CC BY
60ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
СЕМЕЙСТВО ОБОБЩЕННЫХ ТРИАДНЫХ ФРАКТАЛОВ КОХА: РАЗМЕРНОСТИ И ФУРЬЕ-ОБРАЗЫ
1,2Арзамасцева Г. В., 1Евтихов М. Г., 1Лисовский Ф. В., 1Мансветова Е. Г.
1Институт радиотехники и электроники им. ВА. Котельникова РАН, Фрязинский филиал, http://fire.relarn.ru 141190 Фрязино, Московская область, Российская Федерация 2Современная гуманитарная академия, http://www.muh.ru 109029 Москва, Российская Федерация
Поступила в редакцию 17.11.2015
Представлена членом-корреспондентом РАЕН В.И.Грачевым
Численными методами получены Фурье-образы семейства обобщенных триадных фракталов (кривых и снежинок) Коха с изменяющимся углом при вершине генератора. Произведено сравнение различных способов определения размерности фракталов по дифракционным картинам в зоне Фраунгофера. Выполнен анализ зависимости соотношения размеров центральной (фрактальной) и периферической (решеточной) частей дифракционной картины от изменения угла при вершине при фиксированном номере поколения предфрактала и от номера поколения предфрактала при фиксированном значении угла при вершине. Обсуждены особенности Фурье-образов кривых Коха и снежинок Коха.
Ключевые слова: дифракция Фраунгофера, коэффициент масштабирования, кривая Коха, масштабная инвариантность, метод кольцевых зон, метод кругов, метод покрытия, симметрия, снежинка Коха, фрактал Коха, фрактальная размерность, Фурье-образ, численные методы
УДК 51.74; 535.42_
Содержание
1. Введение (81)
2. Описание процедуры получения Фурье-образов фракталов Коха (82)
3. Методы определения размерности фракталов Коха (83)
4. Фурье-образы семейства кривых Коха с различными углами при вершине генератора (84)
5. зависимость размерности кривых Коха от угла при вершине генератора (85)
6. Свойства Фурье-образов кривых Коха (86)
7. Свойства Фурье-образов снежинок Коха (87)
8. Свойства Фурье-образов модифицированных кривых Коха (88)
9. Заключение (88) Литература (89)
1. ВВЕДЕНИЕ
Внешне похожий на очертания снежинки фрактал (прародитель семейства фракталов, о которых пойдет речь далее) получил
персонифицированное название в честь шведского математика Хельге фон Коха, который описал его в опубликованной в 1904 г. работе, заглавие которой в переводе с французского звучит так: "О не имеющей касательных непрерывной кривой,
получаемой элементарными геометрическими построениями"[1].
У фракталов Коха оказалась достаточно сложная генеалогия. Выяснилось, что на год раньше японский математик Тейджи Такаги опубликовал статью с практически идентичным названием "Простой пример непрерывной функции, не имеющей производных" [2], где описал так называемую кривую типа "бланманже" (в настоящее время именуемую кривой Такаги-Ландсберга), которая оказалась ближайшей родственницей снежинки Коха. Затем семейство рассматриваемых кривых было расширено в 1933 г. Гильдебрандтом [3] и в 1957 г. — де Рамом [4]. Последнее расширение оказалось наиболее представительным: частными
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
случаями кривых де-Рама являются такие широко известные "классические" фракталы, как снежинки Коха, заполняющие плоскость кривые Пеано, кривые Чезаро-Фабера, Такаги-Ландсберга, Леви и др., см [5].
В настоящей работе изучены свойства полученных численными методами Фурье-образов и спектров хаусдорфовых размерностей семейства триадных геометрических фракталов с генератором в виде симметричной четырехзвенной ломаной с произвольным углом при вершине между центральными звеньями, и с инициатором (ломаной) в виде отрезка прямой (кривая Коха) или в виде равностороннего треугольника (снежинка Коха). При построении фрактала на каждом шаге отрезки исходной ломаной симметрично относительно центра разбиваются на три равных (при а = 60°) или неравных (при а ф 60°) части (отсюда — "триадный" в названии семейства). Используемый в настоящей работе термин "Фурье-образ" на самом деле относится к наглядному представлению на плоскости распределения квадратов модулей компонент преобразования Фурье для изображений фракталов (см. рисунки в тексте). Получаемая при этом картина близка к получаемой при фраунгоферовой дифракции электромагнитных волн на фракталах, что делает возможным выполнение проверочных натурных экспериментов.
