Методы решения позиционных задач в курсе стереометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

Магасумов Г.С. ©

Доцент, кафедра высшей математики, Северо-Восточный государственный университет, г. Магадан

Аннотация

Тема «Позиционные задачи» является одной из основных тем при изучении многогранников и круглых тел. В данной статье представлены различные методы построения сечений многогранников и круглых тел плоскостями. Эта тема исследования является важной составляющей ЕГЭ по математике.

Ключевые слова: сечение, позиционная задача, метод внутреннего проектирования, метод следов, метод параллельного переноса прямых и плоскостей

Keywords: section, positional task, internal design method, method of tracks, method of parallel traces lines and planes.

Введение

Тема «Позиционные задачи» является очень важной при изучении многогранников и круглых тел в стереометрии. Это связано, в частности, с построением точек пересечения геометрического тела и прямой, с построением сечения многогранника или круглого тела плоскостью и определением площади сечения.

В данной работе дано понятие полного изображения пространственной фигуры и позиционной задачи, указаны способы построения сечения многогранников плоскостями. Работа даёт анализ способов построения сечений призм и пирамид плоскостями, приводятся различные примеры с решениями, решение нескольких задач даётся с рисунками.

Общие понятия

Напомним основные понятия главы «Методы изображений» курса геометрии, связанные с позиционными задачами. Под аффинным репером мы понимаем любую упорядоченную четвёрку точек общего положения.

Определение 1. На плоскости изображений S изображение F некоторой фигуры F' называется полным, если к нему можно присоединить изображение аффинного репера так, что все точки, прямые и плоскости фигуры F' являются заданными.

Точка считается заданной, если известна её аксонометрическая и одна из вторичных проекций. Прямая задаётся с помощью двух точек или аксонометрической и одной из вторичных проекций этой прямой, плоскость - с помощью трёх точек или точки и прямой или двух прямых.

Зададим в пространстве фигуры F¡ и F'2, а на плоскости изображений - их изображения F1 и F2.

Определение 2. Позиционной задачей называется задача о построении изображения точек пересечения данных фигур F¡ и F'2, если известны их изображения Fi и F2 .

Если изображения полные, то позиционная задача имеет определённое решение. Наиболее часто в качестве одной из данных фигур выступает прямая l 'или плоскость П , и тогда позиционная задача рассматривается как построение изображения сечения фигуры прямой или плоскостью.

Изображения пространственных фигур в школьном курсе математики, как правило, являются полными, поэтому решение позиционной задачи, то есть, например, построение

© Магасумов Г.С., 2016 г.

сечения многогранника или круглого тела плоскостью, носит вполне определённый характер.

При построении сечения многогранника плоскостью обычно используют следующие методы:

- метод внутреннего проектирования,

- применение следа секущей плоскости на плоскости основания геометрического тела (метод следов),

- метод параллельного переноса прямых и плоскостей,

- метод дополнения и-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды),

- метод разбиения и-угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды).

Метод внутреннего проектирования

Сечение многогранника плоскостью - многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данному многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Секущая плоскость может быть задана различными способами, например:

а) тремя точками, которые не лежат на одной прямой;

б) прямой и точкой, не лежащей на ней;

в) двумя пересекающимися прямыми;

г) некоторыми из указанных выше геометрических элементов в совокупности с различными зависимостями между ними и элементами (гранями, ребрами, диагоналями и т. д.) многогранника.

Построение плоских сечений многогранников выполняется на основе соответствующих пространственных аксиом и теорем.

Построить сечение многогранника плоскостью - это значит построить многоугольник все вершины и стороны, которого - соответственно следы секущей плоскости на ребрах и гранях многогранника.

Метод внутреннего проектирования как раз и основан на использовании взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. В частности, использовании параллельности прямых и плоскостей, поскольку параллельность сохраняется при параллельном проектировании.

Пример 1. Дано изображение четырехугольной призмы ЛВСПЛ1В1С1П1 и трёх точек

Л еАА1, В еВВ1, С еСС1 , лежащих по одной на её боковых ребрах. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через эти точки.

Б

с

А

А

А,

В,

Рис. 1

Построение. (См. рис. 1) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром DD1. Пусть ^1C1nß1D1=01. Проведём OO1 || АА1, Oe A C, тогда точка D =OB nDD1 -искомая точка. Действительно, D e A C с ABC , отсюда D e ABC . Сечение A B C D является искомым.

Пример 2. Построить изображение сечения четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, заданной тремя точками KeAA1B1B, LeBB1C1C, MeCC1D1D, лежащими по одной на боковых гранях призмы.

Решение. 1) Пусть K1 , L1 , M1 - проекции точек K, L, M на нижнее основание (вторичные проекции этих точек).

2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром AA1. Пусть A1L1^K1M1=P1. Проведём РР1||АА1, PeKM, тогда точка X=LPrAA1 - искомая точка. Действительно, XePLcKLM, отсюда XeKLM.

