Метод переноса в решении позиционных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОД ПЕРЕНОСА В РЕШЕНИИ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Магасумов Г.С. ©

Доцент, кафедра высшей математики Северо-Восточный государственный университет, г. Магадан

Аннотация

Метод переноса в решении позиционных задач является одним из основных методов построения сечений многогранников плоскостями. В данной статье раскрывается содержание метода переноса прямых и плоскостей при построении сечений, даются примеры решения таких задач.

Ключевые слова: сечение, позиционная задача, метод параллельного переноса прямых и плоскостей

Keywords: section, positional task, method of parallel traces lines and planes.

Введение

Из курса геометрии известны метод следов и метод внутреннего проектирования построения сечений многогранников и круглых тел плоскостями [1; с.121]. Дополним данные методы методом параллельного переноса прямых и плоскостей и приведём ряд примеров решения позиционных задач методом параллельного переноса прямых и плоскостей.

Метод параллельного переноса прямых и плоскостей

В основу данного приёма положены свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В частности, теоремы.

1. Если а || a, то в плоскости a. существует прямая b, параллельная а.

2. Через точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости.

3. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

4. Если плоскость в проходит через прямую а, параллельную плоскости a, и пересекает ее по прямой b, то a || b.

5. Признак параллельности прямой и плоскости ((а || b, be a) ^а || a).

6. Признак параллельности двух плоскостей.

7. Каковы бы ни были скрещивающиеся прямые а и b, существует единственная пара параллельных плоскостей a и в, в которой они соответственно лежат.

Метод параллельного переноса прямых и плоскостей применяется в тех случаях, когда секущая плоскость a задана как плоскость, проходящая через данную точку М параллельно двум скрещивающимся прямым а и b, или через данную прямую а параллельно скрещивающейся с ней прямой b, или через данную точку М параллельно данной плоскости в.

Суть метода параллельного переноса прямых заключается в том, что в секущей плоскости проводят прямую, параллельную данной прямой. При этом очень часто приходится проводить вспомогательную плоскость, параллельную той, в которой находится данная прямая.

Суть метода параллельного переноса плоскостей состоит также и в том, что удобно первоначально построить дополнительную плоскость в, параллельную искомой плоскости a. Затем, используя теорему 3 из перечисленных выше, строят сечение плоскостью а.

Примеры решения задач методом параллельного переноса

© Магасумов Г.С., 2016 г.

Рассмотрим позиционные задачи на применение метода переноса прямых и плоскостей.

Задача 1. АВСВЛ1В1С1В1- параллелепипед. МеА1В1 и ЫеВС. Построить сечение а, проходящее через СМ параллельно ЛЫ. Построение.

1) СW||ЛN, ЖеЛВ,

2) CW nBЛ=F,

3) ЕМ П ЛЛ1=Т,

4) МК||ЛЫ, КеВСь

5) а=TMKCW - искомое сечение.

Доказательство.

1) С еа, Ме а ^ СМе а,

2) а э CW, СW\AN ^ а\\ЛЫ.

Задача 2. ЛВСВЛ1В1С1В1 - параллелепипед. МеЛВ, ЫеЛЛь КеВ1С1.Построить сечение а через К параллельно В1Ы и СМ. Построение.

1) КТ \ СМ (так как ЛВСВ \ Л1В1С1В1), Т е Л1В1,

2) КР \ В1Ы, ЫР \\ В1С1, то есть ВЫРК - параллелограмм, Р е а,

3) ТРПВВ1 =Е,

4) КР \\ ТЕ, Р е СС1, КТРЕЯ - искомое сечение.

Доказательство.

1) а эК,

2) КТеа, КТ| СМ ^ а\1 СМ,

3) КР еа, КР|ВД ^ «(ВЫ.

Задача 3. ЛВСЛ1Б1С1 - треугольная призма. МеАА1, QеA1B1C1. Построить сечение а, проходящее через ВМ

параллельно прямой В^. Построение.

1) ВР\\В& ,Р е АС,

2) а=МВР - искомое сечение.

Задача 4. ЛВСЛ1В1С1 - треугольная призма. МеЛЛь ЫеЛВС. Построить сечение а, проходящее через прямую ВМ параллельно прямой В1Ы. Построение.

1) ЛЫ ГВС=К,

2) ЛВ1ГВМ=Т,

3) ТТ^ВЫ, Т1е ЛК,

4) ВТ1ПЛС =М2,

5) а=М2МВ - искомое сечение.

Доказательство.

1) а эВМ,

2) ТТхе а, ТТ || ВХЫ ^ а \\ВЫ.

Задача 5. На ребрах ВВ1, СВ, ВВ1 призмы ЛВСВЛ1В1С1В1 взяты соответственно точки М,Ы,К . Построить сечение а, проходящее через МЫ параллельно ЛК. Построение.

1) ВВ1Т1Т\ ЛЛ1В1В,

2) МЬ \ЛК, Ье В1Т1, [по построению Ье а]

3) Зная точкиМ'(М,В), Ь'(Ь,Ь1), Ы'(Ы,Ы), строим след плоскости (МЬЫ): ЬМПЬ1В=Х, ХЫ=1 - след,

4) ЛВП!=У, УМП Л1В1=1,

5) гьпС1В1=д,

6) ШВС=8,

7) а = MZЬQNS - искомое сечение.

