К вопросу об анализе и синтезе фрактальных антенн Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 520.272.2

DOI 10.21685/2072-3059-2018-1-8

И. В. Бойков, П. В. Айкашев

К ВОПРОСУ ОБ АНАЛИЗЕ И СИНТЕЗЕ ФРАКТАЛЬНЫХ АНТЕНН1

Аннотация.

Актуальность и цели. В настоящее время теория и техника антенн является одной из наиболее быстро развивающихся областей радиотехники. Современные достижения в теории и технике антенн основываются на последних достижениях в физике и математике. В связи с необходимостью миниатюризации антенн, применяемых в мобильных устройствах, происходит внедрение методов фрактальной геометрии в радиотехнику. В течение последних десятилетий наблюдается возрастающий интерес к настроению и исследованию фрактальных и генетических антенн. В связи с этим возникает необходимость в разработке аналитических, численных и программных методов анализа и синтеза фрактальных и генетических антенн. Статья посвящена исследованию фрактальных антенн, построенных на топологии «совершенного» множества Кантора и «ковра» Серпинского.

Материалы и методы. В работе используются методы вычислительной математики, математического моделирования, вычислительной физики.

Результаты. Получены электродинамические характеристики фрактальных антенн, построенных на предфракталах совершенного множества Кантора и предфракталах «ковра» Серпинского (третьих и вторых итерациях соответствующих фракталов). Проведен анализ влияния топологии фрактальных антенн на электродинамические характеристики.

Выводы. Продемонстрировано влияние геометрической структуры антенны на ее электродинамические характеристики. Показана возможность синтеза фрактальных антенн на основе численных методов. Результаты работы могут быть использованы при исследовании и конструировании фрактальных антенн с различной топологией.

Ключевые слова: фрактальные антенны, диаграмма направленности, коэффициент стоячей волны.

I. V. Boykov, P. V. Aykashev

ON THE ANALYSIS AND SYNTHESIS OF FRACTAL ANTENNAS

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ. Грант 16-01-00594.

Abstract.

Background. At present, antenna theory and technology is one of the most rapidly developing areas of radio engineering. This is due to the need for miniaturization of antennas used in mobile devices. Modern achievements in antenna theory and technology are based on the latest achievements in physics and mathematics. In recent decades, there has been an increasing interest in the mood and research of fractal and genetic antennas. In this connection, there is a need to develop analytical, numerical and program analysis and synthesis methods for fractal and genetic antennas. The article is devoted to the investigation of fractal antennas built on the topology of the "perfect" set of Cantor and Sierpinski's "carpet".

Materials and methods. The work uses methods of computational mathematics, mathematical modeling, computational physics.

Results. Electrodynamic characteristics of fractal antennas based on the prefrac-tals of the perfect set of Cantor and the prefractals of Sierpinsky's "carpet" are obtained (on third and second iterations of corresponding fractals). The analysis of the influence of the topology of fractal antennas on electrodynamic characteristics is carried out.

Conclusions. The influence of the geometrical structure of the antenna on its electrodynamic characteristics is demonstrated. The possibility of synthesizing fractal antennas is shown on the basis of the method of local residuals. The results of the work can be used in the study and design of fractal antennas with different topologies.

Key words: Fractal antennas, directivity diagram, standing wave coefficient.

Введение

Понятие фрактала (впервые предложенное Бенцем Б. Мальдебротом [1]) в последние годы глубоко проникло во многие разделы физики и техники [2, 3]. Особенно активно используется теория фракталов в радиоэлектронике [4].

В частности, отмечается значительный интерес к исследованию и построению фрактальных антенн.

В первую очередь это связано с тем, что обязательным элементом любой радиосистемы являются антенные устройства, и от их эффективности зависит количество и качество принимаемой и передаваемой информации.

Фрактальные антенны обладают чрезвычайно интересными и важными свойствами, в частности, широкополостностью и многодиапазонностью.

Первые упоминания о фрактальной антенне и фрактальной решетке появились в работе [5].

Использование фрактальной геометрии в конструировании антенн позволяет реализовать широкополосные и многодиапазонные свойства за счет миниатюрности и самоподобия структуры. Большое число различных фракталов позволяет реализовать различные конструкции, обладающие дополнительными конструктивными и электродинамическими свойствами.

В частности, при конструировании фрактальных антенн были использованы: кривая Минковского, кривая и снежинка Коха, кривая Гильберта, кривая Пеана, дерево Кэйли.

В статье [6] приведены результаты моделирования работы фрактальной антенны на основе ковра Серпинского (предфрактал третьего поколения). Представлены результаты моделирования: значения электромагнитной составляющей по антенне, диаграмма направленности антенны и значения коэффициента стоячей волны.

