Свойства одномерного фотонного кристалла как отражающей или волноведущей структуры в случае H-поляризованного возбуждения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.876.4: 517.958

Свойства одномерного фотонного кристалла как отражающей или волноведущей структуры в случае ^-поляризованного возбуждения

© В.Ф. Апельцин, Т.Ю. Мозжорина МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрена двумерная краевая задача о прохождении плоской электромагнитной волны через периодическую слоистую среду, имеющую структуру одномерного фотонного кристалла. Структура имеет конечное число плоскопараллельных слоев, в которой каждая ячейка периодичности состоит из двух слоев с разными действительными значениями постоянной диэлектрической проницаемости и разными толщинами. Показано, что при некотором дополнительном условии, связывающем угол падения плоской волны, толщины слоев, частоту и диэлектрические проницаемости слоев, задача решается до конца в явном виде и приводит к простым выражениям для отраженного от структуры и прошедшего сквозь нее волновых полей. При этом в случае Н-поляризованного поля, в отличие от случая Е-поля-ризации, свойства данной среды зависят от отношения толщин слоев, умноженных на их диэлектрические проницаемости (при Е-поляризации — только от отношения толщин). В результате фотонный кристалл в зависимости от частоты поля может вести себя как идеально отражающая структура при тех же отношениях толщин слоев, при которых в случае Е-поляризации он становится волноведущей структурой, и наоборот. Произведено сравнение численных расчетов со случаем Е-поляризации.

Ключевые слова: фотонный кристалл, плоскопараллельный слой, однородный диэлектрик, плоская волна, идеальный отражатель, волновод без потерь.

Введение. В работе [1] приведены результаты исследования одномерного фотонного кристалла, состоящего из N ячеек периодичности, при его облучении полем Е-поляризованной плоской волны. Под фотонным кристаллом подразумевают среду с периодической структурой, состоящей из ячеек постоянных значений диэлектрической проницаемости. Такая среда может быть трехмерной [2, 3], двумерной или одномерной. В одномерном случае — это бесконечная последовательность плоскопараллельных слоев из однородного диэлектрика, причем каждая ячейка периодичности состоит из двух слоев разной толщины и разных значений постоянной диэлектрической проницаемости.

В последние годы исследованию электродинамических и оптических свойств таких структур посвящено значительное число публикаций [2-5]. Если такая среда бесконечна, то она обладает строго фиксированными частотными полосами пропускания электромагнитной волны или, наоборот, полосами запирания энергии поля внутри структуры. Эти свойства, как следует из ряда работ, являются следствием теоремы Блоха и того, что волновое поле удовлетворяет в такой структуре условиям Флоке.

В случае практического применения этих свойств необходимо, разумеется, создавать такие структуры с большим, но конечным числом ячеек периодичности, для которых эта теория уже не справедлива. Однако и в конечном случае такие структуры должны обладать свойствами близкими к бесконечным, если число ячеек достаточно велико. Наиболее естественный метод теоретического исследования этих свойств подразумевает численные методы математического моделирования [6], что и делается в большинстве работ этого направления [7, 8].

В данной работе приведен аналитический подход к решению подобной задачи в случае одномерного фотонного кристалла с конечным числом слоев N, возбуждаемого ^-поляризованной плоской волной. Аналогично случаю ^-поляризованного возбуждения, рассмотренного в [1], удается выписать явное решение для прошедшего через структуру и отраженного от нее волновых полей, если потребовать выполнения некоторого необременительного дополнительного условия, связывающего диэлектрические проницаемости слоев ячейки периодичности и их толщины. В результате все практически важные физические свойства структуры становятся наглядными и обозримыми.

Постановка задачи и система уравнений для Фурье-образов решения. Пусть в области декартовых координат (у, г) при г < 0 расположена многослойная среда с плоскими параллельными границами раздела, причем слои имеют периодичность по толщине и значению диэлектрической проницаемости в. Элемент периодичности является двухслойной плоской полосой с толщинами слоев й1 и й2, общей толщиной Б = й1 + и с диэлектрическими проницаемостями в1 и в2. Среда содержит N элементов периодичности. Общее число слоев — 2N (рис. 1).

г А

ЕО

£2

(ЛО ——

\}d2

--(N-1)D

El

--ND

<ч>

Рис. 1. Одномерный фотонный кристалл с N слоями Структура возбуждается плоской волной w(0) (у, zj =

-iko(y cos а+z sin aj r

= е v ', присутствующей в области z > 0 выше структу-

ры. Здесь же присутствует поле щ (y, zj, отраженное от структуры и подлежащее определению. В области z < - ND присутствует про-

шедшее поле и2+1 (у, 2), также подлежащее определению. Рассматривается случай Н-поляризации (единственная компонента магнитного поля, отличная от нуля, Нх = и(у, г)). ) В каждой области постоянства в возбуждаемое поле Uj (у, г), у = 0, ..., 2N +1, удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца:

На границах раздела свойств однородных сред ставятся условия сшивания значений полей и их производных по г, соответствующие

ди у ди +1

случаю Н-поляризации (и у = Нх ): и у = и у+1, —— = —-—. Первая

в у д г в у+1 д г

группа условий удовлетворяется введением 2N + 1 произвольных неизвестных функций /у (у), подчиненных условиям:

Ли(0)(у, г) + к02и(0) = 0;

^0 (у, г) + кЦи0 = 0; Ли1(у, г) + к^щ = 0; Ли2(у, г) + к2и2 = 0;

Лиз(у, г) + к2из = 0;

Ли4 (у, г) + к2и = 0;

(1)

Ли2N-1(У, г) + к1и2N-1 = 0;

Ли2N (у, г) + к2иN = 0;

Ли2N+1 (У, г) + к0 и2N+1 = 0.

