CC BY
56МРНТИ 14.35.09
ОБУЧЕНИЕ ПОСТРОЕНИЮ СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ МЕТОДОМ ВНУТРЕННЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Д.Н. Нургабыл1,2, К. С. Нурпеисов2 'Казахский национальный женский педагогический университет, г.Алматы, Казахстан 2Жетысуский государственный университет им. И.Жансугурова, г.Талдыкорган, Казахстан
kebek.kz@mail.ru
В статье рассмотрены задачи на построение сечений многогранников методом внутреннего проектирования. Для решения этих задач используются два вида проектирования: параллельное и центральное. Методом параллельного проектирования были построены плоские сечения различных призм. Центральное проектирование, было применено при построении плоских сечений пирамид. В рассмотренных задачах были использованы позиционно верные, наглядные изображения многогранников, алгоритмический подход в построении сечений многогранников. Предложенный подход в построении сечений многогранников в некоторой степени позволяет осуществлять формирование и развитие пространственного представления и алгоритмического мышления, профессиональных качеств у будущих учителей математики.
Ключевые слова: многогранник, секущая плоскость, параллельная проекция, центральная проекция, сечение многогранника
Введение
Изучение практики обучения школьников позволяет сделать заключение о нерациональном использовании возможностей некоторых учебных материалов по геометрии для повышения результативности обучения и формирования пространственного представления школьников. К таким учебным материалам относятся построения сечений данных многогранников на основании общеизвестных положений стереометрии. При этом в учебниках геометрии предлагаются лишь несколько задач на построение плоских сечений многогранников. Однако, учителями школ подобные задачи учащимся для изучения предлагаются редко.
В работе учителя математики по развитию пространственного представления школьников одно из первостепенных мест отведено обучению учащихся построению сечений многогранников.
В практикуме решения задач математики, изучаемые будущими учителями математики, приводятся задачи на построение сечения многогранников, решаемые методом следов, методом внутреннего проектирования и ряда других методов. Однако, практика показала, что в вузах обучение методам построения сечений различных многогранников проводятся поверхностно, эпизодически.
Исследование показало, что одним из основных причин отрицательного отношения учителей школ к решению таких задач является отсутствие соответствующих знаний и умений по данному вопросу. Кроме того, отсутствие в курсах математики специально подобранных систем задач на построение, сравнительно небольшое количество времени, выделенного для решения таких задач, являются предпосылками для формирования негативного отношения преподавателей и учителей к решению задач на построение сечений многогранников.
С другой стороны одним из ключевых задач математических дисциплин в вузе является формирование и развитие у будущих учителей математики глубоких профессиональных знаний, пространственного представления и алгоритмического мышления. Эти задачи в некоторой степени разрешимы при решении задач на построение сечений многогранников.
В общеобразовательных школах рассматриваются в основном задачи на построение сечений многогранников по трем заданным точкам, лежащим на различных ребрах многогранников, решаемые с помощью основных аксиом и теорем стереометрии.
Наша цель: сконструировать задачи на построение сечения многогранников, решаемые методом внутреннего проектирования, предложить алгоритмический подход решения подобных задач.
В своих исследованиях Н.Ф.Четверухин [1], Д.И.Перепелкин [2], А.Д.Семушин [3], А.Р.Черняева [4] и др. подчеркивают, что в системе обучения геометрии в средней школе весьма важное место занимает обучение школьников и студентов построению сечений многогранников.
В.А. Далингер в книге [5] рассматривает два типа задач на построение: задачи на позиционно полных изображениях и метрические задачи на проекционных чертежах. В.И.Бутырина в работе [6] рассматривает обучение построению сечений многогранников как средство формирования пространственного представления школьников. В [7] рассмотрены упражнения на построения сечений многогранников, решаемые с помощью основных аксиом и теорем стереометрии.
Мы рассмотрим задачи, решаемые методом внутреннего проектирования. Метод внутреннего проектирования часто используется в проектированнии арихитектрных сооружений. В связи с этим обучение школьников элементам внутреннего проектирования является фундаментом для будущих инженеров строителей. Поэтому обучение будущих учителей математики различным методам построения сечений многоранников является одним из важных задач педагогических образовательных программ. Обучение студентов методам построения сечений многогранников можно осуществлять алгоритмическим методом.
