Обтекание носка тонкого профиля вязкой несжимаемой жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

j

/

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м XII 1981 № 4

УДК 532.5.032

ОБТЕКАНИЕ НОСКА ТОНКОГО ПРОФИЛЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

В. Н. Т ригу б

Используя результаты теории тонкого профиля, показано, что при Ие ат ~ О (1) Ие= 05 °, а—угол атаки профиля, т—его относи-

V ч

тельная толщина, /0— хорда, 17х—скорость набегающего потока, ч — коэффициент вязкости) для описания течения в окрестности носка следует использовать полные уравнения Навье —Стокса. Поставленная краевая задача исследовалась численно при помощи неявной конечно-разностной схемы. Получен ряд решений как безотрывных, так и с замкнутой областью обратных токов. Параметры подобия позволяют распространить результаты на весь класс тонких профилей с параболическим носком.

Множество экспериментальных исследований (см., например, [1]) указывают, что на тонких профилях при увеличении угла атаки возникает отрыв в окрестности передней кромки с дальнейшим присоединением вниз по течению. Развитие такой зоны отрыва может привести к неожиданной перестройке течения — срыву потока с передней кромки и резкому падению подъемной силы. Поэтому важно изучить появление и развитие замкнутых отрывных зон возле носка тонкого профиля.

Известно [2], что течение невязкой жидкости в окрестности передней закругленной кромки тонкого профиля аналогично обтеканию параболического цилиндра, имеющего тот же радиус кривизны в носке, что и профиль. Это позволяет при предположении, что влияние отрывной зоны является локальным и не сказывается на циркуляции профиля, поставить ряд задач для вязкого обтекания носка профиля. Преимуществом такой постановки задачи является возможность локального исследования явления, а также получение параметров подобия.

Для пограничного слоя задача в локальной постановке была решена в работе [3]. На параболическом цилиндре пограничный слой рассчитывался от критической точки до точки отрыва при внешнем распределении скорости, полученном из сращивания с разложением теории тонкого профиля. Показано, что для очень тонких профилей отрыв пограничного слоя происходит уже при о^О.бт:.

В данной работе исследуется режим, при котором нельзя пренебречь диффузией завихренности в продольном направлении вблизи носка и течение следует описывать полными уравнениями Навье — Стокса.

Пусть а~т. Тогда скорость невязкого течения на носке q^—U0о, толщина

т

вязкого слоя на носке В~/013,'2 а—1/2 Re—1/2, радиус носка при этом р~/0т2. Режим Навье — Стокса реализуется, если о~р, т. е. ReaT~(l). Легко оценить, при каких значениях числа Моо в набегающем потоке можно пренебречь сжимаемостью:

Мес ~ « 1..

Численное решение уравнений Навье — Стокса позволяет получать замкнутые отрывные зоны и исследовать их развитие (см., например, [4]), но требует большого времени счета и сталкивается с затруднениями при увеличении числа Ие.

Вязкое обтекание параболы без циркуляции рассматривалось ранее в работах (5] и [6]. На полученных при этом результатах проверялась численная схема, используемая в данной работе.

1. Запишем уравнение контура тонкого профиля в следующем виде: у — =-с [С(лг)+/7(х)]> 0<х</0, где С (х)— средняя линия, ^(х) —форма толщины профиля. Пусть в окрестности носка

у = + ір0х112

Первый член этого разложения — парабола с радиусом носка р =—~. Приведем

выражение для первого приближения скорости на Поверхности профиля при формальном разложении по относительной толщине т:

Яі 1 = Уса + ЧЦ + 4-Му “о = '

«•С

/о-* У'2

Р'(і)

х — і

и

сії.

«о +

? \1/2 С' (?)