2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ПОЛУЧЕНИЯ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ ФРАКТАЛОВ КОХА
Используемая в настоящей работе процедура определения Фурье-образов изображений фрактальных объектов (то есть, дифракционных картин от них в зоне Фраунгофера) с использованием численных методов, ранее описанная и примененная для изучения фракталоподобных доменных структур в магнитных пленках [6], позже нами была опробована на реальных тестовых объектах (монопериодические и бипериодические доменные структуры), когда можно было в видимом диапазоне длин волн непосредственно наблюдать и фотографировать дифракционные картины
в режиме "на просвет". Полученные по оцифрованным фотографиям доменных структур их Фурье-образы соответствовали как результатам теоретического расчета, так и экспериментально наблюдаемым дифракционным картинам [7]. Кроме того, аналогичные численные методы были использованы и для ряда других фрактальных объектов [8], для которых явление дифракции было достаточно хорошо изучено другими авторами [9-11]. При этом согласие получаемых Фурье-образов, то есть дифрактограмм, с результатами таких экспериментальных и теоретических исследований было достаточно хорошим. Заметим, что численные методы являются достаточно простыми и не требуют аналитического описания фракталов, которое использовалось, например, авторами работ [12, 13].
Первым шагом при реализации используемых численных методов являлась генерация черно-белых растровых изображений выбранных фрактальных объектов с помощью специально разработанных программ. Далее изображения фракталов аппроксимировались сеточной функцией на равномерной сетке с числом узлов п^-п, где значения п1 и п2 выбирались достаточно большими (до 4096) для того, чтобы гарантировать адекватную аппроксимацию деталей наименьшего размера и иметь возможность исследовать поколения предфракталов с высокими номерами поколений. Для оцифрованного таким образом изображения с помощью быстрого преобразования Фурье определялись значения квадрата модулей Фурье-компонент, то есть спектральное распределение интенсивности дифрагированного излучения I в зоне Фраунгофера. Для отображения интенсивности дифракционных максимумов на плоскости можно использовать либо линейную (или логарифмическую) шкалу интенсивности с использованием различных уровней серого, либо представление значений I в виде кругов с пропорциональным интенсивности (или логарифму интенсивности) радиусом, где коэффициент пропорциональности выбирается из соображений получения оптимальной наглядности получаемых
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
изображений. В данной статье использовался второй способ, модифицированный за счет дополнительного использования гауссова размытия отображающих значения I кругов.
В следующих разделах, согласно сделанному во "Введении" замечанию, мы будем использовать для фракталов Коха с генератором в виде симметричной относительно середины четырехзвенной ломаной с произвольным углом а при вершине между центральными отрезками название "кривая Коха", если инициатором является отрезок прямой, и "снежинка Коха", если инициатором является равносторонний треугольник (см. рис. 1). Заметим, что для сохранения самоподобия предфракталов при итерациях все звенья ломаной-генератора должны иметь одинаковую длину. При а —> 0° эта ломаная становится дельтаобразной, при а — 180°сливается с прямой-инициатором; случай а = 60°соответствует классической кривой Коха.
3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ ФРАКТАЛОВ КОХА
Анализ дифракционной картины позволяет определить хаусдорфову размерность изучаемых фракталов двумя различными численными методами.
