Обзор современных методов построения квазифрактальных излучающих структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396

ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ КВАЗИФРАКТАЛЬНЫХ

ИЗЛУЧАЮЩИХ СТРУКТУР В.И. Винников, А.В. Останков, Ю.Г. Пастернак, С.М. Фёдоров

В статье представлен обзор различных фрактальных конструкций, нашедших применение в создании излучающих структур. Рассмотрен процесс построения фракталов с помощью систем итерирующих функций

Ключевые слова: фрактал, фрактальные антенны, системы итерирующих функций

Традиционные подходы к анализу и проектированию антенных систем основаны на Евклидовой геометрии. Однако в этой статье, мы сосредоточимся на концепции фрактальной антенны. Термин фрактал (значит дробленный, сломанный, разбитый) впервые использовался Мандельбротом [5] для описания семейства комплексных форм обладающих врожденным самоподобием в их геометрической структуре. Фрактальная геометрия создавалась на основе всестороннего изучения моделей природы. Приведем несколько примеров природных фракталов: снежинки, папоротники, деревья, береговые линии, горные цепи и даже галактики [1].

Конструкции фрактальных антенн

Представим краткий обзор нескольких простых фрактальных структур, используемых в разработке антенн. Первый рассматриваемый и наверно самый узнаваемый фрактал - треугольник Серпинского [1]. На рис. 1 изображены первые несколько итераций конструирования этого фрактала. Процесс создания треугольника Сер-пинского начинается с построения равностороннего треугольника на плоскости (рис. 1 итерация 1). Следующий шаг заключается в удалении центрального треугольника, чьи вершины располагается на серединах сторон первоначального треугольника, что приведет к конструкции, показанной на рис. 1 итерация 2. Процедура повторяется для трех оставшихся черных треугольников, результат показан на рис. 1 итера-

Винников Вениамин Иванович - ВГТУ, соискатель, тел. 8-951-867-46-23

Останков Александр Витальевич - ВГУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-952-540-57-32

Пастернак Юрий Геннадьевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 223-12-46 Фёдоров Сергей Михайлович - ВГТУ, аспирант, тел. (473) 223-38-52

ция 3. Следующая итерация (итерация 4) также показана на рис. 1.

Треугольник Серпинского создается повторением этого процесса нужное число раз. Это следует из того, что треугольник Серпинского самоподобный фрактал; то есть, он составлен из маленьких копий самого себя.

Рис. 1. Первые 4 итерации создания треугольника Серпинского

Следующий фрактал называется снежинка Коха [1]. Он также начинается как равносторонний треугольник на плоскости (рис. 2 итерация 1). Однако, в отличие от треугольника Серпин-ского, создаваемого систематическим удалением каждый раз уменьшающихся треугольников из первоначальной структуры, снежинка Коха создается повторяющимся добавлением треугольников в структуру. Первые 4 итерации процесса создания снежинки Коха показаны на рис. 2.

Рис. 2. Первые 4 итерации процесса создания снежинки Коха

Конструкции, основанные на детерминированных и случайных фрактальных деревьях, также показали себе очень полезными в создании методов построения антенных элементов и решеток. Пример детерминированного фрактального дерева показан на рис. 3 (а). Трехкомпонентный генератор (с тремя ветвями) используется для первых 3 итераций роста. Случайнофрактальное дерево - это тип дерева, при формировании структуры которого используется множество генераторов выбранных в случайном порядке. На рис. 3 (б) показаны первые 3 итерации построения случайно-фрактального дерева. В этом случае дерево растет из-за случайного выбора между двумя генераторами, один с тремя ветвями, другой с двумя ветвями. Случайнофрактальные деревья больше похожи на настоящие деревья или растения, чем детерминированные фрактальные деревья, которые слишком упорядочены. На рис. 3 представлены примеры двумерных фрактальных деревьев. Однако, концепция фрактального дерева может быть легко расширена для трех измерений. На рис. 4 показаны первые 4 итерации построения трехмерного детерминированного фрактального дерева [2].