(1)

Перейдем к системе координат 5, п, связанной с параболой у1 = 2рх: х = з2—п2—2п уГ-^-’ У = 25 ) •

Коэффициент Ламэ

При этом параболе соответствует ось я=О, а область течения отображается на верхнюю полуплоскость. Вводим функцию тока таким образом, чтобы скорости

дп Н Н

Тогда для невязкого циркуляционного обтекания параболы в новой системе координат:

ф = 0 (я + а)л; (2)

здесь а и (2 — некоторые постоянные.

Произведя асимптотическое сращивание разложений скорости на поверхности, получающихся из (1) и (2) (см. [2]), находим С? и а:

<5=2£/оо(1-{- ъА),

1 + тА

1 Г / ? \!/2 С' (?)

а=ао+тЛт^т] —

<*?,

А =

*•0

7І

Р' (?)

Таким образом, найдена функция тока для невязкого циркуляционного обтекания носка тонкого профиля:

,1/2

ф = 2£/оо (1 -(- ъА) I я + ^

1 +т А

Запишем систему уравнений Навье —Стокса в переменных функции тока ф и завихренности со в системе координат в, п:

ди> ди> [д2 <» д2 <й \

а — 4- V — = V -----------4------- .

дя дп \ дв2 дп2}

д2 ф дг<Ь -Н2о> =—1 ,

дь2 дп2

дії

дф

и— — , «=—т-

дп оя

(3)

Обезразмерим величины так, чтобы число Рейнольдса не входило в уравнение для завихренности. Такое обезразмеривание обладает рядом преимуществ при •ійсленном счете. При этом координатная сетка будет сжиматься при увеличении Ие.

Пусть „вязкая длина"

А =

,4и1(1 + хА)2

2£/оо(1+тЛ) ’

Штрихами здесь обозначены безразмерные величины. Подставляя эти выражения в (3) и опуская в дальнейшем штрихи, получим:

да да д2 <й д2 и>

дБ ^Удп дв2 дп2

-Н2 О) =

дф

д2 ф дгф дп2

<?ф

дп ’ дя ’

Я=2}^Т(п+Щ5, 1^=1/Р .

, г 2А

Считаем, что при п-* оо скорость и стремится к скорости невязкого циркуляционного обтекания:

(4)

дф

^--Ч. + Аи, АЬ

При я = 0

дф

дп

дф

= 0,. —— = 0, ф = 0, при п-±оо (о-^О экспоненциально.

(78

Для замыкания системы не хватает условий для завихренности на стенке и условий при я -*■ + оо. Первые рассмотрены в численном методе. Для выяснения условий при я + оо исследуются обратные координатные разложения по 5 функций ф и <й. Аналогичная процедура для параболы без циркуляции

дф

была проведена в работе [7]. Исходя из того, что при п -*■ я +АЬ, пред-

ставим разложение ф при х -*■ ± оо в виде:

Ф = 5/0(я) + АЬ Л (л) -|- ~2 ~ /г (п) + /з (п)

Тогда, для о) разложение будет иметь вид:

1 ( /о(«)

— —-------------+ А1-----------

4 \ я вз

/і («) 1 1п «а „ /з («) - (я + НЕ) /0 (л)

+ 2 Ш + 5з +•■

Подставляя разложения в уравнения (4), получим цепочку уравнений линейных для /ь /2, /3.... Граничные условия:

fi (0) = /,- (0) = 0, /=1,2...; /0 (со) =/;(оо) = 1;

fk (оо) =0, k — 2, 3 . . . ; /J -> 0 экспоненциально при л -»■ оо .

Приведем результаты интегрирования.

Для /0 получаем уравнение Блязиуса:

/о +/о/о = °; /о (°) = 0,4696 = Oji /о > и—1,217 —я —8, при п оо;

Решение второго уравнения находится в квадратурах:

/

п

к (и) = \ f'o (Tt) о

/£(<» = - 1,217 = — рх.

Третье однородное линейное уравнение допускает не нулевое решение при нулевых краевых условиях:

h — Ci (/) - и^о)-

Четвертое уравнение—неоднородное. Требуя, чтобы производные /3 затухали экспоненциально при я-> со, получаем условие для С,: „

оо

с, - 2 f [(/о,- (л + RE) /;)2 - (?! RE)2 -f- AL2 (l — f[2)\ /0 dn.