и(0) (у, 0) + и0 (у, 0) = /0 (у);

и1 (y, 0) = /0 (у); и1 (y, = /1 (у); и2 (У, ^1) = /1 (у); и2 (^ -П) = /2 (у); из (у, -П) = /2 (у);

(2)

из (y, -П ) = /3 (у);

и4 (у, -2П) = /4 (у);

U2N (y, - (N- 1) D - di) = f2N- 1 (y); (2)

U2N (y, - ND) = fm (y);

U2N + 1 (y, - ND) = f2N (y).

Дальнейшее рассмотрение удобно проводить для образов Фурье-решений в каждом слое.

Если v — спектральный параметр преобразования Фурье по y, то решения уравнений (1) для образов Uj (v, z), в каждом слое запишутся в виде

Uo (v, z) = Ao (v)e^o(v>z;

U1 (v, z) = A1(v) el °1( v) z + B1(v) e"г °1(v) z;

U2 (v, z) = A2(v) el °2(v) z + B2(v) e"г °2( v} z;

U3 (v, z) = A3(v) e^1(v) z + B3(v) e"^1(v) z; (3)

U4 (v, z) = A4(v) el°2(v)z + B4(v)e"г°2(v}z;

U2N-1 (v, z) = A2N-1 (v) e^1(v) z + B2N-1 (v) e"¿ °1(v) z; U2N(v, z) = A2N (v)ё°2(v)z + B2N(v) e"г°2(v)z; U2N+1(v, z) = B2N +1(v) e"<°0(v>z,

где a0 (v) = -yjko - v2; o1, 2 (v) = ^k22 - v2, а краевые условия (2) для образов примут вид:

Uo (v, 0) + -yjlñ 5 (v + ko cosa) = Fo (v);

U1 (v, o) = Fo (v);

U1 (v, - d1) = F1(v);

U2 (v, - d1) = F1(v);

U2 (v, - D) = F2 (v);

Uj(v, - D) = F2 (v);

U3 (v, - D - d1) = F3 (v);

U4 (v, - D - d1) = F3 (v);

U4 (v, - 2D) = F4 (v);

Un (v, - (N- 1)D - di) = F2N-1 (v); (4)

U2N (v, -ND) = F2N (v); U2N + i (v, -ND) = F2n (v),

где Fj (v) — образы Фурье-функций f j (y) в (2).

Используя (3), краевые условия (4) можно разбить на пары уравнений, из которых однозначно определяются неизвестные амплитуды Aj (v), Bj (v) через функции Fj (v) (пока также неизвестные):

A0 (v) + ^Jlñ 5 (v + k0 cosa ) = F0 (v); Ai(v) + Bi(v) = Fo (v); Ai(v) e -i °l(v) di + Bi(v) ei °l(v) dl = Fi(v); A2(v) e -i °2(v) di + B2(v) ei °2(v) di = Fi (v); A2 (v) e-i°2(v)D + B2 (v) e i°2(v)D = F2(v); A3(v)e -i°i(v)D + B3(v)e i°i(v)D = F2 (v);

A3 (v) e -i°i(v)(D+ di) + B3 (v) ei0i(v)(D+ di) = F3(v); (5)

A4 (v) e -i°2(v)(D+di) + B4 (v) e i°2(v)(D + di) = F3 (v); A4 (v) e -i°2(v)2D + B4 (v)e i°2(v)2D = F4 (v); A5 (v) e -i°i(v)2D + B5 (v)ei°i(v)2D = F4 (v); A5 (v) e -i °i(v )(2D + di) + B5 (v) ei °i(v )(2D + di) = F5 (v);

А^м (V) е ^)[(N -1) П + ¿1] + B2N (V) е' °2( v)[(N -1) П+= _ 1 (у); ^ (V) е °2(у)Ш + B2N(V)е '°2(у= F2N(у); B2N + 1 (V) е' у) т = F2N (V) .

Решив эти парные системы и два крайних одинарных уравнения, получим общее представление коэффициентов Ау (V), Ву (V) через Ру

(V) для четных и нечетных значений индекса у:

А2й + l(v) = е'^) пп ^- +1(V); (6)

2/8т 0^)^

■ ( ) D F2n+1(v) " F2n (v)e C1(v)d1 B2n + 1(v) = e"'°1(v)nD _í.+1W 2nV '

2isin a1 (v)d1

n = o, ..., N - 1;

77 2(v )D 17 U,\J ° 2(v )d1

An(v) = el°2(v)(n" 1)d F2n-1(v)e-" (v)e-; (6)

2/'sin a2(v)d2

B2n (v) = e"'°2'v)(n" 1)d F^"'°2(vW1 "F-" 1<v)e""2(v,D

2isin g2 (v)d2

N = 1, ..., N;

Ao (v) = Fo (v) (v + ko cosa); B2n + 1(v) = Fm (v) e "'°o(v) ND

Теперь можно выписать единообразные выражения для образов Фурье Uj (v, z) всех полей (кроме отраженного Uo (v, z) и прошедшего U2N +1(v, z)):

F (v)e'°2(v)D " F (\>)p °2(v)d1

U2n (v, z) = e ' ^2(v)(n " 1) D Г2п - __ e i ^2(v) z +

2isin a2 (v)d2

■ ( )( 1)D F2n (v)e"ia2(v)d1 "Fln" 1 (v)e"iC2(v)D ■

+ e "i°2(v)(n " 1)D 2n v '_2n 1 v '_ e "i°2(v)z .