Свойство кривой Гильберта и подобных ей кривых заполнять пространство делает их удобным инструментами для разработки фрактальных антенн. Первые 4 итерации построения кривой Гильберта показаны на рис. 5 [1, 4]. Кривая Гильберта - является заполняющей пространство фрактальной непересекающейся кривой (т.е. у нее нет точек пересечения).

Рис. 3. Примеры детерминированного (а) и случайного (б) фрактальных деревьев

Рис. 4. Первые 4 итерации создания трехмерного фрактального дерева с помощью 4-компонентного генератора

Другой важный пример заполняющей пространство кривой применяющейся в разработке антенн - кривая Пеано-Госпера [5, 6]. На рис. 6 изображены первые 3 итерации построения кривой Пеано-Госпера. Начальная фигура показана на рис. 6 (а), как штрихованная линия, наложенная на генератор итерации 1. Копия генератора итерации 1 показана на рис. 6 (б), как штрихованная кривая. Также на рис. 6 (б) показана итерация 2 построения кривой Пеано-Госпера, которую получают замещением каждого из 7 сегментов генератора итерации 1 соответственно вычисленной копией самого себя. Следующая итерация построения (итерация 3) кривой Пеа-но-Госпера показана на рис. 6 (в). На этой итерации, свойство кривой заполнять пространство становится более очевидным.

объектов нашедших применение в конструировании антенн [3, 5]. Фрактили - это плитки или острова, обладающие фрактальными границами. Они представляют собой уникальное подмножество всех возможных конфигураций плитки, которые можно использовать, чтобы покрыть плоскость без нахлестов и без промежутков между плитками. Мы рассмотрим два типа фрак-тилей - псевдопушинки и острова Госпера. Оба могут использоваться для покрытия плоскости плитками [3, 5]. Первые 6 итераций построения псевдопушинок, показаны на рис. 7, первые 5 итераций создания островов Госпера представлены на рис. 8. На рис. 9 изображено как псевдопушинки и острова Госпера могут использоваться для идеального покрытия плоскости (т.е. без промежутков и нахлестов).

берта

Рис. 5. Первые 4 итерации построения кривой Гиль-

Рис. 7. Первые 6 итераций построения псевдопушин-

Рис. 6. Первые 3 итерации построения кривой Пеано-Госпера

Итерация 5

Рис. 8. Первые 5 итераций построения острова Гос-

пера

Фрактальные плитки, или фрактили, представляют собой другую категорию фрактальных

ки

вместе результатов следующим образом

из

l,W-

Рис. 9. Покрытие плоскости псевдопушинками (а) и островами Госпера (б)

Системы итерирующих функций

Системы итерирующих функций (СИФ) -математический язык фракталов. Они предоставляют единообразный подход к теории фракталов и представляют собой универсальный инструмент для создания разнообразных фрактальных конструкций [1, 9]. СИФ основаны на совокупности сжатий, осуществляемых приме -нением нескольких аффинных преобразований w, таких как

ь) (*) + (/)

или

W[ж.у) = (пг + Ъу + е, сх + dy + f\ (2)

где a, b, c, d, e, f вещественные числа. Следовательно, аффинное преобразование w представлено шестью параметрами, каждый из которых может быть выражен компактной системой обозначений

(а Ь ч

I d\f} (3)

где a, b, c, d управляют вращением и масштабированием, а e, f управляют параллельным переносом.

Теперь, если мы предположим, что ■ ■ ■ ■■ ■ ряд аффинных линейных преобра-

зований и A инициатор, тогда новая конструкция может быть сформирована применением ряда преобразований к инициатору A и собиранием

-1 . (4)

где Ж - оператор Хатчинсона [1].

