Квазисимметрия Фурье-образов обобщенных триадных предфракталов Коха Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

КВАЗИСИММЕТРИЯ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ ОБОБЩЕННЫХ ТРИАДНЫХ ПРЕДФРАКТАЛОВ КОХА

^Арзамасцева Г. В., 1Евтихов М. Г., 1Лисовский Ф. В., 1Мансветова Е. Г.

^Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Фрязинский филиал, http://fire.relam.ru 141190 Московская обл., г. Фрязино, Российская Федерация 2Современная гуманитарная академия, http://www.muh.ru 109029 Москва, Российская Федерация

Поступила в редакцию 6.12.2016

Представлена членом-корреспондентом РАЕН В.И. Грачевым

Численными методами выполнено исследование свойств Фурье-образов семейства плоских триадных геометрических предфракталов с генератором в виде симметричной четырехзвенной ломаной с произвольным углом при вершине между центральными звеньями и с инициатором в виде отрезка прямой (кривая Коха) или в виде равностороннего треугольника (снежинка Коха). Для получения Фурье-образов изображения исследуемых фракталов аппроксимировались сеточной функцией на равномерной сетке с ячейками, достаточно мелкими для адекватной передачи деталей предфракталов высоких поколений, а затем для оцифрованного таким образом изображения с помощью быстрого преобразования Фурье определялись значения квадрата модулей Фурье-компонент, то есть спектральное распределение интенсивности дифракционных максимумов в зоне Фраунгофера. Анализ Фурье-образов показал, что при значениях углов при вершине или при основании, равных целым долям от 180 градусов, они напоминают образы, присущие как идеальным кристаллам с осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка, так и паркетным мозаикам или квазикристаллам с осями квазисимметрии любого порядка. Реально в Фурье-образах кривых Коха с инициатором в виде отрезка прямой наблюдались оси квазисимметрии с 3-го до 9-го и 11- го порядка. Сходные описанным выше свойства присущи также и Фурье-образам снежинок Коха с инициатором в виде равностороннего треугольника. Конфигурацию наблюдаемых Фурье-образов можно приближенно считать радиально-кольцевой, причем в периферической («решеточной») части изображений доминирует радиальный характер с периодичностью распределения дифракционных рефлексов по радиусу, а в центральной («фрактальной») — кольцевой с самоподобием. Решеточная часть обладает своеобразной кластеризацией: все лучи имеют ярко выраженную центральную цепочку рефлексов вдоль радиусов и параллельные ей более слабые сателлиты по обе стороны. Все Фурье-образы обладали центром симметрии, который является неотъемлемым атрибутом дифракционных картин в зоне Фраунгофера для любых объектов), однако вращательная симметрия не была идеальной: при повороте изображений на соответствующие порядку оси симметрии углы совпадали только положения дифракционных рефлексов, а их интенсивности могли различаться. Причина наблюдаемых особенностей заключается в том, что рассматриваемые предфракталы, в отличие от кристаллов, представляют собой не континуум точечных объектов, а двумерное множество отрезков прямых, имеющих одинаковую длину, но разную ориентацию в пространстве. В этом множестве для рассматриваемых нами конфигураций генератора можно выделить состоящие из одинаково ориентированных отрезков двумерные подмножества, каждое из которых содержит некоторое количество парциальных одномерных дифракционных решеток, образуемых расположенными вдоль одной линии отрезками. Эти параллельные решетки в общем случае содержат разное количество отрезков, причем степень заполнения и расстояния между соседними отрезками, определяющие интенсивность и характер распределения дифракционных рефлексов вдоль линии, зависят от ориентации решетки и номера поколения предфрактала.