2isin a2 (v)d2

U*- 1 (v, z) = e '«1(v)(n " 1)D F."2(v)e'°1(v)d1 "F2."1(v) e i4(v>z +

2isin a1 (v)d1

F ( ) F ( ) ° 1(v)d1

+ e "' a1(v)(n " 1) D F2n "U^ " F2n " 2 (v)e_ e " i CT1(v) z

2i sin a1(v)d1 n = 1, ..., N.

Систему уравнений для определения неизвестных Fj (v) получим, используя вторую половину краевых условий на границах слоев. Приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений, из которых неоднородно только первое:

i ü°(v) sinü1(v) d1 " Ü1(v) cos 51(n)d1

Fo(v) + F1(v) =

So 61

= iüo(v) sina1(v) d15(v + ko cosa);

o

81 зт а^ а2(^

Ро (V) -[

Gl(v)

а2 С^О

+

82 81и a2(v)d2 а 2^ )

8^ а^^ В21§ 02^)^2 Р2 (V) = 0;

Fl (V)

8 2 81и О 2 (V ^2

а1М

а2М

+

81 вт а^

а1м

Fl(v) -

8^ а^М 821§ а2(v)d2

Рз (V) = 0;

Р2 (V)

81 вт а^ а2(^

Р2(V) -

а1м

а2 С^О

+

82 81и а2(v)d2

8^ а^М 821§ а2(v)d2

Р4 (V) = 0;

Рз(V)+

(7)

а1М

81 вт а1(v а2(v)

+

82 вт а2(v)d2 а 2 (v )

F2N - 2 (V) -F2N (V) = 0;

а0(^ + _ а2М

80 821§ а2(v)d2

F2N - 1^) +

8 2 81и а 2 (V У2

2N — 1

(V) -

821§ а2(v)d2

F2N (V) = 0.

Матрица системы (7) имеет почти регулярную структуру, за исключением первой и последней строки. Систему (7) можно переписать в более компактной форме, если поделить все уравнения на элементы главной диагонали. Введя обозначение

д(\0 =

а2 С^)

8^ а^)^ 821§ а2

получим

Fо(v) + -

_а1(v)_

' — а0(v)sin а^^ - а^^ов а^^

80

га0 sin а1 (v)d18(v + к0 сов а)

'а0 ^^п а1 ^^ - — а1 (V) сов а1 ^^

81

=

(8)

а1^ )

а1(v) d1

а 2(v) 8 2 д (v)sin а 2 (V 2

а1(v)

а1(v) d1

а1^)

а1(v) d1

а2(v)

Fо (V) + Fl (V) + Fl(v) + F1 (V) + F2 (V) + Fз (V) +

82 д (V) sin а2(v) d 2

а1(^ 81g(v)sin а1(v) d1

а2(^

8 2 g(v) sin а 2 (V) d2

+

8 2 д^ ^т а 2(v) d2 а 2 (v)

,-82_,Д а2М

F2 (V) = 0; Fз (V) = 0; F4 (V) = 0;

F2N — 2 (V) + F2N - 1 (V) + (8)

F2N (V) = 0;

F2N- 1^) + F2N (V) = 0.

'— а0(v) -80 tg а2(v)d2

sin 2

В еще более компактной форме систему (8) можно записать, если ввести дополнительные обозначения:

А0 =

Р1 :

'а0 (V)л/2л sin а1 (V)d15(v + к0 cos а)

'а 0(v ^т а1(v)d1 - — а1(v )cos а^) d1 81

_а1 М_

8

г —а0 ^^т а1 (v)d1 - а1 (V) cos а1 (v)d1

80

Р 2

Рз

а1М

Р4

81д (v)sin а1(v) d1

. а2(^

8 2 д (фт а2(v)d 2

а2(v)

V82_ л л а2(v)

'— а0^) -

8 0 tgа

sin а2(v) d 2

Fо (V) + р^1 (V) = А0;

Р2 Fo (v) + Fi(v) + Рз F2 (v) = 0; Рз Fi(v) + F2 (v) + Р2 F3 (v) = 0; Р2 F2 (v) + F3 (v) + рз F4(v) = 0;

Р2 F2N _ 2 (v) + F2N — 1 (v) + Рз F2N (v) = 0;

Р4 F2N — l( v ) + F2N (v) = 0.

