Обзор результатов г. Монжа и К. Ф. Гаусса по дифференциальной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 514.7

Игнатушина Инесса Васильевна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математики

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Оренбургский государственный педагогический университет»,

Оренбург, Россия

460014, Оренбург, Советская, 19, (3532) 77-24-52, e-mail: streleec@yandex.ru

ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ Г. МОНЖА И К.Ф. ГАУССА ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Ignatushina Inessa Vasiljevna

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics and Methodology of Teaching Mathematics

Federal State Budget Educational of Higher Education «Orenburg State Pedagogical University»19,Soviet, 460014, Orenburg, Russia, (3532) 77-24-52, e-mail: streleec@yandex.ru

REVIEW OF THE RESULTS OF G. MONZE AND K.F. GAUSS ON DIFFERENTIAL GEOMETRY

Аннотация: огромную роль в становлении дифференциальной геометрии сыграл выдающийся математик XVШв. Леонард Эйлер. Результаты, полученные им в этой области, вызвали интерес у многих математиков того времени и явились основой для дальнейших исследований. В статье показано развитие идей Эйлера в работах Гаспара Монжа и Карла Фридриха Гаусса, деятельность которых, как известно, оказала определяющее влияние на весь ход формирования дифференциальной геометрии. Достижения Монжа привели дифференциальную геометрию к новому этапу, который характеризуется активным использованием аппарата дифференциальных уравнений, что повлекло за собой дальнейшее расширение ее теоретических и практических возможностей. Следующий этап дифференциальной геометрии связан с именем Гаусса и его исследованиями внутренних свойств поверхностей. С появлением результатов Гаусса в этой области дифференциальная геометрия перестала быть только приложением математического анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Ключевые слова: дифференциальная геометрия; Леонард Эйлер; Гаспар Монж; Карл Фридрих Гаусс; история математики.

Abstract: an eminent was mathematician of XVIII century, who played a huge role in the development of differential geometry, was Leonard Euler. The results obtained by him in this field of activity aroused interest among many mathematicians of that time and were the basis for further research. An article shows the development of Euler's ideas in the investigations of Gaspar pair Monge and Carl Friedrich Gauss, whose activities, as is known, had decisive influence on the

© Игнатушина И.В., 2017

РАЗДЕЛ 2. ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 7*1

entire course of the formation of differential geometry. Monge's achievements led differential geometry to a new stage, which is characterized by active using of the apparatus of differential equations, which entailed a further expansion of its theoretical and practical capabilities. The next stage of differential geometry is connected with the name of Gauss and his investigations of the intrinsic properties of surfaces. With the advent of Gauss's results in this field, differential geometry ceased to be only an application of mathematical analysis and ocupied an independent place in mathematics.

Keywords: differential geometry, Leonard Euler, Gaspar Monge, Carl Friedrich Gauss, history of mathematics.

В конце XVIII - начале XIX в. на основе работ Леонарда Эйлера (1707-1783) и его предшественников по приложению анализа к геометрии возникла новая область геометрических исследований - дифференциальная геометрия [4;5].

Полученные Эйлером результаты по дифференциальной геометрии явились основой для исследований многих математиков XVIII-XIX вв., прежде всего Гаспара Монжа (1746-1818) [1-3; 6] и Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) [7; 10].

Свои первые результаты по дифференциальной геометрии Г. Монж получил в 70-х годах XVIII в. и опубликовал их в двух сочинениях: «Мемуар о развертках, радиусах кривизны и различных видах перегибов кривых двоякой кривизны» (1785) [21] и «О свойствах многих видов кривых поверхностей, в особенности развертывающихся поверхностей, с приложением к теории теней и полутеней» (1780) [21; 22].

