Об одном численном методе синтеза фрактальных антенн Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

DOI 10.21685/2072-3040-2017-1-6

И. В. Бойков, П. В. Айкашев

ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ СИНТЕЗА ФРАКТАЛЬНЫХ АНТЕНН

1

Аннотация.

Актуальность и цели. В настоящее время теория и техника антенн является одной из наиболее быстро развивающихся областей радиотехники. Современные достижения в теории и технике антенн основываются на последних достижениях в физике и математике. В связи с необходимостью миниатюризации антенн, применяемых в мобильных устройствах, происходит внедрение методов фрактальной геометрии в радиотехнику. В течение последних десятилетий наблюдается возрастающий интерес к построению и исследованию фрактальных и генетических антенн. В связи с этим возникает необходимость в разработке аналитических и численных методов анализа и синтеза фрактальных и генетических антенн. С математической точки зрения задача усложняется тем, что синтез антенн описывается операторными уравнениями с компактными операторами, т.е. некорректными задачами. Статья посвящена построению численного метода решения уравнений Фредгольма первого рода, моделирующих антенны и иллюстрации этого метода при синтезе фрактальных антенн.

Материалы и методы. В работе используются методы оптимизации, функционального анализа и линейной алгебры.

Результаты. Предложена модификация метода локальных поправок для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Предложенный метод использован для решения задачи синтеза фрактальных антенн на пред-фракталах совершенного множества Кантора и предфракталах ковра Серпин-ского. Построены вычислительные методы механических квадратур для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода и предложены алгоритмы их реализации (метод локальных поправок).

Выводы. Построены и программно реализованы приближенные методы решения уравнений Фредгольма первого рода, моделирующих синтез антенн. Показано, что эффективными методами решения уравнений Фредгольма первого рода являются модификации метода локальных поправок. Продемонстрирована эффективность предложенных численных алгоритмов на примере синтеза антенн с раскрывом на предфракталах совершенного множества Кантора (в одномерном случае) и на предфракталах ковра Серпинского (в многомерном случае). Предложенные алгоритмы могут быть использованы при решении многих некорректных задач.

Ключевые слова: фрактальные антенны, некорректные задачи, уравнения Фредгольма первого рода.

Background. At the present time the theory and technology of antennas are one of most rapidly developing fields of radio engineering. Modern progress in the theo-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 16-01-00594.

I. V. Boykov, P. V. Aykashev

ON ONE NUMERICAL METHOD OF FRACTAL ANTENNA SYNTHESIS

Abstract.

ry and technology of antennas is based on latest achievements in physics and mathematics. Due to the need for antenna miniaturization for mobile devices, the methods of fractal geometry are being adopted in radio engineering. In recent decades there has been observed a growing interest in construction and research of fractal and genetic antennas. In this regard there rises a necessity to develop analytical and numerical methods of analysis and synthesis of fractal and genetic antennas. From the mathematical point of view the problem is complicated by the description of antenna synthesis through operator equations compact operators, i.e. ill-conditioned problems. The article is devoted to construction of a numerical method of solution of Fredholm's equations of first kind that model antennas and illustrations of this method at fractal antenna synthesis.

Materials and methods. The authors used methods of optimization, functional analysis and linear algebra.

Results. The article suggests a modification of the local correction method to solve Fredholm's integral equations of first kind. The suggested method is used for solving the problem of fractal antenna synthesis on pre-fractals of the Cantor's perfect set and pre-fractals of the Sierpinski's carpet. The work describes the constructed computational methods of mechanical quadratures to solve Fredholm's integral equations of first kind and offers their implementation algorithms (the method local corrections).

Conclusions. The authors have constructed and implemented on software the approximate methods for solving Fredholm's equations of first kind that simulate antenna synthesis. It is shown that the modifications of the local correction method are efficient methods for solving Fredholm's equations of first kind. The article demonstrates the efficiency of the suggested numerical algorithms by the example of synthesizing antennas with apertures on pre-fractals of the Cantor's perfect set (in a one-dimensional case) and pre-fractals of the Sierpinski's carpet (in a multidimensional case). The suggested algorithms may be applied when solving many ill-conditioned problems.

Key words: fractal antennas; ill-conditioned problems; Fredholm's equations of first kind.

