CC BY
177
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР - ВКЛАД ДЛЯ АСТРОНОМИИ,
НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ, ГЕОДЕЗИИ,
КАРТОГРАФИИ, ГЕОДИНАМИКИ
Борис Тимофеевич Мазуров
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, e-mail: [email protected]
Павел Александрович Медведев
Омский государственный аграрный университет, 644008, Россия, г. Омск, Институтская пл., д. 2, доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики, тел. (3912)65-11-46, e-mail: [email protected]
Леонард Эйлер - великий ученый в области математики, механики и др. Его работы оказались очень важными для развития астрономии, картографии, геодезии.
Ключевые слова: математика, астрономия, картография, геодезия, геодинамика
LEONHARD EULER - HIS WORK HAS BEEN VERY IMPORTANT
FOR THE DEVELOPMENT OF ASTRONOMY, CARTOGRAPHY, GEODESY
Boris T. Mazurov
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo, Ph. D., Prof. of Department of physical geodesy and remote sensing, tel. (383)343-29-11, e-mail: btmazurov@mail .ru
Pavel A. Medvedev
OmGAU, 644008, Russia, Omsk, Department of Higher mathematics, tel. (3912)65-11-46, email: [email protected]
Leonhard Euler - a great scientist in the field of mathematics, mechanics, etc. His work has been very important for the development of astronomy, cartography, geodesy.
Key words: mathematics, astronomy, cartography, geodesy, geodynamics.
ЛеонардЭйлер (нем. Leonhard Euler;15 апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-
Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие многих наук. Эйлер — автор более чем 850 работ(включая два десятка фундаментальных монографий). Академик
Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки.С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру» почти без изменений.
Помимо математических исследований, он руководил обсерваторией в России. 1772: «Новая теория движения Луны». Эйлер наконец завершил свой многолетний труд, приближённо решив задачу трёх тел. В 1779 году опубликована «Всеобщая сферическая тригонометрия», это первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.
Эйлер много работал в области небесной механики. Одной из актуальных задач в тот период было определение параметров орбиты небесного тела (например, кометы) по небольшому числу наблюдений. Эйлер существенно усовершенствовал численные методы для этой цели и практически применил их к определению эллиптической орбиты кометы 1769 года; на эти работы опирался Гаусс, давший окончательное решение задачи.
Эйлер заложил основы теории возмущений, позднее завершённой Лапласоми Пуанкаре. Ввёл фундаментальное
понятие оскулирующих элементов орбиты и вывел дифференциальные уравнения, определяющие их изменение со временем. Построил теорию прецессии и нутации земной оси, предсказал «свободное движение полюсов» Земли, открытое сто лет спустяЧандлером.В 1756 году он опубликовал дифференциальное уравнениеастрономической рефракции, исследовал зависимость рефракции от давления и температуры воздуха в месте наблюдения. Эти результаты оказали огромное влияние на развитие астрономии в последующие годы.
Эйлер изложил очень точную теорию движения Луны, разработав для этого особый метод вариации орбитальных элементов. Впоследствии, в XIX веке, этот метод был расширен, применён в модели движения больших планет и используется до настоящего времени.
Эйлер исследовал поле тяготения не только сферических, но
иэллипсоидальных тел, что представляло собой существенный шаг вперёд. Он также впервые в науке указал на вековое смещение наклона
плоскости эклиптики, и по его предложению в качестве опорного был с тех пор принят наклон в начале 1700 года. Разработал основы теории движения спутников Юпитера и других сильно сжатых планет.
В течение 1730-х годов Эйлер возглавлял работу по картографированию Российской империи, которая (уже после отъезда Эйлера, в 1745 году) завершилась изданием атласа территории страны. В 1771 году Эйлер
опубликовал сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов.. В связи с задачами картографии Эйлер глубоко
исследовал конформные отображения, впервые применив для этого средства комплексного анализа.
В глобальной и региональной геодинамики математической основой для рассмотрения «мгновенной» кинематической картины движения литосферных плит служит известная теорема Леонарда Эйлера. Теорема гласит, что произвольное перемещение твердого тела с некоторой
неподвижной, расположенной внутри тела точкой можно представить как результат его вращения относительно фиксированной оси, проходящей через эту точку. Применяя эту теорему Эйлера к «мгновенному» перемещению литосферных плит по поверхности сферической Земли, получаем, что это перемещение (при условии, что плита в .некотором приближении ведет себя как жесткое тело) можно описать вращением с вектором угловой скорости Q, проходящим через центр Земли (рис. ). Следовательно, описание геометрии перемещения плит базируется на предположении об относительной жесткости каждой плиты.