Ключевые слова: генератор, дифракция Фраунгофера, инициатор, квазикристалл, квазисимметрия, кривая Коха, масштабная инвариантность, паркетная мозаика, предфрактал, самоподобие, снежинка Коха, фрактал Коха, Фурье-образ, численные методы

УДК 51.74; 535.42_

Содержание:

1. Введение (208)

2. получение фурье-образов кривых и снежинок Коха (208)

3. Конфигурация и симметрия фурье-образов (209)

4. Схема формирования решеточной и фрактальной частей фурье-образов (210)

5. Заключение (212) литература (212)

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

1. ВВЕДЕНИЕ

Фрактальная идеология, первоначально рассматриваемая только как базис экзотической ветви абстрактной математики, на современном этапе широко используется не только для описания и анализа различных материальных объектов и явлений [1-4], но и настойчиво вторгается во многие сферы человеческой деятельности. Техника и технология [5, 6], биология и медицина [7], экономика [8, 9], искусство (музыка, живопись, литература, лингвистика, архитектура) [10-14] — этот список легко может быть продолжен. Однако, с точки зрения науки о фракталах приоритетными направлениями продолжают оставаться математика и физика [15].

В конце XX века возник заметный интерес и к изучению Фурье-образов плоских фракталов (то есть, дифракционных картин от них в зоне Фраунгофера) (см. напр. [16-18]), который не ослабевает и поныне. В частности, это связано с тем, что по Фурье-образам можно довольно просто определять хаусдорфову размерность О изучаемых объектов [16]. Авторами работ [17-18] с целью прямого определения Фурье-образов впервые были выполнены эксперименты по рассеянию света на микрофотографиях снежинки Коха; полученные данные сопоставлялись с теорией, использующей аналитическое описание фрактала. Исследовались также особенности фраунгоферовой дифракции и для других фрактальных объектов: фрактала Вичека, гребня Кантора, ковра Серпинского и др. [19-24].

Дифракционный метод определения ^ получил широкое распространение, так как он применим к любым объектам, включая реальные фракталы, которые не поддаются ни геометрическому, ни аналитическому описанию. Однако утилитарная полезность Фурье-образов этим не ограничивается, поскольку с их помощью можно получать информацию о структуре и симметрии абстрактных фракталов, а также о фазовых переходах в реальных средах.

Например, анализ Фурье-образов

неоднородных распределений намагниченности позволил обнаружить явление аморфизации бипериодических доменных структур в квазиодноосных магнитных пленках критической толщины [25], а также наличие фазовых

переходов типа «чертова лестница» в магнитных пленках с модулированной структурой [26]. Не стоит сбрасывать со счетов и эстетический фактор: часто говорят о красоте фракталов [27], но красота их Фурье-образов впечатляет не меньше [28].

2. ПОЛУЧЕНИЕ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ КРИВЫХ И СНЕЖИНОК КОХА

Нами для получения Фурье-образов применялся численный алгоритм, суть которого сводится к следующему. Изображения исследуемых фракталов аппроксимировались сеточной функцией на равномерной сетке с ячейками, достаточно мелкими для адекватной передачи деталей предфракталов высоких поколений. Для оцифрованного таким образом изображения с помощью быстрого преобразования Фурье определялись значения квадрата модулей Фурье-компонент, то есть спектральное распределение интенсивности дифракционных максимумов I в зоне Фраунгофера. Для отображения интенсивности на плоскости использовалось представление значений I в виде кругов с пропорциональным логарифму

интенсивности радиусом, где коэффициент пропорциональности выбирался из

соображений получения оптимальной наглядности получаемых изображений. С этой же целью дополнительно применялось гауссово размытие отображающих кругов.

Изложенная выше процедура определения Фурье-образов, впервые описанная и примененная нами [29] для изучения фракталоподобных доменных структур в непрозрачных магнитных пленках (см. [30-32]), позже была изложена в общедоступной периодике [25] и опробована на тестовых объектах (монопериодические и бипериодические доменные структуры в прозрачных магнитных пленках), когда эти объекты и создаваемые ими дифракционные картины можно было наблюдать визуально в режиме «на просвет» и фотографировать [25, 26]. По оцифрованным изображениям были получены Фурье-образы для многих плоских геометрических и алгебраических фракталов: ковер Серпинского, Н-фракталы, кривые Пеано,

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

бифракталы, фракталы Ь-системы, множества Мандельброта [28, 32, 33-35].

