CC BY
120
УДК 372. 851
DOI 10. 23951/2307-6127-2020-5-94-102
РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СРЕДЕ GEOGEBRA
А. П. Елисова, А. В. Фирер
Лесосибирский педагогический институт - филиал Сибирского федерального университета, Лесосибирск
Актуальность темы обусловлена затруднениями обучающихся, которые они испытывают при решении стереометрических задач. Об этом свидетельствуют ежегодные результаты единого государственного экзамена по математике профильного уровня. На протяжении последнего десятилетия с развитием современных информационных технологий предпринимаются многочисленные попытки повышения эффективности обучения геометрии в школе за счет внедрения интерактивных сред, обеспечивающих различные функции наглядности на уроке и на внеклассных занятиях по математике. Среди современных доступных цифровых инструментов, позволяющих выполнять построения и преобразования геометрических объектов в интерактивном режиме, все большим спросом среди учителей и исследователей пользуется среда GeoGebra. Однако анализируя русскоязычные печатные и электронные источники, можно заключить, что вопрос о применении GeoGebra при решении позиционных стереометрических задач раскрыт недостаточно полно. Раскрыты особенности решения позиционных стереометрических задач с использованием среды GeoGebra 5.0 на уроках геометрии в средней школе и при обучении методам изображений будущих учителей математики в педагогическом вузе. Сделан акцент на преимуществе применения GeoGebra при обучении построению пространственных фигур и их сечений по сравнению с традиционным обучением. На примере решения задачи на построение сечения многогранника плоскостью различными способами подробно описан необходимый инструментарий среды GeoGebra 5.0.
Ключевые слова: GeoGebra, методика преподавания геометрии, визуализация геометрических объектов, развитие пространственного мышления, позиционные задачи, методы построения сечения многогранников, метод следов, метод внутреннего проектирования.
Роль геометрии в становлении и развитии полноценной личности трудно переоценить. Несомненно, она способствует пониманию материального и духовного мира, без геометрии немыслима успешная трудовая деятельность для огромного числа профессий. Выпускники школ, нацеленные на поступление в вузы, выбирают профильный уровень при сдаче единого государственного экзамена по математике. Однако немногие из них приступают к решению геометрических задач, в том числе к заданиям с развернутым ответом. По данным Федерального института педагогических измерений [1], задания по геометрии в 2018-2019 гг. остаются наиболее трудными для участников экзамена. Сложности у учащихся при решении стереометрической задачи № 14 контрольных измерительных материалов ЕГЭ, направленной на проверку умения работать с геометрическими объектами в пространстве (многогранниками и телами вращения), возникают уже на этапе построения данной в условии геометрической фигуры. Например, когда требуется построить сечение на чертеже, угол между плоскостями или общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Проблема развития пространственного мышления и формирования геометрических образов у обучающихся остается актуальной.
Преодолевать указанные затруднения помогает сопровождение теоретического материала интерактивными заданиями, требующими построения пространственных фигур и изображений на них. Современные цифровые инструменты позволяют осуществлять построения и преобразования геометрических 3D-моделей в интерактивном режиме. Среди них «Живая геометрия», «Maple», «3DSecBuilder», «Mathematica», «GeoGebra».
В плане доступности и удобства использования среда GeoGebra, несомненно, обладает преимуществом. Это динамическая математическая программа с открытым кодом, которая объединяет геометрию, алгебру и исчисления. Она разработана Маркусом Хохенвартером и международным сообществом программистов для изучения и преподавания математики. На официальном сайте программы [2] можно скачать различные версии для популярных операционных систем, в том числе мобильных. Отметим, что есть возможность применять программу и ее отдельные компоненты в режиме онлайн.
Тот факт, что GeoGebra обладает широким дидактическим потенциалом в обучении геометрии, подтверждается публикациями актуальных на сегодняшний день учебных и учебно-методических пособий [3, 4]. В частности, она может быть использована в учебно-исследовательской деятельности обучающихся, например при проверке правильности сформулированных гипотез [5]. На протяжении последнего десятилетия появляется все больше статей, связанных с описанием возможностей программы при решении конкретных задач из различных областей математики: непрерывное вычерчивание графика данной функции и ее производной, графиков многочленов, анимационное изображение кривых второго порядка [6]; решение некоторых алгебраических задач анимационно-геометрическим методом [7]; решение визуализированных задач по алгебре и планиметрии [8]; преобразование объектов на плоскости [9, 10]; решение стереометрических задач [11-13], анимационное изображение конических сечений [14] и др.
