Обучение построению сечений как средство развития пространственного представления на уроках стереометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБУЧЕНИЕ ПОСТРОЕНИЮ СЕЧЕНИЙ КАК СРЕДСТВО

развития пространственного представления

НА УРОКАХ СТЕРЕОМЕТРИИ

TEACHING SECTIONS PLOTTING AS A TOOL FOR DEVELOPMENT OF SPATIAL REPRESENTATION IN SOLID GEOMETRY CLASSES

В. И. Бутырина

Рассматривается проблема формирования и развития пространственных представлений у учащихся 10-х и 11-х классов. В качестве одного из средств решения данной проблемы предложено и подробно рассмотрено обучение построению сечений.

Ключевые слова: пространственное тело, плоскость, сечение, многогранник, пространственное восприятие.

V. I. Butyrina

We consider the problem of the formation and development of spatial representations of tenth and eleventh grades students. Teaching sections plotting is considered in detail as a means of solving this problem.

Keywords: spatial body, plane, section, polyhedron, spatial perception.

Одной из важнейших задач преподавания стереометрии в школе является формирование и развитие у учащихся пространственного воображения, а также умения работать с пространственными объектами. Знание и понимание стереометрии опирается не столько на теоретические основы, представленные в учебной литературе, сколько на способность учащегося видеть и правильно представлять пространственную фигуру.

Проблема данного исследования заключается в нахождении способов формирования и развития пространственных представлений у учащихся. Трудно сомневаться, что процесс формирования пространственного воображения у школьников является самым главным и самым первым основным этапом в изучении стереометрии.

Правильное восприятие пространственных фигур не всем легко дается. Научиться можно только через упражнения. Многократные упражнения в построении изображений фигур и операции с ними постепенно уберут барьер в восприятии пространства и плоскости.

На наш взгляд, одним из наиболее продуктивных упражнений такого характера являются задачи на построение сечений многогранников и тел вращения плоскостью. Наличие секущей плоскости во внутренней области изображения пространственной фигуры визуально придает данному изображению объем, к тому же видно, на какие части построенное сечение разбивает фигуру. Пример построения сечения пространственной фигуры плоскостью на первых шагах изучения будет более понятным, если реализовать это построение практически, используя модель многогранника или тела вращения.

Проблема, выдвинутая нами, не нова. Во второй половине XX в. ею занимались А. Б. Василевский, Н. Ф. Четве-рухин, И. Г. Польский, П. Г. Казаков. Изданные ими пособия нами изучены и проанализированы, в частности, подробно изучены методы построения сечений пространствен-

ных тел как одного из способов развития пространственного восприятия у школьников.

Каждый из авторов по-разному подходил к подбору и изложению материала по теме «Построение сечений».

Н. Ф. Четверухин большое внимание уделил методам внутреннего и центрального проектирования, подобрав ряд задач, в которых необходимо построить сечение многогранников и тел вращения. Задачи классифицированы с соблюдением принципа «от простого к сложному». Группировка задач по такому принципу очень удобна, так как позволяет при переходе к следующей задаче ссылаться на предыдущую как вспомогательную.

И. Г. Польский считал эффективным и использовал метод внутреннего проектирования. Задачи, приведенные им в пособии, более разнообразны, однако они ограничиваются только задачами на построение сечений многогранников.

П. Г. Казаков достаточно подробно и доступно изложил материал по данной теме. В отличие от предыдущих авторов, он большое внимание уделил методу следов, когда след и точка заданы в различных комбинациях.

А. Б. Василевский помимо знакомого всем метода следов рассмотрел еще несколько методов построения сечений: метод деления п-угольной пирамиды (призмы) на треугольные пирамиды (призмы), метод дополнения п-угольной пирамиды (призмы) до треугольной пирамиды (призмы), метод параллельных прямых, метод переноса секущей плоскости.

Но, следует заметить, что только в пособии П. Г. Казакова дано определение сечения. «Сечением многогранника называется фигура, образованная линиями пересечения секущей плоскости с гранями многогранника». Однако, на наш взгляд, данное определение является недостаточно полным, так как не охватывает сечения всех тел пространства.