В данной работе численными методами было выполнено исследование свойств Фурье-образов семейства плоских триадных геометрических предфракталов поколений N < 8 с генератором в виде симметричной четырехзвенной ломаной с произвольным углом 0° < а < 180° при вершине между центральными звеньями (рис. 1а) и с инициатором в виде отрезка прямой с длиной Ь (кривая Коха) или в виде равностороннего треугольника (снежинка Коха) с длиной сторон Ь (рис. 1Ь). Для сохранения самоподобия предфракталов при итерациях все звенья генератора должны иметь длину Ь /3^ . В качестве примера на рис. 1с приведен вид предфракталов Коха второго поколения. При а ^ 0° ломаная-генератор становится дельта-образной, при а ^ 180° сливается с прямой-инициатором; случай а = 60° соответствует классической кривой Коха.

Анализ Фурье-образов показал, что при значениях а = 180°/ка или у = (90° - а/2) = 180°/ку, где к и к — любые целые числа, они напоминают

а у ?

образы, присущие как идеальным кристаллам с осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка, так и паркетным мозаикам [36] или

и/

и/

Ь

Рис. 1. Генератор (а), инициаторы (Ь) и предфракталы 2-го поколения для кривой и снежинки Коха (с).

квазикристаллам [37] с осями квазисимметрии любого порядка. Реально в Фурье-образах кривых Коха с инициатором в виде отрезка прямой наблюдались оси квазисимметрии с 3-го до 9-го и 11-го порядка. Получить качественный Фурье-образ с осью квазисимметрии 10- го порядка не удалось; причина этого будет обсуждена далее. Для целочисленных значений к отчетливо проявлялись только оси квазисимметрии нечетного порядка (с 3-го по 11-ый включительно), в то время как для целочисленных значений ку — любые оси с порядком в интервале от 3 до 9. На рис. 2 представлены Фурье-образы для предфракталов кривых Коха 6-го поколения при а =36° — (а), а =25.743° — (Ь), а = 20° — (с), а = 16.2637° —

3. КОНФИГУРАЦИЯ И СИММЕТРИЯ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ

Конфигурацию наблюдаемых Фурье-образов можно приближенно считать радиально-кольцевой, причем, как впервые было отмечено авторами работы [17] на примере классической снежинки Коха, в периферической («решеточной») части изображений доминирует радиальный характер с периодичностью распределения дифракционных рефлексов по радиусу, а в центральной («фрактальной»)

а

■■ % я ••

Л. : : Л

* • :

$ . ,«

• Ч

л?-

ь'

С

1 :.Т ■ . • ■ '.'V

" к > м:.

зК

■ У

V

л/ . V.

Рис. 2. Фурье-образы для предфракталов кривых Коха с осями квазисимметрии 5-го (а), 7-го (Ь), 9-го (с) и 11-го (ф порядка.

а

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

— кольцевой с самоподобием. Было установлено, что диаметр центральной области после каждой итерации возрастает в т раз, где т = 2[1 + sin(a/2)] коэффициент масштабирования для рассматриваемых фракталов.

Решеточная часть наблюдаемых Фурье-образов обладает своеобразной кластеризацией: все лучи имеют ярко выраженную центральную цепочку рефлексов вдоль радиусов и параллельные ей более слабые сателлиты по обе стороны (см. рис. 2Ъ-й. Аналогичные черты прослеживаются также и на рис. 3, где показаны Фурье-образы предфракталов кривых Коха 6-го (а), 5-го (Ь) и 4-го (е-с) поколений для значений к = 3, 4, 6 и 8.