В статье [7] дан обзор реализованных к настоящему времени фрактальных антенн, в основу конструкций которых положены кривые Коха и Мин-ковского и ковры Серпинского.

Синтез некоторых типов симметричных фрактальных антенн представлен в [8].

Сравнительный анализ фрактальных антенн, выполненных на основе фракталов Минковского, Гильберта, Мура, Осгуда и их модификаций, проведен в статье [9].

Кольцевым фрактальным антеннам посвящена статья [10].

Фрактальные щелевые антенны на основе троичных А -фракталов исследованы в работе [11]. На частотах 0,67-1,09 ГГц были исследованы щелевые антенны со щелями, имеющими форму А -фракталов второго и третьего порядка с углами между звеньями инициатора равными а = 20° и а = 45° .

Применению метода локальных поправок к синтезу фрактальных антенн посвящена статья [12]. В ней представлены вычислительные схемы метода локальных поправок для синтеза фрактальных антенн с топологией совершенного множества Кантора и ковра Серпинского, приведены результаты численного моделирования диаграмм направленности.

Исследование взаимодействия электромагнитных волн с фрактальными структурами вызвало к жизни новое направление в электродинамике -фрактальную электродинамику [13].

Важной характеристикой антенн, в том числе и фрактальных, является диаграма направленности антенны.

Напомним, следуя [14], ее определение.

При расчете любой излучающей системы рассматриваются две области: область поля индукции и область поля излучения. Поле индукции убывает достаточно быстро (быстрее, чем 1/ Я, где Я - расстояние от источника до исследуемого объекта), и поэтому оно представляет интерес только в окрестности излучателя. Поле излучения (оно убывает как 1/ Я) характеризует поток энергии, текущий в направлении от антенны. Теоретически исследование поля излучения сводится к решению уравнений Максвелла с граничными условиями, определяемыми конструкцией антенны. Однако решение такой граничной задачи чрезвычайно сложно и, как правило, ее решают приближенно, пользуясь принципом Кирхгофа. Согласно принципу Кирхгофа источник излучения окружается ограниченной замкнутой поверхностью, на которой индуцируются вторичные источники. Поле излучения в дальней области определяется как суперпозиция излучений вторичных источников.

В случае фрактальной антенны, составленной из источников излучения, расположенных на элементах фрактала (скажем, фрактал «ковер» Серпинско-го) можно считать, что излучающей поверхностью каждого источника излучения является плоскость. В этом случае величина поля в точке Р, достаточно удаленной от раскрыва антенны, определяется следующей формулой [14]:

где Ет (Р) (т = 1,2,3) - одна из компонент напряженности электрического или магнитного поля в прямоугольной системе координат с центром в точке 0

на плоскости раскрыва; Em (С, Л) - функция, соответствующая компоненте в раскрыве; R, 9, ф - координаты точки P в сферической системе координат с центром в точке 0; k2 - составляющие волнового вектора k(| k |= 2л / X), k =| k | sin 9 cos ф, k2 =| k | sin 9 sin ф; а - поверхность раскрыва; X - длина волны. Здесь kj - составляющая вектора k относительно оси 0x, k2 -относительно оси 0 y.

Если антенна фокусирует излучение в узком конусе вокруг направления распространения (cos 9 = 1), то

Em (P) = e~lTÍEm (С, лИ^^dCdЛ.

а

Диаграмма направленности антенны вводится формулой

f (9, ф) = AEm (P)eikRR,

где коэффициент A подбирается таким образом, чтобы максимальное значение | f (9,ф)| равнялось единице. Таким образом, диаграмма направленности определяется формулой

f (9, ф) = Jf (С, лУ ^^d Cd л,

а

где F(С, Л) - распределение поля в раскрыве антенны, нормируемое таким образом, чтобы

max |f (9, ф)|=1.

0<9<л,0<ф<2л

После введения функции [14]

,г ч \F (С, Л),(С, Л) ест, g(C, Л) = ,

[0,(С,Л) е E2 \ а,

диаграмма направленности описывается формулой

f (9, ф)= J g (С, лИ^2^ Cd Л,

E2

т.е. диаграмма направленности является преобразованием Фурье поля в раскрыве антенны.

Более естественным является описание диаграммы направленности через составляющие волнового вектора: h(kj, k>£) = f (9, ф). Тогда

h(ki, k2) = Jf (С, лУ^2^ d Cd Л = JJg (С, л)е' ^^^^ d Cdn (1) а E2

Другой важной характеристикой антенны является ее мощность, которая определяется формулой

Pfull = j|F(C,Л)!2 dCd'n. о

Из равенства Парсеваля следует, что

Pfull = J! f (С, Л)!2 d Cd'n =

о

= \\! g (С, Л) |2 d Cd Л = \\| h(kb k2) |2 dkxdk2.