Основной инструментарий среды GeoGebra, необходимый для построения объемных тел и решения стереометрических задач, приведен в пособии В. А. Смирнова и И. М. Смирновой [15]. Однако вопрос о преимуществах применения GeoGebra при решении позиционных стереометрических задач по сравнению с традиционными методами обучения раскрыт недостаточно полно.
Напомним, что под позиционной задачей понимают задачу на установление взаимного расположения фигур-оригиналов по их изображениям, выполненным в одной проекции на одной плоскости [16, с. 39]. Классической позиционной задачей является задача на построение сечений многогранников и тел вращения плоскостью.
Задача на построение сечения многогранника плоскостью сводится к двум случаям: построение пересечения секущей плоскости с гранями многогранника; построение пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.
Заметим, что секущую плоскость чаще всего задают либо тремя неколлинеарными точками, либо двумя различными точками и направлением, либо точкой и двумя различными направлениями. Рассмотрим построение сечения пирамиды плоскостью, заданной тремя неколлинеарными точками.
Задача. Дана четырехугольная пирамида SABCD и три точки на ее поверхности:
P е SA, G е SC, F е (SCD).
Построить: сечение (PGF).
Построение пространственных фигур в среде GeoGebra можно выполнять различными способами: конструируя данное изображение вручную с помощью различных геометриче-
ских элементов (точек, прямых, лучей, отрезков и т. д.) на панели инструментов в режиме «Геометрия» либо выбирая готовые модели многогранников и тел вращения в режиме 3D-графика.
В нашем случае, например, необходимо выбрать пиктограмму «Пирамида», построить нижнее основание, а затем указать вершину. При этом можно использовать контекстное меню с помощью нажатия правой кнопки мыши для выбора таких функций, как установка осей, сетки, выбор масштаба; последовательное воспроизведение шагов построения многогранника и его сечений; можно изменять цвет, размер и характер линий и точек (рис. 1).
Отметим точки, принадлежащие секущей плоскости с помощью инструмента «Точка», и для наглядности изменим их цвет.
S
Рис 1. Изображение пирамиды с заданными условиями Первый способ. Решим задачу методом следов.
Анализ. Найдем пересечение секущей плоскости с плоскостью основания пирамиды: след секущей плоскости - прямая т, которая определится двумя точками: М = PG П АС, N = PF П АК, где К - центральная проекция точки F.
Построение. В ходе построения будем использовать инструменты «Прямая» и «Пересечение».
1. K : к = SF n CD;
2. M : M = PG n AC;
3. N : N = PF n AK;
4. m: M e m, N e m;
5. R: R = BC n m;
6. L: L = GR n SB;
7. E: E = GF n SD;
8. Четырехугольник PLGE - искомое сечение.
Визуализируем построенное сечение, используя инструмент «Многоугольник» и последовательно указывая его вершины. Для наглядности изображения установим цвета объектов с помощью вызова контекстного меню на панели объектов (рис. 2, 3).
Рис . 3 . Искомое сечение . Метод следов Отметим, что при традиционном обучении методу следов может возникнуть ситуация, когда след секущей плоскости находится за рамками чертежа, что делает невозможным
дальнейшее построение. GeoGebra позволяет изменять начальные условия задачи, что устраняет указанное ограничение. Так, в рассматриваемой задаче можно переместить заданные точки на ребрах и грани пирамиды или изменить форму ее основания с помощью инструмента «Перемещать».
Второй способ. Решим задачу методом внутреннего проектирования. Для этого скроем объекты на чертеже, полученные в ходе построения первым способом, нажав на точки возле соответствующих элементов на панели объектов.
Анализ. Найдем точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды. Р и О - точки пересечения секущей плоскости с ребрами SA и SC соответственно. Точка Е: = GF П (ВСВ) -точка пересечения секущей плоскости с ребром SD (или его продолжением). Для нахождения точки пересечения секущей плоскости с ребром SB надо найти линию пересечения основной и дополнительной плоскостей (^АС) П (BCD)).
