CC BY
18
Так как в (15) управление ы={и(0),...,ы(У-1)} можно выбирать произвольно, то будем иметь
< Втц/(1 +1) - Ои * (ОАО >=0, / = 0,...7' -1, откуда В7 ц/(1 + 1)- Ои*(0 = 0 (/= 0,...7" - 1), то есть выполняется условие 3). Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дубовицкий А.Я, Милютин А А Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965 № 3 С. 395 - 453.
2. Трошина НЮ Принцип максимума и задача синтеза для линейных дискретных систем Дис . канд физ.-мат. наук Саратов, 1997 144 с
Е. А. Трушкова
УДК 517.977/977.58
ФУНКЦИИ, СИНТЕЗИРУЮЩИЕ СЕМЕЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
( 0 1 .. 0 0
0 0 ; •• 9 0
0 0 . .! о
~ё\)
Рассмотрим управляемую систему
х(0=М0 + Ьи(0, (1)
где *(/)-(*,(0.-.*я(0)Гб1Г21[0;1], «/(')е ¿2[0;1], Ь = (0,0,...,1)г е
А= : -матрица лхи, где е/?,/ = 1,2,....л.
Рассмотрим также функционалы качества следующего вида:
О О а
где М - неотрицательно определенная матрица пхп, а е(0;I).
Пусть Ъ - множество задач оптимального управления (1), /е[0;]], У—>гшп, с различными условиями, связывающими х(0), х(а) и х(1); - множество задач оптимального управления (1), /е[0;а], У0->пип, с различными условиями, связывающими л(0) и х(а) \ Z1 - множество задач оптимального управления (1), Г е[а;1], J] ->тш , с различными условиями, связывающими х(а) и дг(1).
ТЕОРЕМА 1 Справедливы следующие утверждения:
1. Пусть (Зс(/),ы(/)), / е [0;l] - решение задачи zeZ с условиями у,(х(0),х(а),х(1)) = 0, 1</</, / - целое. Тогда (x(t),ü(t)\ fe[0;a] -решение задачи z06Z„ с условиями х(0) = х(0), х(а) = х(а), a (x(t), ?(/)), le- [а, i] - решение задачи z,eZ, с условиями х(а) = х(а), *(!) = *(!);
2. Пусть (x0(t),uQ(t)), t е [0;а] - решение задачи z0 е Z0 с условиями уш(х(0),х(а))=0, 1 rS/</0, /0 - целое, a (х, (*),£■,(/)), Г e[a;l] - решение задачи z, eZ, с условиями у1((х(а),х(1)) = 0, 1Х - целое, и, кроме того, х0(а) = х,(а). Тогда (3c(f),"(0Í 'e[0;l], где х(Г) = хо(О,/е[0;а] , x(f) = x,(0, íT(f) = u0(t),t е [0;а], u(t) = u¡(t), i e (a;lj, - решение задачи z e Z с условиями x(0) = x0(0), x(a) = x0(a), x(l) = x,(l).
Согласно теореме 1 получаем, что решения задач Z удовлетворяют дифференциальным уравнениям принципа максимума Л.С. Понтрягина с условием непрерывности х(/) в точке t = а
х = Ax + -bbT\y, v¡/ = -AT\\i + 2Мх, t е [0,a)u(a,l],
2 (2)
х(сх_) = х(а+).
Компонента x{t) решения системы (2) является оптимальной траекторией одной из рассматриваемых нами задач Z. Пусть Ф(?) - первые п строк фундаментальной матрицы решений системы (2). Обозначим через Фп(/) (ф12(0) первые (последние) п столбцов матрицы Ф(Г).
Тогда множество оптимальных траекторий задач Z запишется в виде
{x(f) е W\[0;1] ¡ 3С £ Я3" : x(í) = Ф0(Г)С, t £ [0;а], х(г) = Ф, (t)C, t £ (а;1]},
I
где Ф0(0 = (фц(0 фп(0 0). ф,(0 = (ф,2(05 ф12(0 Ф„(0-Ф12(0Я) -матрицы пхЗл, В = Ф1"21(а)Ф]1(а).