Таким образом, матрица системы (8) является трехдиагональной, порядка 2N + 1 и имеет вид

1 Р1 0 0 0

Р2 1 Рз 0 0

0 Рз 1 Р2 0

0 0 Р2 1 Рз

0 0 0 Рз 1

0 ... Р2 0 ... 0

Структура матрицы (9) нерегулярна только из-за наличия в первой строке элемента Р1, а в последней строке — элемента Р4 . Детерминант D2N+1 этой матрицы можно разложить по паре элементов первой и затем последней строки. Введем обозначения D^N^P'*,

d2^-Рз), D2^Р2), d2§2_Рз) для регулярных детерминантов соответствующих порядков, у которых боковые диагонали начинаются с элементов Рз (Р2) и заканчиваются элементом Р2 (Р3). Тогда

D2N +1 = D2^Р2) Р4Рз D2^ ",Р1 Р2 D2N2^ +

+ Р1Р2Рз Р4 D2зРз ). (10)

Прошедшее поле. Из последнего равенства (з) следует выражение U2N +1(v, z) = B2N +1(v) e _ '0 0(v) z для образа Фурье прошедшего поля, а с учетом последнего равенства (6) имеем U2N +1(v, z) = = F2N (v) e _ г'°°(уНz + ND ). При этом F2N (v) как решение алгебраической системы (8) принимает вид

Р2 ..

0 0 0 0 0

1

Р4

Рз 1

(9)

F2N (V)

= D"N + i(v)

1 P1 0 0 0 0

P2 1 Рз 0 0 0

0 Рз 1 Р2 0 0

0 0 Р2 1 Рз 0

0 0 0 Рз 1 Р2

Р2 0

1

Р4

Ao О О О О О О О

Если раскрыть определитель в числителе по элементам последнего столбца, то оставшийся определитель порядка 2Ы станет определителем треугольной матрицы и легко вычисляется в виде (р2 р3) N 1

Р2Р4. Следовательно, F2N (V) = А0 +1(v)(Р2 Рз^ ~ Р Р4. В свою

очередь,

U2N +l(v, 2) = А0 (V) + l(v)(pз)N - 1 (Р2) " Р4 е - 'а0( 2 + ^). (11)

Само прошедшее поле и2ы +1 (у, 2) выписывается через обратное преобразование Фурье в виде

и2N+1(У, 2) =

N-1,

1= Г A0(v)P2 (v)Рз ~ (v)P4(v) iOo(v)(z + ND)eivydv 2- J D2n+i(v) '

(12)

. ia0 (vW2- sin a1( v)d15( v + k0cos a) и так как A0 = А0 =- содержит

ia0 (v)sin a1 (v)d1--0 a1 (v) cos a1 (v)d1

S1

5-функцию, окончательное выражение для прошедшего поля примет вид

U2N +1(У, Z) =

ik0 sin a sin a1(a)d1 pN (a) p3N "1(a) p4(a) e"ik0 (ycos a+( z+ND)sin a

D

2 N + 1

(a)

ik0 sin a sin a1 (a)d1 —0 a1 (a) cos a1 (a)d1

(13)

Здесь p2 = -^-; p3 =-^-, т. е. прежние

s1g(a) sin а1 (a)d1 s2 q(a) sin а2 (a)d 2

выражения для этих величин, в которых v заменяется на -k0 cosa в соответствии с аргументом 5-функции.

Воспользуемся теперь выражением (10) для детерминанта +1 (a) и вынесем из каждой строки каждого из детерминантов правой

части фактор —1—, учитывая, что они содержат лишь члены p2 или

q(a)

p3, а также то, что этот фактор не содержат сомножители p1, p4, входящие в (10). Получим вместо (10) равенство

D (a) - 1 ñ(ps, p2)(a) p4p 3 t\(p3, p3)(a)

D2N+1 (a) - q2^ ^ (a) - q2^ °2N-2 (a) -

p1p2 D(p2'p2) (a) + p1p2p3p4 D(p2, p3)(a) (14)

" D2N-2 (a) + q2N-1(a) D2N-3 (a). (14)

_ ^(a) ^(a) ^

Здесь p3 - -. -; p2 - -. -, а D означает, что у

s2sin a2(a)d 2 s1 sin a1(a)d1

каждого такого детерминанта на боковых диагоналях присутствуют лишь члены вида p 2, p3 (без q(a) в знаменателе), а на главной диагонали q(a) (вместо 1). Вынося еще N11- из произведения

q 1(a)

(p3)N-1(p2)N в числителе выражения (13) и заменяя его на (p3)N-1( p2)N, после сокращения получим равенство

U2N+1(У, Z) -

ik0 sin a sin a1(a)d1 p N (a) p3N - 1(a) p4(a)e-iko (y cos a+(z+ND)sin a

ik0 sin a sin a1 (a)d1 —0 a1 (a) cos a1 (a)d1 61

(15)

D2 N + 1(a)

вместо (13) и равенство

Dn+1 (a)- DD2NN3-f2)(a) - p4 Ръ D2N3-23)(a) --p1 P2 DD2NN2-p2)(a) + p1 p2p3 p4 D2N2-?3) (a) (16)

вместо (10).

Детерминант ОN+1 (а) можно вычислить в замкнутой форме

лишь при диагональных элементах, равных нулю. Это означает, что параметры структуры должны быть выбраны так, чтобы д(а) = 0, т. е. должно быть выполнено равенство

а1( ^

а2 ( ^

8^1^^ 8 2tgа 2( v)d 2

= 0.