о

В результате получаем однозначное решение для /2, но в решении для /3 присутствует неопределенная постоянная С4: /3 = СД/0— л/о) + ^(л). гДе г О1) — решение неоднородного уравнения с условиями г (0) = 0, г' (0) = 0, г' (оо) -+ 0 экспоненциально.

Используя полученное разложение, можно ставить условия для ф с точностью до О | ! , для ш — с точностью до О (~^г) •

Другое приближение для граничных условий при s-> ± оо получим, полагая, что течение на больших расстояниях от передней кромки имеет характер течения в пограничном слое:

д2 (» д2 ф

~ds* = °’ Is2' = °’ s ** °° '

Оба способа постановки граничных условий были испытаны при расчетах и давали близкие результаты (для небольших AL).

2. Для численного решения уравнений (4) использовалась неявная конечноразностная схема второго порядка точности метода переменных направлений (ADI). Целью было получение стационарного решения. Счет проводился в прямоугольной области, граничные условия при s ± оо и я -> оо ставились на конечном расстоянии. Была взята разностная сетка с равномерным шагом ДХ по s и Д7 по л.

Исходные разностные уравнения:

It-ft

/о (т)

dx

d т],

здесь в;,/ (/)

/ж,/'

- ^ ■4-1./

ч\Х ' иххч (Я —

шага по времени, г, /— нумерация узлов сетки, < и т — шаги по времени в искусственных нестационарных членах. Получающиеся на каждой итерации трехточечные разностные уравнения обращались прогонкой.

Рассмотрим более подробно постановку граничных условий при численном

д2 ф

расчете. На правой и левой границах (см. рис. 1, а) ставятся условия -др- = О

/«• + !,/-24 +/?-!,/

, индекс

II

: V 1 г-п

/

2 г= -м

> 7 г-- — гм

'/■'//''/////////////У = к 5=/7 в-Р/ п ' Ю

я;

Рис. 1

д2 к>

и ^5- = 0. Эти условия позволяют связать значение функций на слое, следующем за границей, с значениями на двух предыдущих слоях и производить прогонку вдоль границы. На стенке = 0, -^- = 0. Первое из них накладывает связь непосредственно на прогоночные коэффициенты на границе.

Условия для завихренности на стенке находим из выражения а>к,=

1 /дЦ\ д2ф

= — Рая пР0ИЗВ°Дная "^2 вычисляется дифференцированием по-

линома 3-й степени, аппроксимирующего возле стенки функцию тока:

д2ф дп2

л=0

При такой постановке условия для завихренности, в первой над стенкой точкой при получении и необходимо для согласования пользоваться не центральной разностью, а формулой, получающейся при дифференцировании того же полинома:

Ч‘ «У1* +0(4 У).

9—„Ученые записки" № 4

I

129

dt»

Приведем также выражение для -fa дН\

п=О

, необходимое при расчете давления:

д<о дп | п =о / —7ф1 + 8ф2 — фз\ 3 /Зф, — 4ф2 + фз \

дп п=°~ ^ 2Д Y2 )' 1 а со I о 1 1, 2Д Y3 )

Завихренность при п -> оо убывает экспоненциально, поэтому на верхней границе полагаем и> = 0. Но при п -* оо стремится к своему пределу s-j- AL алгебраически, и верхняя граница должна располагаться высоко.

Существует возможность использовать более близкую верхнюю границу. Пусть при п>АГ и ш=0

д<1/ дФ

Ж = (s + AL) .+ -fa .