Первый метод (далее — основан на численном
метод кругов) определении усредненной результирующей интенсивности дифрагированного излучения
_ i 2п гк
1 (rk) = —2 í í1 (p,V>)PdPdV
ПГи i i
k 0 0
(1)
в кругах переменного радиуса тк = г0 + кбг с центром в точке расположения основного дифракционного максимума (р и ф — полярные координаты в плоскости дифракции, г0 и 8г — начальный радиус и шаг изменения радиуса, а к = 0, 1, 2, ...) и последующего использования формулы
- D
Рис. 1. Инициатор и генератор для обобщенных триадных кривых Коха (а) и снежинок Коха (Ь).
I (rk ) = I0e , (2)
из которой следует, что значение фрактальной размерности D равно модулю углового коэффициента прямой, аппроксимирующей зависимость I(r^ в двойном логарифмическом масштабе.
Во втором методе (далее — метод кольцевых зон) плоскость дифракции разбивается на кольцевые области системой концентрических окружностей с радиусами rk = rQmk, где rQ — начальный радиус, а m > 1 — постоянный множитель. Далее рассчитывается усредненная результирующая интенсивность дифрагированного излучения внутри каждого кольца
1 2п mk+1r>
1 (rk) =—2k 2i 2 í í 1 (p>v)pdPdV,
nm2kro2 (m2 -1) Jo jr¡¡x' (3)
после чего в двойном логарифмическом масштабе строится зависимость ДГк), модуль наклона линейного участка которой и определяет фрактальную размерность Для самоподобных фракталов, к которым принадлежат и рассматриваемые в данной работе, значение m совпадает с коэффициентом масштабирования элементов при переходе между соседними иерархическими уровнями фрактала, а значение rQ должно выбираться таким образом, чтобы каждая из кольцевых зон содержала только конгруэнтные фрагменты дифракционной картины [9-13].
Размерность фракталов можно определять и неспектральным методом покрытия, где используется построенная в двойном логарифмическом масштабе зависимость N(ek) = /(1/бк), где N(ek) — необходимое для полного покрытия фрактала число квадратов
с длиной стороны ^ 0 [14-19]. Значение
k
размерности D при этом определяется угловым коэффициентом зависимости N(e^.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
4. ФУРЬЕ-ОБРАЗЫ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ КОХА С РАЗЛИЧНЫМИ УГЛАМИ ПРИ ВЕРШИНЕ ГЕНЕРАТОРА На рис. 2 и 3 представлены полученные описанным в разделе 2 методом Фурье-образы (дифрактограммы) кривых Коха с различными значениями угла а, приведенными под каждым из подрисунков. Инициатором для всех фракталов служил отрезок длиной 4000 пикселей. Сверху над каждым подрисунком для наглядности помещены изображения соответствующих кривых 3-го поколения; для получения Фурье-образов использовались предфракталы с более высокими номерами поколений. Дифрактограммы рис. 2a-g относятся к предфракталам 6-го поколения, дифрактограммы рис. 2h и рис. 3a-d — к предфракталам 5-го поколения, дифрактограммы рис. 3e-h — к предфракталам 4-го поколения.
Для каждого значения угла а дифрактограммы приведены в двух масштабах, отличающихся в два раза: сверху в более мелком, снизу — в более крупном, abed
"Aj Л
ji'rr pfih iV ' Vyit _
позволяющем рассматривать детали центра дифрактограммы, соответствующего
фрактальной части спектра. Рис. 2а-Ь и рис. 3a-d имеют одинаковый масштаб изображения в каждом ряду (верхнем или нижнем); для рис. 3в-Ь использовалось двукратное увеличение, поскольку снижение номера поколения предфракталов сопровождается сильным уменьшением размера центральной (фрактальной) части (подробности см. далее в разделе 6).
Сравнение дифрактограмм рис. 2 и рис. 3 с одинаковым масштабом изображения для предфракталов одинаковых поколений, отличающихся лишь значением угла а, показывает, что фрактальная часть Фурье-образов сужается при уменьшении этого угла во всем исследованном интервале изменения. Особенно сильно этот эффект проявляется при а ^ 0°, когда в спектре преобладает решеточная (связанная с упорядочением) часть (рис. 2а). Размерность фрактала при этом стремится к 2 (см далее), то есть он приобретает черты заполняющей плоскость кривой.