Метод внутреннего проектирования в решении задач на построения
Рассмотрим на сконструированных примерах другой метод построения сечений, называемый методом внутреннего проектирования. При внутреннем проектировании каждая точка многогранника проектируется на плоскость основания многогранника. Выделяют в основном два вида проектирования: параллельное и центральное. Параллельное проектирование применяется при построении плоских сечений различных призм. Центральное проектирование, обычно, применяется при построении плоских сечений пирамид. Вершина любой пирамиды называется центром изображаемой проекции.
1.Рассмотрим метод параллельного проектирования в построении сечения призмы.
Задача 1. Постройте сечение призмы ЛВСПА^Б^С^П^ плоскостью 7, заданной внутренними
Анализ. Допустим, что задача решена. Изобразим призму ЛВС0Л1В1С101, а так же данные точки м, ы, к (рис.1).
Выясним особенности этих данных, после чего перед студентами ставим следующий вопрос:
Каким образом, можно определить точку секущей плоскости 7 на ребре СС1 ?
Из рисунка видно, что прямая ЫК расположена на секущей плоскости 7 . Для того чтобы провести прямую ык можно провести следующее построение:
- Проведем плоскость (X через точки N, К параллельно ребру СС1;
- На плоскости ( расположена прямая ЫК. Следовательно, можно провести эту прямую ЫК.
Далее, если проведем диагональную плоскость Л1С1СЛ , то она пересекает плоскость ( вдоль некоторой прямой
точками
М е ЛЛ1, N е Б1С1, КеБС.
/ /
/ 4 в
р— /к "В
1 Рисунок 1
С1
С
I . При этом, прямая I пересекает прямую ЫК в некоторой точке Р . Так как точки Р и М расположены на диагональной плоскости Л-С-СЛ, то прямая МР будет пересекать ребро СС- в некоторой точке Я. Теперь, заметим, что остальные точки секущей плоскости на соответствующих ребрах определяются аналогичным образом. Тем самым, мы можем определить алгоритм построения искомого сечения. Построение и доказательство.
1. Определим проекцию точки К (рис.2). Для этого проведем прямую К-Ктак, чтобы КК-\|СС- .
2. Определим проекцию точки N . Для этого проведем прямую ЫЫ- так, чтобы NN1 С- С .
3. Строим отрезки Ы-К и ЫК-. Получим плоскость Ы-КК-N . В этой плоскости проведем прямую ЫК еж.
4. Строим отрезки и АС . Получим плоскость ЛХС\СЛ.
5. Плоскости Ы-КК-Ы и Л-С-СЛ пересекаются вдоль прямой Р\Р^ .
6. В плоскости Ы-КК-Ы прямые ЫК еж и Рр2 пересекаются в точке Р еж .
7. В плоскости Л-С-СЛ проведем прямую МР еж, которая пересекает ребро СС- в точке Я еж .
8. Соединяя точки К ежи Я еж, лежащие в плоскости В-С-СВ получим КЯ е ж .
9. Соединяя точки N еж и Я еж, лежащие в одной той же плоскости О-С-СО, получим ЫЯ е ж .
10. Плоскости Ы-ЛЛ- N и К-О-ОК пересекаются вдоль прямой р-р2 (рис.3).
С
Рисунок 2
Б
К
С
Я
С
В
Рисунок 3
11. В плоскости Ы- ЛЛ- N проведем прямую МЫ е ж, которая пересекает прямую Р-р2 в точке Q еж , причем £ е КО с КХОХОК.
12. Проведем прямую еж, которая пересекает К- О- в некоторой точке еж .
13. Проведем прямую через точки еж и N еж, принадлежащие одной той же плоскости Л-В-С-О- , и это прямая пересекает ребро Л-О- в точке Т еж.
14. Плоскости Ы-ВВ-Ы и ЛКК- Л- пересекаются вдоль прямой X-X2 (рис.4).
15. Проведем прямую через точки К ежи М е ж, принадлежащие одной той же плоскости ЛКК-Л-.
16. Прямая МК е ж пресекает прямую X-X2 в точке X еж.
Я С
Рисунок 4
О
в
17. Проведем прямую через точки N ежи X е ж, принадлежащие одной той же плоскости Ы1ВВ1Ы.
18. Прямая ЫХ е ж пресекает прямую N1В в точке N2 еж.