Введение

В современных условиях техника антенн является одной из наиболее быстро развивающихся областей радиотехники. Современные достижения в теории и технике антенн основываются на последних разработках в физике и математике. В связи с необходимостью миниатюризации антенн, применяемых в мобильных устройствах, началось внедрение методов фрактальной геометрии в радиотехнику. В течение последних двух-трех десятилетий наблюдается возрастающий интерес к построению и исследованию фрактальных и генетических антенн [1, 2].

В связи с этим возникает необходимость численного моделирования синтеза антенн, имеющих различную геометрическую конфигурацию. Задача синтеза антенн осложняется тем, что их модели описываются операторными уравнениями первого рода, т.е. некорректными задачами.

В статье предлагается численный метод решения задачи синтеза антенн, определенных на различных линейных и пространственных многообразиях, в частности, на предфракталах совершенного множества Кантора и предфракталах «ковра» Серпинского. Выбор этих множеств для иллюстрации эффективности численного метода связан с тем, что мера совершенного множества Кантора и мера «ковра» Серпинского равны нулю. Таким образом,

выбирая высокие порядки предфракталов этих множеств, можно добиться значительной миниатюризации.

В качестве численного метода в статье предлагается модификация метода локальных поправок.

Статья построена следующим образом. Раздел 1 посвящен постановке задачи. В разделе 2 излагается метод локальных поправок для решения одномерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода, определенных на предфракталах совершенного множества Кантора. В разделе 3 излагается метод локальных поправок для решения двумерных уравнений Фредгольма первого рода, определенных на предфракталах «ковра» Серпинского. В разделе 4 описываются вычислительные эксперименты.

1. Постановка задачи

Один из подходов к синтезу антенн заключается в следующем. Требуется найти элемент x такой, чтобы синтезируемый им сигнал

f = Ax (1)

обладал некоторыми нужными свойствами.

Кроме того, искомый элемент x должен удовлетворять ряду требований, необходимых для технической реализации. В рамках этого подхода

*

в работах [3-5] предлагается определение синтезирующего сигнала x из

*

решения уравнения (1), где f - функция с заданными свойствами. Так как оператор A , как правило, является компактным, то уравнение (1) является некорректной задачей, и для ее решения в [3-5] применяются методы регуляризации.

В работе [6] предлагается следующая формулировка задачи синтеза антенн: ищется определенная на интервале -1 < t < 1 функция x(t), порождающая выходной сигнал

1

f (t) = Jh(t, x)x(x)dx, t e [0,я], (2)

-1

с заранее заданными свойствами.

Предполагается, что ядро h(t, x) имеет простую форму и является гладким по обеим переменным. В частности, в [4] в качестве функции h(t, x) берется h(t, x) = cos(kt cos x), где k - некоторый параметр.

Функция f (t) задается исходя из различных технических требований. Ниже на функцию f (t) наложим следующие условия:

1) на интервале [0, я] выделяются две области: зона центрального лепестка Д 0 =[я / 2- d0, я / 2 + d0] и зона боковых лепестков Д1 =[0,я/2-d1]u [я/2 + d1,я/2];

2) |f (x)|< M0, x еД1;

3) |f (x)|< M0/ m, x e [0, я]\(Д0 u^);

4) на Д0 функция f (x) должна быть остро направленной:

0< Ых <| f (x)|< M2< -, lim | f(v)(x)|= «,v = 1,2,...

Следуя [6], введем функционал, оценивающий «энергетические затраты»:

1

Fo(x(-))= j|x(t)|2 dt.

-1

Для миниатюризации антенн будем считать, что раскрывом антенны является не интервал [-1,1], а некоторое множество сегментов,

принадлежащих этому интервалу, или, что более соответствует технической

2

реальности, множество прямоугольников, расположенных в квадрате [0,1]

или множество кубов, расположенных в кубе [0,1] . Рассмотрим, как случаи, когда эти области расположены по некоторому правилу, так и случаи, когда эти области расположены случайным образом.

Замечание. В описанную выше постановку задачи вписывается ситуация, когда антенна состоит из нескольких отдельно расположенных вибраторов, совместно моделирующих заданный сигнал.

В качестве множеств, на которых определено уравнение (2), естественно взять фракталы различной размерности.

Исследуем возможность синтеза антенн на различных многообразиях, в том числе на следующих фракталах: совершенное множество Кантора и ковер Серпинского.

Под возможностью синтеза антенн на фракталах понимается возможность их синтеза на предфракталах высоких порядков.

Таким образом, задача синтеза антенн сводится к решению интегральных уравнений Фредгольма первого рода, определенных на различных множествах.