Рис. 2.
угла при вершине г
! с различными значениями : в интервале а от 2° до 72°.
Рис. 3. Фурье-образы кривых Коха с различными значениями угла при вершине генератора в интервале а от 80° до 140°.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
5. ЗАВИСИМОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ КРИВЫХ КОХА ОТ УГЛА ПРИ ВЕРШИНЕ ГЕНЕРАТОРА
Дифрактограммы, аналогичные приведенным на рис. 2 и рис. 3, были использованы для определения размерностей кривых Коха с различными значениями угла при вершине генератора методом кругов и методом кольцевых зон. Попытки применения метода покрытия показали, что достоверное выделение линейного участка на кривой зависимости N(ek) = у(1/ек) для рассматриваемого семейства фракталов (особенно при а < 8°) сопряжено с определенными трудностями, поэтому от этого метода пришлось отказаться.
На рис. 4 приведены графики зависимостей %) в двойном логарифмическом масштабе для метода кольцевых зон (рис. 4а-с) и метода кругов (рис. 4й-]) при различных значениях угла а. Штриховые линии на рис. 4 имеют наклон, равный взятому с обратным знаком теоретическому значению размерности О, которое определяется выражением [14, 18, 20]
Df =
2 log 2
2 log 2
log 2 + log [1 + sin (a/2)] log m (4)
где m = 2[1 + sin(a/2)] — коэффициент масштабирования. Видно, что если зависимость /(r,) для метода кругов практически во всем интервале изменения а имеет достаточный для определения D^ линейный участок (рис. 4d-f), то для метода кольцевых зон линейный участок появляется лишь при а > 7.5°. При увеличении а область линейности зависимости /{r¡) для обоих методов расширяется. На рис. 5 приведена теоретическая зависимость фрактальной размерности D^ от угла в = 90° — а/2, а также нанесены соответствующие «экспериментальные» значения D, полученные методом кругов (о) и методом кольцевых зон (х).
Если а приближается к 180°, то коэффициент масштабирования m ^ 4, а размерность D f ^ 1, то есть фрактальная кривая вырождается в отрезок прямой. В другом предельном случае, при а ^ 0° коэффициент масштабирования m ^ 2, а размерность D ^2, то есть фрактальная кривая стремится заполнить всю плоскость, и именно поэтому, как было показано нами ранее для кривых Пеано и Госпера, терпит фиаско метод кольцевых зон, поскольку решеточная часть в дифракционной картине начинает преобладать над фрактальной из-за высокой степени упорядоченности заполняющих плоскость кривых [21].
Рис. 4. Графики зависимостей Цт) в двойном логарифмическом масштабе для метода кольцевых зон (а, Ь с) и метода кругов (4, е, . при различных значениях угла а. Наклон штриховых линий соответствует теоретическому
значению D
f
Рис. 5. Теоретическая зависимость фрактальной размерности О от угла в = 90° — а/2 и соответствующие «экспериментальные» значения О. , полученные методом кругов (о) и методом кольцевых зон (х).
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
6. СВОЙСТВА ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ КРИВЫХ КОХА
На рис. 6а-с приведены полученные численными методами Фурье-образы кривых Коха 5-го, 6-го и 7-го поколения соответственно с углом а = 2°, а на рис. 6й-/ — теоретические (штриховые линии) и рассчитанные методом кольцевых зон (сплошные линии) зависимости Л/к). Видно, что хотя центральная часть дифрактограммы расширяется с увеличением номера порядка поколения предфрактала, существенного приближения кривой зависимости /(¡к) к теоретической не происходит, и даже для 7-го поколения (рис. 6 ) выделить линейный участок на кривой невозможно.
На основе анализа Фурье-образов исследованных кривых Коха с различными значениями угла а (см. рис. 2, 3 и 6) была установлена количественная связь размера центральной (фрактальной) части с номером порядка поколения предфрактала. Выяснилось, что при увеличении номера поколения на
а
У
0
\\ч ......