Рис. Вращение плит на сферической Земле
Заметный след Эйлер оставил и в области высшей геодезии. В 1732 году он вывел общее уравнение геодезических линий на поверхности. В 1760 году вышли фундаментальные «Исследования о кривизне поверхностей». Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусами кривизны и что плоскости их взаимно перпендикулярны. Вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с главными кривизнами.В статье «Элементы тригонометрии сфероида», опубликованной в 1753 году, Эйлер [1] рассматривает Землю как сфероид, образованный вращением эллипса
вокруг его малой оси. На его поверхности, с помощью линий наименьшей длины, образует треугольникРРсР с вершиной в полюсе Рс. Уравнение кривой РР. Эйлер устанавливает с помощью разработанной им теории экстремума функционала, приведшей к созданию вариационного исчисления.
Для вычисления длины дуги меридиана от экватора до текущей точки Р с геодезической широтой^ получает формулу [1, с. 261]:
5 (0; Б) =
гг
с
л 15 2
1 н------т
16
л 3 15 2 л
Б — т$>т2Бн------т вт4Б
у 4 64 у
(1)
где т = (а2 - Ъ2 )/(а2 + Ъ2 ); а, Ь - полуоси эллипса; с = а(1 - т)У 1 + т .
При выводе дифференциальных уравнений геодезической линии в качестве независимой переменной берет не параметр Б, а широту^ текущей точки. Полученные уравнения представляет в форме [1, с. 273]:
Бт А1 соб Б1 ^ л/Г+тсод2Б соб Б л/1 + т соб2Б1
(2)
=
а(1 - 1 + т • соб Б • д/ 1 + т соб2Б1 • ШБ
(1 + т соб 2Б)32 • д/соб2 Б(1 + т соб 2Б1) - Бт2 А1 соб2 Б1 (1 + т соб 2Б)
(3)
(1 - т^т А1 • соб Б1 • ШБ
собБ •л/ 1 + тсоб2Б • д/соб2 Б(1 + т соб 2Б1) - Бт2 А1 соб2 Б1 (1 + т соб 2Б)
(4)
Следует отметить, что Л. Эйлером впервые получены общие дифференциальные уравнения геодезической линии, справедливые при любом ее расположении на поверхности эллипсоида.Уравнения (3) и (4) Эйлер интегрирует. Но учитывая небольшую разность между полуосями земного эллипсоида и сложность формул при разложениях МБ и М в ряды, сохраняет только величины порядка т.
В соответствии с этим он получает:
10 = агсБт
Бт А1 соб Б бш Б
1
Л (
- агсБт
соб Щ1 - Бт А1соб Б1
1
V
1 - Бт А1соб Б1
I = 10 - т бш А1 соб Б1 агсБт
/п соб Бл
Бт А1
т Бт 10 соб А1 соб Б1 соб Б у!соб2 Б - бш2 А1 соб2 Б1
о |?1 1 -2л 2 и ^ -Г б1п ^СОВ БЛ
5 = с 1 — т Б1П А1 соб Б1 агсБт --------------0--------
^ 2 У ^ Б1П А1
о
т б1п /0 б1п А1 соб А1 соб Б1 соб Б д/соб2 Б - б1п2 А1 соб2 Б1
3 т^т Бд/соб2 Б - б1п2 А1 соб2 Б1 - соб А1 б1п Б1 соб Б1)
2 У
С помощью этих зависимостей Эйлер выполняет решения сфероидического треугольника по любым трем его заданным элементам. При этом отмечает [1, с. 277]: “Если из четырех величин азимутов и широт конечных пунктов даны три, то определение остальных интересующих нас величин не вызывает затруднений. Но не так просто обстоит дело, если среди трех данных величин имеется или сторона, или разность долгот. В этом случае формулы будут весьма сложными и применимыми лишь для очень малых значений сжатия. Поэтому здесь в общем случае определить искомые величины невозможно. Однако для случаев очень малого сжатия вычисления нужно вести только сферически, так как поправки определяются затем обычным приближенным методом”.
Таким образом, Эйлер Л. сфероидическому треугольнику ставит в соответствие сферический при условии равенства их исходных данных. При этом сферическая часть решения задачи выполняется не по полученным выражениям из рядов, а по строгим формулам сферической тригонометрии. Оставшаяся сфероидическая часть имеет не только более компактный вид, но и оценивается отброшенными членами сфероидического вида, меньшими на один-два порядка соответствующих сферических. Такой подход повышает точность и приводит к более простым формулам.