Кроме того, в связи с необходимостью физической реализации теоретических результатов на решение уравнения налагаются дополнительные условия. В частности, требуется, чтобы решение было неотрицательным и по модулю не превосходило некоторого наперед заданного числа. Таким образом, ставится задача решения уравнения

jh(t,х)x(x)dх = f (t), te [0,я], (3)

C

при условии

0 < x(t) < M, t e C, (4)

где C - некоторое многообразие, обусловленное конструкцией антенны, причем C может быть кластером дискретных источников возбуждения.

Так как ищется решение уравнения (3) при дополнительном условии (4), то естественно применять итерационные методы.

Одним из таких методов, применимых при решении некорректных задач, является метод локальных поправок. Этот метод хорошо зарекомендовал себя при решении обратных задач геофизики [7-9].

Построим модификацию этого метода для решения уравнения (3) при условии (4).

2. Одномерный раскрыв антенны

В этом разделе рассмотрим случай, когда раскрыв антенны представляет собой некоторое многообразие на прямой.

Для простоты в изложении метода ограничимся рассмотрением уравнения

1

]й(г, х)х(х)^х = /(0, г е [0,1], (5)

о

при условии (4).

Вначале рассмотрим простейшую вычислительную схему метода механических квадратур.

Замечание. Рассматривается простейшая вычислительная схема метода механических квадратур, основанная на представлении приближенного решения сплайном нулевого порядка, так как при решении уравнения (3) на фракталах область определения решения в пределе имеет меру, равную нулю. Приближенное решение уравнения (5) будем искать в виде

п—1

хп ({)= к^к (t), (6)

к=0

[1, г еДк

где ¥ к (0= ^ , тп\А Дк [(к, tk+1), к = 0,1,.--,п — 2, Дп—1 =[гп—1,1]

[0, г е [0,1] \ Дк, гк = к /п,к = 0,1,...,п .

Коэффициенты (ак}, к = 0,1,...,п — 1, определяются из системы уравнений

1 п—1

-,к)ак = /{Ц), I = 0,1,.,п — 1. (7)

пк 0

Замечание. Возможен другой выбор точек коллокации и квадратур, но в данном случае он несущественен.

В частности, можно ввести узлы ^ = гк + 1 / 2п и построить вычислительную схему

- n—1

- , tk )ак = f(Tl),l = 0,1,., n — 1. (8)

n

k=0

Введем проектор Рм[/;[а,Ь]], где /(х) — функция действительной переменной, хе [а,Ь] с [0,1].

Оператор Рм [ / ,[а, Ь]] действует по формуле

Pm [ f,[«, b]] =

0, f (x) < 0, f (x), 0 < f (x) < M, M, f (x) > M.

В случае, если из контекста ясно, какой функции и на каком сегменте применяется оператор Рм [/,[а,Ь]], будем просто писать Рм.

Метод локальных поправок состоит из следующих этапов: 1. Возьмем начальное приближение

п—1

x„(t ) = ¥ k (t).

k=0

2. Для каждого узла tk, k = 0,1, ..., n -1, найдем модуль разности

n-1

1 n—i

f (tk) — Yh(tk, ti )a0

l=0

k = 0,1,...,n -1.

3. Найдем максимальную погрешность e0 = max e°. Предположим

0<k <n-1

вначале, что максимальная погрешность достигается на элементе

x0* = a0*¥ * (t). i i i

4. Исследуем влияние различных компонент вектора {al},

l = 0,1,...,n-1, на величину e0. Для этого последовательно дадим каждой

компоненте a0 вектора {a0}, l = 0,1,...,n -1, виртуальное приращение 5.

0 .

Имеем для элемента aj .

n-1

1 1

f(t.*) — V h(t*,tk)ak — h(t*,tj)(a(j +5) i n i nl

k=0k/j

n-1

f(t*) — Vh(t*,tk)ak -

i n ^ I

k=0

—h(t *, t j )5 n i J

e0* -1 h(t *,tj )5 i n i J

Положим 5 = sgn^e°* /h(t*,tj)50 при h(t*,tj) Ф 0.

Отметим, что 50 должно удовлетворять условию

1 h(t *, tj )50 ni

< e0*.

Выбор 80 может быть осуществлен до начала шага 4. Обозначим

eV, j ) =

e0 -1 h|t,*,tj)sgn^e0* /h(t*,tj)j50

Если h(t*,tj) = 0, то элемент a,- исключается из дальнейшего

i j j

рассмотрения на шаге 4.