Построение.
1. 01 :01 = АС п BD;
2. SO1 : SO1 = (SAC) п (BSD);
3. О: О = SO1 п PG;
4. ЕО п 8В = Ь;
5. РЬОЕ — искомое сечение (рис. 4).
S
Рис . 4 . Искомое сечение . Метод внутреннего проектирования К несомненным достоинствам программы GeoGebra относится создание без знаний программирования анимационного чертежа, наглядно показывающего не только фигуру в динамике (движении), но и возможность ее изменения. Создание анимационных чертежей из различных областей математики в среде GeoGebra достаточно подробно описано, например, в пособии С. В. Ларина [17]. Однако в пособии не рассмотрены динамические модели позиционных задач.
В зависимости от вида многогранника и расположения секущей плоскости в сечении могут быть разные многоугольники. Число сторон (вершин) многоугольника не может превышать количество граней многогранника. В рассматриваемой задаче сечениями могут быть пятиугольники, четырехугольники и треугольники, так как четырехугольная пирами-
да имеет пять граней. Работая в среде GeoGebra, можно наглядно проиллюстрировать на одном изображении многогранника его различные сечения (рис. 5). Например, треугольник в сечении данной пирамиды SABCD может быть получен, если вместо точки F взять точку J на диагонали AC, а пятиугольник можно получить заменой точки F точкой Q на ребре СП.
Рис . 5 . Демонстрация различных сечений на одном чертеже
Нажав правой кнопкой на полотне построения и выбрав в контекстном меню «Шаги построения», можно вызвать меню управления анимацией построенных сечений.
Таким образом, применение GeoGebra при обучении позиционным задачам имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционным обучением, а именно:
- инструмент «Вращение» позволяет изменять угол обзора многогранника для выполнения требования наглядности к изображениям фигур;
- в процессе решения одной задачи методом следов можно изменять взаимное расположение элементов построенного изображения многогранника таким образом, чтобы след секущей плоскости был удобно расположен в пределах видимости проекционного чертежа, тем самым не требуются дополнительные временные затраты на построение нового многогранника;
- изменяя положения заданных в условии задачи элементов искомого сечения, можно увидеть в динамике его различные виды.
Список литературы
1. Официальный сайт Федерального института педагогических измерений. URL: https://fipi.ru/ (дата обращения: 05.05.2020).
2. Официальный сайт программы GeoGebra. URL: https://www.geogebra.org/ (дата обращения: 05.05.2020).
3. Безумова О. Л., Овчинникова Р. П., Троицкая О. Н., Троицкий А. Г., Форкунова Л. В., Шабанова М. В., Ши-рикова Т. С., Томилова О. М. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учеб.-метод. пособие. Архангельск: КИРА, 2011. 140 с.
4. Есаян А. Р., Добровольский Н. М., Седова Е. А., Якушин А. В. Динамическая математическая образовательная среда GeoGebra: учеб. пособие. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2017. Ч. I. 417 с.
5. Есаян А. Р., Якушин А. В. Экспериментальное обоснование гипотез в GeoGebra // Чебышевский сборник (Chebyshevskii Sbornik). 2017. Т. 18. Вып. 1. С. 92-108.
6. Ларин С. В. Алгебра и математический анализ с GeoGebra // Вестн. Красноярского гос. пед. ун-та им. В. П. Астафьева (Bulletin of KSPU). 2013. Вып. 1 (23). С. 236-240.
7. Ларин С. В. Анимационно-геометрический метод в алгебре // Информационные технологии в математике и математическом образовании: материалы IV Всерос. науч.-метод. конф. с междунар. участием (г. Красноярск, 18-19 ноября 2015 г.). Красноярск: Красноярский гос. пед. ун-т им. В. П. Астафьева, 2015. С. 38-42.
8. Войтенко Т. Ю., Фирер А. В. Визуализированные задачи как средство развития визуального мышления в процессе обучения математике // Педагогика и психология: проблемы развития мышления. Развитие личности в изменяющихся условиях: материалы IV Всерос. науч.-практич. конф. с межд. участием (г. Красноярск, 17 апреля 2019 г.). Красноярск: Сибирский гос. ун-т науки и технологий им. академика М. Ф. Решет-нева, 2019. С. 44-48.