(17)

Здесь а1(а) = ; а 2(а) = -у/к^сора". Тогда для де-

терминанта имеем

(а) = О 2 ^(а) =

0 Р з 0 0 0 . . 0

Р з 0 Р 2 0 0 . . 0

0 Р 2 0 Р з 0 . . 0

0 Р з 0 0

0

Р 2

~2к

Р 2

0

= -Рз причем

з2= Р4О%зЛ2) =-Рз О^2^ ... (-1)кРз ^^+1)

0 Р з 0

О(зРз, Р2) = Р з 0 Р 2 = 0,

0 Р 2 0

т. е. О2 «1Р2) (а) = 0. То же самое справедливо и для О ^-Р^ (а). Следовательно, формула (16) сокращается до

О^+Ка) = - Р4Рз О^Ча) - Р1Р2 О^Ча), (18) для двух оставшихся детерминантов получим по индукции

/О(Рз, Рз)(а) = й2 /О(Рз, Рз) = й4 /О(Рз, Рз) = Р Г)(Рз,Рз) =

О2N - 2 (а) Рз D2N - 4 = Рз О2N - 6 Р О2N - 8 -

= = (-1)к Р2к ¿ж-Й +1) ы . Р2(N -1)

= - =( 1) Рз = ..= (-1) м - 1 ^^з (а),

так как £)(2Р3,Рз) = -рз. Совершенно аналогично Ё2д2-Р2) (а) N - 1 ъ2(N-!)

= (-1) (а). Окончательно из равенства (18) следует

Ё2 N+1 (а) = (-1)

N

ъ ) 2 N-1 + р ~ 2 N-1" р4 Р 3 + р1р 2

(19)

Соответствующее явное выражение для прошедшего поля имеет

вид

и2N+1( У, 2) = (-1)N х 1к0вт а 81п Ст1( аМ р N (а) р3^-1( а) р4( а)е-гк() (усо8 а+(2+^^ а)

р Р 2 N-1 + р ) 2 N-1

р4 р 3 + р1р 2

/к0з1п а э1п а1(а)^1 - — а1(а)соБ а1(а)^1 61

Разделив числитель и знаменатель на ((р3)N (р2)N, приведем это равенство к виду

^+1(У, 2) = (-1)N х /к^ш а 81п ах( а) р 2(а) р4( а)е" 'ко (усо8 а+(2+М3)81п а)

Р 2 Р4

Г ) \ р з

N

Р 2

Р1Р 3

^ Ъ > р 2

N

.Р 3

/к0 81п а 81п с^а^--с (а) со8 с (а)^!

61

Заметим, что

( ъ ^

РРк р 3 J

в2с1(а)^1 з1п с2(а)а 2

N' а ^N

з1п с1(а)а1 б1с2(а)а 2

а1

(20)

Поведение функции

Б1п х

х

на интервале [0, тс ] (монотонно убы-

р3 р 2

вает от 1 до 0) позволяет утверждать, что либо —, либо — меньше

р2 р3

1. Следовательно, при N ^ да знаменатель в (20) стремится к да. Выражение (20) можно привести к более симметричному виду, если подставить явные выражения для Р1(а) р3 (а) и для —4 (а) р2 (а):

^+1(У, 2) = (-1)N х

х

X

х ik0 sin a e

-iko(ycosa+ (z + ND )sina)

ik0 sin a sin a1 (a)dx - a1 (a) cos a1 (a)dx, л n

81

sin a1(a)d1

ik0 sin a sin a2 (a)d2 - — a2 (a) cos a2 (a)d2

82

Pb

v p 2j

+-

sin a2(a)d2

f P Л p 2

P3 J

N

-1

Используя равенство (17) в виде

82 a1(a)ctga1(a)d1 =-s1 a2 (a)ctg a2 (a)d2, приведем его к виду

u2N+1(У, z) = (-1)N х

ik0 sin a e- iko(ycosa +(z + ND)sina)

ik0sin a

N

N

р2 +

V P 3 J V P 2 J

81

-a1(a)ctga1(a)d1

N

N

]?2_

V P 3 J V P 2 J

(21)

Отраженное поле. Из (3) и (5) следует, что U0(v, z) = A)(v)eia0(v>z =

= F0 (v) ei a 0( v>z -Jin S(v + k0 cos a) ei a0( v>z. Из системы (8) аналогично предыдущему получим

F0 (v) =

Л( v)

D

2 N +1

(v)

1 Pl 0 0 0 0 0

Pl 1 P2 0 0 0 0

0 P2 1 Pl 0 0 0

0 0 P2 1 Pl 0 0

0 0 Pl 1 P2 0

0 0 0 P2 1 Pl

0 0 0 0 P4 1

(2N)

х

1 Р3 0 0 0 0 0

Р3 1 Р2 0 0 0 0

0 Р2 1 Р3 0 0 0

Л(у)

В2 N+1(у) 0 0 0 0

0 0 Р2 1 Р3 0

0 0 0 Р3 1 Р2

0 0 0 0 Р2 1

^ -1)

1 Р3 0 0 0 0 0

Р3 1 Р2 0 0 0 .. 0

0 Р2 1 Р3 0 0 .. 0

ЛС у) Р4( у) Р3(у) В N+1( У) 0 0 0 0

В более короткой записи

0 0 0

0 0

Р3 1 Р2 0

0 Р2 1 Р3

0 0 Р3 1

^ - 2)

Р 3, Р2)

( Р 3, Р 3)/

у)=

т. е.