E2 E2

В случае, если излучение в дальнюю зону происходит в направлении, определяемом включением (kj,k^)ёА, то оно определяется выражением

Pradiaiion = Ц | h(k1,k2) |2 dk1dk2. А

Разность Preacr/ve = Pfull — Pradiation называется реактивной мощностью. Важной характеристикой качества антенны является ее коэффициент стоячей волны (КСВ): отношение мощности, которая распространяется от кабеля к антенне к мощности, которая возвращается по кабелю, отражаясь от антенны. Это отражение обусловлено тем, что сопротивление антенны не равно сопротивлению кабеля. Коффициент стоячей волны рассчитывается по формуле

КСВ = (W1 + W2) / (W1 - W2),

где W1 - мощность падающей волны, W - мощность отраженной волны.

Идеальное значение КСВ, которое на практике никогда не достигается, равно единице. Приемлемыми считаются значения от 1,2 до 2,0. Допустимые значения КСВ для различных радиотехнических устройств регламентированы соответствующими техническими заданиями и ГОСТами.

Формула (1) является удобной при численном синтезе антенн.

Задача ставится следующим образом. Дана диаграмма направленности,

2

выраженная функцией h(k[,k2) в области П = [-|k |,| k |] , где k — волновое число.

Требуется определить функцию g (С, Л) в раскрыве антенны П1 = [—A, A], где A — достаточно большое положительное число.

Введем узлы vk =— A + 2kA / N, k = 0,1,...,N. Введем сетку узлов vkl = (vk, vl), k, l = 0,1,..., N.

Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде кусочно-постоянной функции

N —1N—1

g NN (С Л) = gkl ¥ kl(С ЛХ (2)

k=0 l=0

где ¥ kl (С, Л) = 1,(С, Л) ё а ы ; уи (С, Л) = 0,(С, Л) ё Ц \ Аы, k, l = 0,1,..., N — 1.

№ 4 (44), 2017 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника Здесь

Ак/ = V -^+1) х [V/,у/+1), к, / = 0,1,...,N - 2, А N-1,/ = [vN-1 .VN] х И, v/+1), 1 = N - 2, Ак,N-1 = [vk.vk+1)х[^¥-ЪVN], к = N-2, А N-1, N -1 = -1, у N-1] х [vN -1, VN -1].

Неизвестные коэффициенты gk/ в выражении (2) находятся из систем

линейных алгебраических уравнений, которые строятся следующим образом.

*

Первая вычислительная схема. Подставим функцию gNN (С,Л) в уравнение (1) и воспользуемся методом коллокации по системе узлов (х,-, х]-), ,, ] = 0,1,..., N -1; х]- =-|к | +21 к | ] / N, ] = 0,1,..., N. Интеграл

в формуле (1) вычисляем по формуле прямоугольников. В результате приходим к системе уравнений

4 ,2 N-1 N-1

4АГ Е Е g^г(х^т) = Н(х],X/), Л/ = 0,1,...,N -1. (3)

N т=0 п=0

Замечание. Эту вычислительную схему естественно использовать при условии, что функция | к+ к2Л |, к1,к2 <| к |, | ^ |, | л |< А, достаточно мала:

4(| к | А)2 < N.

*

Вторая вычислительная схема. Подставим функцию gNN (С,Л) в уравнение (1) и воспользуемся методом коллокации по системе узлов (х,-, х]-), ,, ] = 0,1,..., N -1; х]- =-|к | +21 к | ] / N, ] = 0,1,..., N. Интеграл

в формуле (1) вычисляем по формуле Ньютона - Лейбница. В результате приходим к системе уравнений

, N-1 N-1

-ТГ Е Е gmn (е^т+1 -е^т )(ех^ - е^п) = Н(х],х/), к1 * 0, к2 * 0; к1к2 ^ П=0 1 х т=0 п=0

2 А *-1 "-1

Е Е gmn (eix'v"+1 - eix'v") = h(0, xl), kx = 0, k2 * 0;

iNk2 0 0 x m=0 n=0

2A N-1 N-1

Е Е gmn (e J m+1 -e J m) = h(Xj,0), ki Ф 0, k2 = 0; (4)

iNk1 —0 —

1 m=0 n=0

i, j = 0,1,...,N -1.

