CC BY
26ОБУЧЕНИЕ УМЕНИЯМ ДОКАЗАТЬ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА
АЛГЕБРЫ Останов К.1, Пулатов О.У.2, Джумаев М.3
1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, Самаркандский государственный университет;
2Пулатов Ойбек Улашевич - старший преподаватель;
3Джумаев Максуд - старший преподаватель, Академический лицей Самаркандский государственный институт инностранных языков, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в этой статье излагаются некоторые особенности обучения учащихся умениям доказать и найти способы доказательства. Приводятся примеры использования по контрапозиции, приведения контрпримера, применения частных видов анализа и синтеза при решении задач и упражнений по курсу алгебры. Ключевые слова: алгебра, доказательство, контрапозиция, предложение, контпример, потверждающий пример, анализ, синтез, частные виды.
Очень важное значение в процессе развития мышления учащихся имеет решение задач на доказательство. Особенно, есть возможность решения таких задач при изучении курса алгебры [1]. Например, кроме способов доказательство с методом обратного предположения, принципа математической индукции целесообразно обучения учащихся некоторым специальным способам доказательства, которые положительно воздей-ствует формированию умений доказывать при обучении курса алгебры 7-9 классов.
1. Доказательство по кoнтрапозиции. В этом способе вместо того, чтобы доказать предложения A ^ В, предполагается истиность противоположного предположения к В, стремятся доказать истинность противоположного к A предложения. Данный способ применяется когда возникает трудности непосредственно доказать, при этом
сначала учащимся предлагается составить из A ^ В предложения А ^ В, потом исследовать способ доказательства. Например, при обучении учащихся формул сокращенного умножения при доказательстве следующего предложения: "если 9a2-12aс +2Ь<0, то Ь < 5с2, можно доказать предложение "если Ь > 2^, то
9а2 — 12ас + 2Ь > 0 ", которого можно показать следующим образом:
9а2 — 12ас + 2Ь > 9а2 = 12ас + 4с2 = (3а — 2с)2 > 0
2. Приведение контрпримера и потверждающего примера. В качестве контпримера
учитывая равносильность предложений (Ух / Р( *)] ва.(Ух)Р(х) для того чтобы
доказать ложности предложения VxeX, P(x) достаточно найти такое значение х из Х, чтобы для него не выполнялось свойство P. Например, при изучении темы «Неравенства» контрпримером для предложения « Верна ли, если то с>1»
может служить значение-0,5>1/-0,5=-2 с=-0,5<1. При изучении темы «Разложение многочлена на множители» для предложения "Верна ли значение выражения п3+5п-1 при любом натуральном п равна простому числу " контрпримером будет п=6 и т.д.
При использовании способа потверждающего примера для того, чтобы доказать истинность предложения 3x6X5 Р^) нужно найти хотя бы одного значения х из Х, чтобы выполнялось свойства Р. Например, при изучении темы «Степень с натуральным показателем» потверждающим примером для предложения "Существует ли такие натуральные х и у удовлетворяющее равенство x5+у5=336?"является значения x=66, у=33. Или для предложения «Существует ли такие числа х и у
удовлетворяющее равенство yjxy =xy?" (потверждающий пример: x=1, у=1), "|Будет
ли равенство a-b|=|a|-|b| тождеством?" (контрпример: a=3, в=-4) и т.д.[2]
При использовании такого способа необходимо почаще предлагать учащимся таких вопросов обосновать и доказать, включающие в себя требований «верна ли?», «существует ли?», «возможна ли?», а также при данных условиях необходимости
показать истинности двух предложений A или А .
3. Способ использования различных частных видов анализа и синтеза. Такими способами при изучении курса алгебры являются: выделение целого из дроби ; разделение целого на части (анализ); составление целого по частям (синтез); комбинированный способ (анализ и синтез). Первый способ в основном применяется в тождественных преобразованиях или при нахождении решений уравнений. Например, при нахождении наименьшего значения дроби у=(x2-5)/(x2 +1), сначала выделяется целая часть этого выражения у=1-6^2+1, выводится наименьшее значение равно у=-5 при х=0. Этот способ в дальнейшем используется при нахождении наименьших и наибольших значений функций, при доказательстве монотонности функции, при нахождении области значений функции. Например, при доказательстве возрастании функции у=x/x+1 при x>-1, она приводятся к виду у^-1/x+L Во втором способе выражение исследуется с помощью разделения на части. Например, для того чтобы доказать предложения «Выражение a3+3a2+8a при любых а делится на 6» нужно привести данное выражение к виду (a3+3a2+2a)+6a=a(a+1)(a+2)+6a. Третьем способе, например, для того чтобы показать положительности всюду выражения 9x2-24x+26 нужно выделить полный квадрат (3x-4)2+10>0 и т.д.
Список литературы
1. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра. Москва: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1987. 431 с.
2. Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции. Москва: Издательство «Наука», 1975. 447 с.