Первое посвящено дифференциальной геометрии пространственных кривых. Монж рассматривал элемент дуги, который определял тремя бесконечно близкими точками кривой, и ввел важное понятие линии полюсов (или, как теперь говорят, оси кривизны) элемента дуги как прямой, проходящей через центр соприкасающейся окружности перпендикулярно к ее плоскости (рис. 1). Ее можно также получить как линию пересечения двух нормальных плоскостей, проведенных через две бесконечно близкие точки кривой (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Совокупность всех линий полюсов данной кривой образует развертывающуюся поверхность, которую Монж назвал поверхностью полюсов. Он показал, что на этой поверхности имеется бесчисленное множество эволют пространственной кривой. Центры кривизны кривой, т.е. центры соприкасающихся окружностей, тоже лежат на поверхности полюсов, но при этом они не образуют на ней эволюты для рассматриваемой пространственной кривой. Эти центры образуют линию, которая при развертывании поверхности полюсов на плоскость переходит в прямую. Таким образом, эта линия является геодезической линией данной поверхности. Эволюты пространственной кривой, как установил Монж, тоже являются геодезическими линиями поверхности полюсов.

Далее Монж вывел для произвольной поверхности дифференциальное уравнение геодезической линии:

которое, как он сам указал, является тождественным найденному ранее и опубликованному в 1742 г. уравнению Иоганна Бернулли [13, с.113]:

где Т - подкасательная некоторой кривой на поверхности и ^2 = ёх2 + ёу2. Затем он ввел понятие ребра возврата поверхности полюсов, т.е. той кривой, касательные к которой образуют эту поверхность, и нашел его уравнение.

Тё2у ё2 г

Tdzds - гёя2 2 + ёг2

Здесь же Монж рассмотрел развертывающуюся поверхность, связанную с некоторой кривой, а именно поверхность, огибающую плоскости, проходящие через касательные к кривой и перпендикулярные к ее соприкасающимся плоскостям. Исходная кривая на такой поверхности является геодезической линией и, следовательно, при развертывании поверхности на плоскость переходит в прямую. Поскольку при этом длина дуги кривой равна длине соответствующего отрезка прямой, то с помощью этого развертывания можно производить спрямление кривой. Поэтому эти поверхности впоследствии были названы «спрямляющими».

Точки перегиба пространственных кривых Монж разделил на два рода: точки простого перегиба, возникающие, когда три последовательных элемента кривой лежат в одной плоскости (т.е. когда кручение равно нулю), и точки двойного перегиба, для которых два последовательных элемента кривой лежат на одной прямой (кривизна равна нулю).

Во второй из указанных работ Монж развивал эйлерову теорию развертывающихся поверхностей. Здесь ученый разграничил понятия развертывающиеся поверхности и неразвертывающиеся линейчатые поверхности, т.е. произвольные поверхности, образованные движением прямой. Далее он вывел дифференциальное уравнение развертывающихся поверхностей

а2 г а2 г (д2 ^2

дх2 ду2 ^дхду

= 0

и дифференциальное уравнение произвольных линейчатых поверхностей

Д2„ (

д

Д2„ _У

где

С =

^д2 ^2

дхду

д2 г д2 г

= 0,

дх ду

Кроме того, им было установлено, что

дх 2 ду 2

развертывающуюся поверхность можно трактовать как геометрическое место касательных к пространственной кривой, а также, что она является огибающей некоторого семейства плоскостей, зависящих от двух параметров.

д

2

В этой же работе Монж применил теорию развертывающихся поверхностей к нахождению на данной поверхности теней и полутеней тела, освещенного другим телом. Для этого он находил развертывающуюся поверхность, охватывающую поверхности темного и светящегося тел. Кривая, по которой эта развертывающаяся поверхность пересекается с некоторой данной поверхностью, ограничивает на ней тень, отбрасываемую темным телом при его освещении светящимся телом.

Здесь же Монж привел уравнение касательной плоскости к поверхности г = (х, у), которое имеет вполне современный вид г = р (х - х') + д (у - у') + К', где р, д - значения частных производных функции г в точке касания (х', у').

В «Мемуаре о теории выемок и насыпей» (1784) Монж заложил основы теории линейных конгруэнций [20]. Исходной для него явилась инженерная задача: при перемещении частиц земли из выемки в насыпь определить наиболее экономически выгодные их траектории.