Доказательство.

1) Mea, Nea,

2) Le a, MLe a, ML || ^^ ^ a|| AK.

Задача 6. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. MeACb NeBB1, KeDD1. Построить сечение a, проходящее через точку N параллельно прямым MD1 и AK. Построение.

1) BKAAK, K1eCC1,

2) NN1¡BK 1, N1eB1C1, [по построению N1e a] A2D1 \AK, A2eAA1, D^MHA1B1=Fc, [A2F0D 11| a ] NN2HA2F0, [N2e a]

3)

4)

5)

6) 7)

N2N3 N3N4

AK, N3eDD1, [N3e a] NN2, NAeCiDi, [N4e a]

a =NN1 N4N3N2 - искомое сечение.

X

Л

/С

И

Доказательство. 1) a'N;

2) NNiî a, NNi || BKX \AK ^ a || AK;

3) MD1ÎA2F0D1, A2F0D11| a ^ a\MDl.

Задача 7. SABC - тетраэдр. MîAB, NîSC, KîSA. Построить сечение:

A) через прямую MN параллельно CK;

B) через CK параллельно MN . Построение.

А) 1) NNillKC в плоскости ASC, NiîAS,

2) N1N DAC =N2 в плоскости ASC,

3) N2M DCB =N3 в плоскости ABC,

4) MN1NN3 - искомое сечение a.

Доказательство.

1) CK\ NN i, NN1 e a ^ CK\a,

2) Me N2N3e a ^ Me a,

3) NeNiN2e a ^ Ne a. В) 1) NN\KC, Nie AS,

2) NiN ПАС =N2,

3) N2M ПВС = N3,

4) CCi \\MN3, Ce AB,

5) KCiC - искомое сечение.

Доказательство.

1) Пусть а = КСС1, в = N№N2, Ые ЫЫ2, ЫЫ2е р^Ые р,

2) КС \\NN1, СС1 \\МЫ2^а \\ р,

3) Ые р, Ме р ^МЫе р^МЫ \\ а,

4) а - искомая плоскость, так как СКе а, МЫ \\ а.

Задача 8. На ребрах ВС, ЛС, СС1 призмы ЛВСЛ1В1С1 - заданы соответственно точки Р, Q, Я, на ребрах ЛВ, В1С1 - точки М, Ы. На отрезке МЫ задана точка К. Построить сечение через точку К параллельно плоскости РQR. Построение.

1) МСГ^Р =М1,

2) СЫ ГРЯ =Ы1,

3) КК^МЫ, КеЫС,

4) К2К3 \\РЯ, К2еВ1С1, К3еВ1В,

5) К2К3ГСС1=К4,

6) К5К6 \\ QR, К4 е К5К6, К5е С1Л1, К6еЛЛ1,

7) К3К2К5Кб - искомое сечение.

Задача 9. На ребрах ЛЛ\, СС1, ВВ1 призмы ЛВСЛ1В1С1 заданы соответственно точки М, N К. Построить сечение через точку М параллельно ЛК и ВЫ. Построение.

1) ММ2\ЛК, М2еВВ1,

2) М2М3\ВЫ, М3е В1С1,

3) КВ2\ВЫ, В2&СС1,

4) ММ1\ЛВ2, М1еЛ1С1,

5) а = ММ2М3М1 - искомое сечение.

91

/ /

Доказательство.

1) а'М,

2) ММ2е а, ММ21| ЛК ^ а || ЛК,

3) М2М3е а, М2М31| БЫ ^ а || БЫ.

Задача 10. ЛБСВЛ1Б1С1Б1 - куб . МеЛБ, ЫеЛЛ1, КеБ1С1 . Построить сечение через точку К параллельно прямым Б]Ы и СМ . Построение.

1) КиЬГ || Л1Б1БЛ, КХ^Б1Ы, ХеЬЬ1, Xе сечению,

2) КУ || СМ, УеЛ1Б1, У е сечению,

3) КК^УХ, К 1еСС1,

4) УХ ПЛБ = К3,

5) К2К3 ||МС, Ке СБ,

6) КК1К2К3 ХУ - искомое сечение.

а:

Доказательство.

1) а'К,

2) KXe a, KX\BN ^ а ||B1N,

3) KYe a, KY||CM ^ а || CM.

Задача 11. SABC - тетраэдр . KeSC, Me ABC, NeACS. Построить сечение через точку K параллельно прямым AB и MN.

Построение.

1) M1M21| AB через точку M, M2eAC, M1 eBC,

2) M2NHSC = N1, NeSC,

3) M1N1,

4) KK1

5) KK2

M2N1 , KeAC, N1M1, K2eBC,

6) K1K2K - искомое сечение.

Доказательство.

1) а=М2Ы1М1, М2М1е а, а \АВ, Ые а, Ме а ^ а эМУ.

2) р = ККК2, КК ||^1М2, КК2 \\N1M1 , следовательно, в || а.

3) в эК, р||АД Р^^МУ.

Литература

1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия: Учебное пособие для пед. ин-тов, М.: Просвещение, 1987. Ч.2. 352 с.