CC BY
15
УДК 551.24.02
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Борис Тимофеевич Мазуров
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, e-mail: [email protected]
Природные процессы преимущественно являются нелинейными, для их исследования должна быть использована соответствующая математическая основа. Здесь описаны некоторые возможности использования систем дифференциальных уравнений для качественного исследования геодинамических систем в фазовом пространстве.
Ключевые слова: геодинамические системы, качественное исследование, дифференциальные уравнения, фазовое пространство.
PERFORMANCE OF GEODYNAMIC SYSTEMS IN PHASE SPACE
Boris T. Mazurov
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, professor, Ph. D., tel. (383)343-29-11, e-mail: [email protected]
Natural processes are mostly nonlinear, their study should be used appropriate mathematical basis. Here are some of the possibilities of using systems of differential equations for the qualitative study of geodynamic systems in the phase space.
Key words: geodynamic systems, qualitative research, differential equations, phase space.
Геодезическими методами возможна точная и оперативная фиксация и изменение во времени координат точек земной поверхности, элементов различных инженерных сооружений. Традиционно представления изменений координат точек земной поверхности во времени выполняются в виде векторов. Для горизонтальных движений некоторые интегральные характеристики деформационных полей возможно получать, используя модель локально-однородной деформации [1]. Вычисляются тензоры деформаций, по элементам которых определяется дилатация (сжатие/растяжение), сдвиговые компоненты и угол вращения. Для геодинамических систем глобального и регионального масштаба процесс их идентификации усложняется ввиду кривизны земной поверхности [2]. В связи с принятием гипотезы движения литосферных плит как главенствующую, востребованы модели их относительных движений на основе теоремы Леонарда Эйлера [3]. Примером такой модели является NUVEL1A [4].
Изучение горизонтальных движений земной поверхности (ГДЗК) получило активное развитие с появлением спутниковых технологий. В настоящее время непрерывные и повторные GPS измерения проводятся на территории многих стран и регионов, появляется все больше работ, посвященных наблюдениям и
анализу горизонтальных движений и деформаций на геодинамических полигонах (ГДП).
Локальная геодинамика кроме не очень больших (до 100 км) сейсмоопас-ных территорий, включает также техногенные регионы. Например, месторождения полезных ископаемых [5-8], крупные гидроузлы (ГЭС), мегаполисы, инженерные сооружения, здания и др.
При изучении вертикальных движений земной коры (ВДЗК) наиболее точные результаты дает геометрическое нивелирование. По ним создают карты вертикальных движений, совместно с гравиметрическими данными создают некоторые модели глубинных процессов, например подготовку вулканического извержения [9-11]. То есть, делается попытка по геодезическим и гравиметрическим данным решать некорректные обратные задачи геофизики.
Характер горизонтальных смещений земной коры принципиально отличается от вертикальных, поэтому и подходы к их изучению должны быть различными. Одним из примеров характерных горизонтальных движений земной поверхности являются вращательные движения. В последнее время получило развитие направление в тектонике и геодинамике названное «вихревой геодинамикой» [12-14]. Некоторые примеры распределений векторов горизонтальных смещений земной коры, полученных по геодезическим измерениям на некоторых ГДП Евразии и указывающих на вращательный характер земной поверхности даны в [1, 2, 5, 6]. Природные процессы имеют преимущественно нелинейный характер [13, 14]. Нелинейные процессы присутствуют при движениях тектонических блоков. И, в частности, при разнонаправленном движении соседних блоков, когда возникает опасность сейсмического события - землетрясения. Геодезические данные и их последующий статистический анализ в совокупности с геофизическими наблюдениями позволяет выполнять математическое моделирование и идентификацию напряженно-деформированного состояния геодинамических систем в аспекте прогноза природных и техногенных катастроф [15].
Имеется объективная потребность использования методов и приемов качественного исследования динамических систем и одновременно естественность использования этой теории при рассмотрении математических моделей реальных систем, в том числе геодинамических.
Одним из основных математических понятий является дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение - способ нахождения функций, производные которых соответствуют некоторым наперед заданным условиям. Исследование какого-либо реального, природного в том числе, явления или процесса может иметь одним из результатов дифференциальную модель этого явления или процесса. Конечно же, дифференциальные модели являются частным случаем множества моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего мира. Существуют различные типы дифференциальных моделей. Для таких уравнений особенностью является то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят только от одной переменной.
Здесь рассматриваются вопросы приложения к интерпретации пространственно-временных рядов геодезических наблюдений обыкновенных дифференциальных уравнений [16, 17]. Конечно же, в процессе построения обыкновенных дифференциальных моделей для геодинамических исследований геодезическими методами важно учитывать законы, объясняющие геодинамические процессы и явления и даже гипотезы, как элементы развития науки. И, если результаты исследования полученного дифференциального уравнения как математической модели согласуется с опытными данными, то это весомый аргумент правильности (адекватности) проверяемой гипотезы.
Осложняет процесс исследования большая сложность решения дифференциальных уравнений в замкнутой форме - аналитической формулы, использующей конечное число простейших операций над элементарными функциями. Примером таких решений есть, например законы Кеплера движения планет. Основываясь на законе всемирного тяготения, все три законы Кеплера получаются как решения дифференциальных уравнений. Другой пример касается получения уравнения упругой линии, используемой для определения максимального прогиба, например балки конструкции мостов.
Если для представления решений дифференциальных уравнений использовать бесконечные ряды того или иного вида, выявить наиболее существенные и интересные свойства решений очень затруднительно. Необходимы приемы и методы, которые позволяли бы, не решая самих дифференциальных уравнений, получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Такие методы существуют - они составляют содержание качественной теории дифференциальных уравнений [16, 17]. В ее основе лежат общие теоремы о существовании и единственности решений, о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров.