Монж начинал с рассмотрения семейства прямых, зависящих от двух параметров, т.е. ввел прямолинейную конгруенцию. Он показал, что среди всех линейчатых поверхностей, образованных прямыми конгруенции, имеются только два семейства развертывающихся плоскостей. Они разбивают пространство на элементарные бесконечно длинные призматические тела, грани которых не обязательно ортогональны друг другу.

Затем Монж рассмотрел случай, когда эта ортогональность имеет место, и заключал, что тогда существуют поверхности, которые ортогональны ко всем прямым конгруенции. При этом линии пересечения развертывающихся поверхностей с нормальной поверхностью образуют на ней ортогональную сеть линий. Вдоль каждой из них нормали к поверхности образуют развертывающуюся поверхность. Эти линии Монж назвал линиями кривизны.

Далее он утверждал, что если рассмотренные элементарные призмы прямоугольные, то «...элементарные пространства, заключенные между четырьмя развертывающимися поверхностями, будут большими, и при равенстве расстояний будет большей транспортируемая масса» [1, с. 67]. Таким

образом, наиболее экономически выгодными траекториями частиц земли при их перемещении из выемки в насыпь являются нормали к некоторой поверхности. Другими словами, конгруенция, решающая задачу Монжа, является нормальной. Однако этот факт доказали только через сто лет: в 1886 г. С. Сен-Жермен [11] и П. Аппель [12].

Систематическое изложение теории поверхностей было дано Монжем в его лекциях для Политехнической школы, выходивших сначала отдельными выпусками под названием «Листы анализа, приложенного к геометрии» (1795— 1801), а затем в 1807 г. с небольшими изменениями - отдельной книгой -«Приложение анализа к геометрии» [8; 19]. В этих учебных пособиях по дифференциальной геометрии для выяснения свойств и структуры поверхностей Монж предлагал, кроме их конечных уравнений, рассматривать построение самой поверхности как результат перемещения в пространстве заданной линии. При этом основными объектами изучения выступали дифференциальные уравнения в частных производных.

Монж показал, что дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка соответствует большое семейство поверхностей. Среди них цилиндрические, конические и винтовые поверхности, поверхности вращения и каналов (образованные движением окружности постоянного радиуса, плоскость круга которой перпендикулярна заданной кривой, а центр двигается по ней), а также поверхности склонов насыпей (т.е. такие, у которых линиями наибольшего спуска являются прямые постоянного наклона).

Через дифференциальные уравнения второго порядка определяются: а) семейства развертывающихся поверхностей; б) цилиндроиды - линейные поверхности, которые описаны прямой, перемещающейся по двум пространственным кривым параллельно заданной плоскости; с) классы поверхностей, кривизны которых удовлетворяют определенным условиям (резные, трубчатые, минимальные). С помощью дифференциальных уравнений третьего порядка определяются общие линейчатые поверхности и более сложные поверхности, например, поверхность, огибающая сферу переменного радиуса, центр которой движется по заданной кривой.

Рассматривая поверхности с разных точек зрения, Монж получал одновременно и дифференциальное уравнение поверхности, и конечное уравнение, как его интеграл. Так, он трактовал цилиндрические поверхности как такие, касательная плоскость к которым параллельна прямой I: х = аг, у = Ьг . Для них он получил дифференциальное уравнение:

дг 7дг

а— + Ь — = 1. (1)

дх ду

Учитывая условие о том, что образующая цилиндрической поверхности параллельна прямой I, Монж вывел конечное уравнение этой поверхности:

у — Ьг = р(х — аг), (2)

где р - произвольная функция. Функция, заданная уравнением (2), является решением дифференциального уравнения (1).

Переводя факты теории поверхностей на язык дифференциальных уравнений в частных производных, Монж параллельно занимался разработкой геометрической теории этих уравнений. В частности, им была дана геометрическая трактовка общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Полный интеграл таких уравнений /(х, у, г, а, Ь) = 0 задает семейство поверхностей с двумя параметрами а и Ь . Если положить, что Ь является некоторой функцией от а, т.е. Ь = щ(а), то уравнению / (х, у, г, а,^(а)) = 0 соответствует однопараметрическое семейство поверхностей. Эти поверхности Монж назвал огибаемыми. Уравнение огибающей их поверхности можно получить, если исключить параметр а из уравнений: (1) и (2):

/(х, у, г, а,у(а)) = 0, = 0 . (3)

да

В этой работе даны следующие трактовки двух важных понятий: а) характеристика - это линия пересечения двух бесконечно близких поверхностей семейства; б) ребро возврата - это огибающая характеристик, находящихся на одной плоскости. Из уравнений (3) при фиксированных значениях а получаются уравнения характеристик.