Фрактальная конструкция может быть получена итеративным применением Ж к предыдущей конструкции. Например, если ряд "’п представляет собой инициатор, тогда этот итеративный процесс привел бы к последовательности операторов Хатчинсона

Аг = И44.5-4* = КЧА.1 „,л4+ж = IV [Ль)

(5)

СИФ создает последовательность, которая сводится к конечному изображению * ■■ таким образом, что

(6)

Это изображение называют аттрактором СИФ и оно представляет собой “фиксированную точку” оператора Хатчинсона Ж, где “точки” в этом случае являются рядами.

Процесс создания фрактальной кривой Коха с помощью СИФ показан на рис. 11. В этом случае, инициатор ^ о является линией единичной длины такой, что -^п = Ь;гЕ [01]}. Четыре аффинных преобразования (т.е. -V = 4 ) применяют к . как показано на рис. 11. Далее, результаты этих четырех линейных преобразований комбинируют, с помощью формулы (4), чтобы сформировать первую итерацию кривой Коха, обозначенную ^ 1 . Вторую итерацию кривой Коха '^5 получают, применением тех же четырех аффинных преобразования к ^1, и снова используют формулу (4) для комбинирования результатов. Кривая Коха высшего порядка создают простым повторением итераций нужное число раз. Первые 4 итерации кривой Коха показаны на рис. 10. Эта последовательность кривых сводится к фракталу Коха *"■=. когда число итераций приближается к бесконечности.

СИФ показали себя как мощный инструмент анализа и разработки фрактальных антенн. Это так, прежде всего потому, что они создают общею основу для описания, классификации, и манипуляции фракталами [9].

Итерация 1

Итерация 3

Итерация 2

Итерация 4

Рис. 10. Первые 4 итерации создания стандартной фрактальной кривой Коха с помощью СИФ

Рис.11. Стандартная фрактальная кривая Коха в виде СИФ

Простые фрактальные конструкции находят широкое применение в конструировании антенн. Снежинки и острова Коха используют в разработке новых конструкций для миниатюризиро-ванных рамочных антенн и микрополосковых патч-антенн [2, 7]. Фрактили используют в разработке микрополосковых антенн. Треугольник Серпинского применяют в проектировании многополосных и широкополосных антенных элементов [7, 8]. Новые конструкции для миниатю-ризированных дипольных и монопольных антенн разработаны на основе кривой Коха и фрактальных деревьев [2, 7, 8].

Литература

1. Peitgen H.O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and fractals: new frontiers of science. - New York: Springer, 2004. -864 p.

2. Gianvittorio J.P., Rahmat-Samii Y. Fractal antennas: a novel antenna miniaturization technique and applications // IEEE Antennas and propagation magazine. 2002. V. 44, p. 2036.

3. Edgar G.A. Measure, topology, and fractal geometry. - New York: Springer, 2007. - 268 p.

4. Cohen N. Fractal antennas: part 1 // Communication quarterly. Summer 1995, p. 7-20.

5. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. -New York: W.H. Freeman, 1983. - 468 p.

6. Sagan H. Space-filling curves. - New York: Springer, 1994. - 193 p.

7. Werner D.H., Ganguly S. An overview of fractal antenna engineering research // IEEE Antennas and propagation. 2003. V. 45, no. 1, p. 38-57.

8. Werner D.H., Mittra R. Frontiers in electromagnetics, chap. 2 and 3. - Piscataway, New Jersey: IEEE Press, 2000. -876 p.

9. Barnsley M.F. Fractals everywhere. - New York: Academic press professional, 1988. - 394 p.

Воронежский государственный технический университет

THE REVIEW OF MODERN METHODS OF CONSTRUCTION QUASIFRACTAL RADIATING STRUCTURES V.I. Vinnikov, A.V. Ostankov, Yu.G. Pasternak, S.M. Fedorov

In article the review of various fractal designs found application in creation of radiating structures is presented. Also, process of construction of fractals by means of systems of iterating functions is considered

Key words: fractal, fractal antennas, iterated function systems