CC BY
14
Е. А. Огнева
УДК 517.977/.977.58
ОДИН КЛАСС СИНТЕЗИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Рассмотрим управляемую систему
*(0=Ах(0+М0, 'еф;1!» С1)
где х(0 = (х1(0,...,*л(0У ы(0е¿2[0;1], 6 = (0,0,...Д)Г еЯп,
- матрица пхп, где gi е Я,/ = 1 ,...,п.
' 0 1 . 0 0 4
0 0 • 0 0
0 0 0 1
-ёп-1 • • -82
Функционал качества берем квадратичным:
J
>тгп,
(2)
где М - положительно определенная матрица пхп.
Рассматриваем всевозможные задачи оптимального управления без ограничения на управление (1), (2), задавая различные граничные условия. Тогда система дифференциальных уравнений принципа максимума Пон-трягина запишется в виде
х = Ах - —ЬЬ7 /, V}/ = -Ат\у - 2Мх. 2
(3)
Компонента х(Г) решения системы (3) является оптимальной траекторией одной из рассматриваемых нами задач оптимального управления.
Пусть Ф(£) - фундаментальная матрица решений системы (3). Тогда множество оптимальных траекторий запишется в виде {3С е Я2" : .х(г) = Ф[(?)С }, где Ф^Г) - первые п строк матрицы Ф(Г).
Условие С = Ор + с1, где Б - постоянная матрица 2пхк ранга к, й- постоянный 2«-вектор, р есть вектор-параметр размерности к, к = \,...,2п, выделяет некоторое подмножество оптимальных траекторий, которое обозначим через Мк о а.
А. П. Хромовым в работе [1] были построены функции и([,х), синтезирующие семейства оптимальных траекторий Мк оа при к- п.
В настоящей статье с использованием методов работы [1] построены функции и^,у,х(к)), где у = {х1,х2,...>хп,х[п\...,х\к~У)], синтезирующие семейства оптимальных траекторий МкГ)^ при п<к<2п. Семейство Мкоа можно записать в следующем виде:
Мк,о,а = {х(г)| Зр е Кк : х,(0 = гФ^){Ьр + с1), х,(Г) = х['~1)(ф = 2,...,п},
где г = (1Д...,0)еЛп.
Пусть х(?) - некоторая функция семейства Мкил. Найдем дифференциальное уравнение, общим решением которого являются функции = гФу(1)(Вр + й). Для этого запишем следующую систему:
ф>(0 V
х[к){1) = гф[к)(0(Ор + (1), где
усо=(Х1 (о, х2 со, ...,х„(о, 4п) (о, -. -Ак~1) (оГ = Ь (о, а (о,(оГ.
- матрица размера (к-п)хп, первые (к-п) столбцов которой составляют единичную матрицу, а остальные столбцы нулевые.
Х0 =
ТЕОРЕМА 1. Определитель Дк (7) = det
Ф,(Г) {Ок-"ф[п)(1)
\
В
У J
тождест-
венно отличен от нуля на отрезке [0;1].
Доказательство теоремы 1 практически полностью повторяет доказательство аналогичной теоремы работы [1].
Следствие. Множество нулей Ак (7) на отрезке [0;1] конечно.
При г е [0;1]\ N4 из системы (4) получим х^(0 = гф[к'(О^ХО),
г Ъ \ \
где Р(1,у) = 0
ФКО
I)
.у-
Ф,(0
+ с1,У<Е11к
Следовательно, справедлива ТЕОРЕМА 2. Общим решением уравнения
(5)
является семейство функций {х^Г)] Эр е Кк : хД/) = гФхЦ)(Ор + с1)}.
Таким образом, семейство МкиЛ можно записать в следующем
виде:
Под функцией, синтезирующей семейство Мк о а, будем понимать
функцию и{1,у,х[к)), где у = (хих2,...,хп,х{п),...,х[к'1)}, такую, что каждая траектория семейства МкОЛ удовлетворяет системе
х = Ах + Ьи^,у,х[к)), (7)
и, кроме того, любое решение системы (7) принадлежит семейству МкОЛ.
Пусть теперь и(1,у,х[к)) - некоторая функция, синтезирующая семейство Мк В ё. Множество решений системы (7) совпадает с семейством:
*,(Л)(0 = -ТёпЛ0«) +и{,у(1),х{к\ о) */(0 = = 2 ,...,«}• (8)
1=0
*(0
Используя (6) и (8), можем записать
и{,у( о,*1№)(о)= О(ЗХ0+*1(4)(0 -'Ф* (О^.ХО). где С = 2 - матрица {п + \)х.к, первые (п +1) столбцов
которой составляют единичную матрицу , а остальные столбцы нулевые. ТЕОРЕМА 3. Если х(7) - решение системы (7), где
и((,у,хЮ)=0<2у + х{к) -гФ^О^Ы, (9)
непрерывны на то х(1)е Мк с^. Обратно, если
х(() е Мк й д, то - решение системы (7), где и(!,у,х^) определена по (9).
Доказательство. Пусть х(1) - решение системы (7), где л:^) определена по (9), и непрерывны на .
Возьмем три последовательно идущие точки <= ^. Имеем
х(0 = Ф1(0(^)р0 + <*) при te\t0,tx] и х(0 = Ф1(0(^!Р1 при Покажем, что
х(0 = Ф1(0(РР°+^) (Ю)
при г е В точке /, имеем
ф1(и)('1ХДр°+<о=*(п>с>)=ф^ЧдеУ+«о,
то есть
(П)
г нуля. Поэтому из (11) получаем - 0; и в силу того, что ранг мат
[фЛо^0-/>')= о.
Определитель системы (11) относительно О(р0 - р1) отличен от ну-
рицы D равен к, получаем р° = р[. Таким образом, установили справедливость (10) при te\t0,t2]. Продолжая этот процесс, получим, что (10) имеет место на всем отрезке [0, l]. Отсюда следует, что x(t) е Mk D d.
Обратное утверждение теоремы очевидно.
Тем самым теорема 3 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хромов А. П. О синтезирующих функциях линейных дифференциальных систем с квадратичным критерием качества // "Теория функций и приближений: Тр. 4-й Сарат. зимней шк. Саратов, 1990. Ч. 1.
УДК 517.11
Т. М. Отрыванкина
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ В КАТЕГОРИЯХ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ
Топологические ЛГ-структурные автоматы являются одним из важных примеров многоосновных топологических алгебраических систем, изучению которых посвящены работы [1], [2, глава 2, §2.6]. В настоящей статье такие автоматы исследуются на предмет существования в их классах универсальных объектов. При этом используются терминология универсальной алгебры и теории автоматов [3, 4], основные принципы нестандартного анализа из [5].
Напомним, что при нестандартном подходе [5, с. 111] топология г на множестве А может быть задана с помощью бинарного отношения асАх*А, которое определяется формулой а(а)=П {*Х: Хет лаеХ} (аеА\).
Пусть Г2 - произвольная алгебраическая сигнатура, представленная множеством функциональных символов. Система А=(А, С2, а) называется топологической алгеброй, если на множестве А задана алгебраическая структура сигнатуры Q и нестандартная топология а, относительно которой непрерывны все сигнатурные операции.
В настоящей статье мы ограничиваемся рассмотрением полугрупповых топологических алгебраических автоматов без выхода (сокращенно т.а.а.) и исследуем вопрос о существовании универсального функтора для представлений категорий в категориях таких автоматов. При этом используется терминология из [3] и результаты из [6].
Под топологическим алгебраическим автоматом мы понимаем систему вида A =(Г, S, о), где Г=(Г,р) - некоторая фиксированная топологиче-