19. Проведем прямую через точки N2 еж и К еж , принадлежащие одной той же плоскости Л1 Л1К1К , и это прямая пересекает ребро ЛВ в точке О еж.
20. Соединяя точки О еж и К еж, а так же точки О еж и М е ж получим следы МО е ж, ОК е ж секущей плоскости на соответствующих плоскостях ЛВВ1Л1 и ЛВСБ .
21. Получим многоугольник МОКЕМГ. Исследование. Поскольку по построению вершины
многоугольника МОКЕ^Г являются точками, лежащими в секущей плоскости ж, и принадлежат ребрам данной призмы, то построенный многоугольник МОКЕ^Г является искомым сечением. Так как по смыслу задачи точки М, N, К не лежат на одной прямой, задача имеет единственное решение.
Задача 2. Постройте сечение призмы ЛBCDAlБlClDl плоскостью ж, заданной внутренними точками М е ЛЛ1, N е ВС и точкой К, расположенной на внутренней части грани CDDlCl.
Решение.
1.Определим в призме ЛBCDAlBlClDl (рис.5) проекции точки К. Для этого проведем отрезок К1К2 так, чтобы К1К21СС К е К1К2.
2. Проведем отрезок МК, при этом МК еж, так как М еж, К еж.
3. Находим проекции Л1К2 и ЛК1 отрезка МК на плоскостях AБCD и Л^1С^1 соответственно.
4. Строим отрезки Л1К2 и ЛК1.
5. Точки Р2 и Р1 являются общими для плоскостей ЛК2КЛ и DDlNN1 . Следовательно, эти плоскости пересекаются вдоль прямой Р1Р2 . Тогда существует точка
в1
- ^ /
\ \ /
С
Аики
М
А
в
¡¿-г
р
Ш""
р
Рисунок 5
Р = МКпР1Р2, причем Р еж.
6. Соединяя точки Р и N , находим точку Н как точку пересечения NP и DD1. Так как Р еж и N еж, получаем, что Н еж.
7. Проведем отрезок, проходящий через точки Н ежи К еж до пересечения с ребром С 1С . Точку пересечения обозначим через Е . Очевидно НЕ е ж .
8. Соединим точки Е еж и N еж . Получим NN е ж .
9. Проведем плоскости AlNNl Л и BlBDDl. Эти плоскости пресекаются вдоль прямой Е1Е.
10. Находим точку О , в которой пересекаются прямые МИ еж и Е1Е, при этом О еж.
11. Строим прямую НО е ж .
12. Находим точку Е еж, в которой прямая НО е ж пересекает прямую В^1.
50
13. Находим точку Т , в которой пересекаются прямые ЫЕ еж и Л-В-, при этом Т еж.
14. Соединим точки Т еж и М еж , М еж и Н еж. Получим ТМ еж и МН е ж.
15. Полученный многоугольник МНЯЫТ — искомое сечение.
Доказательство. Так как точки М, Ы, К не лежат на одной прямой, то задача имеет единственное решение.
Теперь рассмотрим метод центрального проектирования в построении сечений пирамиды.
Задача 3. Требуется построить сечение четырехугольной пирамиды ЛВСОБ плоскостью ж, заданной внутренними точками М е БС, N е БВ и точкой К, расположенной на внутренней части грани ЛБО. Решение.
1. Определим в пирамиде ЛВСОБ (рис.6) центральную проекцию прямой КЫ е ж на плоскости основания ЛВСО пирамиды ЛВСОБ.С этой целью на плоскости грани ЛОБ проведем прямую БК . Тогда получим проекцию К- = БК о ЛО точки К на ребре ЛО . Центральной проекцией точки N является точка Ы- = С . Соединяя точки К- и , получим проекцию К-Ы- прямой КЫ еж на плоскости основания АВСЕ>.
2. Центральной проекцией точки М является точка М- = В. Центральной проекцией любой точки ребра БО является точка О. Соединяя точки В и О, получим плоскость ВОБ .
3. Плоскости ВОБ и К-Ы-Б пересекаются вдоль прямой . Так как и КЫ е ж принадлежат одной той же плоскости К-Ы-Б прямая пересекает прямую КЫ е ж в некоторой точке £ еж.
4. Точки М еж , £ еж, принадлежат одной той же плоскости ВОБ, и поэтому, прямая М£ е ж
пересекает ребро БО в некоторой точке Я еж .