Интегрируя уравнения характеристик, Монж получал конечные уравнения семейств поверхностей, т.е. решение соответствующего дифференциального уравнения в частных производных. Таким образом, метод характеристик, введенный Монжем, позволял свести решение дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

В своих лекциях Монж весьма детально исследовал введенные им линии кривизны. В каждой точке поверхности он нашел радиусы кривизны этих линий, правда, не упомянув, что эти так называемые главные радиусы кривизны поверхности совпадают с экстремальными значениями радиуса кривизны нормального сечения поверхности, о которых писал в 1767 г. Эйлер в мемуаре "Исследования о кривизне поверхностей" [17]. Для этих линий Монж нашел геометрическое место центров кривизны в виде двух поверхностей, исследовал эти поверхности и выделил те их точки, в которых наблюдается совпадение главных радиусов кривизны. В настоящее время эти точки называются омбилическими. Определив уравнение кривой, состоящей из таких точек поверхности, Монж, однако, не заметил, что эта кривая всегда является мнимой, за исключением отдельных точек. Для эллипсоида он установил, что таких точек всего восемь и, рекомендуя выбрать для сводов залов Законодательного собрания форму эллипсоида, предложил, чтобы балки каждого свода следовали линиям кривизны, а люстры были расположены в омбилических точках.

Достижения Монжа привели дифференциальную геометрию к новому этапу, который характеризуется активным использованием аппарата дифференциальных уравнений, что повлекло за собой дальнейшее расширение ее теоретических и практических возможностей.

Осознавая важность теоретических знаний по дифференциальной геометрии для практики, Монж проделал большую работу по введению этого раздела математики в качестве учебной дисциплины в высшую школу. Он был одним из основателей Политехнической школы (1794) во Франции, значение

которой для развития и организации научной мысли огромно. Благодаря Монжу математика заняла центральное место в учебном плане Политехнической школы. Необходимость чтения курсов по новейшим вопросам вызвала регулярное появление учебников по математике, в том числе и по дифференциальной геометрии. Многие ученики Монжа стали профессиональными математиками. Среди них Л. Карно (1753-1823), Ш. Тенсо (1749-1822), Ж.Б. Менье (1754-1793), С.Ф. Лакруа (1765-1843), Ж.Б. Фурье (1768-1830), Ш. Дюпен (1784-1873), А.М. Ампер (1775-1836), Ж.В. Понселе (1788-1867) и др. Ими были получены важные результаты в этой дисциплине.

Следующий этап развития дифференциальной геометрии связан с именем Карла Фридриха Гаусса и его исследованием внутренних свойств поверхностей, т.е. таких, которые сохраняются при изгибании поверхности, происходящем без разрывов и растяжений. К общей теории поверхностей Гаусс пришел, занимаясь, как и Эйлер, задачами картографии. В 1816 г. он решил вопрос о конформном отображении одной поверхности на другую, причем требование конформности он свел к пропорциональности линейных элементов этих поверхностей.

Определяющее влияние на весь ход развития дифференциальной геометрии оказало появление в 1828 г. работы Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» [18]. Считается, что с этой работой дифференциальная геометрия перестала быть только приложением математического анализа и заняла самостоятельное место в математике. В основу своих рассуждений Гаусс положил параметрическое представление поверхности:

x = x (p,q\ y = y(aq), z = z(aq) (4)

и соответствующее ему выражение линейного элемента поверхности:

ds = -J dx2 + dy2 + dz2 .

Ранее параметрическое представление поверхности использовал в своих работах и Эйлер, например, в мемуаре 1772 г. «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость» [14], однако систематическое применение оно получило именно у Гаусса.