*

Найдем значение j , при котором

0 * * 0 * e (i , j )= max e (i , j).

0< j <n-1

5. Приступим к выбору первой поправки. Положим а1- = а0 при

* * 10 1 1

- Ф - . При - = - положим а * = а * + Р *. Значение Р * находим из

- -- - -

решения уравнения 0 =

f()-« t ,h('jИ-«h(•'*)I<

k=0k*j*

и-1

f ()-1 th (• 'j И - «h ((-*• '*И = £V)- «h ((-*• '* И

k=0

отсюда

p1* = «e0* / h I' ' * |. j - V - j )

Положим

a j = <

«0 •

PM

a0* +P1* j J

j * j • *

• j = j .

После этого возвращаемся к первому шагу, заменив начальное прибли-

п—1

жение х«(0 первым приближением х« (¿) = ^к (0.

к=0

Замечание. Если и в следующем цикле экстремальным оказывается

*

значение ^* , то - -я компонента блокируется и цикл повторяется для

*

- = 0,1,.,« — 1,- Ф - . Затем при выполнении счета вновь рассматриваются все индексы - = 0,1,...,« — 1.

Возможны различные способы выхода из цикла. Простейшими являются следующие два:

\ ^ т

а) выход из цикла на т -й итерации при выполнении условия е* < е,

где е — заранее фиксированное число;

б) выход из цикла на т -й итерации, где т — заранее фиксированное число.

Рассмотрим теперь случай, когда на некотором I шаге итерационного

I * * *

процесса значение е* достигается при нескольких значениях /1,г2,...,¡к.

Ограничимся рассмотрением случая, когда е* достигается при двух

* *

значениях ¡1, ¡2.

* * *

Для каждого значения ¡1 и ¡2 в отдельности находятся значения - и

* I

-2, которые оказывают наибольшее влияние на е*. После этого находим

поправки р1 * и р1 *.

Поправки находятся из решения системы уравнений

п—1

0 =

f ('í)-f _¿ *h((Ц -^('f'jf)(«j +pj

k=0kJ2

-1 h (t.*, t.*) í al * + pl * | = e* -1 h (t.*, t.* W * +1 h (t.*, t .* W * И \ . .2 l\ .2 .2 У И \ г1 .W .1 И \ г1 .2 I .2

/ (t*)-- E h (t *,tk )o¿ -1 h (t*,t*) í al* + pl.* ] -

\ И '* * \l2 I И \l2 .1 .1 .1 У

k=0k .

-1 h (t .*, t.*) | al * +Pl * | = e* -1 h (t.*, t.* W * -1 h (t .*, t.* W *

И \h .2 ly .2 .2 У И \ . Л / .1 И \ г2 J2¡ .2

Вычислив значения поправок pl * и pl *, имеем ak+1 = «k при

Л .2

/+i

k ф jl, j2' « .* = PM ji

« * + pl * ji ji

«+i = p « .* = PM

j2

a[* + pj*

j 2 j 2

Замечание. Для устойчивости итерационного процесса на I -м шаге вместо поправок р1 * и р1 * предпочтительно брать р1 * /10 и р1 * /10 или

А Ь А Ь

даже с большими делителями для того, чтобы е*+1 < е*. Перед окончательным выбором значений а!+1 и а!+1 нужно вычислить значение ЕФ+1 и убеди-

2

I+1 , I

ться, что е* < е*. В противном случае нужно уменьшать модули

Pl *

ji

Pl *

j2

до тех пор, пока не будет достигнуто указанное неравенство.

3. Многомерный раскрыв антенны

В этом разделе рассматривается случай, когда раскрывом антенны является некоторое многообразие на плоскости.

Для простоты при изложении метода ограничимся рассмотрением уравнений

il

Иh(',Ti,Х2)x(Ti,%2)d%idT2 = f('), 'e[0,я];

(9)

00

ii

Х2,ТЬТ2)х(х1,Х2)^Х1^Х2= /(¿Ь¿2), (¿1,¿2)е [0,^]2. (10)

00

Для определенности остановимся на уравнении (10). Введем обозначения:

и

ук = к / п, к = 0,1,..., п; Ды = у у+1)х [у ,у/+1), к = 0,1,..., п - 2, / = 0,1,...,п - 2, Дп-1,/ =[Уп-1,Уп]х[V/+1), / = 0,...,п - 2,