5. Проведя прямую через точки Я еж и К еж, получим точку Т еж .
6. Соединяя точки Я еж и Т еж, Т еж и М е ж, М еж и N еж, N еж и Я еж получим, что ЯТМЫ — искомое сечение.
Выводы
Анализ педагогической и методической литературы позволяет, заключит о том, что формирование и развитие абстрактного, алгоритмического мышления, пространственного представления у будущих учителей математики, умения доказывать геометрические утверждения можно достичь лишь при правильном применении средств наглядности.
В рассмотренных задачах мы использовали верные, наглядные изображения многогранников, алгоритмический подход в построении сечений многогранников методом внутреннего проектирования. Поэтому данный подход в некоторой степени позволяет осуществить формирование и развитие пространственного представления и алгоритмического мышления, профессиональных качеств у будущих учителей математики.
Список литературы
1. Четверухин Н. Ф. (1952) Стереометрические задачи на проекционном чертеже. 2-е изд. М.: Учпедгиз - 128 с.
2. Перепелкин Д. И. Основные методы решения задач на построение в курсе восьмилетней школы.
3. Семушин А. Д. (1952) Методика обучения геометрическим построениям в курсе стереометрии. М.: Изд-во АПН РСФСР -160 с.
4. Черняева А. Р. (2003) Задачи на построение сечений многогранников как средство развития пространственного мышления в курсе геометрии: Методическое пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ. - 48 с.
5. Далингер В. А. (2018) Геометрия: Стереометрические задачи на построение: Учебное пособие. Москва: Изд-во Юрайт. -189 с.
6. Бутырина В. И. (2012) Обучение построению сечений как средство развития пространственного представления на уроках стереометрии // Наука и школа. №3. - С.86-89
7. Нургабыл Д. Н., Нурпеисов К. С. (2019) Алгоритмический метод построения сечения многогранников // Вестник ЖГУ. №2. С.38-43.
Training of constructing sections of polyhedron by the method of internal design
1,2D.N. Nurgabyl, 2K. S. Nurpeissov 1 Kazakh National Women's Teacher Training University, Almaty, Kazakhstan 2 Zhetysu State University named after I.Zhansugurov, Taldykorgan, Kazakhstan
kebek.kz@mail.ru
This article discusses the problems of constructing sections of polyhedron by the method of internal design. To solve these problems two types of projection are used: parallel and central. Flat sections of various prisms were constructed using the method of parallel design. Central projection was applied in the constructing of flat sections of pyramids. In the considered problems, we used positionally correct, visual images of polyhedron, an algorithmic approach in constructing sections of polyhedron. The proposed approach in the construction of polyhedron to some extent allows the formation and development of spatial representation and algorithmic thinking, professional qualities of future teachers of mathematics.
Keywords: polyhedron, secant plane, parallel projection, central projection, polyhedron cross-section.
1шК проекциялау эдюмен кепжактардьщ кимасыи салуFа окыту
Д.Н. Нургабыл1'2, К.С. Нурпеисов2 1 Казак ^лттьщ цыздар педагогикалъщ университет^ Алматы к., Казакстан 2 I.ЖансYгiров атындагы Жетюу мемлекетпк университет^ Талдыкорган к., Казахстан
kebek.kz@mail.ru
Б^л макалада шш проекциялау эдгамен кепжактын кималарын салу мэселелерi карастырылган. Осы мэселелердi шешу Yшiн проекциялаудын еш тYрi колданылады: параллель жэне орталык. Параллель проекциялау эдiсi эртYрлi призмалардын жазык кималарын салу Yшiн пайдаланылды. Орталык проекция пирамидалардын кималарын салуда колданылды. Карастырылган есептерде кепжактардын позициялы вдрыс, кернеш бейнелерш, кепжактардын кималарын салуда алгоритмдiк тэсiлдi колдандык. Кепжактардын кималарын салуга ^сынылган тэсiл белгiлi бiр дэрежеде кещспкпкте елестете алу, алгоритмдiк ойлау, болашак математика м:ратмдершщ кэсiби кабiлеттерiн калыптастыруга жэне дамытуга мYмкiндiк бередi.
ТYйiн свздер: кепжак, кима жазыктык, параллель проекция, орталык проекция, кепжак кимасы.
Поступила в редакцию 28.12.2019