Л(у)-Г (у) - Л(у)Р4(у)Р3(у)-23) (у) В2 N +1( у)

В(Р 3, Р2)( у) ^0(у, 2) = Л(у) В-1)((у)) ^С0(у)2 -

В2 N + 1(у)

_ Р4(у)Р3(у) Д^-Р3'(у) е,С0(у)2 _

В2 N+1(у)

(22)

-72к8(у + к0 соэ аУС0( у) 2.

(23)

Применив к (23) обратное преобразование Фурье и учитывая,

что

4>( у) = ■

/С0 з1п С1 ( у)^1 5( у + ^соз а)

/С0( у)з1п с1( у)а1 - — с1( у) соз с1( у)а1 61

0

получим

"о(У,z) =

ik0 sin a sin а^а)^

D

(P3, P2)

( P 3, P 3)/

(2N-1)

(а) - P4(a)Рз(а) D(2n-2) (a)

-1

> x

[ik0 sin а sin а1 (a)d —0 а1 (а) cos a1(a)d1 ] D2N+1 (а)

81

x e

-iko(ycosа - zsinа)

(24)

Далее, как и прежде, выносим фактор

сомножителей числителя и знаменателя:

1

q(a )

из детерминантов и

D2 N + 1(а) =

q2 N-1(а)

D(P3, P2) (а) = D(2N-1) (а)

D ( P 3, P 3)(а) _ D(2N-2) (а)

D2 n+1(а) (фоРмула (14)); 1 dd (P з, P2) (а).

D(2N-1) (а);

q2N - 1(а) 1

P3(a)

q 2 N - 2 (а ) 1

D ^Ла);

Тогда

q(a )

uo( У, z) =

(2N-2)

P3(a)-

ik0 sin a sin a1(a)d1 D((2pn3°-P1))(a) - P4(a)P3(a)DD((2P3,-P23)(a)

ik0 sin a sin a1 (a)d1 - 80 a1(a)cos a1 (a)d1 _ 81 _ D2 N + 1(a)

-1

> x

xe

- iko( ycos a- zsin a)

D^N'P^a) ^ 0, а

(2N-1)

Если q(a) ^ 0, то ^ (-1)N-1 P32(N- 1)(a). Вместо (25) получим

uo( У, z) =

ik0 sin a sin a1(a)d1 P4(a)P3N-1(a)(-1)N-1

(25)

ñ(pз,P3b ч ^ D(2N-2) (a) ^

ik0 sin a sin a1 (a)d1 —0 a1 (a) cos a1 (a)d1 e1

-1

D2 N + 1(a)

xe

- ik0( ycos a - zsin a)

(26)

1

После подстановки n +1(a) в знаменатель в виде (19) получим

"о( У,z) =

_ I ik0 sin a sin а1 (a)d1 p4 (a)N-1 (а) I x

I ~ab J

x e-iko(ycosa-zsinа) (27)

где а = ik0sin а sin a1(a)d1 -— a1(a)cos a1(a)d1; b = p4(a) p^N-1 x

61

x (a) + p1(a)p22N-1(a).

Условия обращения в нуль фактора q(a). Фактор q(a), равенство которого нулю позволяет выписать прошедшее и отраженное поля в явном виде, можно представить следующим образом:

q(a) _ °1(a) + °2(a) . (28)

S1tga1(a )d1 S2tga2(a)d 2

Обратить в ноль это выражение проще всего, потребовав выполнения равенства

tg ^(a )d _ tg ^2 (a)d2 _ (29)

Отсюда следует, что a1(a)d1 = к (n + 1/2); a2(a)d2 = к (m + 1/2). В более подробной записи:

- 80 sin2 a d1 _ p (n +1/2); 0)

® Vs2 - s0 sin2 a d2 _ p (m +1/2).

О P2 82^1(a) (30) 82d2

Отметим, что при n = m — = -, также, в силу (30), -,

Рз 81^2(a) 81d1

т. е.

P2 _ 82a) 82d2

Рз 81ü2( a) 6d

(з1)

С учетом этого равенства, а также соотношений (30) выражения для прошедшего и отраженного полей примут наиболее простой вид:

u2N+1( У, z ) _ (-1)

N

e

- ik0( ycos a+ (z+ND) sin a)

Г 82d 2 1N + Г N

81d 1 ) v82d2 )

(з2)

u0( У,z) =

P4(a) P 32 N -1(a)

P4(a) P 32 N-1(a) + P1( a) P 22 N-1(a)

— 1 l e-ik0(ycosa- zsina)

(32)

Это равенство упрощается до следующего:

1

u0( У, z) =

1 + PL

P4

f P 2( a) ^ N 1 V P 3(a) У

- 1

> e - ik0( y cos a-zsin a)

Так как при выполнении равенств (30), (31) и при n = m

80а 2(a)

P4 =■

P1 = P1 =

e2ik0 sin a (-1) 80a2(a)

n

81ik0 sin a(-1)

n

предыдущее равенство принимает вид

_1

u0( У, z) =

1+

A82<Í2 ^N V 81d1 У

-1

e-ik0( ycos a - zsin a)

(33)

Численные расчеты. Согласно условиям (30), при т = п = 0 диэлектрические проницаемости слоев должны составлять:

2

81 = 80 sin a +

к

4dfo

2ГЛ

• 2 к 82 = 80 sin a +

2

(34)

4dfra2 '

Тогда

2 2 2 2 81d2 = к + 4е0ш d1 sin a d2

e2d2 к2 + 4e0Q2df sin2 a d1

При численных расчетах будем рассматривать случай ортогонального падения плоской волны: a = к/ 2. Кроме того, удобно задавать фактор 4e0ra2d12 sin2 a, который обозначим через т2 (рис. 2, 3).