9. Есаян А. Р., Добровольский Н. Н. Преобразования объектов в GeoGebra // Чебышевский сборник (Chebyshevskii Sbornik). 2017. Т. 18, вып. 2 (62). С. 129-143.
10. Andraphanova N. V. Geometrical similarity transformations in Dynamic Geometry Environment GeoGebra // European Journal of Contemporary Education. 2015. Vol. 12, is. 2. P. 116-128. DOI: 10.13187 / ejced.2015.12.116
11. Городнова Е. В. Методические особенности использования интерактивной среды GeoGebra при решении стереометрических задач // Вестник научных конференций (Bulletin of Scientific Conferences). 2016. № 7-3 (11). С. 26-28. URL: https://ukonf.com/doc/cn.2016.07.03.pdf (дата обращения: 05.05.2020).
12. Савилова О. В. 3D-моделирование задач стереометрии в GEOGEBRA // Актуальные проблемы модернизации математического и естественно-научного образования: сб. тр. по материалам Всерос. науч.-метод. конф. (г. Балашов, 17 мая 2018 г.). Саратов: Саратовский источник, 2018. С. 49-51. URL: https://elibrary.ru/ item.asp?id=35438857 (дата обращения: 05.05.2020).
13. Мухаметьярова А. Р. Применение среды GeoGebra при решении стереометрических задач векторно-коор-динатным методом // Математическое и информационное моделирование-2019: сб. тр. по материалам Всерос. конф. (г. Тюмень, 18 апреля 2019 г.). Тюмень: Тюменский гос. ун-т, 2019. С. 366-374. URL: https:// elibrary.ru/item.asp?id=41380918 (дата обращения: 05.05.2020).
14. Тихонова Ю. А. Анимационное изображение конических сечений в среде GeoGebra // Информационные технологии в математике и математическом образовании: сб. ст. по материалам IV Всерос. науч.-методич. конф. с межд. участием (г. Красноярск, 18-19 ноября 2015 г.). Красноярск: Краснояр. гос. пед. ун-т им. В. П. Астафьева, 2015. С. 102-104.
15. Смирнов В. А., Смирнова И. М. Геометрия с Geogebra: стереометрия: учеб. пособие. М.: Прометей, 2018. 171 с.
16. Болодурин В. С. Изображение плоских и пространственных фигур на плоскости: учеб.-метод. пособие. Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2016. 48 с.
17. Ларин С. В. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики: учеб. пособие. Ростов н/Д.: Легион, 2015. 192 с.
Елисова Анна Петровна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, Лесосибирский педагогический институт - филиал Сибирского федерального университета (ул. Победы, 42, Лесосибирск, Россия, 662544). E-mail: [email protected]
Фирер Анна Владимировна, кандидат педагогических наук, старший преподаватель, Лесосибирский педагогический институт - филиал Сибирского федерального университета (ул. Победы, 42, Лесосибирск, Россия, 662544). E-mail: [email protected]
Материал поступил в редакцию 23.05.2020.
DOI 10. 23951/2307-6127-2020-5-94-102
SOLVING POSITIONAL STEREOMETRIC TASKS IN THE GEOGEBRA ENVIRONMENT
A. P. Elisova, A. V. Firer
Lesosibirsk Pedagogical Institute - branch of Siberian Federal University, Lesosibirsk,
Russian Federation
The relevance of the topic is due to the difficulties students experience when solving stereometric tasks. This is evidenced by the annual results of the unified state examination in
mathematics of the profile level. Over the past decade, with the development of modern information technologies, numerous attempts have been made to improve the effectiveness of teaching geometry at school through the introduction of interactive environments that provide various visibility functions on lessons and in extracurricular math classes. Among the modern available digital programs that allow you to build and transform geometric objects interactively, the GeoGebra environment is in increasing demand among teachers and researchers. However, analyzing Russian-language printed and electronic publications, we can conclude that the issue of using GeoGebra in solving positional stereometric tasks is not fully disclosed. The article considers the features of solving positional tasks using the Geogebra 5.0 environment when teaching image methods to future mathematics teachers at a pedagogical institute and at geometry lessons in high school. The article focuses on the advantages of using GeoGebra in teaching the construction of spatial shapes and their sections in comparison with traditional training. The necessary tools of the Geogebra 5.0 environment are described in detail using the example of solving the task of constructing a polyhedron section by a plane in various ways.