Дк,п-1 =[ук,ук+1)х[уп-1,уп], к = 0,1,...,п -2, Дп-1,п-1 =[уп-1,уп;уп-1,уп]. Приближенное решение уравнения (10) будем искать в виде функции

и—1 и—1

хии = T kl (tb

k=0l=0

где

T kl (tl, t2) =

f1, (ti, t2) eAki,

0, (ti,t2)e [0,l]2 \ Дki,k,l = 0,1,...,и — 1

Коэффициенты (ак/}, к,/ = 0,1,...,п -1, определяются из системы уравнений

п—1 п -1

1

— , vj, vk, vl )akl = / (vi, vj ), ^ j = 0,1,..., и — 1.

(11)

k=0l=0

Для решения системы уравнений (11) используется метод локальных поправок, описанный в предыдущем разделе. Отличия в реализации метода локальных поправок для системы уравнений (11) от его реализации для системы уравнений (7) носят технический характер, и на них не останавливаемся.

4. Вычислительный эксперимент

В этом разделе иллюстрируется эффективность применения описанной выше модификации метода локальных поправок к синтезу антенн.

Целью вычислительного эксперимента является демонстрация возможности моделирования нужного сигнала при различном сочетании множества поверхностей раскрыва антенны на прямой и в плоскости. Это даст возможность физически создавать один и тот же выходной сигнал при различных вариантах работы вибраторов.

Вначале рассмотрим уравнение

J h(t, т)x(x)dт = /(t), te [0,я],

(12)

D„

на различных многообразиях Оп.

*

Требуется найти решение х (х), хе Бп, позволяющее с высокой

точностью воспроизвести заданную функцию /(¿), ^е [0,я], т.е. для

*

достаточно малого е найти х (х), хе Бп такое, что

/ (t) — J h(t, т) x* (x)d т

D„

<e.

C[0,1]

В качестве области интегрирования Оп возьмем п -й предфрактал Сп совершенного множества Кантора.

Напомним построение множества Кантора и предфрактала Сп.

Классическое множество Кантора названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 г. Множество Кантора строится на сегменте Со =[0,1]. Построение начинается с средней части (не включая концов) единичного отрезка. В результате удаляется открытый интервал (1/3,2/3) и остается множество С =[0,1/3] и [2/3,1]. На следующем этапе выкидываем среднюю часть сегментов [0,1/3] и [2/3,1]. В результате получаем множество

С2 =[0,1/9] и [2/9,1/3] и [2/3,7/9] и [8/9,1].

Этот процесс продолжается до бесконечности и на каждом его этапе выкидываются средние части сегментов, составляющих множества С0,С1,С2,С3,... Предельное множество С, которое представляет собой пересечение множеств Сп, п = 0,1,.., называется классической пылью Кантора.

Нетрудно видеть, что на каждом п -м шаге построения пыли Кантора длины сегментов, составляющих множество Сп , равны (1 / 3)п.

Пусть п достаточно велико и в этом предположении построим вычислительную схему приближенного решения интегрального уравнения

|И(Г,х)х(х)аX = /(0, Ъ6 [0,1]. (13)

Сп

Замечание. Здесь для удобства построения вычислительной схемы правая часть определена на сегменте [0,1].

Приближенное решение уравнения (13) будем искать в виде

хп(()= 2 ({^ (14)

1 п 1' п

где

I1' f e\-in '

¥i i (t) = \ 1 n (15)

^'"V | О, t e[0'1]\Ah^n;

'1 >•■■' n

2 2 2 2 2 2 1 —i + — i2 + • • • + — in; —ii + — i2 + • • • + — in + —

3 1 9 ^ 3 3 9 3^ 3П

i0' i1'-' in = 0,1

Каждому сегменту Д^ / поставим в соответствие узел

_ 2 2 2 1 1

Ъ =— ' + — и + + — /п +--.

'1 'п 3 1 9 2 3п п 2 3п

Коэффициенты а^ { находятся из системы линейных алгебраических уравнений

ёп I к(\-1п , = /{\-1п Х ^ =0'2Л = (16)

Л'---' 4

где суммирование I распространяется по всем сегментам, входящим

}п

в Сп' ^п = 3 •

Рассмотрим уравнение (13) при заданной правой части

(, ) = 2'194795.П(20(, - 0,5)) + о 5844 20(Г - 0,500000001)

и ядре

f

h(t, т) = 100т

sin 20(t - 0,5) + 03 20(t - 0,500000001) '

Точное решение х^) = X, X е Сп.