12
N
16
1п(г,) / 1п2
е
1
N
\
0 2 0
1п(г,) / 1п2 /
Щ
. 4 Ш г* в
N
ч
О 2 4 6 8 10 12
1п(г4) / 1п2
Рис. 6. Фурье-образы (а, Ь, с) кривых Коха суглом а = 2° для предфракталов 5-го, 6-го и 7-го поколения соответственно. Зависимости 1(тк) для тех же поколений предфракталов (4, е, . соответственно: теоретические (штриховые линии) и полученные методом кольцевых зон (сплошные линии).
единицу размер фрактальной части в спектре возрастает пропорционально коэффициенту масштабирования т, то есть самый сильный эффект имеет место при а — 180°, когда т — 4. Это согласуется с результатом, полученным в работе [11], в которой было обнаружено, что в частном случае для «классической» снежинки Коха с углом при вершине а = 60° и коэффициентом масштабирования т = 3 линейный размер фрактальной части возрастает в 3 раза при увеличении номера поколения предфрактала на единицу.
Было установлено также, что фрактальная часть дифракционной картины обладает масштабной инвариантностью во всем исследованном интервале углов а, а также то, что при изменении этого угла заметно трансформируется и периферическая (решеточная) часть дифракционной картины.
Общими свойствами Фурье-образов кривых Коха при любом значении угла а является наличие центра симметрии в точке, соответствующей нулевому дифракционному максимуму, и проходящих через эту точку оси симметрии второго порядка и двух плоскостей симметрии (вертикальной и горизонтальной). При углах а = 180°/п, где п > 2, в Фурье-образах идеальных (бесконечных) фракталов должны появляться дополнительные оси симметрии порядка 2п. Эта тенденция достаточно хорошо просматривается на рис. 24. и рис. 3с (оси симметрии 10-го, 6-го и 4-го порядка соответственно), но практически отсутствует на рис. 2а и 2Ь, где должны были бы возникать оси симметрии 72-го и 24-го порядка соответственно, поскольку численными методами по мере уменьшения угла а для получения близких к Фурье-образам бесконечных фракталов необходимо использовать предфракталы все более высоких поколений. Вообще говоря, даже на рис. 24. и 3с видно, что при повороте Фурье-образов на углы 36°, 60° и 90° соответственно, действительно происходит совмещение дифракционных максимумов, но их интенсивности различаются.
Грубо структуру всех дифракционных картин можно считать спицеобразно-кольцевой, причем "спицы" отчетливее проявляются в периферической (решеточной) области, а "кольца" — в центральной (фрактальной).
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
При наличии дополнительных осей симметрии (а = 180°/», где п > 2) структура значительно усложняется, одновременно существенно повышается четкость изображения дифракционных картин (см. рис. 2Ь,(/ и 3с). При увеличении угла а в интервале 25° < а < 90° число "спиц" монотонно убывает, а затем (при 100° < а < 140°) снова начинает возрастать за счет появления в Фурье-образах, структура которых утрачивает кольцевой компонент, дополнительных "спиц" с отличным от основных контрастом (см. рис. 3в-Ь).
Для кривой Коха с углом а = 60° наблюдается наиболее четкая дифракционная картина (особенно ее фрактальная часть), состоящая из локальных максимумов различной интенсивности (рис. 2]). Для всех остальных значений угла а дифракционные максимумы «размазаны», кроме случая а = 36°, когда также достигается высокая четкость изображения (см рис. 2й). Центральная часть Фурье-образа этого фрактала в увеличенном вдвое масштабе приведена на рис. 7.
