Универсальные объекты в категориях топологических алгебраических автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

рицы D равен к, получаем р° = р[. Таким образом, установили справедливость (10) при te\t0,t2]. Продолжая этот процесс, получим, что (10) имеет место на всем отрезке [0, l]. Отсюда следует, что x(t) е Mk D d.

Обратное утверждение теоремы очевидно.

Тем самым теорема 3 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хромов А. П. О синтезирующих функциях линейных дифференциальных систем с квадратичным критерием качества // "Теория функций и приближений: Тр. 4-й Сарат. зимней шк. Саратов, 1990. Ч. 1.

УДК 517.11

Т. М. Отрыванкина

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ В КАТЕГОРИЯХ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ

Топологические ЛГ-структурные автоматы являются одним из важных примеров многоосновных топологических алгебраических систем, изучению которых посвящены работы [1], [2, глава 2, §2.6]. В настоящей статье такие автоматы исследуются на предмет существования в их классах универсальных объектов. При этом используются терминология универсальной алгебры и теории автоматов [3, 4], основные принципы нестандартного анализа из [5].

Напомним, что при нестандартном подходе [5, с. 111] топология г на множестве А может быть задана с помощью бинарного отношения асАх*А, которое определяется формулой а(а)=П {*Х: Хет лаеХ} (аеА\).

Пусть Г2 - произвольная алгебраическая сигнатура, представленная множеством функциональных символов. Система А=(А, С2, а) называется топологической алгеброй, если на множестве А задана алгебраическая структура сигнатуры Q и нестандартная топология а, относительно которой непрерывны все сигнатурные операции.

В настоящей статье мы ограничиваемся рассмотрением полугрупповых топологических алгебраических автоматов без выхода (сокращенно т.а.а.) и исследуем вопрос о существовании универсального функтора для представлений категорий в категориях таких автоматов. При этом используется терминология из [3] и результаты из [6].

Под топологическим алгебраическим автоматом мы понимаем систему вида A =(Г, S, о), где Г=(Г,р) - некоторая фиксированная топологиче-

екая полугруппа входных сигналов, 5=(5, О, а) - произвольная топологическая О-алгебра состояний и функция переходов °: удовлетворяет условиям:

2) (я^еа д(у,у')ер =>(з°у, ^'оу^еа;

3)я°У1У2 =(!!оУ1)°У2, где/еОи5;,...,5„,5',е8;у1у;,у2 у'е*Г.

Непрерывным Г -гомоморфизмом т.а.а. г? в т.а.а. & = (Г,5', °) называется непрерывный гомоморфизм <р: удовлетворяющий условию ф(.? о у) =ф(.?) о у при любых seS, уеГ. Такие гомоморфизмы являются мор-физмами изучаемых ниже категорий автоматов.

Замечание. Топологический алгебраический автомат без выхода А можно рассматривать как алгебру/^' сигнатуры Г2'=Г21)Г с основным множеством 5, в которой действие унарной операции уеГ определяется равенством у(5)=5°у.

ТЕОРЕМА. Пусть М - категория топологических пространств с непрерывными отображениями и К - регулярная категория полугрупповых топологических алгебраических автоматов с непрерывными Г-гомоморфизмами, замкнутая относительно топологических изоморфизмов, прямых произведений и замкнутых подсистем и содержащая автомат £ с одноэлементной Г2-алгеброй в качестве множества состояний. Тогда любое резидуальное представление б категории в категории К обладает универсальным функтором.

Доказательство. В силу сформулированного выше замечания можно перейти от категории К к рассмотрению соответствующей ей категории П'-алгебр К'. При этом К' содержит одноэлементную О'-алгебру В и замкнута относительно прямых произведений и замкнутых подсистем. Итак, пусть множество Z является М-объектом. Для сигнатуры □ Г рассмотрим соответствующую этому множеству □'-алгебру Ш= Щ2) Г2'-слов над 2 и выделим в категории К из совокупности всех топологически неизоморфных АГ-объектов все те т.а.а. °) (/е-Д мощность мно-

жеств состояний которых не больше г2"*1 и для которых имеются допустимые отображения щ: 2—>8]. Множество У* 0, поскольку в К присутствует объект с одноэлементным множеством состояний £. Семейство всех таких отображений <ру (/е-0 канонически определяет допустимое (в силу резиду-альности представления С) отображение ф множества 2 в прямое произведение 5= ]~[ 5у. В силу замкнутости категории К' относительно прямых

произведений множество 5 является П'-алгеброй. Канонически продолжим Ф до гомоморфизма ф: ¡У-хЗ. Построенная □'-алгебра IV имеет наименьшую допустимую топологию г/ц/. (Допустимость в данном случае означает,