3) Построим Y=XKnBBh Z=YLnCCh T=ZMnDD1 , тогда сечение XKYLZMT является искомым.

Пример 3. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка P, а в гранях SAB и SAD заданы соответственно точки R и Q. Построить сечение плоскостью PQR.

Q.

Рис. 2

Построение. (См. рис. 2) 1) Пусть Я0 =SRnAB , д0 =SQnBC.

2) Найдём точку пересечения D1 секущей плоскости с ребром SD. Для этого строим точки CQo П RfD = Оо , PQ П SOo = О, RO П SD = D1.

3) Пусть А1 =SAnQD1, В1 =SBnRA1, тогда A1RB1PD1Q - искомое сечение.

Пример 4. Построить изображение сечения четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью а, заданной тремя точками Ке SА, Ье SB, Ые SC, лежащими по одной на боковых рёбрах пирамиды.

S

A

Решение. Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром SD. Пусть ACnBD=P, SPnKM=T, тогда точка N=LTn\SD - искомая точка. Действительно, Ne TL<KLM, отсюда NeKLM. Сечение KLMN является искомым.

Метод следов (применение следа секущей плоскости на плоскости основания геометрического тела)

Следом плоскости а на плоскости b называют прямую, по которой плоскость а пересекает плоскость b. Следом прямой l на плоскости а называют точку пересечения прямой с плоскостью а.

При использовании этого метода сначала строится след секущей плоскости на плоскости одной из граней многогранника (либо на диагональной плоскости или плоскости симметрии), а также следы на прямых, содержащих стороны этой грани. Далее строятся следы секущей плоскости на других гранях при наличии двух следов на прямых, содержащих стороны соответствующей грани.

Пример 5. Дана призма ABCDEA1B1C1D1 и три точки M, N, P принадлежащие соответственно рёбрам AAi, BBi, CCi. Построить сечение призмы плоскостью MNP.

Построение. (См. рис. 3)

1) ЫЫ П Л1Б1 = X, ЫР П Б1С1 = У, тогда ХУ- след секущей плоскости.

2) ХУ П Л1Е1 = О, ХУ П Сф1 = д. з) ЫЫОдР - искомое сечение.

Пример 6. Построить изображение сечения четырёхугольной призмы ЛБСПЛ1Б1С1П1 плоскостью, заданной тремя точками КеАА1, ЬеББ]_, ЫеСС1, лежащими по одной на боковых рёбрах призмы.

Решение. 1) Найдём след секущей плоскости, то есть линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания Л1Б1С1П1 данной призмы. Пусть ЫЬпБ1С1=8, КЫпЛ1С1=Т, тогда прямая 8Т - след секущей плоскости.

2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром ППь Пусть Л1П1 п 8Т =Я, тогда точка Ы=КЯпВВ1 - искомая точка. Действительно, ЫеКЯ^КЬЫ, отсюда ЫеКЬЫ. Сечение КЬЫЫ является искомым.

Пример 7. Дана пирамида 8ЛБСБЕ, точки Л1 е Л$, Б1 е Б$, С1 е С$. Построить сечение, проходящее через эти точки.

Рис.3

Б

Рис.4

Построение. (См. рис. 4)

1) A1B1 П AB = X, B1C1 П BC = У, прямая ХУ - след секущей плоскости.

2) DC П ХУ = I, П DS = D1, ЕА П ХУ = Ы, ЫА1 П SE = Е1.

3) A1B1C1D1E1 - искомое сечение.

Пример 8. Построить изображение сечения четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью, заданной тремя точками Ке SА, Ье SB, Ые SC, лежащими по одной на боковых рёбрах пирамиды.

Решение. 1) Найдём след секущей плоскости, то есть линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABCD данной пирамиды. Пусть ЫЬnBC=S, KЫnAC=T, тогда прямая ST - след секущей плоскости.

2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром SD. Пусть AD п ST =R, тогда точка N=KRnSD - искомая точка, а КЬЫЫ является искомым сечением.

Метод параллельного переноса прямых и плоскостей

Метод параллельного переноса прямых и плоскостей применяется в тех случаях, когда секущая плоскость а задана как плоскость, проходящая через данную точку М параллельно двум скрещивающимся прямым а и Ь, или проходящая через данную прямую а параллельно скрещивающейся с ней прямой Ь, или проходящая через данную точку М параллельно данной плоскости р.

Суть метода параллельного переноса прямых заключается в том, что в секущей плоскости проводят прямую, параллельную данной прямой. При этом очень часто приходится проводить вспомогательную плоскость, параллельную той, в которой находится данная прямая.

Суть метода параллельного переноса плоскостей состоит в том, что вместо секущей плоскости строится параллельная ей вспомогательная плоскость, которая пересекает все грани некоторого трехгранного (или многогранного в общем случае) угла данного многогранника. Далее путем параллельного переноса строятся некоторые линейные элементы искомого сечения, соответствующие легко строящимся элементам

вспомогательной плоскости. При построении используются известные свойства параллельных прямых и плоскостей:

1) Если а || а, то в плоскости а существует прямая Ь, параллельная а.