Рис. 2. Модуль амплитуды отраженной волны в зависимости от отношения ё1/ё2 при различном числе слоев для случая Е-поляризации

Рис. 3. Модуль амплитуды прошедшей волны в зависимости от отношения ёё2 при различном числе слоев для случая Е-поляризации

На графиках рис. 4- 15 представлены амплитуды отраженного и прошедшего полей для отношения ё 2 = 0,5... 2,0 при разных N для последовательных значений т = 2л:; л; л/2; л/4; л/8; л/16. При этом в начале диапазона при т = 2л (см. рис. 4, 5) для малых значений отношения 2 амплитуды отраженного и прошедшего полей ведут себя так же как в случае Е-поляризации (см. рис. 2, 3). Далее, при т = л, л/ 2 наблюдается переходный режим (см. рис. 6- 9), когда область полного отражения относительно величины ё 2 предельно сужается в сторону ее малых значений. При т = л/4 начинает формироваться режим, близкий к поведению волноведущей структуры, когда при малых ё^ё2 практически отсутствует как прошедшее, так и отраженное поле (рис. 10-11). При последних значениях т = л/8; л/16; этот режим полностью устанавливается, причем графики амплитуды отраженного поля являются перевернутыми графиками случая Е-поляризации, с осью симметрии на уровне 0,5 (см. рис. 12-15).

О 0,5 1,0 1,5

Рис. 4. Расчет при т = 2п для отраженной волны

0 0,5 1,0 1,5 йх!йг

Рис. 5. Расчет при т = 2п для прошедшей волны

О 0,5 1,0 1,5 г

Рис. 6. Расчет при т = п для отраженной волны

0,5 0,4 0,3

Й 0,2

I |0,1

Ряд1

У / / 'Ч!

~ 9 / / ! /'/' л Лх' ' ГТ 4

Ъ ПЩ 5

\

Ч/'Р6 \

УУЛл' 1 1 |

0 0,5 1,0 1,5 ^/¿2

Рис. 7. Расчет при т = п для прошедшей волны

О 0,5 1,0 1,5 ^/¿2

Рис. 8. Расчет при т = п/2 для отраженной волны

0 0,5 1,0 1,5 ^/¿2

Рис. 9. Расчет при т = п/2 для прошедшей волны

О 0,5 1,0 1,5 йх1йг

Рис. 10. Расчет при т = п/4 для отраженной волны

0,5 г

I 0,4

1 0,3 (9 0,2

I |0,1

Л лг=

V; V — л\\\ % \

г- '¡Г

/ л\\ \ ....... \

)• 2 V / ! ■ ГЦ ' Г VV \ N ч \ М

№ '•. "з /4 ' / ч 'Ьк \ \ \ \ ^ * 1 ■Д \ \ \ :\ = 7 \ \\

Л- '/А

~5 ч

Лч ¿Г4

О 0,5 1,0 1,5 2

Рис. 11. Расчет при т = п/4 для прошедшей волны

1,0

I0'8 § 0,6

I 0'4 |0,2

6 ^ /А'// ............

- 3 ЛГ= 1 2 Х/Ж - \ X Хж. \ ^^ у"'/Ж'

0 0,5 1,0 1,5 2

Рис. 12. Расчет при т = п/8 для отраженной волны

0 0,5 1,0 1,5 г

Рис. 13. Расчет при т = п/8 для прошедшей волны

О 0,5 1,0 1,5

Рис. 14. Расчет при т = п/16 для отраженной волны

0 0,5 1,0 1,5 йх!йг

Рис. 15. Расчет при т = л/16 для прошедшей волны

Выводы. В результате проведенного исследования показано, что одномерный конечный фотонный кристалл (с конечным числом ячеек

периодичности) в зависимости от отношения S\dij{^2^2 ) толщин однородных слоев, в случае Н-поляризованного возбуждения (или отношения d^/d2, в случае Е-поляризованного) может вести себя либо как почти идеально отражающее зеркало, либо как волноведущая структура с ничтожными потерями. Кроме того, при выполнении соотношений

(30), по мере роста величины т = 2^/sôœdj sin а (прежде всего за счет увеличения частоты поля) структура ведет себя как отражающая или волноведущая противоположно случаю Е-поляризованного возбуждения. Следовательно, можно утверждать, что такая среда может, в частности, выполнять роль поляризатора электромагнитного поля.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Апельцин В.Ф., Мозжорина Т.Ю. Одномерный фотонный кристалл как отражающая или волноведущая диэлектрическая структура. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, № 9.