Предложенный Эйлером способ решения сфероидических треугольников, нашел широкие приложения в сфероидеской геодезии. Эта идея в дальнейшем многими авторами неоднократно использовалась:
• как один из методов решения задач;
• для улучшения сходимости рядов путем выделения из разложений сферических величин с помощью формул сферической тригонометрии;
• путем деления алгоритмов на сферическую и сфероидическую части, в которых сферическая часть решения проводится по замкнутым формулам сферической тригонометрии, а сфероидическая - по разложениям в ряды.
Следует отметить, что Эйлер Л. не решает прямую геодезическую задачу и ошибочно отрицает ее практическую необходимость [1, с. 277]: так как азимуты и широты конечных пунктов всегда будут известны, ибо они определяются посредством легкой операции”.
В честь Эйлера названы:множество понятий в математике и других науках, см.: список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера; Кратер Эйлер на Луне; Астероид 2002 Эйлер; Международный математический институт им. Леонарда ЭйлераРоссийской Академии наук, основанный в 1988 году в Петербурге; Золотая медаль имени Леонарда Эйлера Академии
наук СССР и Российской академии наук;Медаль Эйлера, с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений за достижения в этой области математики;Международный благотворительный фонд поддержки математики имени Леонарда Эйлера Полное собрание сочинений Эйлера, издаваемое с 1909 года Швейцарским обществом естествоиспытателей, до сих пор не завершено; планировался выпуск 75 томов, из них вышло 73:29 томов по математике; 31 том по механике и астрономии;13 — по физике.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Euler L. Elemens de la Trigonometriespheroidrnue tires de la methode des plus grandset plus petits / L. Euler // Histoire de l’Academie Royale des sciences. Annee. - 1749. - Paris. -1753. - P. 258-293.
2. Идентификация движений и напряженно-деформированного состояния самоорганизующихся геодинамических систем по комплексным геодезическим и геофизическим наблюдениям // В. А. Середович [и др.]. - Новосибирск: СГГА, 2004. -356 с.
3. F. Zarzoura, R. Ehigiator-Irughe1, B.Mazurov, Accuracy Improvement of GNSS and Real Time Kinematic Using Egyptian Network as a Case Study F. Zarzoura, / Computer Engineering and Intelligent Systems ISSN 2222-1719 (Paper) ISSN 2222-2863 Vol.4, No.12, 2013.
4. Крамаренко А. А., Мазуров Б. Т., Панкрушин В. К. Математическое обеспечение идентификации движений и напряженно-деформированного состояния сооружений и объектов инженерной геодинамики по геодезическим наблюдениям // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2005. - № 5. - C. 3-13.
5. Крамаренко А. А., Мазуров Б. Т., Панкрушин В. К. Вычислительный эксперимент идентификации движений и напряженно-деформированного состояния сооружений и объектов инженерной геодинамики по геодезическим наблюдениям // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2005. - № 6. - C. 3-14.
6. Мазуров Б. Т. Математическая обработка нивелирных и гравиметрических наблюдений в условиях извлечения и перемещения больших объемов руды и пород // Изв. вузов. Горный журнал. - 2006.- № 4.- С. 99 - 104.
7. Мазуров Б. Т. Модель вертикальных движений земной поверхности и изменений гравитационного поля в районе действующего вулкана // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 2. - С. 97-106.
8. Мазуров Б. Т. Совместная математическая обработка и интерпретация нивелирных и гравиметрических наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 4. - С. 11-20.
9. Мазуров Б. Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана / Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 3. - С. 93-102.
10. Мазуров Б. Т. Совместная математическая обработка разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 6. - С. 30-39.
11. Мазуров Б. Т. Идентификация напряженно-деформированного состояния вулканической области по результатам геодезических и геофизических наблюдений // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 7. - С. 58-62.
12. Хорошилов В.С., Павловская О.Г., Носков М.Ф. Анализ и оценка по геодезическим данным динамики оползней в условиях проведения взрывных работ и разгрузки склонов // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. - 2013. - № 4. - С. 19-24.
13. Мазуров Б. Т. Компьютерная визуализация полей смещений и деформаций // Геодезия и картография. - 2007. - № 4. - С. 51-55.
14. Мазуров Б. Т. Некоторые примеры определения вращательного характера движений земных блоков по геодезическим данным // Геодезия и картография. - 2010. - № 10. - С. 5859.
15. Мазуров Б. Т. Дорогова И. Е., Дербенев К. В. Горизонтальные движения земной коры вращательного характера, наблюдаемые на геодинамических полигонах // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 232-236.
16. Мазуров Б. Т. Математическое моделирование по геодезическим данным: учебное пособие. - Новосибирск: СГГА, 2013. - 127 с.
© Б. Т. Мазуров, П. А. Медведев, 2014
