к (т + 1/2). (30)

_ р2 ст,(а)

Отметим, что при п = т, = —;-, в силу (30), и равно —т. е.

Рз ст2(а)

ё,

Р2 = ст1(а) =

р3 ст2(а) ё1

(31)

С учетом (31), а также соотношений (30), выражения для прошедшего и отраженного полей примут наиболее простой вид

и2М+1^ *) = (-1)

N е

-гко (уоо8 а + (* + N.D)s1nа)

( Л \ Л \

¿2

V ё 1 J

V ё 2 J

(32)

ио( У, *) = ■

Р4(а) Р32 N - 1(а)

[ Р4(а) Р32 N - 1(а) + р1(а) Р22 N - 1(а)]

-х

х е

-гко(уео8а - а)

Так как при выполнении равенств (30), (31) и при п = т, р4 ст2(у) , = °1(у)

р1 = -п, предыдущее равенство можно

ш0(у) (-1Г '■СТ0(у)(-1)

упростить до

и0(У, 2) =

а2(а)

а2(а) +а!(а)

г РМЛ

V Р3(а) У

2 N-1

-1

-г^о(У со8а - 2 а)

или, применяя соотношения, (31)

и0( У,2) =

1 ^

+V —1 У

2 N

- 1

-гко(уео8а - а)

(33)

Сравнивая выражения (32) и (33), видим, что для того, чтобы поле и2^+1(у, 2) было предельно малым по амплитуде, а поле и0(у, 2) сколь угодно близким к падающей плоской волне с обратным знаком,

отношение —2— должно быть больше единицы: — > 1. Это дает воз-—1 —1 можность использовать данный тип фотонного кристалла как отражающую поверхность с ничтожными потерями.

Если поменять местами толщины слоев —1 и —2, т. е. сделать их

—2

отношение меньшим единицы: < 1, то при увеличении числа сло-

—1

ев N прошедшее поле и2^+1(у, 2) по-прежнему стремится к нулю, но и отраженное поле в этом случае также стремится к нулю (см. (33)). Фотоный кристалл становится волноведущей структурой, когда втягивает падающее поле внутрь себя и обладает ничтожными потерями при достаточно большом значении N, не говоря о том, что по сравнению с металлическими волноводами такая структура существенно экономит на весе и стоимости устройства.

Численные расчеты. Элементарные расчеты показывают, что

при изменении отношения — с 0,5 до 2 свойства фотонного кри-

—2

сталла меняются от практически идеального отражателя, до волнове-

—1

дущей структуры. При —- = 0,5 модуль амплитуды отраженного по-

—2

ля равен 1 уже при N = 3, 4, а модуль амплитуды прошедшего поля -

7 —14

величина порядка 10— при N = 5, и 10 при N = 10. —1

При —- = 2 модуль амплитуды отраженного поля является вели-—2

—5 —7

чиной порядка 10 при N = 7, 8, и 10 при N = 10. Модуль амплиту-

ды прошедшего поля меняется медленнее, и является величиной 10

при N = 10. Разумеется, если отношение — >2 то убывание про-

й2

шедшего поля с ростом числа слоев будет происходить быстрее.

На рис 2 и 3 представлены диаграммы поведения модуля амплитуды отраженного и прошедшего полей при различных значениях

й ЛГ

—1- и разном числе N слоев структуры. й2

Отраженная волна

1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 ОД 0

0,5 0,45 Ъ 0,4 ? 0,35 | 0,3

I

£ 0,2

5 0,15 о

г од

0,05

г •о Л

\\\\

\чл ^ •••

V 4 ^

-N=1

....... N=2

- -N=3 • - N=4

----N=5

-N=6

0,00

0,50

1,00 с*1/с)2

1,50

2,00

Рис. 2. Модуль амплитуды отраженной волны Прошедшая волна

/

/ ' /(/•■ ••' ' / Е Дч • 4.

/ •Л\ ч

/ • • \ \ • •л\\ 4 Ч N

/ / 77]!: • \ \ ч ч

/ 7' О. ^

/ ' (//■У

// • ...................*.* * '»тг

■N=1 N=2

---N=3

---N=4

-----N=5

■N=6

---N=7

0,00

0,50

1,00 с!1/с12

1,50

2,00

Рис. 3. Модуль амплитуды прошедшей волны

Выводы. В результате исследования можно сделать вывод, что одномерный конечный фотонный кристалл (с конечным числом ячеек периодичности) в зависимости от величины отношения — толщин одно-

й2

родных слоев, может вести себя либо как почти идеально отражающее зеркало, либо как волноведущая структура с ничтожными потерями.

ЛИТЕРАТУРА

[1] J.D. Joannopoulos, R.D. Meade, J.N. Winn. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton Univ. Press, 1995.

[2] Optical properties of photonic crystals Ed. By R. Sakoda, Berlin: SpringerVerlag, 2001 Yablonovitch E. Sci. American. 2001, no 12, P. 47.

[3] Боголюбов А.Н., Буткарев И.А., Дементьева Ю.С. Исследование распространения электромагнитных импульсов через фотонные кристаллические структуры. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3, Физ. Астрон., 2010, № 6, с. 3-8.

[4] Дементьева Ю.С. Синтез волноведущих систем на основе фотонных кристаллов. Вычислительные методы и программирование, 2011, т. 12, с. 375-378.

Статья поступила в редакцию 27.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Апельцин В.Ф., Мозжорина Т.Ю. Одномерный фотонный кристалл как отражающая или волноведущая диэлектрическая структура. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 9. URL: http://engjournal.ru/catalog/ mathmodel/hidden/966.html

Апельцин Виктор Филиппович родился в 1944 г. Окончил Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова в 1968 г. Канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор около 80 научных работ в области численных и аналитических методов исследования краевых задач электродинамики. е-mail: vapeltsin@hotmail.com.

Мозжорина Татьяна Юрьевна, родилась в 1959 г., окончила в 1982 г. МАИ. К.т.н., доцент кафедры "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 15 научных работ в области моделирования характеристик ГТД, моделирования полета пассажирских самолетов, оптимизации СУ в системе ЛА. e-mail: mozzhorina@mail.ru.