Тогда функция Ф при /г >• уИ удовлетворяет уравнению Лапласа; Ф -> 0 при п->оо, Фп=м = Фм = — п (s + AL). Отобразим область п > М при помощи преобра-

1

зования г = — на прямоугольных и построим в нем трехточечную по сетке (см. рис. 1, б). Уравнение Лапласа принимает вид:

д- Ф <ЭФ д2 Ф

+2z3dF + zi Ш = 0-

На каждом временном шаге это уравнение решалось прогонкой вдоль линии г— 2^ с условием Фг=о = 0, причем значение Ф^ получали с предыдущей итерации. Зная Фл и Ф р находим условие наверху:

Ш

дф дФ

= (s + AL) + fa .

Такой итерационный процесс оказался сходящимся и позволял использовать более близкую верхнюю границу.

Картина течения в целом и распределение давления при этом устанавливались по времени, наибольшие невязки находились всегда на стенке в окрестности точки присоединения. __

Расчеты проводились при RE = УЕ и RE = Vх” 10 при AL = 7,5; 8,1; 8,75; 9; 10,5 и 11,25. При RE=; /5 и AL = 7,5 наблюдается предотрывное течение. На значительном участке за носком возрастает толщина вязкого слоя, но трение на стенке еще не обращается в нуль. При AL = 8,1 трение на стенке обращается в нуль в двух точках—возникает тонкая вытянутая зона обратных токов (рис. 2).

<х=м’;ле=7/#}01

Рис. з

Рис. 4

Дальнейшее увеличение А1- смещает точку отрыва ближе к носку, рост длины отрывной зоны прекращается и быстро нарастает высота последней (рис. 3). Распределения завихренности на стенке и давления ср при этом перестраиваются и существенно отличаются от безотрывных (рис. 4 и 5). Точка отрыва следует за пиком давления, затем идет характерное „плато* давления и, наконец, в окрестности точки присоединения давление возрастает (см. рис. 4). Такое поведение давления характерно для точки присоединения в дозвуковом течении

Рис. 6

и качественно согласуется с экспериментом (см. [8]). После перестройки длина отрывной зоны начинает уменьшаться. Распределение завихренности на стенке вблизи носка изображено на рис. 6. Основные черты развития отрывной зоны повторяются и при RE = }Л0.

С увеличением AL схема сходится медленней и, начиная с некоторого AL, становится неустойчивой. Возможно, что это связано с отсутствием стационарного ламинарного течения.

Приведем формулы перехода от параметров AL, RE, s, п к реальным профилям и координатам:

2RE2 _ z AL (1 -j- тА)

Re== т2(1 + т/4) ’ а “ 2RE

х — р 2RE2 [(5“ Л“) RE], у — р RE)].

На графиках приведены значения Re и а для эллиптического профиля с т = 0,1.

Автор благодарит В. Я. Нейланда за постановку задачи и обсуждение результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чжен П. „Отрывные течения", т. II, М., „Мир“, 1973.

2. V a n-D у k е Т. D. Second-order subsonic airfoil theory including edge effects. NACA Rep. N 1274, 1956.

3. Epма к Ю. H. Обтекание передней закругленной кромки тонкого профиля вязким несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ вып. 1141, 1969.

4. Briley W. R. A numerical study of laminar separated bubbles using Navier—Stokes equations „J. of Fluid Mech.“ vol. 47, Pt. 4, 1971.

5. D e n n i s S. C. R, Walsh I. D. Numerical solutions for steady symmetric viscous flow past a parabolic cylinder in a uniform stream"

„J. of Fluid Mech.“, vol. 50, Pt. 4, 1971,

6. Davis R. T. Numerical solution of the Navier—Stokes equations for symmetric laminar incompressible flow past a parabola" „J. of Fluid Mech.", vol. 51, Pt. 3, 1972.

7. V a n-D у k e M. D. Higher approximations in boundary layer theory: Part 3. Parabola in uniform stream. „J. of Fluid Mech.“, vol. 19,

1964.

8. Nash J. F., Guincey V. G., С a 11 i n о n J. Experiments on two-dimensional base flow at subsonic and transonic speeds* ARC R and M, N 3427, 1966.

Рукопись поступила 5jII 1980