Нами предложено следующее определение сечения тела: сечением тела называется плоская фигура, ко-

а)

б)

в)

г)

Рис. 1. Фигуры, образующиеся в результате пересечения многогранника плоскостью

С

С1

Рис. 2. Построение сечения многогранника плоскостью,

проходящей через три заданные точки, лежащие на соседних ребрах

В

Р

торая образуется при пересечении секущей плоскости с боковой поверхностью тела.

Также хочется отметить, что при всем многообразии грамотно и доступно изложенного материала нет предложения того, как подвести учеников к методу построения сечений, что должны знать учащиеся, прежде чем приступить к изучению данного материала, нет определенной схемы изложения материала.

В данном исследовании мы постараемся восполнить отмеченные пробелы.

Не стоит забывать, что основным источником информации для учащихся является учебник. К сожалению, в учебной программе за 10-й класс отводится недостаточно времени на изучение задач на построение сечений. В подтверждение к сказанному, в учебнике Л. С. Атанасяна на тему «Построение сечений многогранников» отводится два часа, причем сопровождающих данную тему задач всего восемь. В учебнике А. В. Погорелова на построение сечений отведено около трех часов и десять задач, причем сначала рассматривается построение изображения призмы, а после - построение ее сечений, затем построение изображения пирамиды и ее сечений. Корректнее было бы поместить тему «Построение сечений многогранников» после изложения темы «Многогранники». Классифицировать материал по тематике задач с соблюдением принципа «от простого к сложному» можно следующим образом:

- определение сечения многогранников;

- построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов.

В упомянутых учебниках также нет определения сечения тела.

Перейдем непосредственно к примерной разработке подхода к изучению материала по теме «Построение сечений».

Так как различные сложные виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы, то мы подробнее рассмотрим метод построения сечений многогранников.

Поскольку построение плоскости сечения проходит в зависимости от способа задания плоскости, ученик, приступив к изучению темы «Построение сечений многогранников», должен к этому моменту хорошо усвоить для себя, что плоскость определяется:

- тремя точками;

- прямой и точкой;

- двумя параллельными прямыми;

- двумя пересекающимися прямыми.

Это необходимо знать, чтобы понимать, почему именно можно построить сечение тела, если даны три точки на поверхности тела, точка и след, прямая на боковой поверхности тела и след.

Прежде чем ввести учащихся в суть методов построения сечений, следует обратить внимание на вопрос: что может получиться при пересечении многогранника плоскостью? Это могут быть (см. рис. 1): пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г).

Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

в с

А И М'

Заметим, что отрезок и точка ни у одного из вышеупомянутых авторов не являются сечениями, хотя они имеют место.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Теперь перейдем к вопросу, как сгруппировать материал так, чтобы его изучение было как можно более доступным.

В самом начале уместно рассматривать задачи наиболее простые, усложняя их, переходя от одной к другой.

Так как плоскость определяется тремя точками, то предложим задачу на построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через три заданные точки, лежащие на соседних ребрах многогранника.

В

с

А Ао

А,

М ч

Б

П- Г с^ Е

* у Р

\/

°1\/7 ¿3

1 1Ьч \Е1

г,

X Рис. 5. Построение сечения призмы по трем точ кам, лежащим не на соседних ребрах

Рис. 4. Построение сечения призмы по трем точкам, одна из которых лежит не на соседних ребрах

Если мы имеем треугольную призму с точками на ребрах, то сечение данной призмы мы можем получить, последовательно соединив данные точки (рис. 2).

Если же мы имеем призму (рис. 3), в основании которой выпуклый п-угольник, где п > 3, то построение сечения призмы проводится с помощью метода следов.

Сначала последовательно соединяем данные точки на соседних ребрах призмы, а затем проведем рассуждения:

1) Рассмотрим грань призмы ААДР. В этой грани лежат точки сечения М и Р, заданные по условию, значит, секущая плоскость будет проходить через эти точки, поэтому можно провести прямую МР.

2) Точки А1 и й1 являются проекциями точек М и Р на основание АДСД. Пересекая прямую МР с ее проекцией А1В1, находим точку пересечения X этой прямой с основной плоскостью. Точка X будет принадлежать следу.

3) Проводя аналогичные рассуждения, получаем точку У пересечением прямой ИР и ее проекции С1й1. Точка У также будет принадлежать следу.