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка
М х „ Мх , _
I х,^- . (1)
м
ж2
V м У
. Тогда
Пусть динамическая система, состоит из частицы единичной массы, кото-
(
рая движется по оси .х (рис. 1) и на которую действует сила / .х,—
I Ж,
уравнение движения частицы может быть описано нелинейным дифференци-
мх
альным уравнением (1). Значениям х и —, в любой момент времени характе-
ж
/ Мх.
ризующим состояние системы, соответствует точка на плоскости (х,—)
ж
(рис. 2).
Рис. 1. Движение частицы по оси х Рис. 2. Точка на фазовой плоскости
Данная плоскость называется плоскостью состояний или фазовой плоскостью. Данная плоскость является изображением совокупности всех возможных состояний динамической системы. Различные точки (изображающие) фазовой плоскости отражают каждое новое состояние системы. Траектория изображающей точки называется фазовой траекторией, а скорость этой точки - фазовой скоростью.
После введения переменной у = — уравнение (1) сводится к системе двух
Ж
дифференциальных уравнений
^х У ^ /(х У)
Л ' л
(2)
Если считать ? параметром, решением системы (2) является пара функций х() и у(). Они определяют в фазовой плоскости (х, у) упомянутую выше фазовую траекторию.
Из многих качеств, присущим подобным системам выделим случай, когда траектория вырождается в точку. В данном случае используются термин особая точка. Если особая точка не устойчива, применяют понятие точка бифуркации. Термин "точка бифуркации" пришел из теории хаоса и описывает такое состояние системы, при котором любое, сколь угодно малое воздействие способно привести к любому, сколь угодно большому изменению состояния системы. Теория бифуркаций направлена на объяснение целого ряда нелинейных эффектов в реальных системах. Это может быть перенесено на исследование геодинамических систем, как поиск возможного предвестника (места) резкого изменения состояния (землетрясение, оползни и др.).
Современные геодезические методы координатизации предоставляют данные, анализ которых может быть использован для качественного оценивания геодинамических систем локального и регионального масштабов. В том числе, с использованием методов отображения поведения геодинамических систем в фазовом пространстве. Как для исследования ВДЗК, так и ГДЗК, и даже в про-
странстве, что актуально в предгорных и горных территориях. Именно они являются зонами максимального риска возникновения сейсмических событий.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мазуров Б. Т. Поля деформаций Горного Алтая перед Чуйским землетрясением // Геодезия и картография. - 2007. - № 3. - С. 48-50.
2. Дорогова И.Е. Изучение горизонтальных движений земной коры вращательного характера по данным геодезических наблюдений // Геодезия и картография. - 2013. - № 4. -С.37-40.
3. Мазуров Б.Т., Медведев П.А. Леонард Эйлер - вклад для астрономии, небесной механики, геодезии, картографии, геодинамики // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2014. Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 8-18 апреля 2014 г.). - Новосибирск : СГГА, 2014. Т. 1. - С. 186-192.
4. Антонович К.М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии: В 2 т. Т.2. монография - М.: ФГУП «Картгеоцентр». 2006. - 360 с.
5. Дорогова И. Е. Изучение движений и деформаций земной коры на геодинамическом полигоне Таштагольского железорудного месторождения // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 2. -С. 9-12.
6. Мазуров Б.Т., Дорогова И.Е., Дербенев К.В. Горизонтальные движения земной коры вращательного характера, наблюдаемые на геодинамических полигонах // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск : СГГА, 2012. Т. 1. - С. 232-236.
7. Спутниковый радарный интерферометрический мониторинг подработанных территорий Карагандинского угольного бассейна / Ф.К.Низаметдинов, Д.В.Мозер, Н.И.Гей, А.С.Туякбай, А.Д.Каранеева // Геоматика. - 2014. - №4. - С. 70-78.
8. Мониторинг деформаций земной поверхности на территории Карагандинского угольного бассейна / Д.В.Мозер, Е.Л.Левин, Н.И.Гей, А.Д.Каранеева, А.А.Нагибин // Геодезия и картография. - 2015. - №3. - С.21-26.
9. Мазуров, Б.Т. Модель вертикальных движений земной поверхности и изменений гравитационного поля в районе действующего вулкана // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 2. - С. 97 - 106.
10. Мазуров Б.Т. Моделирование и идентификация геодинамического объекта в вулканической области по комплексным нивелирным и гравиметрическим наблюдениям // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 84-94.
11. Мазуров Б. Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана //Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 3. - С. 93-102.
12. Мазуров Б.Т Некоторые примеры определения вращательного характера движений земных блоков по геодезическим данным // Геодезия и картография. - 2010. - №10. -С. 58-61.
13. Кузнецов Ю.И., Мазуров Б.Т., Никитина Ю.В. Математическая модель волноводов в земной коре // ГЕ0-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 3, ч. 1. - С. 86-90.
14. Кузнецов Ю.И., Мазуров Б.Т., Тихонов В.И. Математическая модель вращательных кольцевых структур Земли // ГЕ0-Сибирь-2007. III Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 25-27 апреля 2007 г.). - Новосибирск : СГГА, 2007. Т. 3. - С. 61-66.
15. Мазуров Б.Т., Панкрушин В.К., Середович В.А. Математическое моделирование и идентификация напряженно-деформированного состояния геодинамических систем в аспек-
те прогноза природных и техногенных катастроф // Вестник СГГА. - 2004. - Вып. 9. -С.30-35.
16. Derrick W.R., Grossman S.I. Elementary differential equations with applications. - 2-nd. ed. - Reading. Mass.: Addison-Wesley, 1981. - 532 p.
17. Differential equation models / Ed.: Braun M. - New York etc.: Springer, 1983. - 380 p.
© Б. Т. Мазуров, 2016