Если одному из параметров, например ц, придать фиксированное значение с, то уравнения (4) будут параметрически задавать линию, называемую р - линией. Изменяя значение с, получают семейство таких р -линий. Таким образом, на поверхности имеется два семейства линий, которые вместе образуют криволинейную параметрическую сеть. При этом через каждую точку М (р, ц) поверхности проходит только по одной линии каждого семейства и линии различных семейств пересекаются не более чем в одной точке. Такая система координат (р, ц) на поверхности была впоследствии названа гауссовой криволинейной системой координат. В указанной работе Гаусс определил производные

дх ^ ду дг , дх ^ ду , дг ф ' ф ' др' дц' дц' дц'

которые в настоящее время рассматриваются как частные производные координат радиус-вектора г(х, у, г) точки поверхности по р и ц соответственно:

— = г' = (а, Ь, с), — = г' = (а', Ь', с') .

др р 4 ' дц ц 4 У

Кроме того, он ввел функции А = ЬС—сЬ', В = са'-ас', С = аЬ—Ьа, которые сейчас трактуются как координаты векторного произведения

г ' р хг =(А, В, С).

Ученый рассмотрел также вторые производные

д2 х _ д2 у д2 г

а =—Г, Р =—Т / =—Г, ф др др

д2 х д2 у , д2 г

а' =-, Р =—— ,/ = ■

дрдц дрдц дрдц

,, д2 х _„ д2 у ,, д2 г

а" = >Р =^4 Л =

дц2 ф2 ф2

которым соответствуют координаты векторов г"р1 (а,Р,у), г"м (а',Р',/), г" 2 (а",Р",/"). С помощью этих функций Гаусс построил две квадратичные

Я

формы:

где E =

r dx Л2 ( dy Л2 ( dz^2

dp

+

чф j

+

чФ j

Edp2 + 2Fdpdq + Gdq2,

dx dx dy dy dz dz

F = — •--1--•--1--• — , G =

(5)

f dx Л2 ( dy Л2 (2

+

vdq) ldq

+

vdq j

(6)

dp dq dp dq dp dq и Ddp2 + 2 D' dpdq + D" dq2,

где D = Aa + Ba'+Ca", D = + Bß<+Cß", D" = Ay + Bf+Cy".

Первая из этих форм теперь называется «первой основной квадратичной дифференциальной формой поверхности». Она выражает квадрат линейного элемента ds2 поверхности, т.е. квадрат расстояния ds между бесконечно близкими точками поверхности с координатами (p, q) и (p + dp, q + dq).

Вторая из введенных Гауссом форма (6) отличается только множителем

у/л2 + B2 + C2 = 4eG-F2 от второй квадратичной формы современной теории

поверхностей:

где

N=r"q2 (r'p ХГ'q )

Ldp2 + 2Mdpdq + Ndq2,

L =

Г" p2 (ГР ХГ\ )_ _

yjEG - F2 V EEG - F2

D

r" (Г xr' )

^ _ pq \ p q)

D

4 EG - F2 4 EG - F2

D"

4 EG - F2 4 EG - F2 '

Эти формы играют важную роль в дифференциальной геометрии; например, требование конформности отображения одной поверхности на другую сводится к пропорциональности коэффициентов первых квадратичных форм этих поверхностей:

Е ' " ^ ' " & '

Гаусс, как и Эйлер [16], использовал сферическое отображение, обычно применявшееся в астрономии. Каждой нормали к поверхности он ставит в соответствие на единичной сфере такую точку, радиус-вектор которой параллелен этой нормали. Таким образом, всякая область поверхности отображается с помощью нормалей в некоторую область на сфере. Опираясь на это отображение, Гаусс ввел понятие «меры кривизны» К (гауссова кривизна поверхности в данной точке) как отношение соответствующих бесконечно малых областей на сфере и на поверхности. Иными словами,

K является пределом отношения площади сферического отображения к соответствующей площади области поверхности, когда эта область поверхности стягивается в точку.