2) Через точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости.

3) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

4) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями,

равны.

5) Если плоскость в проходит через прямую а, параллельную плоскости а, и пересекает ее по прямой Ь, то а || Ь.

6) Каковы бы ни были скрещивающиеся прямые а и Ь, существует единственная пара параллельных плоскостей а и в, в которой они соответственно лежат.

7) Признаки параллельности прямых и плоскостей.

Пример 9. Даны параллелепипед ЛВСВЛ1В1С1Б1 и точки МеЛЛ\, ЫеВ1С1, К еЛБ. Провести сечение плоскостью проходящей через точку N параллельно прямым МВ1 и СК.

В1

//

I

/

м

N е1

я

Л

К В

е

Рис. 5

Построение. (См. рис. 5)

1) Построим плоскость МВ1ЫР, в которой МР || В1Ы, МВ11| ЫР.

2) Проведем прямую ТЫ параллельную прямой КС.

3) Прямая ТР пересекает ребро в точке Е.

4) (ЫК) параллельно (ТЕ), ^е(СС1). Тогда ТЫКЕ - искомое сечение.

Пример 10. Даны точки М, Ы и Р, лежащие соответственно на боковых ребрах SЛ, Ж и 8В четырехугольной пирамиды 8ЛВСБ. Построить сечение пирамиды плоскостью МЫР.

Решение. Проводим через вершину Б прямую, параллельную МЫ , до пересечения с ребром 5Л. Через полученную точку К1 параллельно МР проводим прямую до пересечения с

ребром ЛВ в точке К2. Плоскость треугольника БК1К2 параллельна плоскости МЫР. Плоскость Л8С пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения плоскостей

Л8С и БК1К2 - прямая К1К3 , где К3 - точка пересечения диагонали ЛС четырехугольника ЛВСБ и отрезка БК2. Через точку М проводим прямую, параллельную К1К3, до пересечения с ребром £С. Получаем точку 0. Сечение МР0Ы является искомым.

Метод дополнения я-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды)

Если данную призму (пирамиду) достроить до треугольной призмы (пирамиды), затем построить сечение полученной треугольной призмы (пирамиды), то искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы (пирамиды).

Пример 11. Построить сечение пирамиды DAEGHF плоскостью AЫN, где точки Ы и N лежат на ребрах DE и DF соответственно.

Решение. 1) Достраиваем данную пятиугольную пирамиду до треугольной. Для этого получим точки AE п HG = C и AF п GH = B, и затем проведем отрезки DC и DB.

2) Строим сечение полученной треугольной пирамиды ABCD плоскостью AЫN. Для этого последовательно получаем точки ЛЫ п DC = Р и AN п DB = Q, и соединяем точки Р и Q. Треугольник APQ - есть сечение пирамиды ABCD плоскостью AMN.

3) Осталось получить точки PQ п DG = R и PQ п DH = S. Тогда пятиугольник AЫRSN - искомое сечение данной пятиугольной пирамиды.

Метод разбиения я-угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды)

Из данной и-угольной призмы (пирамиды) выделяют основную треугольную призму (пирамиду), на боковых ребрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строят сечение этой треугольной призмы (пирамиды), затем строят сечения тех треугольных призм (пирамид), которые имеют общие части с основной призмой (пирамидой).

Пример 12. Построить сечение четырехугольной призмы ЛBCDЛ1B1C1D1 плоскостью PQR, где точки P и Q лежат на ребрах ЛЛ1 и DD1 соответственно, точка R принадлежит плоскости AA1B1B.

Решение. 1) Точка R лежит на отрезке EE1, где E е AB, E1 е A1B1 , EE1 е AA1. Треугольник PQR является сечением треугольной призмы ADEA1D1E1. Призмы ADCA1D1C1 и ABCA1B1C1 имеют общую часть с призмой ADEA1D1E1.

2) Получим точки AС п DE = Ы, A1С1 п D1E1 = Ы2. Плоскости ЛCС1 и EDD1 пересекаются по прямой ММ2. Прямые ММ2 и QR пересекаются в точке М1.

3) Точки Р и М1 принадлежат плоскости ЛCС1, поэтому прямые PМ1 и CC1 пересекаются в точке Т, принадлежащей секущей плоскости PQR.

4) Имеем точку PR п BB = К1. Прямые PR и PQ лежат в одной плоскости PQR, поэтому точка К принадлежит плоскости PQR.

5) Точки Q и Т лежат в плоскости сечения, значит, прямая QT принадлежит секущей плоскости. Четырехугольник PKTQ - искомое сечение.

Литература

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: Учебное пособие для пед. ин-тов, М.: Просвещение, 1987. Ч.2. 352 с.