[2] Димитриенко Ю. И., Соколов А. П., Маркевич М. Н. Моделирование диэлектрических характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения. Наука и образование. Электронное научно-техническое издание, 2013, № 1. doi: 10.7463/0113.0531682.

[3] Димитриенко Ю. И., Соколов А. П., Маркевич М. Н. Математическое моделирование диэлектрических свойств полимер-керамических композиционных материалов методом асимптотического осреднения. Наука и образование. Электронное научно-техническое издание, 2013, № 10. doi: 10.7463/1013.0623343.

[4] Joannopoulos J.D., Meade R.D., Winn J.N. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton Univ. Press, 1995.

[5] Optical properties of photonic crystals. Sakoda R., ed. Berlin, Springer-Verlag, 2001.

[6] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Особенности математического моделирования технических устройств. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 5-17.

[7] Боголюбов А.Н., Буткарев И.А., Дементьева Ю.С. Исследование распространения электромагнитных импульсов через фотонные кристаллические структуры. Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия, 2010, № 6, с. 3 -8.

[8] Дементьева Ю.С. Синтез волноведущих систем на основе фотонных кристаллов. Вычислительные методы и программирование, 2011, т. 12, с. 375-378.

Статья поступила в редакцию 02.09.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Апельцин В.Ф., Мозжорина Т.Ю. Свойства одномерного фотонного кристалла как отражающей или волноведущей структуры в случае Н-поляризованного возбуждения. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 2, с. 3-27.

Апельцин Виктор Филиппович родился в 1944 г., окончил физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова в 1968 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор около 80 научных работ в области численных и аналитических методов исследования краевых задач электродинамики. e-mail: [email protected]

Мозжорина Татьяна Юрьевна родилась в 1959 г., окончила МАИ в 1982 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 15 научных работ в области моделирования характеристик ГТД, моделирования полета пассажирских самолетов, оптимизации СУ в системе ЛА. e-mail: [email protected]

Properties of one-dimensional photonic crystal as a reflective or wave guiding structure when excited by

H-polarization

© V.F. Apeltsin, T.Yu. Mozzhorina

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The paper considers two-dimensional boundary value problem of propagation of plane electromagnetic wave through a periodic stratified medium with one-dimensional photonic crystal structure. The structure contains a finite number of slabs. Each periodicity cell consists of two layers with different real values of constant dielectric permittivity and different thicknesses. We show that under certain additional condition, which connects the angle of incidence of the plane wave, thicknesses of the layers, frequencies and dielectric permittivity of the layers, we can solve the problem completely and explicitly, the solution leading to simple expressions for both the field reflected from the structure, and the field which has passed through it. Herewith in case of H-polarized field, unlike E-polarization, properties of this medium depend on the ratio of thickness of the layers multiplied by their dielectric permittivity (with E-polarization they depend on thickness ratio only). As a result, depending on the field frequency, photonic crystal can behave as perfectly reflecting structure, while with the same ratio of thicknesses of the layers in case of E-polarization, it becomes a wave guiding structure, and vice-versa. We have compared numerical computations with those for cases of E-polarization.

Keywords: photonic crystal, slab, uniform dielectric, plane wave, perfect reflector, ideal waveguide.

REFERENCES

[1] Apeltsin V.F., Mozzhorina T.Yu. Inzhenerny zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovations, 2013, no. 9. Available at: http://engjournal.ru/articles/966/966.pdf

[2] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevitch M.N. Nauka i obrazovanie. Elektronnoe nauchno-tekhnicheskoe izdanie — Science and Education. Electronic Scientific and Technical Journal, 2013, no. 1, doi: 10.7463/0113.0531682.

[3] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevitch M.N. Nauka i obrazovanie. Elektronnoe nauchno-tekhnicheskoe izdanie — Science and Education. Electronic Scientific and Technical Journal, 2013, no.10, doi: 10.7463/1013.0623343.

[4] Joannopoulos J.D., Meade R.D., Winn J.N. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton Univ. Press, 1995.

[5] Sakoda R., ed. Optical properties of photonic crystals. Berlin, Springer-Verlag, 2001.

[6] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskoie Modelirovanie i Chislennye Metody — Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, no. 1,

pp. 5-17.

[7] Bogolyubov A.N., Butkarev I.A., Dementyeva Yu.S. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 3. Fizika. Astronomiya — Moscow State University Bulletin. Series 3. Phisics. Astronomy, 2010, no. 6, pp. 3-8.

[8] Dementyeva Yu.S. Vychislitel'nye Metody i Programmirovanie — Numerical Methods and Programming, 2011, vol. 12, pp. 375-378.

Apeltsin V.F. (b. 1944) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1968. Ph.D., Assoc. Professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department at Bauman Moscow State Technical University. Author of 80 publications in the field of numerical and analytical methods examining the boundary value problems of electrodynamics. e-mail: [email protected]

Mozzhorina T.Yu. (b. 1959) graduated from Moscow Aviation Institute in 1982. Ph.D., Assoc. Professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department at Bauman Moscow State Technical University. The author of 18 publications in the field of mathematical simulation of gas-turbine engine, mathematical simulations of a passenger aircraft flight, optimization of aircraft control system. e-mail: [email protected]