Здесь функция /(X) моделирует трехлепестковую функцию с сильно выраженным центральным лепестком, т.е. аналог сигнала, излучаемого антенной.

Уравнение (13) решалось на различных многообразиях. Ниже приведем результаты решения на предфрактале п-го порядка совершенного множества Кантора, так как это многообразие имеет наиболее сложную структуру среди исследованных многообразий.

При решении на предфракталах порядка п = 7 совершенного множества Кантора используется 128 сегментов.

На рис. 1 и 2 представлены точный и восстановленный графики функций /(X), X е [0,1].

Точность восстановления функции / (X) равна 8,5 -10-9. Рассмотрим уравнение (13) при ядре

Щ, т) = 10cos(10т(cos3X))

и правой части, изображенной на рис. 3. Аналитическое выражение правой части не приводится, так как оно чрезвычайно громоздко (занимает две страницы машинописного текста).

Результаты моделирования правой части представлены на рис. 4. Перейдем к рассмотрению, когда раскрыв антенны происходит на плоскости. Рассмотрим уравнение

X2,тьТ2)х(хьТ2МТ^Т2= /($ъX2), (Ь,X2)е [0,3]2, (17)

Сп

где Сп - п -й предфрактал «ковра» Серпинского.

2.5

1.5

0.5

0.2 0.- 0.6 0.S

Рис. 1. Заданная правая часть уравнения (13)

Рис. 2. Восстановленная правая часть уравнения (13)

Напомним построение фрактала, который называется ковром Серпинс-кого. Рассмотрим в плоскости ОХУ квадрат О = [0,3;0,3]. Построение фрактала заключается в последовательном выполнении следующих действий:

1. Квадрат О делится на девять равных квадратов прямыми, параллельными координатным осям, и выбрасывается центральный квадрат. Полученное множество обозначим через О1.

2. Множество О1 состоит из восьми квадратов со сторонами, параллельными координатным осям, и с длинами сторон, равными единице. Пронумеруем эти квадраты начиная с квадрата, находящегося в левом

нижнем углу квадрата Q, двигаясь против часовой стрелки. Пронумерованные квадраты обозначим через Дг- ¡1 = 1,2,...,8.

Рис. 3. Заданная правая часть уравнения (13)

Восстановленная правая часть Исходная правая часть

Рис. 4. Сравнение исходной и восстановленной правой части уравнения (13)

Каждый квадрат Д^, ¡1 = 1,2,...,8, делится на девять равных квадратов и

из каждого выбрасывается центральный квадрат. Оставшиеся в квадрате Д^,¡1 =1,2,..., 8, более мелкие квадраты пронумеруем, двигаясь против

часовой стрелки начиная с левого нижнего квадрата, расположенного в Д^.

Полученные квадраты обозначим через Дг^,h,z2 = 1,2,...,8. Полученное

множество обозначим через Q .

3. Описанная выше процедура проделывается с множеством Q, затем с Q3 и т.д.

Замечание. Предфрактал n -го порядка обозначается через Qn.

Пересечение ^ Q/ множеств Q/, i = 1,2,..., называется ковром

i=1

Серпинского.

Приближенное решение уравнения (17) будем искать в виде кусочно-постоянной функции

xn (112) = Z %'2,.'пVhii2, . in (112), 1t2 eQn, (18)

i1,i2,..,in

где

1% (^i2)еД.,- ,

¥«« i (t1,t2) = | 1 n (19)

12f |0, (h,t2)eQ\Д, ,

l 1 n

ij = 1,2,...,8, j = 1,2,..., n.

Сумма в формуле (18) распространяется на индексы ij =1,2,...,8,

j = 1,2,...,n. Обозначим t^..^ пересечение диагоналей в квадрате Д^ { .

Коэффициенты {агг- t } определяются из решения системы линейных 12' n

алгебраических уравнений

Z «j j h(ti1.. in ,~tj1... jn )dT1dT2 =

j1,j2,..,jn Дi

JvJn

= f (t1..in),ij = 1,2,..,8, j = 1,2,...,n. (20)

Здесь t/*1...¿п ,l = 1,2,- проекции точки t^...in на оси xi,l = 1,2. Будем решать уравнение (17) в предположении, что

1 -(t -1,5)2 +(t2 -1,5)2) 2

h(t1, t2, Х1, Х2) = (Х1 + ^2)32^ 1 2 , (t1, t2) e[0,3]2,(x1, Х2) e Cn;

f (t1,t2) = 2,0617e"((t1-1,5)2+(t2-1,5)2), (t1,t2)e [0,3]2. Точное решение x(t1,t2) = t1t2,(t1,t2)e Cn.