Далее Гаусс нашел выражение для K в случае параметрического задания поверхности (4) с помощью коэффициентов обеих квадратичных форм (5) и (6)

в виде

К =

DD"-РР {Ев - Е2 )2

Затем после весьма искусных вычислений он пришел к тому, что К удовлетворяет следующему равенству:

4{Ев - Е2 )к = Е

йЕ йв „ йЕ йв

---2--+

йд йд йр йд

г ^л2^

йр

+

+ Е

йЕ йв йЕ йв „ йЕ йЕ „ йЕ йЕ „ йЕ йв

------2--+ 4---2--

йр йд йд йр йд йд йр йд йр йд

Л

+

+в

йЕ йв „ йЕ йЕ

---2--+

йр йр йр йд

V йд у

- 2{Ев - ЕЕ)

(

ййЕ ^ ййЕ ййв

\

-2

+

йд йрйд йр

откуда следует, что «мера кривизны» является функцией только коэффициентов первой формы и их производных. Это привело Гаусса к следующей, как он сказал, «славной теореме»: если кривая поверхность будет развернута на любую другую поверхность, то при этом мера кривизны в каждой ее точке останется неизменной. Впоследствии [7, с. 17] было установлено, что эта теорема была доказана Гауссом еще в 1816 г. Из этой теоремы Гаусс заключил, что если одну поверхность удается развернуть (иначе говоря, наложить или изометрически отобразить) на другую, то в соответствующих точках мера кривизны у обеих поверхностей должна совпадать.

Ранее Эйлером [15] был решен вопрос о развертывании поверхности на плоскость, а также указаны (в Записных книжках ученого №138, л. 5об.-7) [9] условия развертывания (или как сейчас говорят изгибания) любой поверхности на другую. Однако, поскольку второй из указанных результатов Эйлера был опубликован лишь в 1862 г., то, вероятнее всего, он не был известен Гауссу и к аналогичным выводам он пришел самостоятельно.

Как известно, те свойства фигур, лежащих на поверхности, которые сохраняются при ее изгибании, образуют в своей совокупности так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Изгибание - это изометрическое отображение, т.е. отображение, сохраняющее длины линий. Следовательно, при изгибании одной поверхности на другую их линейные элементы в соответствующих точках совпадают, поэтому совпадают и соответствующие коэффициенты первых квадратичных форм: Е = Е, Е = Е, О = О'. Отсюда вытекает, что углы и площади на поверхности (а для них Гаусс нашел выражения через коэффициенты первой квадратичной формы) тоже сохраняются, т.е. эти понятия принадлежат внутренней геометрии.

«Славная теорема» установила, что гауссова кривизна тоже принадлежит внутренней геометрии, и открыла возможности углубиться в вопросы изгибаемости поверхностей. Как выяснил Гаусс, к внутренней геометрии принадлежит и понятие геодезической линии, поскольку ее можно задать уравнением, содержащим только коэффициенты первой квадратичной формы и их производные.

В «Общих исследованиях о кривых поверхностях» Гаусс пришел к замечательной теореме о сумме внутренних углов А, В, С треугольника, образованного геодезическими линиями некоторой поверхности. Суть этой теоремы заключается в том, что избыток над ж суммы внутренних углов такого треугольника в случае поверхности положительной кривизны или же недостаток в случае отрицательной кривизны равен площади сферического отображения этого треугольника, названной Гауссом «полной кривизной» треугольника, или, что выполняется следующее равенство:

А + В + С -К- Ц Ыо, где К - гауссова кривизна поверхности, а ёа - элемент поверхности.

Итак, в конце XVIII - начале XIX в.в., развивая идеи Эйлера по дифференциальной геометрии, Монж и Гаусс получили новые результаты

РАЗДЕЛ 2. ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ffo

в этой области, многие из которых в дальнейшем вошли в учебную литературу. Mетодология изложения дифференциально-геометрического материала, содержащаяся в научных трудах Эйлера, Mонжа и Гаусса, легла в основу построения соответствующего учебного курса и методики обучения ему.