4) Проведем прямую ХУ, которая и является следом секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

5) Точка N лежит в плоскости грани ВВ1С1С. Точка С1 является проекцией точки N на основную плоскость. Через точки С1 и В1, принадлежащие плоскости ВВ1С1С, проводим прямую В1С1 до пересечения прямой В1С1 со следом. Через данную точку и через точку N проведем прямую Данная прямая пересекает грань призмы по отрезку РИ. Остальные отрезки, принадлежащие сечению призмы, находятся аналогично.

Далее задачу можно усложнить, расположив две точки на соседних ребрах, а одну на отдаленном ребре.

Задача решается аналогично. Единственное, на что нужно обратить внимание, как строится след в этом случае (рис. 4).

После можно рассмотреть случай, когда все три точки лежат не на соседних ребрах. Построение сечения призмы в этой задаче сводится к предыдущей (рис. 5).

Задачу можно усложнить, если одну из трех точек поместить на поверхности грани призмы (рис. 6). В этом случае

следует обратить внимание на то, что нужно построить проекцию этой точки на основание призмы, полученная проекция не будет совпадать с вершинами призмы. Далее процесс построения сечений сводится к предыдущим задачам.

Далее уместно будет рассмотреть задачи на построение сечения при заданной точке на поверхности фигуры и при заданном следе (так как плоскость определяется точкой и прямой) в разных положениях. Порядок задач также следует задать, придерживаясь принципа «от простого к сложному».

Завершить данный этап изучения темы «Построение сечений» следует задачами при заданном следе и заданной прямой на поверхности фигуры (так как плоскость определяется двумя параллельными или пересекающимися прямыми).

Комбинируя задачи таким образом, мы делаем каждую предыдущую задачу опорной для каждой последующей, более сложной.

список источников и ЛИТЕРАТУРЫ

1. Четверухин Н. Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. М.: УЧПЕДГИЗ, 1952. С. 24-39.

2. Польский И. Г. Сборник задач на построение на проекционном чертеже. М.: УЧПЕДГИЗ, 1958. С. 15-28.

B C

Рис. 6. Построение сечения призмы по двум точкам, лежащим на ребрах, и одной точке, находящейся грани

3. Казаков П. Г. Параллельные проекции и методы решения конструктивных задач. М.: УЧПЕДГИЗ, 1960. С. 54-79.

4. Василевский А. Б. Параллельные проекции и решение задач по стереометрии. Минск: Народная асвета, 1978. С. 29-33.

5. Атанасян Л. С. Геометрия 10-11. М.: Просвещение, 2009. С. 27-28.

6. Погорелов А. В. Геометрия 7-11. М.: Просвещение, 1998. С. 298-307.

РОЛЬ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ НА ПРАКТИЧЕСКИХ зАНЯТИЯХ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

THE ROLE OF SYSTEMS OF COMPUTER MATHEMATICS FOR PRACTICAL EXERCISES ON DIFFERENTIAL EQUATIONS

Р. М. Асланов, А. С. Безручко

В статье говорится о роли системы компьютерной математики в курсе дифференциальных уравнений. Сообщается, что они могут в значительной степени расширить класс задач, изучаемых в данной дисциплине, увеличить наглядность курса, его прикладное и практическое значения и тем самым помочь будущим учителям в понимании сущности изучаемого предмета.

Ключевые слова: системы компьютерной математики, дифференциальные уравнения, прикладная направленность, моделирование, наглядность.

R. M. Aslanov, A. S. Bezruchko

In given paper, it is SPK about what role is played by systems of computer mathematics in the course of the differential equations. It is informed that they can dilate substantially a class of tasks studied in the given discipline, to increment visualisation of course, its applied and practical values and by that to help to realise the future teacher essence of mathematics.

Keywords: systems of computer mathematics, the differential equations, an applied trend, modeling, visualization.

Сегодня мы являемся свидетелями скачка в компьютеризации общества, который произошел с началом массового производства и внедрения персональных компьютеров. По мере развития компьютерной

техники интенсивно развивается программное обеспечение, автоматизирующее математическую деятельность.

Сегодняшняя компьютерная математика обладает универсальными программными средствами символьных