Уравнение (17) решалось на предфрактале второго порядка (см. рис. 5). Правая часть уравнения (17) представлена на рис. 6.

Рис. 5. Область определения решения уравнения (17)

Рис. 6. Заданная правая часть уравнения (17)

7-10

2

Точность восстановления правой части f (t1, t2) в области [0,3] равна

-6

Библиографический список

1. Потапов, А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки / А. А. Потапов. - М. : Университетская книга, 2005. - 848 с.

2. Altsuler, E. Electrically Small Self-Resonant wire Antennas Optimized Using a Genetic Algorithm / E. Altsuler // IEEE Trans Ant Prop. - 2003. - Vol. 50, № 3. -P. 297-300.

3. Тихонов, А. Н. О методах решения обратной задачи теории антенн / А. Н. Тихонов, В. И. Дмитриев // Вычислительные методы и программирование. -Вып. XIII. - М. : Изд-во МГУ, 1969. - С. 209-214.

4. Чечкин, А. В. Метод функциональных пространств для решения обратной задачи теории антенн / А. В. Чечкин // Вычислительные методы и программирование. - Вып. XIII. - М. : Изд-во МГУ, 1969. - С. 215-221.

5. Чечкин, А. В. Многометрический метод регуляризации / А. В. Чечкин // Вычислительные методы и программирование. - Вып. XXVIII. - М. : Изд-во МГУ, 1979. - С. 162-176.

6. Перебинос, М. Ф. Методы математического программирования в задачах оптимального синтеза антенн / М. Ф. Перебинос, Р. П. Федоренко // Вычислительная математика и математическая физика. - 1986. - Т. 26, № 5. -С. 711-722.

7. Бойков, И. В. Метод локальных поправок в задачах аналитического продолжения / И. В. Бойков // Геофизический журнал. - 1995. - Т. 17, № 1. -С. 42-49.

8. Бойков, И. В. О применении метода локальных поправок к приближенному решению обратных задач гравиметрии / И. В. Бойков // Физика Земли. - 1993. -№ 3. - С. 86-90.

9. Пруткин, И. Л. О приближенном решении трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии методом локальных поправок / И. Л. Пруткин // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1983. - Т. 1. - С. 53-58.

References

1. Potapov A. A. Fraktaly v radiofizike i radiolokatsii: Topologiya vyborki [Fractals in radio physics and radio location]. Moscow: Universitetskaya kniga, 2005, 848 p.

2. Altsuler E. IEEE Trans Ant Prop. 2003, vol. 50, no. 3, pp. 297-300.

3. Tikhonov A. N., Dmitriev V. I. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Numerical methods and programming]. Issue XIII. Moscow: Izd-vo MGU, 1969, pp. 209-214.

4. Chechkin A. V. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Numerical methods and programming]. Issue XIII. Moscow: Izd-vo MGU, 1969, pp. 215-221.

5. Chechkin A. V. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Numerical methods and programming]. Issue XXVIII. Moscow: Izd-vo MGU, 1979, pp. 162-176.

6. Perebinos M. F., Fedorenko R. P. Vychislitel'naya matematika i matematicheskaya fizi-ka [Calculus mathematics and mathematical physics]. 1986, vol. 26, no. 5, pp. 711-722.

7. Boykov I. V. Geofizicheskiy zhurnal [Geophysical journal]. 1995, vol. 17, no. 1, pp. 42-49.

8. Boykov I. V. Fizika Zemli [Physica of the Earth]. 1993, no. 3, pp. 86-90.

9. Prutkin I. L. Izvestiya AN SSSR. Fizika Zemli [Proceedings of AS USSR. Physics of the Earth]. 1983, vol. 1, pp. 53-58.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: boikov@pnzgu.ru

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Айкашев Павел Владимирович

аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: math@pnzgu.ru

Aykashev Pavel Vladimirovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК Бойков, И. В.

Об одном численном методе синтеза фрактальных антенн /

И. В. Бойков, П. В. Айкашев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 1 (41). - С. 51-67. Б01 10.21685/2072-3040-2017-1-6