Все Фурье-образы обладали центром симметрии, который является неотъемлемым атрибутом дифракционных картин в зоне Фраунгофера для любых, в том числе и нецентросимметричных объектов (см., напр. [38]), однако вращательная симметрия не была идеальной: при повороте изображений вокруг оси порядка ка на углы, кратные 180°/ка, совпадали только положения дифракционных рефлексов, а их интенсивности могли различаться. Наблюдалось частичное (см. рис. 2Ь) или полное (см. рис. 2е-с) ослабление

а

• як

. ■ л. .

* \ У *, *-; ■ .

' • .Г ■ % ■ ' ■

/'* жЖ ' ч

4 л • У''? >' *

. }> Ш. А,

у-. ЛуаЫ^тиМу,

■ ■ !щ4 ■ > •

^ Ж V*

Г #

Мп

ш

Рис. 3. Фурье-образы для предфракталов кривых Коха с осями квазисимметрии 3-го (а), 4-го (Ь), 6-го (с) и 8-го (ф порядка.

интенсивности рефлексов вдоль части лучей (аналог погасания узлов обратной решетки в рентгеноструктурном анализе [39]).

Причина наблюдаемых особенностей заключается в том, что рассматриваемые объекты, в отличие от кристаллов, представляют собой не континуум точечных объектов (атомов), а двумерное множество отрезков прямых, имеющих одинаковую длину Ь / , но разную ориентацию в пространстве.

В этом множестве при целочисленных значениях ка или к^ можно выделить состоящие из одинаково ориентированных отрезков двумерные подмножества, каждое из которых содержит некоторое количество парциальных одномерных дифракционных решеток, образуемых расположенными вдоль одной линии отрезками. Эти параллельные решетки в общем случае содержат разное количество отрезков, причем степень заполнения и расстояния между соседними отрезками, определяющие интенсивность и характер распределения дифракционных рефлексов вдоль линии, зависят от ориентации решетки и номера поколения предфрактала N .

Наличие в каждом из двумерных подмножеств из одинаково ориентированных отрезков совокупности нескольких разнесенных друг относительно друга параллельных одномерных решеток приводит к двумерной дифракционной картине с рефлексами не только вдоль решеток, но и по обе стороны от них (сателлиты на рис. 2 и 4).

4. СХЕМА ФОРМИРОВАНИЯ РЕШЕТОЧНОЙ И ФРАКТАЛЬНОЙ ЧАСТЕЙ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ

Схему формирования решеточной части поясним на примере представленного на рис. 4 Фурье-образа предфрактала 4-го поколения с пентагональной квазисимметрией при а = 36°. Цифрами 1—5 на изображении предфрактала помечены 5 типов ориентации отрезков; справа на врезке показаны возможные направления парциальных дифракционных решеток, слева на врезке — направления лучей (ср. с рис. 2). Количество парциальных решеток и степень их заполнения, зависят от номера поколения

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

Рис. 4. Схема формирования решеточной части Фурье-образа с пентагональной квазисимметрией для

предфрактала 4-го поколения с а = 36°. предфрактала. Так, из рис. 4 следует, что число парциальных подрешеток в подмножестве с направлением отрезков 1-го типа (см. правую врезку) равно 21, причем три из них содержат по 6, 7 и 8 отрезков, две — по 4, четыре — по 3, четыре — по 2 и восемь — по 1.

При значениях а = 180°/k^ или у = 180°/ k , где k и k — любые целые числа, количество

а y '

возможных ориентаций отрезков N в

предфрактале определяется номером поколения последнего g. При инициации существуют всего три допустимых ориентации, задаваемые генератором (рис. 1a), при каждой последующей итерации добавляется еще две. В случае четных k или k на том шаге итерации, после которого не возникает отрезков с новыми ориентациями (то есть, при N = k или kдобавляется только один отрезок, ориентированный перпендикулярно инициатору. При последующих итерациях новых направлений отрезков уже не образуется.