Третья вычислительная схема. Более точной, но и более трудоемкой, является следующая вычислительная схема. Пусть функция gл) имеет непрерывные производные до г порядка по каждой переменной.

Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде локального сплайна

N-1N -1

gNN (С, Л) = £ ^gkl(С ЛХ

k=0 l=0

где gkl Л) - интерполяционный тригонометрический полином r -го порядка по каждой переменной, определенный в области Akl, k, l = 0,1,...,N -1. Напомним, следуя [15], построение четного тригонометрического полинома. Пусть на сегменте [0, л] задана функция ф^).

Пусть в сегменте [0,л] заданы узлы Х0,*i,...,xn . Четный тригонометрический полином порядка n определяется формулой

n

Фп (t) = 2 ф( xk )¥ k (t),

k=0

где ^k (t) - фундаментальные полиномы:

^ (t) = (cos x - cos x0) ••• (cos x - cos xk-1 )(cOS x - cos xk+1) ••• (cos x - cos xn) (cos xk - cos x0) • • • (cos xk - cos xk-1 )(cos xk - cos xk+1) • • • (cos xk - cos xn)

Вычислительная схема имеет вид

jj"g NN (С, Л)ег( WjV^d Cd Л = h( wt, wj), (5)

Q

*

где (w;-,wj) - сетка, состоящая из узлов сплайна gNN(С,Л). Интегралы

в левой части предыдущего выражения вычисляются аналитически.

Отметим, что вопросы точности вычисления интегралов от быстроос-циллирующих функций исследовались в [16].

Решение системы уравнений (3) (или (4), (5)) позволяет синтезировать антенну с заданной диаграммой направленности.

Отметим, что описанный алгоритм применим и в случае, когда моделируются щелевые антенны с заданными свойствами.

Приведем результаты численного моделирования диаграммы направленности. Будем решать уравнение (1) в предположении, что

h (k1, k2 ) = -—•( e2i(k1+k2 )-e2ik1 - e2ik2 +1) e-(k1 +k2). Точное решение равно

g(С,л) = 1, -1 <С,Л< 1.

Результаты вычисления приведены на рис. 1 для частот 1 и 10 ГГц. Из рис. 1 видно, что точность решения равна 3 • 10 9.

II 1 I J I 1 I 1 I ' I 1 I ч 1 [ ' г

0.8 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 б)

Рис. 1. График полученной функции g (на частотах: а - 1 ГГц; б - 10 ГГц

2. Исследование фрактальных антенн на совершенном множестве Кантора

В данном разделе исследуются фрактальные антенны, топология которых основана на двух фракталах - совершенном множестве Кантора и ковре Серпинского. К настоящему времени хорошо исследованы антенны на линейных и прямоугольных носителях, состоящие из равномерно расположенных вибраторов (вибраторы образуют линейные и прямоугольные сетки). Подробный анализ таких антенн дан в книге [17].

Представляет значительный интерес исследование антенн, составленных из вибраторов, расположенных на хаотической сетке. Основные вопросы, которые при этом возникают заключаются в следующем:

1) как влияет на электромагнитные характеристики антенн хаотическое расположение вибраторов;

2) возможно ли поддерживать электромагнитные характеристики антенн в случае отказа отдельных вибраторов.

Для этого было проведено исследование фрактальных антенн следующих видов:

1) фрактальных антенн с топологией совершенного множества Кантора и с единообразными вибраторами;

2) фрактальные антенны с топологией совершенного множества Кантора и с неравномерным распределением вибраторов по высоте;

3) фрактальные антенны с топологией совершенного множества Кантора и с распределением вибраторов по высоте в виде параболы.

Во всех случаях рассматривались третьи итерации совершенного множества Кантора.

Для каждой из перечисленных выше топологий в среде были вы-

числены следующие характеристики:

1) трехмерное изображение диаграммы направленности;

2) проекция диаграммы направленности на плоскость;

3) амплитудно-частотная характеристика антенны;

4) коэффициент стоячей волны по напряжению.

Для каждой из исследованных топологий перечисленные характеристики представлены на следующих рисунках:

1) для фрактальных антенн с топологией совершенного множества Кантора и с единообразными вибраторами - на рис. 2-6;

2) для фрактальных антенн с топологией совершенного множества Кантора и с неравномерным распределением вибраторов по высоте - на рис. 7-11;

3) для фрактальных антенн с топологией совершенного множества Кантора и с распределением вибраторов в виде параболы - на рис. 12-16.

Рис. 2. Модель антенны

а)

б)

Рис. 3. Диаграммы направленности антены на частотах: а - 1 ГГц; б - 6 ГГц; в - 11 ГГц