Keywords: GeoGebra, methods of teaching geometry, visualization of geometric objects, development of spatial thinking, positional tasks, methods for constructing cross sections of polyhedra, the method of traces, inner projection method.
References
1. Ofitsyal'nyy sayt Federal'nogo instituta pedagogicheskikh izmereniy [Official website of Federal Institute of Pedagogical Measurements] (in Russian). URL: https://fipi.ru/ (accessed 5 May 2020).
2. Ofitsyal'nyy saytprogrammy GeoGebra [Official website of the GeoGebra program] (in Russian). URL: https:// www.geogebra.org/ (accessed 5 May 2020).
3. Bezumova O. L., Ovchinnikova R. P., Troitskaya O. N., Troitskiy A. G., Forkunova L. V., Shabanova M. V., Shirikova T. S., Tomilova O. M. Obucheniye geometrii s ispol'zovaniyem vozmozhnostyey GeoGebra: uchebno-metodichyeskoye posobiye [Learning geometry using the features of GeoGebra: educational and methodical textbook]. Arkhangelsk, "KIRA" Publ., 2011. 140 p. (in Russian).
4. Esayan A. R., Dobrovol'skiy N. M., Sedova E. A., Yakushin A. V Dinamicheskaya matematicheskaya obrazovatel'naya sreda GeoGebra: uchebnoye posobiye [Dynamic mathematics educational GeoGebra environment: textbook]. Tula, Tula State Pedagogical University named L. N. Tolstoy Publ., 2017. Part I. 417 p. (in Russian).
5. Esayan A. R., Yakushin A. V. Eksperimental'noye obosnovaniye gipotez v GeoGebra [Experimental substantiation of hypotheses in Geogebra]. Chebyshevskiy sbornik- Chebyshevskii Sbornik, 2017, vol. 18, no 1, pp. 92-108 (in Russian).
6. Larin S. V. Algebra i matematicheskiy analiz s GeoGebra [Algebra and mathematical analysis with GeoGebra]. Vestnik Krasnoyarskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta imeni V. P. Astaf'eva - Bulletin of "KSPU", 2013, vol. 1 (23), pp. 236-240 (in Russian).
7. Larin S. V Animatsionno-geometricheskiy metod v algebre [Animation-geometric method in algebra]. Informat-syonnyye tekhnologii v matematikye i matematicheskom obrazovanii: materialy IV Vserossiyskoy nauchno-meto-dicheskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiyem (g. Krasnoyarsk, 18-19 noyabrya 2015 g.) [Information technologies in mathematics and mathematical education: proceedings of the IV Russian national scientific-methodical conference with international participation (Krasnoyarsk, November 18-19, 2015)]. Krasnoyarsk, Krasnoyarsk State Pedagogical University named V. P. Astafiev Publ., 2015. Pp. 38-42 (in Russian).
8. Voytenko T. Yu., Firer A. V Vizualizirovannyye zadachi kak sredstvo razvitiya vizual'nogo myshliniya v protsesse obucheniya matematike [Visualized tasks as a means of developing visual thinking in process of teaching mathematics]. Pedagogika i psikhologiya: problemy razvitiya myshleniya. Razvitiye lichnosti v izmenyayushchikhsya usloviyakh: materialy IV Vserossiyskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiyem (g. Krasnoyarsk, 17 aprelya 2019 g.) [Pedagogy and psychology: problems of development of thinking. Personality development in changing conditions: proceedings of the IV Russian national scientific-practical conference with international participation (Krasnoyarsk, April 17, 2019)]. Krasnoyarsk, Reshetnev Siberian State University of Science and Technology Publ., 2019. Pp. 44-48 (in Russian).
9. Esayan A. R., Dobrovol'sky N. N. Preobrazovaniya ob''ektov v GeoGebra [Transformation of objects in GeoGe-bra]. Chebyshevskiy sbornik, 2017, vol. 18, no. 2 (62), pp. 129-143 (in Russian).