Было обнаружено, что при четных значениях k существует 2k ориентаций отрезков, и, соответственно, 2k лучей в решеточной области Фурье-образа. Например, при а = 22.5° вместо 8 лучей образуется 16. Некоторые из лучей нам наблюдать не удалось из-за слабой заселенности соответствующих парциальных подрешеток даже в предфракталах максимально доступных (по техническим причинам) поколений. По тем же причинам потерпели неудачу попытки получить качественный Фурье-образ с дексагональной квазисимметрией.

Сходные описанным выше свойства присущи также и Фурье-образам снежинок Коха (с инициатором в виде равностороннего треугольника), представленным на рис. 5 для некоторых предфракталов 6-го поколения при значениях а = 120° — (a), а = 22.5° — (b), а = 30°

«f Т г- !..

-V « I ,-■

• »» •*■

.. W * W -• , * ' ' V . *

j..;.«. , «.. . * • * V. . ..»

.• -, * » . • * i ч * «* ■ ■ • v »

» . ■ • - • ■ " ft , • *' * • ». • «. •^J.TÄ,;. ".Ж. Л *

I ■.. . ■■ • itfSfe-i > - -......

I ........ i • л ......

. ■;; | ^ | • . . ......- • •«£ гж - •

■ .........

. - -•• ■ • • ••••

. . . . ■ - * • . *: ■ г\ •, * ■ . • ^ • . . ■. ,

- ' ' . ' / ; -.. Л - ' ■

- V' . 1 . '. '■,

Рис. 5. Фурье-образы для предфракталов снежинок Коха с осями квазисимметрии 6э-го (а), 9-го (Ь), 12-го (с) и 15-го (ф порядка.

— (е), и а = 12° — (с). Заметим, что получаемые в данном случае Фурье-образы не являются простым наложением образов от трех сторон сторон треугольника-инициатора, поскольку при дифракции суммируются волны с учетом разности фаз между ними.

Как следует из рис. 5, использование в качестве инициатора треугольника значительно увеличивает заполнение парциальных подрешеток и практически устраняет различие интенсивности дифракционных пятен в симметрийно эквивалентных позициях во всех лучах решеточной части Фурье-образа. Кроме того, в Фурье-образах снежинок Коха более четко прослеживается различие структуры центральной и периферической частей. Видно, например, что квазисимметрия высоких порядков в центральной части проявляется в виде расположенных на концентрических окружностях изолированных пятен.

Обладающая самоподобием фрактальная часть, размер которой возрастает с увеличением угла а (при прочих равных условиях), формируется суммой центральных дифракционных

масимумов от всех элементов фрактала. При Ь ^ да и N ^ да исчезает решеточный вклад в Фурье-образ, так как во-первых, стремится к нулю расстояние между образующими решетки

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

отрезками и, во-вторых, эти отрезки переходят в точки, дифракционная картина от которых обладает радиальной симметрией.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные результаты убедительно свидетельствуют о том, что обобщенные триадные предфракталы Коха достаточно высоких поколений при определенных условиях могут обладать Фурье-образамис осями квазисимметрии любого порядка подобно паркетным мозаикам [36] или квазикристаллам [37]. В настоящее время имеются сведения о реализации мозаик с порядком оси квазисимметрии 5, 8, 10 и 12; квазикристаллы помимо перечисленных могут иметь ось квазисимметрии 7-го порядка [40, 41]. Удивительным при этом является тот факт, что в отличие от мозаик и квазикристаллов кривые Коха вообще лишены поворотных осей симметрии, а снежинки Коха имеют единственную ось симметрии 3-го порядка.

Тем не менее, уже давно между фракталами и паркетными мозаиками, а позже и квазикристаллами, были замечены некие родственные связи, в установлении которых, по-видимому, решающую роль сыграло самоподобие [40, 42]. И как аксиомы воспринимаются сейчас утверждения о том, что мозаики являются двумерными аналогами квазикристаллов, а последним при любой квазисимметрии можно поставить в соответствие сопутствующие им фрактальные структуры [43, 44]. Методы фрактальной геометрии применяются для описания моделей квазикристаллических структур, а древесно-графовая процедура используется для их порождения [44, 45].