7. СВОЙСТВА ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ СНЕЖИНОК КОХА
Были изучены также свойства Фурье-образов снежинок Коха с инициатором в виде равностороннего треугольника. Наиболее симметричная и четкая дифрактограмма при а = 60° практически совпадала с наблюдаемой для соответствующей кривой Коха (рис. 2]), однако Фурье-образы снежинок при некоторых значениях угла а ф 60°, как видно из рис. 8, обладали гораздо большой четкостью и высокой степенью локализации дифракционных максимумов по сравнению с Фурье-образами кривых Коха. В левой колонке рис. 8 помещены изображения
• : • • * • *
*
\„ :-¥" 'у
Г-.- . . V» *
* > X * * *
"Щш-'"
а = 100"
' ' '' . лЖлй <
Рис. 8. Снежинки Коха третьего порядка (левая колонка) с углами а = 2°, 20°, 30°, 90°. 100140°, и их Фурье-образы в двух масштабах (центральная и правая колонки; мелкий и
крупный план соответственно). соответствующих снежинок 3-го поколения, в центральной — дифрактограммы, полученные на предфракталах 4-го — 6-го поколения, в правой — увеличенные в 2 раза центральные (фрактальные) части Фурье-образов.
Напротив, для других значений углов а, даже незначительно отличающихся от 60° (например, для 63°), дифракционные картины становилась размытыми, причем этот эффект возрастал по мере удаления от центра, создавая иллюзию «вращающегося колеса» (см. рис. 9).
Рис. 7. Ценп/рсыъная часть Фурье-образа кривой Коха с умам а = 36° при большом увеличении.
*
о X*:«, ,
а =63°
Рис. 9. Снежинка Коха третьего порядка сумам а = 63° (а), ее Фурье-образ (Ь) и фрактальная часть Фурье-образа (с).
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
8. СВОЙСТВА ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ МОДИФИЦИРОВАННЫХ КРИВЫХ КОХА
Исследовались также свойства
модифицированных кривых Коха, для которых на каждом этапе построения предфрактала угол при вершине генератора попеременно принимает значения а и а . На рис. 10 для двух случаев, когда а и а2 равны 57° и 63° — (a), и 50° и 70° — (b) показаны кривые Коха 3-го поколения (верхний ряд), Фурье-образы таких же кривых Коха, но 6-го поколения (средний ряд), и их центральные части (нижний ряд). Видно, что в обоих случаях наблюдается эффект "вращающегося колеса", причем размытие дифракционных максимумов возрастает при увеличении разности а2 — а.
Рис. 11 соответствует Фурье-образам кривых Коха 6-го поколения, когда значения а и а2 составляют 18° и 22° - (a), 33° и 39° - (b), 60° и 120° (с), соответственно. В первых двух случаях так же, как и на рис. 10, наблюдается размытие дифракционных максимумов,
а
Ъ
* w ь
к » jJjyC • i-1 А .Г "4 Í
■i v. /
•V • V •«> • ■ ■
-Ж
г.-
Зж . та
* », * *
' , *
it » -Щ- * i
%in -«Si
С-7О
ff, = 57 , = 63
■ '
• :М Л-
, . W. ■
у ' ■
а. = 50°, а2 = 70°
■0-
■ s Л X * и
-.s,. . к:» . .
# : :
• • .. ■ ■
a, = 33°, a2 = 39°
лЖ. A.. I
Ute
а, =60°, a2 = 120
Рис. 10. Модифицированные кривые Коха 3-го порядка (верхний ряд), Фурье-образы (средний ряд) и их центральные части (нижнийряд), для случаев, когдаугол а на каждом этапе построения попеременно принимает значения 57° и 63° — (а), 50° и 70° - (Ь).
Рис. 11. Фурье-образы модифицированных кривых Коха для случаев, когдаугол а на каждом этапе построения попеременно принимает значения 18° и 22° — (a), 33° и 39° — (b), 60° и 120° - (с).
возрастающее при удалении от центра дифрактограммы. В последнем случае эффект размытия отсутствует.
Дифрактограммы, аналогичные приведенным
на рис. 10 и рис. 11, были использованы для
определения размерностей модифицированных
кривых Коха методом кругов и методом кольцевых
зон. Значения размерности, полученные первым
методом с использованием зависимостей /(rk),
хорошо совпадали с теоретическими значениями,
определяемыми по формуле
D =_4 log 2_= 4 log 2
f 2 log 2 + log [(1 + sin (a/2 ))(1 + sin (a2 / 2))] log m ' (5)
где m = 4[(1 + sm^^)^ + sm^/2)] -коэффициент масштабирования. При а1 = а2 выражение (5) переходит в (4). Метод кольцевых зон давал существенно худшие результаты.