10. Andraphanova N. V. Geometrical similarity transformations in Dynamic Geometry Environment GeoGebra. European Journal of Contemporary Education, 2015, vol. 12, no. 2, pp. 116-128. DOI: 10.13187 / ejced.2015.12.116
11. Gorodnova E. V. Metodicheskiye osobennosti ispol'zovaniya interaktivnoy sredy GeoGebra pri reshenii stereo-metricheskikh zadach [Methodological features of using the interactive GeoGebra environment for solving stereometric tasks]. Vestniknauchnykh konferentsiy- Bulletin of Scientific Conferences, 2016, no 7-3 (11), pp. 26-28 (in Russian). URL: https://ukonf.com/doc/cn.2016.07.03.pdf (accessed 5 May 2020).
12. Savilova O. V 3D-modelirovaniye zadach stereometrii v GEOGEBRA [3D Modeling of tasks of stereometry in GEOGEBRA]. Aktual'nyye problemy modernizatsii matematicheskogo i estestvenno-nauchnogo obrazovaniya: sbornik trudov po materialam Vserossiyskoy nauchno-metodicheskoy konferentsii. Pod redaktsiyey M. A. Lyashko (g. Balashov, 17 maya 2018 g.) [Topical issues of modernization of mathematical and natural-science education: proceedings of Russian National scientific-methodical conference. Edited by M. A. Lyashko (Balashov, May 17, 2018)]. Saratov, Saratovskiy istochnik Publ., 2018. Pp. 49-51 (in Russian). URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=35438857 (accessed 5 May 2020).
13. Mukhamet'yarova A. R. Primeneniye sredy GeoGebra pri reshenii stereometricheskikh zadach vektorno-koordi-natnym metodom [Application of the GeoGebra environment for solving stereometric tasks using the vector-coordinate method]. Matematicheskoye i informatsionnoye modelirovaniye - 2019: sbornik trudov po materialam Vserossiyskoy konferentii (g. Tyumen', 18 aprelya 2019g.) [Mathematical and information modeling - 2019: collection of articles based on materials of Russian National conference (Tyumen, April 18, 2019)]. Tyumen, Tyumen State University Publ., 2019. Pp. 366-374 (in Russian). URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=41380918 (accessed 5 May 2020).
14. Tikhonova Yu. A. Animatsionnoye izobrazheniye konicheskikh secheniy v srede GeoGebra [Animated image of conic sections in the GeoGebra environment]. Informatsionnyye tekhnologii v matematike i matematicheskom obrazovanii: materialy IV Vserossiyskoy nauchno-metodicheskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiyem (g. Krasnoyarsk, 18-19 noyabrya 2015 g.) [Information technologies in mathematics and mathematical education: proceedings of IV Russian National scientific-methodical conference with international participation (Krasnoyarsk, November 18-19, 2015)]. Krasnoyarsk, Krasnoyarsk State Pedagogical University named V P. Astafiev Publ., 2015. Pp. 102-104 (in Russian).
15. Smirnov V. A., Smirnova I. M. Geometriya s GeoGebra: stereometriya: uchebnoye posobiye [Geometry with GeoGebra: textbook]. Moscow, Prometey Publ., 2018. 171 p. (in Russian).
16. Bolodurin V. S. Izobrazhenye ploskikh i prostranstvennykh figur na ploskosti: uchebno-metodicheskoye posobiye [Image of plane and spatial figures on a plane: educational and methodical textbook]. Orenburg, Orenburg State Pedagogical University Publ., 2016. 48 p. (in Russian).
17. Larin S. V Kompyuternaya animatsiya v sredye GeoGebra na urokakh matematiki: uchebnoye posobiye [Computer animation in GeoGebra environment in mathematics lessons: textbook]. Rostov-on-Don, Legion Publ., 2015. 192 p. (in Russian).
Elisova A. P., Candidate of Physico-mathematical Sciences, Senior Lecture, Lesosibirsk Pedagogical Institute - branch of Siberian Federal University (ul. Pobedy, 42, Lesosibirsk, Russian Federaion, 662544). E-mail: [email protected]
Firer A. V., Candidate of Pedagogic Sciences, Senior Lecture, Lesosibirsk Pedagogical Institute -branch of Siberian Federal University (ul. Pobedy, 42, Lesosibirsk, Russian Federaion, 662544). E-mail: [email protected]