С точки зрения абстрактной алгебры апериодические структуры (квазикристаллы и мозаики), в отличие от описываемых группами идеальных кристаллов, описываются алгебраическими системами типа «поле», которые могут обладать вращательной симметрией и фрактальным упорядочением [46]. Для описания геометрических фракталов используют алгоритмы так называемой ^-системы [47].

ЛИТЕРАТУРА

1. Мандельброт ББ. Фрактальная геометрия природы. М.,

Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.

2. Олемской АИ, Флат АЯ. Использование

концепции фрактала в физике конденсированной среды. УФН, 1993, 163(12):1-50.

3. Gouyet J-F. Physics and fractal structures. Paris, Ecole Polytechnique, 1995, 234 p.

4. Peitgen H-O, Jürgens H, Saupe D. Chaos and fractals. New frontiers of science. New York, Springer-Verlag, 2004, 864 p.

5. Levy-Vehel J, Lutton E. Fractab in Engineering. London, Springer-Verlag, 2005, 290 p.

6. Потапов АА. Фракталы врадиофизике ирадиолокации. М., Логос, 2002, 664 с.

7. Fractab in Biology and Medicine: vol. IV (Mathematics and Biosciences in Interaction). ed. by Losa GA,. Merlini D, Nonnenmacher TF,.Weibel ER. Basel, Birkhaüser, 2005, 314 p.

8. Мандельброт ББ, Хадсон РЛ. (Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах. Киев, Вильямс, 2006, 408 c.

9. Алмазов АА. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на финансовые рынки. Admiral Markets, М., 2009, 209 с.

10. Madden Ch. Fractab in Music: Introductory Mathematics for Musical Analysis. Salt Lake City, High Art Press, 1999, 224 р.

11. Бонч-Осмоловская ТБ. Введение в литературу формальных ограничений. Самара, Бахрах-М, 2009, 560 с.

12. Тарасенко ВВ. Фрактальная семиотика. Слепые пятна, перипетии и узнавания. М., Либроком, 2009, 232 с.

13. Исаева ВВ, Касьянов НВ. Фрактальность природных и архитектурных форм. Вестник ДВО РАН, 2006, 5:119-127.

14. Шлык ВА. Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне. Изв. Челябинского научного центра УрО РАН, 2004, 1(22):231-244.

15. Classification and Application of Fractals: New Research. ed. by Mitchell EW, Murray SR. New York, October Nova, 2012, 347 p.

16. Alain C, Cloitre M. Optical diffraction on fractals. Phys. Rev. B, 1986, 33(5):3566-3569.

17. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals. J. Mod. Optics, 1990, 37(6):1011-1031.

18. Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Diffraction Fields of Fractally Bounded Apertures. Opt. rev, 1994, 1(1):3-7.

19. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals: the dimensionality. J. Mod. Optics, 1991, 38(7):1335-1347.

20. Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Fresnel diffraction by 1D regular fractals. J. Optics. A: Pure Appl.Optics, 1992, 1:29-40.

21. Chabassier G, Angeli B, Heliodore F, Le Mehaute A.

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

Optical wave diffraction on fractal objects. J. Optics. A: Pure Appl.Optics, 1992, 1:41-54.

22. Bo Hou, Gu Xu, Wen W, Wong GK L. Diffraction by an optical fractal grating. Appl. Phys. Lett, 2004, 85(25):6125-6127.

23. Funamizu H, Uozumi J. Generation of fractal speckles by means of a spatial light modulator. J. Opt. Soc. of Amer.: Opt.. Express, 2007, 15(12):7415-7422.

24. Horvath P, Smid P, Vaskova I, Hrabovsky M. Koch fractals in physical optics and their Fraunhofer diffraction patterns. Optik, 2010, 121(2):206-213.

25. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Темирязева МП. Аморфизация бипериодических доменных структур в квазиодноосных магнитных пленках критической толщины. ЖЭТФ, 2008, 134(2):282-290.

26. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Спонтанные фазовые переходы в магнитных пленках с модулированной структурой. ЖЭТФ, 2011, 140(3):516-526.

27. Пайтген Х.-О, Рихтер ПХ. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993, 206 c.

28. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Фурье-образы фрактальных объектов. Изв. РАН, сер. физ,2010, 74(10):1430-1432.

29. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Лукашенко Л.И. Компьютерное моделирование дифракции света на фрактальных доменных структурах. Тр. XIX Междунар. школы-семинара 'Новые магнитные материалы микроэлектроники", МГУ, Москва, 2004: 632-634.

30. Дикштейн ИЕ, Кузнецов ДВ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Тр. XVI Междунар. школы-семинара 'Новые магнитные материалы микроэлектроники" ч. II, УРСС, Москва, 1998:519.

31. Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ, Лукашенко ЛИ. Фрактальные доменные структуры в пермаллоевых пленках. Тр. XIX Междунар. школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники', МГУ, Москва, 2004, с. 838-840.

32. Лисовский ФВ, Лукашенко ЛИ, Мансветова ЕГ. Термодинамически устойчивые фрактало-подобные доменные структуры в магнитных пленках. Письма в ЖЭТФ, 2004, 79(7):432-435.

33. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Компьютерное моделирование мультиплицирования фурье-спектров предфракталов L-системы. Электромагнитные волны и электронные системы, 2012, 17(12):29-32.

34. Арзамасцева ГВ., Евтихов МГ, Лисовский ФВ., Мансветова ЕГ. Компьютерное моделирование дифракции Фраунгофера на H-фракталах

и кривых Пеано. Электромагнитные волны и электронные системы, 2012, 17(7):48-58.

35. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Свойства плоских геометрических бифракталов. Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии, 2012, 4(2): 93-107.

36. Penrose R. Pentaplexity: A class of non-periodic tilings of the plane. Eureka (Cambridge), 1978, 39:16-22.

37. Shechtman D, Blech LA, Gratias D, Cahn JW Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry. Phys. Rev. Lett., 1984, 53(20):1951-1953.

38. Гехт Э. Свойства симметрии в картинах дифракции Фраунгофера. УФН, 1973, 111(2): 355-364.

39. Уманский ЯС, Скаков ЮА, Иванов АМ, Расторгуев ЛН. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия. М., Металлургия, 1982, 632 с.

40. Suck J-B, Schreiber M, Haussler P. Quasicrystals: an introduction to structure, physical properties, and applications. Berlin-Heidelberg, Springer Verlag, 2010, 564 p.

41. Мильман ЮВ, Ефимов НА, Гончарова ИВ. Квазикристаллы - новый класс твердых тел с уникальными физическими свойствами. Сб. научн. тр. Ин-та проблем материаловедения НАН Украины, 2012, 18: 3-14.

42. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М., Мир, 1993, 416 с.

43. Лазарев АИ, Домрачев ГА. Ромб и квадрат как зародыши для фрактального построения двумерных квазикристаллических структур с вращательной симметрией 8-го и 4-го порядков. Кристаллография, 1994, 39(5): 811-844.

44. Юдин ВВ, Карыгина ЮА. Фракталъностъ квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза. Кристаллография, 2001, 46(6): 1004-1008.

45. Лазарев АИ, Суханов АЮ, Домрачев ГА. Устойчивые фрактальные формы в плоских квазикристаллических структурах с симметрией 8-го, 4-го, 2 го и 1-го порядков, имеющих коэффициент самоподобия. Кристаллография, 1996, 41(5):798-803.

46. Домрачев ГА, Лазарев АИ. Приложение теории алгебраических систем для создания иерархии структур твердых тел, образующихся при равновесных и неравновесных условиях. ФТТ, 1999, 41(5): 799 804.

47. Lindenmayer A. Mathematical models for cellular interaction in development. J. Theoret. Biology, 1968, 18:280-315.

ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ

Арзамасцева Галина Васильевна

Лисовский Федор Викторович

к.ф.-м.н, с.н.с.