Условие С = Пр + d, где D - постоянная матрица Зпх к,
(DA /
гапк\ = к, гапк \
{»г J
D,
BD]+D2-BDJJ
= к, D,, 1= 1,2,3, - матрицы пхк,
состоящие из первых, вторых и третьих п строк матрицы й соответственно, с/ - постоянный Зп-вектор, р есть вектор-параметр размерности к, к - п + \,п + 2,.. .,2м, выделяет некоторое подмножество оптимальных траекторий, которое обозначим через .
В настоящей статье с использованием результатов работ [1, 2] построены функции и(1,у,х1к)), где у = (х1,х2,...,;сп,х[л),.х1<',+1),...,х1(*~1))Г, синтезирующие семейства
Семейство МкПс/ при Ге[0,а] совпадает с семейством М. й 7 ,
где О0 =
где О, =
, ¿о =
О,
ВОх +й2- воъ
, а при г е [а;1] совпадает с семейством Мк б у ,
. ¿1 =
+ Вс1,)
, (¡ь(1г,с13 - первые, вто-
рые и третьи п компонент вектора с] соответственно. Известны функции и^у,***'), синтезирующие семейства Мк в ^ , ^ ^ [1].
Обозначим через множество нулей функции
(1е1
( Ф.С) дк'пФ\л\()
А
J
, где / = 0,\, ()к " - матрица размера (к -п)хп, пер-
вые (к - п) столбцов которой - единичная матрица, а остальные столбцы нулевые При каждом п<к<2п множества Мк(О,), / = 0,1, на отрезке [0,]] конечны, а при к = 2п пусты [1]
Справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 2. Если х(/) - решение системы
х = Ах + Ьи([,у,х\к^), где у = (хх,хг,...,хп,х\п) , //(/.^.х}*') определена по формуле
«4
.....хп>х\П)1 -*>{к)(1)с(1,у,50л\'ФА
¿г(х1,...,х„,х<л))Г +*»)-гфМ(1)о(1,У,б1,31\1 е(а;1], £ = г = (1,0,...,0)еЛ\
(3)
(4)
Ф(0 ^
д
ф (0
+ </,,/ = 0,1,
Х(л)(0 непрерывна в точках множество [0;а], Мк(Е\)г\ [а;1], то х(/) е Обратно, если х(/) е МкВс1, то х(/) - решение системы (3),
где //(г.у.х^') определена по формуле (4), и х(л)(/) непрерывна в точках множеств Ык(Ц,)п [0;а], Л^(Л,) гл[а,1].
Доказательство Рассмотрим систему (3) на отрезке /е[0;а] На этом отрезке х(?) удовлетворяет системе, где
и х("'(0 непрерывна на множествеЛ^(£)0)г|[0;а]. Следовательно, [1].
Рассмотрим систему (3) на отрезке 1е [а,1] На этом отрезке х(1) удовлетворяет системе, где .....х„,х\п^ +дс1(*) -
- гфМцуС^.у,^,^), и дг(л)(0 непрерывна на множестве Л/"4(Д)п[а;1]. Следовательно, х(1)&Мк ^ ^ [1].
В силу изложенного выше, получаем, что х(1) е М^.йм> Обратное ут верждение теоремы очевидно.
Функцию ы(г,х^1определенную равенством (4), назовем функцией, синтезирующей семейство М^ а
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Огнева Е.А. Один класс синтезирующих функций линейных систем с квадратичным критерием качества // Математика Механика: Сб науч тр Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып 2. С. 89 - 92
2 Хромое А П. О синтезирующих функциях линейных дифференциальных систем с квадратичным критерием качества // Теория функций и приближений: Тр 4-й Сарат зимней шк. Саратов, 1990 Ч. I. С. 106 - 112
УДК 517.51
В. И. Филиппов
СИСТЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, В ПРОСТРАНСТВАХ Еф
В 1972 году П Л. Ульянов [1] рассмотрел систему Фабера-Шаудера в классах ф(/,) и сформулировал задачу о возможности представления элементов классов ф(Л) по произвольным функциональным системам. В данной статье рассматривается эта задача П Л. Ульянова [1, 2] для пространств при этом исследуются функциональные системы более общие, чем системы вида
к,*(')}=М2П'-4 " = 0,1,..., к = 0,1,...,2" -1, (1)
где ц/еГ°(0,1)