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Несмотря на сложную генеалогию (см. раздел 1), судьба фракталов Коха сложилась чрезвычайно удачно. Общее число посвященных им теоретических публикаций исчисляется сотнями; постоянно расширяется и круг практических приложений. Среди последних в первую очередь следует выделить невыступающие многодиапазонные антенные системы на основе обобщенных и модифицированных фракталов Коха, позволяющие получить те же параметры (ширина диаграммы направленности, уровень боковых лепестков, коэффициент направленного действия и коэффициент усиления), что и обычные антенны, но при существенно меньших габаритных размерах [22-27].
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
Уменьшение габаритов достигается за счет того, что длина — обобщенного предфрактала Коха »-го поколения, определяемая выражением
Г „ Л"
Ь =
1 + sin (а /2)
Ь = Ч"Ьа,
Ч------(6)
где — — длина инициатора, которая характеризует размер обычной вибраторной антенны, возрастает с ростом числа итераций в геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии д достигает максимума, равного двум, при а ^ 0°, и обращается в единицу при а ^ 180°. Из (4) и (6) следует, что ( л V
L =
m + 2sin (а/2 )
L
) (7)
то есть длина предфрактала при прочих равных условиях возрастает при уменьшении коэффициента масштабирования или при увеличении фрактальной размерности.
Нашли применение также антенны, использующие модифицированные кривые Коха, когда угол при вершине генератора а изменяется на каждом этапе построения предфрактала, попеременно принимая значения а и а2 (см., напр., [25]).
По описанным выше причинам результаты выполненных нами исследований могут оказаться полезными при определении реальных размерностей фрактальных антенн дифракционными методами, а также при сопоставлении диаграмм направленности с полученными численными методами Фурье-образами соответствующих фракталов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Koch H. von. Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire. Arkivfor Matematik, Astronomi och Fysikk, 1904, 1:681-704.
2. Takagi T. A simple example of the continuous function without derivative. Proc. Phys.-Math. Japan, 1903, 1:176-177.
3. Hildebrandt TH. A simple continuous function with a finite derivative at no point. Amer. Math. Monthly, 1933, 40(9):547-548.
4. de Rham G. Sur un exemple de fonction continue sans dériveée. Enseign. Math, 1957, 3:71-72.
5. Vepstas L. A gallery of de Rham curves. linas@linas. org http://www.linas.org/math/de_Rham.pdf, 2006.
6. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Лукашенко ЛИ. Компьютерное моделирование дифракции света на фрактальных доменных структурах. Тр. XIX Междунар. школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники", М., МГУ, 2004:632-634.
7. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ, Темирязева МП. Аморфизация бипериодических доменных структур в квазиодноосных магнитных пленках критической толщины. ЖЭТФ, 2008, 134(2):282-290.
8. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Фурье-образы фрактальных объектов. Изв. РАН, сер. физ, 2010, 74(10):1430-1432.
9. Alain C, Cloitre M. Optical diffraction on fractals. Phys. Rev. B, 1986, 33(5):3566-3569.
10. Sakurada Y., Uozumi J., Asakura T. Diffraction fields of fractally bounded apertures. Optical review, 1994, 1(1):3-7.
11. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals. J. Mod. Optics, 1990, 37(6):1011-1031.
12. Зинчик АА, Музыченко ЯБ, Стафеев СК. О принципах амплитудной и амплитудно-фазовой пространственной фильтрации. Изв. ВУЗов. Приборостроение, 2007, 50(7):46-52.
13. Зинчик АА, Музыченко ЯБ, Смирнов АВ, Стафеев СК. Расчет фрактальной размерности регулярных фракталов по картине дифракции в дальней зоне. Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, 2009, 2(60):17-24.