д.ф.-м.н, проф., гл.н.с.

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

arzamastseva@mail.ru

Евтихов Михаил Григорьевич

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

lisf@df.ru

Мансветова Екатерина Георгиевна

к.ф.-м.н., с.н.с.

к.ф.-м.н., с.н.с.

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

emg20022002@mail.ru

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.

mansvetova_eg@mail.ru

FOIRIER IMAGES QUASISYMMETRY OF GENERALIZED TRIADIC KOCH PREFRACTALS

1,2Galina V. Arzamastseva, Mikhail G. Evtikhov, 1Feodor V. Lisovsky, ^katerina G. Mansvetova

1Kotelvnikov Institute of Radioengineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, http://fire.relarn.ru

1, Vvedensky sq., 141120 Fryazino, Moscow region, Russian Federation

2Modern University for the Humanities, http://www.muh.ru/

32/4, Nizhegorodskaya str., 109029 Moscow, Russian Federation

arzamastseva@mail.ru, emg20022002@mail.ru, lisf@df.ru, mansvetova_eg@mail.ru

Abstract. The study of the Fourier-images properties was made by numerical methods for the family of flat triadic geometric prefractals with generator in the form of symmetric four-stage broken line with an arbitrary angle at the apex between the central units and the initiator in the form of a straight line (Koch curve) or in the form of an equilateral triangle (the Koch snowflake). To obtain the Fourier images the pictures of fractals were approximated by a grid function on a uniform grid with cells small enough for adequate mapping of high generation prefractal details, and then were digitized in order to use fast Fourier transform for determination the values of the squared modules of the Fourier component, that is, the spectral intensity distribution of diffraction maxima in the Fraunhofer region. An analysis showed that for the values of the vertex or base angles equal to the integer fraction of 180 degrees, Fourier images are the same as for the perfect crystals with the symmetry axes of the 2-nd, 3-th, 4-th and 6-th order, or as for parcuet mosaics or quasicrystals with the axes of quasisymmetry of any order. Really in the Fourier images of the Koch curves with the initiator in the form of a straight line was observed axis of quasisymmetry from 3rd to 9 th and 11-th order. Similar to the above-described properties are also inherent to Fourier images of the Koch snowflake with the initiator in the form of an equilateral triangle. The configuration of the observed Fourier images can be approximately regarded as a radial-annular, at that in the peripheral ("lattice") of the images is dominated by the radial nature of the frequency distribution of diffraction reflections along the radius, and in the central ("fractal") — a ring with self-similarity. The lattice part has a kind of clustering: all the rays have a strong central chain of reflexes along the radii and parallel to it the weaker satellites on both sides. All Fourier images had the center of symmetry, which is an integral attribute of the diffraction patterns in the Fraunhofer zone for any objects, however, the rotational symmetry was not perfect: the positions of the diffraction reflexes when rotating images at angles that correspond to the order of the symmetry axis remain unchanged, but their intensity could vary. The cause of the observed features is that prefractals, unlike crystals, are not a continuum of point objects but two-dimensional set of equal length line segments with different orientation in space. In this set for the considered configurations of the generator it is possible to allocate several two-dimensional subsets with equally oriented segments, each of which contains a number of partial one-dimensional diffraction gratings formed by segments located along the same line. These parallel lattice in the general case contain a different number of segments, and the degree of filling and the distance between adjacent segments, determining the intensity and diffraction reflections distribution structure along the line, depend on the orientation of the lattice and the generation number of prefractal. Keywords: digital methods, Fourier image, Fraunhofer diffraction, generator, initiator, Koch curve, Koch fractal, Koch snowflake, parquet mosaic, prefractal, quasiqristal, quasisymmetry, scaling invariance, self-similarity, symmetry.

UDC 51.74; 535.42

Bibliography — 47 references

Received 06.12.2016 DOI: 10.17725/rensit.2016.08.207

RENSIT, 2016, 8(2):207-214