что эта топология согласуется с алгебраической структурой Ж и топологией на Г.) В результате получаем топологическую П'-алгебру 1¥=(1¥(2),По построению ср является непрерывным гомоморфизмом

Ж в топологическую ^'-алгебру а). Для отображения ср=а<=*ф в

силу [6, теорема 1.6] фактор-система 1Г(2)=йотф/кегф топологически изоморфна замкнутой подалгебре 5. В силу замкнутости категории К' относительно замкнутых подсистем 1](2) является Г2'-алгеброй. С учетом сформулированного выше замечания 11(2) определяет т.а.а. Я(2)=(Г, и(2), °), множеством состояний которого является редуцированная О-алгебра 11(2) и действие элементов полугруппы уеГ на состояния 5е£/(2Г) определяется по формуле у(5,)=5,°у. Таким образом, М2) является ^-объектом и каноническое отображение и(2): 2->1](2) - допустимым отображением представления б. Убедимся, что и) - универсальный функтор представления С. Пусть для некоторого ЛГ-объекта о) имеется допустимое отображе-

ние у: 2-^'. Не нарушая общности, считаем, что 5" топологически порождается множеством \у(2). Так как очевидно, что \\1/(2)\<\Щ2)], то по [6, лемма 1.2] мощность Б' не превосходит 22>щ, и среди выделенных нами т.а.а. /¡1 (/е./) найдется автомат с множеством состояний 5Р топологически изоморфным 5". Не нарушая общности, предположим, что У=5} и \|/=фу.

Тогда для продолжения ф3 непрерывного гомоморфизма ф/ lV^>Sj выполняются условия ёопирссклпф^ кегфскен^ и фактор-система 11(2) канонически (непрерывно) отображается на фактор-систему с1отф/кегф^ которая по [6, теорема 1.6] топологически изоморфна замкнутой подалгебре 5, . В результате получаем такой непрерывный гомоморфизм топологической ^-алгебры Щ2) в топологическую О-алгебру 5', что \\1=Ч'°и(2). Таким образом, ¥ является Г-гомоморфизмом Щ2) на ^ и функтор (ЯС, и) универсален.

Доказанная теорема обобщает известный результат [3, теорема 4.2] об универсальных функторах для представлений, подчиненных категории множеств категорий в категориях алгебр и показывает, что при определенных выше условиях каждому объекту 2 категории М можно поставить в соответствие АГ-объект К(2), который вместе с отображением и(2) обладают универсальным свойством и поэтому называется универсальным (см. опр. [3, с. 123]). Полученный результат позволяет, в частности, обосновать существование топологических алгебраических автоматов, которые определяются топологическим пространством и классом нестандартных соотно-

шений в классе т.а.а. К, содержащем автомат с одноэлементной алгеброй состояний и замкнутом относительно топологических изоморфизмов, прямых произведений и замкнутых подсистем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Birkhoff G., Lipson J.D. Universal algebra and automata // Proc. Tarski Symp. (Proc. Symp. Pure Math., Vol. 25). Providence, R.I. 1974. Vol. 2. P. 41-51.

2. Богомолов A. M., Салий В. H. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука. Физматлит, 1997.

3. Кон П. Универсальная алгебра . М.: Мир, 1968.

4. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высшая школа, 1994.

5.ДевисМ. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980.

6. Молчанов В. А. Нестандартные многообразия псевдотопологических алгебраических систем // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 3. С. 104 - 112.

УДК 517.984

М. В. Парфенов

О ВОССТАНОВЛЕНИИ САМОСОПРЯЖЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 4-ГО ПОРЯДКА НА ПОЛУОСИ

Рассмотрим дифференциальное уравнение (ДУ) вида

£у = yw + р2 (х)/'+Р] (х)у'+р0 {х)у = Ху, х> 0. (1)

Здесь pv(x) eWv, pv(х)- комплекснозначные функции, Х- спектральный параметр. Пусть функции Фк (х,X),к = 1,4 являются решениями ДУ (1) при условиях <t>k(*-J\0,X) = bkj, j = ljc, Фк(х,Х) = 0(exp(pRkx)), х-> <х>, где X = р4, Rk = 1 и Reip^j:) < Re(pRjx), при к <j , 8kJ - символ Кронекера. Матрица М(Х) = [Mkj (Х.)]А = называется

матрицей Вейля (MB).

В [1] приводится решение обратной задачи восстановления несамосопряженного ДУ (1) по данной MB и необходимые и достаточные условия, при которых матрица М(Х) будет матрицей Вейля некоторого ДУ вида (1). Одним из этих условий является требование однозначной разрешимости так называемого основного уравнения обратной задачи (ОУ). В данной работе, при некоторых дополнительных ограничениях на спектр, опираясь на метод, изложенный в [2], доказывается, что разрешимость ОУ будет иметь место в случае самосопряженного ДУ (1). Отметим , что этот