14. Мандельброт ББ. Фрактальная геометрия природы. М., Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.
15. Фракталы в физике. Под ред. Пьетронеро Л и Тозатти ЭМ, Мир, 1988, 672 c.
16. Федер Е. Фракталы. М., Мир, 1999, 254 с.
17. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 528 с.
18. Stoyan D, Stoyan H. Fractals, random shapes and point fields. Chichester, John Wiley and Sons, 1994, 399 p.
19. Peitgen H-O, Jürgens H, Saupe D. Chaos and fractals. New frontiers of science. New York, Springer-Verlag, 2004, 864 p.
20. Gouyet J-F. Physics and fractal structures. Paris, Ecole Polytechnique, 1995, 247 p.
21. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Компьютерное моделирование дифракции Фраунгофера на H-фракталах и кривых Пеано. Электромагнитные волны и электронные системы, 2012, 7: 8-58.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
22. Cohen N. Fractal antennas: Part 1. Communications Quarterly, Summer 1995:7-22.
23. Cohen N. Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in antennae. Fractals, 1999, 7(1):79-84.
24. Best SR. The Koch fractal monopole antenna: The significance of fractal geometry in determin-ing antenna performance. Proceedings of the 2001 Antenna Applications Symposium. Allerton Park Monticello, Illinois, 2000.-www.ecs.umass.edu/ece/allerton/ papers2001/2001-p194.pdf.
25. Vinoy KJ, Abraham JK, Varadan VK. On the relationship between fractal dimension and the performance of multi-resonant dipole antennas using Koch curves. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2003, 51(9):2296-2303.
26. Karaboikis M, Soras C, Tsachtsiris G, Makios V Four-element printed monopole antenna systems for diversity and MIMO terminal devices. Proceedings of the 17th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications, Dubrovnik, 2003:193-196.
27. Tsachtsiris G, Soras C, Karaboikis M, Makios V A printed folded Koch monopole antenna for wireless devices. Microwave and Optical Technology Letters, 2004, 40(5):374-378.
Арзамасцева Галина Васильевна
к.ф.-м.н, с.н.с.
ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН
1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл., Россия
Современная гуманитарная академия,
32-4, ул. Нижегородская, 109029 Москва, Россия
Евтихов Михаил Григорьевич
к.ф.-м.н., с.н.с.
ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН
1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл., Россия
Лисовский Федор Викторович
д.ф.-м.н, проф., гл.н.с.
ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН
1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл., Россия
Мансветова Екатерина Георгиевна
к.ф.-м.н., с.н.с.
ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН
1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл., Россия
FAMILY OF GENERALIZED TRIADIC KOCH FRACTALS: DIMENTIONS AND FOIRIER IMAGES
Galina V. Arzamastseva, Mikhail G. Evtikhov, Feodor V. Lisovsky, Ekaterina G. Mansvetova
Kotel'nikov Institute of Radioengineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, http://fire.relarn.ru
1, Vvedensky sq., 141120 Fryazino, Moscow region, Russian Federation [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract. Fourier images of generalized triadic Koch fractals (curves and snowflakes) with variable vertex angle of generator were obtained by digital methods. The comparison of different methods of fratal dimensions determination using Fraunhofer diffraction patterns was made. Analysis of the size ratio dependence of central (fractal) and peripheral (lattice) parts of diffraction pattern both upon vertex angle at a fixed value of prefractal generation number and upon prefractal generation number at a fixed value of vertex angle was made. The features of Koch curves and Koch snoflakes Fourier images are discussed.
Keywords: annular zones method, box-counting method, digital methods, Fourier image, fractal dimension, Fraunhofer diffraction, Koch curve, Koch fractal, Koch snowflake, method of circles, scaling factor, scaling invariance, symmetry
UDC 51.74; 535.42
Bibliography — 27 references Recieved 17.11.2015 RENSIT, 8(1):81-90_DOI: 10.17725/rensit.2016.08.081