Список литературы

1. Выгодский М.Я. Возникновение дифференциальной геометрии // Гаспар Mонж. «Приложение анализа к геометрии»/ Пер с фр. В.А. Гуковской. - M.-Л.: ОНТИ, 1936.- С. 1-70.

2. Делоне Б.Н. Гаспар Mонж как математик// Гаспар Mонж. Сборник статей к 200-летию со дня рождения / Под ред. акад. В.И.Смирнова. - M.: АН СССР, 1947. - С.7-16.

3. Залгаллер В.А. Роль Mонжа в развитии дифференциальной геометрии // 250 лет со дня рождения Гаспара Mонжа. - СПб., 1996. - С. 11-12.

4. Игнатушина И.В. Mатериалы для спецкурса «Из истории формирования классической дифференциальной геометрии: применение математического анализа к геометрии в работах Леонарда Эйлера»: учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета - Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2010.-132 с.

5. Игнатушина И.В. Становление учебного предмета «Дифференциальная геометрия» в системе высшего математического образования России XVIII-XIX вв. - M.: Научтехлитиздат, 2012.-304 с.

6. Лаптев Б.Л., Розенфельд Б.А. Французская дифференциально-геометрическая // Mатематика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. - M.: Наука, 1981.-С. 23-27.

7. Лаптев Б.Л., Розенфельд Б.А. Аналитическая и дифференциальная геометрия // Mатематика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. - M.: Наука, 1981.- С.14-19.

S. Монж Г. Приложение анализа к геометрии / Пер. с франц. В.А. Гуковской / Ред., предисл. и примеч. M^. Выгодского.- M.-Л.: ОНТИ, 1936. -708 с.

9. Санкт-Петербургский филиал Архива РАН. Ф. 136, оп.1, №138.

10. Стройк Д.Я. Очерк истории дифференциальной геометрии (до XX столетия) / Пер. с англ. MX. Шестопал / Под ред. Э. Кольмана.- M.-Л.ЮГИЗ, 1941.- 80 с.

11. Germaine A de S. Études sur le problème des déblais et remblais. // Extrait des Mémoires de l'Académie nationale de Caen, 1SS6.

12. Appell P. Mémoire sur les déblais et remblais des systémes continues ef discontinues // Mémoires des divers savants étrangers. - Paris, 1SS6. - T. 29. - 2 série. - 3-me memoire.

13. Bernoulli Joh. De evolutione successive et alternante // Bernoulli Johannis Opera omnia. - Lausennae, Genevae, 1742. - T. IV. - P. 98-108.

14. Euler L. Continuatio Fragmentorum ex Adversariis mathematicis depromtorum // L. Euleri Opera posthuma. - Sc.-Petersb, 1862. - Vol. I. - S. 487-518.

15. Euler L. De solidis quorum superficiem in planum explicare licet [1772] / / Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. - Turici (Zurich), 1955. - Vol. 28. - S. 161-186.

16. Euler L. Methodus facilis omnia symptomata linearum curvarum non in eodem plano sitarum investigandi [1786] / / Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / Ed. A. Speiser. - Turici (Zurich), 1955. - Vol. 28. - S. 348-381.

17. Euler L. Recherches sur la courbure des surfaces [1767] / / Leonhardi Euleri Opera omnia. / Ed. A. Speiser. - Turici (Zurich), 1955. - Ser. I. Opera mathematica - Vol. 28. - S. 1-22.

18. Gauss C. F. Disquisitiones generales circa superficies curvas [1828] // Carl Friedrich Gauss werke. - Göttingen, 1873. - Band IV. - S. 219-258.

19. Monge G. Applications de l'Analyse à la Géometrie. - Paris, 1807.

20. Monge G. Mémoire sur la théorie des déblais et remblais // Mém. Acad., Paris, 1781/1784.

21. Monge G. Mémoire sur les developées, les rayons de courbure et les différents genres d'inflexion des courbes à double courbure // Mémoires des divers savants étrangers, 1771 /1785. -P. 511-550.

22. Monge G. Sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes, particulièrement sur celles des surfaces développables,avec une application à la théorie des ombres et pénombres // Mémoires des divers savants étrangers, 1775/1780.- P. 593-624.